广东省2025届高三3月第一次调研考试数学试题及参考答案

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一、单选题
1．已知集合，集合，则（ ）
A．B．C．D．
2．记复数的共轭复数为，若，则（ ）
A．B．C．D．
3．已知向量，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
4．某学校为了了解学生美育培养的情况，用分层随机抽样方法抽样调查，拟从美术、音乐、舞蹈兴趣小组中共抽取30名学生，已知该校美术、音乐、舞蹈兴趣小组分别有20,30,50名学生，则不同的抽样结果共有（ ）
A．B．
C．D．
5．若空间中四个不同的平面，满足，则下面结论一定正确的是（ ）
A．B．
C．既不垂直也不平行D．的位置关系不确定
6．已知是椭圆的两个焦点，为上一点，且，则的离心率为（ ）
A．B．C．D．
7．已知函数在区间上单调递减，且和分别是函数图象的对称轴和对称中心，则（ ）
A．1B．C．D．
8．设表示不大于的最大整数，记，则对任意实数，有（ ）
A．B．
C．D．
二、多选题
9．已知公差不为0的等差数列的前项和为，且是与的等比中项，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．数列是递增数列
D．当时，的最大值为8
10．已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则有2个零点
B．若，则的解集为
C．在上有极小值
D．在上有极大值
11．已知正四面体的棱长为6，点分别是的中点，则下列几何体能够整体放入正四面体的有（ ）
A．底面在平面上，且底面半径为，高为的圆锥
B．底面在平面上，且底面半径为，高为1的圆柱
C．轴为直线，且底面半径为，高为2的圆锥
D．轴为直线，且底面半径为，高为0.2的圆柱
三、填空题
12．若函数是奇函数，则 ．
已知是锐角，若，则 ．
14．分别为双曲线的左、右焦点，两点在双曲线上且关于原点对称（点在第一象限），直线与双曲线的另一个交点为点，若，则的面积为 ．
四、解答题
15．已知函数，曲线在处与直线相切.
(1)求、的值；
(2)求在上的最大值和最小值.（其中为自然对数的底数）
16．已知的内角所对的边分别为，且．
(1)证明：；
(2)若的面积为，求．
17．近年来，中国新能源汽车产业，不仅技术水平持续提升，市场规模也持续扩大，取得了令人瞩目的成就，国产新能源汽车正逐步引领全球新能源汽车的发展潮流．某新能源汽车制造企业对某地区新能源汽车的销售情况进行了调研，数据如下：
(1)若与线性相关，求关于的线性回归方程，并估计该地区新能源汽车在2025年1月份的销量；
(2)该企业为加强新能源汽车宣传推广，计划引进入工智能工具，并对宣传部门员工进行人工智能工具使用培训．为节约培训成本，需要将宣传部门部分员工调整至其他部门，剩余宣传部门员工全部参加培训．培训分为四期，每期培训的结果是否“优秀”相互独立，且每期培训中员工达到“优秀”标准的概率均为，员工至少两期培训达到“优秀”标准，才能使用人工智能工具．该企业宣传部门现有员工100人，开展培训前，员工每人每年平均为企业创造净利润12万元，开展培训后，能使用人工智能工具的员工预计每人每年平均为企业创造净利润18万元，本次培训费每人1万元（计入年度部门成本）．若要确保调整后第一年，宣传部门员工创造的年净利润不低于调整前，请应用概率知识进行决策，预计最多可调整多少人去其他部门？
参考公式：．
18．如图1，已知抛物线的焦点为，准线交轴于点，过点作倾斜角为的直线交抛物线于两点（点在第一象限）．当时，．
(1)求抛物线的方程；
(2)如图2，把沿翻折为，使得二面角的大小为．
①若，求直线与平面所成角的正弦值；
②证明：三棱锥的体积为定值．
19．对于一个递增正整数数列，如果它的奇数项为奇数，偶数项为偶数，则称它是一个交错数列．规定只有一项且是奇数的数列也是一个交错数列．将每项都取自集合的所有交错数列的个数记为．例如，当时，取自集合的交错数列只有1一种情况，则；当时，取自集合的交错数列有1和1，2两种情况，则．
(1)求和的值；
(2)证明：取自集合的首项不为1的交错数列的个数为；
(3)记数列的前项和为，求使得成立的的最小值．
时间
2023年12月
2024年1月
2024年2月
2024年3月
2024年4月
月份代码
1
2
3
4
5
销量千辆
14
15
16
18
19