广东省2025届高三下学期3月综合能力测试（燕博园联考CAT）数学试题（附答案解析）

这是一份广东省2025届高三下学期3月综合能力测试（燕博园联考CAT）数学试题（附答案解析），共21页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．已知集合，则（ ）
A．B．
C．D．
2．在等差数列中，若，则的值为（ ）
A．18B．15C．12D．9
3．已知变量与的取值如下表：
且对呈现线性相关关系，则与的经验回归方程必经过的定点为（ ）
A．B．C．D．
4．在平面直角坐标系内，点，直线上的单位向量为，若，则的值为（ ）
A．4B．C．或4D．或
5．2025年3月14日是星期五.学校数学组于3月10日至3月14日举办为期5天的“数学节”活动，其中有一项抽奖活动.在一个不透明的纸箱中，放着5个质地、大小完全相同的小球，球上写着“星期一”、“星期二”、“星期三”、“星期四”、“星期五”，分别对应得分：.学生从中有放回地任取一个球，记下得分.设事件“第一次得分5”，事件“第二次得分5”，则（ ）
A．B．C．D．
6．已知斜率为的直线过抛物线的焦点，且从上到下与依次交于两点，，则（ ）
A．B．2C．D．3
7．在棱长为2的正方体中，分别为的中点，过直线的平面截该正方体的内切球，所得截面圆的面积的最小值为（ ）
A．B．C．D．
8．已知，则（ ）
A．B．
C．D．
二、多选题
9．已知为虚数单位，复数满足，则（ ）
A．的实部为3
B．的虚部为
C．
D．在复平面内对应的点在第四象限
10．已知函数的部分图像如图所示，把函数的图像上所有点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，再将所得图像向左平移个单位长度，得到函数的图像，则（ ）
A．
B．函数的图像关于直线对称
C．若函数在区间上恰有4个不同的零点，则的取值范围为
D．函数的图像关于点对称
11．已知数列满足，数列满足为数列的前项的积，，则（ ）
A．
B．
C．若，则
D．若，则的最大值为12
三、填空题
12．在二项式的展开式中，所有二项式系数和为64，则常数项为 .（用数字作答）
13．已知为双曲线的右焦点，为的右顶点，为上的点且在第一象限，且垂直于轴.若的离心率为2，则的斜率为 .
14．已知函数，且函数，若不等式对任意的恒成立，则实数的取值范围是 .
四、解答题
15．已知函数.
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)求函数的极值；
(3)讨论函数在上的单调性.
16．在中，内角的对边分别为，且.
(1)求角的大小；
(2)若.
（i）求；
（ii）过边上一点作的垂线，垂足分别为，求的最小值.
17．如图，在三棱锥中，是边长为4的等边三角形，底面是以为直角的等腰直角三角形.
(1)若，证明：平面平面；
(2)若二面角的大小为，求直线与平面所成角的正弦值.
18．已知是离心率为的椭圆的左、右焦点，上顶点为，的面积为.
(1)求椭圆的方程.
(2)若直线与椭圆交于两个不同的点.
（i）若，证明：直线恒过定点，并求出点坐标；
（ii）若点关于直线对称，且为坐标原点，求的值.
19．已知.设集合或，且，集合.若集合中的元素满足，则称为的“相邻元”.对于整数，若集合存在一个子集满足：（i）集合中的元素个数为；（ii），在集合中都至少有个“相邻元”，则称是“好数”.
(1)当时，直接写出的“相邻元”；
(2)当时，求证：是“好数”；
(3)当时，若整数满足，且，求证：是“好数”.
1
2
3
4
5
5
8
11
《广东省2025届高三下学期3月综合能力测试（燕博园联考CAT）数学试题》参考答案
1．D
【分析】先求出B，再得到补集，最后求出交集即可.
【详解】由于集合或，
则.
故选：D.
2．D
【分析】由等差数列的下标和性质求出，再化简，即可得出答案.
【详解】在等差数列中，，
则.
故选：D.
3．C
【分析】根据线性回归方程必过样本中心点求解即可.
【详解】由于，
则线性回归方程必过定点.
故选：C.
4．C
【分析】先利用单位向量模长为1，得出，再利用垂直得数量积为0即可求出.
【详解】因，则，
因直线上的单位向量为，则，得，
又因为，且直线上的单位向量为，
则，即，
当时，；当时，；
则或.
故选：C.
5．B
【分析】由古典概率模型求得，再由条件概率即可取得结果.
【详解】由已知得，故.
故选：B.
6．D
【分析】根据题意，联立直线与抛物线方程，即可得到的横坐标，结合焦半径公式代入计算，即可得到结果.
【详解】

由于，直线方程为，
联立方程，消去得，
显然，得，
所以，即.
故选：D.
7．A
【分析】设是线段的中点，则，利用勾股定理求出，进而求出，找出当垂直于过的平面时，截得该正方体的内切球所得截面圆的面积最小，再利用弦长公式和面积公式即可求得结果.
【详解】设是线段的中点，则，
由勾股定理，
球心到距离为，
当垂直于过的平面时，截得该正方体的内切球所得截面圆的面积最小，
被球截得的弦长为，
此时圆的半径就是，面积为.
故选：A.
8．A
【分析】利用作差法与对数的运算性质即可判断.
【详解】由于，又，则，即.
由于
则
故选：B
9．ACD
【分析】先根据复数除法法则化简，即可判断A,B；再计算复数的模以及共轭复数定义，结合复数几何意义判断C,D.
【详解】由于，
则的实部为的虚部为2，不是，所以A正确，B错误；
由于在复平面内对应的点在第四象限，所以CD都正确，
故选：ACD.
10．BCD
【分析】对于选项A：观察图像可知求出，再带点进去即可求出结果.
对于选项B：求出变化后的图像再利用对称轴公式即可判断；
对于选项C：有4个交点结合正弦函数图像得到：即可得出结果.
对于选项D：利用二倍角公式和差角的正弦化简得到：利用对称中心公式即可求得结果.
【详解】对于A：由于，则，
令，又，得，选项A错误；
对于B：函数图像上所有点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，
得到，再将所得图像向左平移个单位长度，得到函数，
令，则函数图像关于直线对称，，选项B正确；
对于C：要使函数在区间上恰有4个不同零点，
由于，则的取值范围为，选项C正确；
对于D:
，令，
得，函数的图像关于点对称，选项D正确.
故选：BCD.
11．AC
【分析】先根据条件得到，A选项，方法1：利用累乘法得到；方法2：先得到，故；B选项，得到，故B错误；C选项，在B基础上得到，则，得，C正确；D选项，推导出，解不等式，得到.
【详解】由于，则，得，
因为，所以，
所以，即，
依次类推，得到.
对于选项A：
方法1：，将上述不等式累乘得：.
方法2：由得，即成立.
故选项A正确.
对于选项B：由于，则，
整理得，故选项B错误.
对于选项C：由于，
则，
则，得，故选项C正确.
对于选项D：由，则，
，
，将以上式子累加得：，①
另外，，
将以上式子累加得：，②
结合①②式得：，解得，
显然符合题意，此时，综上所述，的最大值为8，故D错误.
故选：AC
【点睛】关键点点睛：先得到，在此基础上，利用累乘法，结合和累加法对四个选项进行分析求解
12．240
【分析】利用二项式系数和求得，进而利用二项式展开式的通项公式可求得常数项.
【详解】因为二项式的展开式中，所有二项式系数和为64，所以，则，
二项式的通项为：，，
令，得，故常数项是.
故答案为：.
13．3
【分析】根据双曲线的几何性质可知则，再根据斜率列出等式求解即可．
【详解】设双曲线焦距为，则，
则.
故答案为：3.
14．
【分析】首先对函数求导，且函数为偶函数，又函数在区间
上单调递增，所以在区间上单调递减，将问题转化为二次函数恒成立问题.
【详解】由于
，当所以，故，
又，所以，故函数在区间上单调递增；
又，则为偶函数，
又函数在区间上单调递增，所以在区间上单调递减，
又，则问题转化为不等式对任意恒成立，
故不等式对任意恒成立，
构造函数，只要，得，
故实数的取值范围是.
故答案为：
【点睛】方法点睛：求解函数恒成立方法：
（1）分离参数法：若不等式在区间D上恒成立，可将参数与变量x分离，
转化为或在区间D上恒成立问题；
（2）最值法；
（3）数形结合法：将函数恒成立问题转化为两个函数图像的位置关系问题；
（4）变更主元法：当函数中含有多个变量时，可根据具体情况选择一个变量作为主元，将问题转化为关于主元的函数恒成立问题；
（5）构造函数法.：通过构造新函数，利用新函数的性质来解决原函数的恒成立问题.
15．(1)
(2)极小值为，无极大值
(3)减函数
【分析】（1）先求出导函数，再代入求出切线斜率，再点斜式得出切线方程；
（2）根据导函数正负得出单调性进而计算得出极值；
（3）先根据导函数结合零点存在定理得出极值点，进而得出极值点，最后应用基本不等式得出导函数为负判断单调性即可.
【详解】（1）由于定义域为，
故曲线在点处的切线方程为：，即.
（2）令，则，令，则，
则函数在区间上单调递减，在区间上单调递增.
故函数的极小值为，无极大值.
（3）由于函数，令，
则在区间上单调递减，且，故，使，即，
当时，，当时，，
故在上递增，在上递减.
故，当且仅当，
即时，等号成立，显然，等号不成立，故，
故在上是减函数.
【点睛】关键点点睛：解题的关键点是对隐零点的应用设而不求代换求值.
16．(1)
(2)（i）；（ii）
【分析】（1）对所给条件切化弦，结合三角形内角和以及正弦定理化简可求出，从而求出角的大小；
（2）（i）由三角形内角和可求出，结合正弦定理可求出边；（ii）法一：根据直角三角形角的关系可设，则均可用表示，余弦定理计算，结合二次函数的性质可求出最小值；法二：由，可知四点共圆，从而表示，转化为求最小值，数形结合，当时，最小，在直角三角形中求出最小值即可求出最小；法三：以的中点为坐标原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，设，求出点坐标，利用两点距离公式可求出最小值.
【详解】（1）在中，.
由及正弦定理得，，
整理得.
由于，则.又，故.
（2）（i）如图1，在中，，且，由正弦定理得，，即，得.
（ii）由于，则与互补，故.
方法1：单变量法
设，则，
，则
.
当时，取得最小值为.
方法2：四点共圆
如图1，由，故四点共圆，且为该圆直径.
由正弦定理得，故求的最小值等价于求的最小值.当时，最小，此时
，
故取得最小值为.
方法3：建系坐标法
以的中点为坐标原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，如图2，则，，直线，直线.设，则，直线.
联立方程得，.
当时，取得最小值为.
17．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据三角形的边长关系可证，，进而可得平面，即可由面面垂直的判定求解，或者根据线线垂直，结合二面角的定义得是二面角的平面角.利用三角形的边角关系即可求解，
（2）建立空间直角坐标系，求解平面法向量，即可利用向量的夹角求解，或者利用等体积法求解点到平面的距离，再利用线面角的几何法求解.
【详解】（1）在中，，则.
取的中点，连接，则.
在中，，则，
是以为直角的等腰三角形，故.
方法1：
在中，，则.
由于平面，则平面.
又平面，故平面平面.
方法2：
由于，则是二面角的平面角.
在中，，则.
故二面角为直二面角，即平面平面.
（2）方法1：以为坐标原点，以所在直线为轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则.
由于是边长为4的等边三角形，二面角的平面角为，则.
设直线与平面所成角为，设平面的一个法向量为.
由于，
由得取，则.
由于，
故直线与平面所成角的正弦值为.
方法2：作平面于，由于平面，则.
取的中点为，连接.
在等边中，，则（三垂线定理的逆定理），
则就是二面角的平面角，即.
在中，，则在内.
作于，连，则（三垂线定理）.
设直线与平面所成角为，设点到平面的距离为.
由于，则，得.
由于，故直线与平面所成角的正弦值为
18．(1)
(2)（i）证明见解析，；（ii）
【分析】（1）根据三角形面积得到，解得离心率的方程组，求出，得到椭圆方程；
（2）（i）设直线，联立椭圆方程，由根的判别式得到不等式，得到两根之和，两根之积，由垂直关系得到，得到方程，求出，满足，故直线过定点；
（ii）设直线的方程为，联立椭圆方程，得到两根之和，两根之积，求出的中点坐标，将其代入中得，由得到方程，求出，，满足，故.
【详解】（1）由于为等腰三角形，其面积为，则，
又，则，得，
又，则，得，
故椭圆的方程为；
（2）（i）由于，则直线的斜率肯定存在，
设直线.
联立方程消去得，
由得，.
由于，因为，且，
所以，即，
整理得，（*）
把代入（*）式，得
，
又，即，得，得，
满足，故直线过定点；

（ii）关于直线对称，故直线与垂直，又，
当时，直线，椭圆上不存在两个不同的点关于直线对称，
则，由垂直关系，可设直线的方程为.
联立方程，消去得
，
设，则，
故，
，
故的中点坐标为，即.
由于两点关于直线对称，
把中点坐标代入中得，
，即.
由得，，则，
即，
把代入，得，
解得或（舍），
当时，，满足，故.
【点睛】方法点睛：处理定点问题的思路：
（1）确定题目中的核心变量（此处设为），
（2）利用条件找到与过定点的曲线的联系，得到有关与的等式，
（3）所谓定点，是指存在一个特殊的点，使得无论的值如何变化，等式恒成立，此时要将关于与的等式进行变形，直至找到，
①若等式的形式为整式，则考虑将含的式子归为一组，变形为“”的形式，让括号中式子等于0，求出定点；
②若等式的形式是分式，一方面可考虑让分子等于0，一方面考虑分子和分母为倍数关系，可消去变为常数.
19．(1)
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【分析】（1）根据题干的定义即可求得结果.
（2）利用定义证明集合中至少有8个“相邻元”，即可证明结论.
（3）先求出当时，共有：
其次证明对于，有在每一个中，至多有一个“相邻元”.
最后证明不能在中均有“相邻元”，.即可证明结论.
【详解】（1）的“相邻元”为：.
（2）因为，所以.
设，显然中每一个元素恰有9个“相邻元”.
设，构造，
则集合中的元素个数为.
对集合中的任意元素，在集合中至多存在一个，
满足，
从而在集合中至少有8个“相邻元”，所以是“好数”.
（3）设，且，且.
①当时，
集合中的每一个元素均有2025个“相邻元”.
设，则中含有个元素.
设.
则中含有个元素，.并且两两交集为空集，
设，则共有：
②对于，有在每一个中，至多有一个“相邻元”.
下面证明该结论：设，且均是的“相邻元”.
由于，则与不同元素在前位，且后位相同，即，后位相同.
设与不同位置为，即；与不同位置为，即.
当相同时，又中与差为1的只有一个数，则.
当时，，
所以在每一个中，至多有一个“相邻元”.
③不能在中均有“相邻元”，.下面证明该结论：
元素中第都是中元素.
中第都是中元素.
故中至少有3个元素属于不同的和.
所以不存在，均是的“相邻元”.
由①②③知在中至少有2024个“相邻元”，故：
是“好数”.
【点睛】集合新定义问题常见的求解方法：
（1）理解定义： 仔细阅读题目中给出的新定义，明确其内涵和外延。特别注意定义的
关键条件、限制和运算规则等，确保准确理解新定义的含义。
（2）列举法： 对于一些有限集合或元素个数较少的集合，可以通过列举出集合中的所有
元素，然后根据新定义进行分析和计算。
（3）性质分析法： 分析新定义所具有的性质，如对称性、传递性、封闭性等。利用这些
性质来简化问题的求解过程，或者通过判断集合元素是否满足这些性质来确定集合的特征。
（4）转化法： 将新定义问题转化为熟悉的集合问题或其他数学问题。例如，将新定义的
运算转化为常规的集合运算，或者将集合元素的条件转化为方程、不等式等进行求解。
（5）特殊值法：对于一些抽象的集合新定义问题，可以通过选取特殊值来进行分析和验
证。选取一些满足条件的特殊元素代入新定义中，观察其规律和结果，从而推测出一般情
况下的结论。
（6）反证法：当直接证明某个结论比较困难时，可以考虑使用反证法。假设结论不成立，
然后根据新定义和已知条件推出矛盾，从而证明原结论成立。
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
D
D
C
C
B
D
A
A
ACD
BCD
题号
11









答案
AC