2023-2024学年上海市浦东新区高桥中学高二（下）期中数学试卷 （含解析）

这是一份2023-2024学年上海市浦东新区高桥中学高二（下）期中数学试卷 （含解析），共14页。试卷主要包含了填空题，选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．出卷老师今天买了一张刮刮乐彩票，刮出500元的概率是，则这件事 发生（填“必然”、“可能”或“不可能” ．
2．已知某次摸奖的中奖概率为，则不中奖的概率为 ．
3．某同学在一次月考中的成绩是语文90分，数学95分，英语87分，则这次考试中，三科平均成绩是 ．
4．对甲、乙两台机床生产的零件进行抽样测试，其平均数、方差计算结果如下：机床甲：，，，，由此可知： （填“甲”或“乙” 机床性能好．
5．从1，2，3，4，5五个数中任取一个数，则这个数是奇数的概率是 ．
6．的二项展开式中的第八项为 ．
7．从2男4女中安排3人到三个场馆做志愿者，每个场馆1人，且至少有1位男生入选，不同的安排方法有 种．
8．设随机变量的分布，则 ．
9．、相互独立，（A），（B），则 ．
10．从某班6名学生，其中男生4人，女生2人中任选3人参加活动，设所选3人中女生人数为，则 ．
11．如果随机变量，，那么当、变化时，使成立的，的个数为 ．
12．已知袋子中有个红球和个蓝球，现从袋子中随机摸球，则下列说法中正确的是 ．
①每次摸1个球，摸出的球观察颜色后不放回，则第2次摸到红球的概率为
②每次摸1个球，摸出球观察颜色后不放回，则第1次摸到红球的条件下，第2次摸到红球的概率为
③每次摸出1个球，摸出的球观察颜色后放回，连续摸次后，摸到红球的次数的方差为
④从中不放回摸个球，摸到红球的个数的概率是
二、选择题（本大题共4题，满分20分）
13．样本数据16，24，14，10，20，30，12，14，40的中位数为
A．14B．16C．18D．20
14．马上期中考试了，学生们双休日在家紧张地复习功课，高桥中学对100名同学双休日每天的学习时间（小时）进行统计，发现服从正态分布，，则100名同学中，每天学习时间超过10小时的“卷王”人数为 （四舍五入保留整数，参考数据：，，
A．15B．16C．31D．32
15．此时此刻你正在做这道选择题，假设你会做的概率是，当你会做的时候，又能选对正确答案的概率为，而当你不会做这道题时，你选对正确答案的概率是0.25，那么这一刻，你答对题目的概率为
A．0.625B．0.75C．0.5D．0
16．某单位为了解职工体重情况，采用分层随机抽样的方法从800名职工中抽取了一个容量为80的样本．其中，男性平均体重为64千克，方差为151；女性平均体重为56千克，方差为159，男女人数之比为，则单位职工体重的方差为
A．166B．167C．168D．169
三、解答题（本大题共有5题，满分76分）
17．现有5幅不同的国画，2幅不同的油画，7幅不同的水彩画．
（1）从中任选一幅画布置房间，有几种不同的选法？
（2）从这些国画、油画、水彩画中各选一幅布置房间，有几种不同的选法？
（3）从这些画中选出两幅不同种类的画布置房间，有几种不同的选法？
18．为了促进消费回补和潜力释放，上海市政府举办“2020五五购物节”活动，某商家提供1000台吸尘器参加此项活动，其中豪华型吸尘器400台，普通型吸尘器600台．
（1）豪华型吸尘器前6天的销量分别为：9、12．、、10、10（单位：台），把这6个数据看作一个总体，其均值为10，方差为3，求的值；
（2）若用分层抽样的方法在这批吸尘器中抽取一个容量为25的样本，将该样本看成一个总体，从中任取2台吸尘器，求至少有1台豪华型吸尘器的概率（用最简分数表示）．
19．小明同学每星期一、二、四、五这4天，其中星期一、星期二不交数学作业的概率均为，星期四、星期五不交数学作业的概率均为，假设他在这4天不交作业是独立的，表示他不交作业的次数．
（1）若，小明作业成绩就不及格，求小明作业成绩及格的概率；
（2）求的分布并求，若交一次作业，成绩加10分；不交一次作业成绩扣5，表示小明这周的作业成绩，求．
20．（16分）某企业因技术升级，决定从2023年起实现新的绩效方案．方案起草后，为了解员工对新绩效方案是否满意，决定采取如下“随机化回答技术”进行问卷调查：
一个袋子中装有三个大小相同的小球，其中1个黑球，2个白球．企业所有员工从袋子中有放回的随机摸两次球，每次摸出一球．约定“若两次摸到的球的颜色不同，则按方式Ⅰ回答问卷，否则按方式Ⅱ回答问卷”．
方式Ⅰ：若第一次摸到的是白球，则在问卷中画“〇”，否则画“”；
方式Ⅱ：若你对新绩效方案满意，则在问卷中画“〇”，否则画“”．
当所有员工完成问卷调查后，统计画〇，画的比例．用频率估计概率，由所学概率知识即可求得该企业员工对新绩效方案的满意度的估计值．其中，满意度．
（1）若该企业某部门有9名员工，用表示其中按方式Ⅰ回答问卷的人数，求的数学期望；
（2）若该企业的所有调查问卷中，画“〇”与画“”的比例为，试估计该企业员工对新绩效方案的满意度．
21．（17分）由于“新冠肺炎”对抵抗力差的人的感染率相对更高，特别是老年人群体，因此某社区在疫情控制后，及时给老年人免费体检，通过体检发现“高血糖，高血脂，高血压”，即“三高”老人较多．为此社区根据医生的建议为每位老人提供了一份详细的健康安排表，还特地建设了一个老年人活动中心，老年人每天可以到该活动中心去活动，以增强体质，通过统计每周到活动中心去运动的老年人的活动时间，得到了如图频率分布直方图．
（1）从到活动中心参加活动的老人中任意选取5人，
①若将频率视为概率，求至少4人每周活动时间在，（单位：的概率；（结果用数值表示）
②若抽取的5人中每周活动时间在，（单位：的人数为2人，从5人中选出3人进行健康情况调查，记3人中每周活动时间在，（单位：的人数为，求的分布和期望与方差；
（2）当老人每周活动时间不少9小时，则称该老人为“活动爱好者”，从参加活动的老人中随机抽取10人，且抽到人为“活动爱好者”的可能性最大，试求的值．
参考答案
一．选择题（共4小题）
一、填空题（第1-6题每题4分，第7-12题每题5分，满分54分）
1．出卷老师今天买了一张刮刮乐彩票，刮出500元的概率是，则这件事 可能 发生（填“必然”、“可能”或“不可能” ．
解：根据概率的意义，刮出500元的概率是，
表示刮出500元的可能性是，
这件事可能发生．
故答案为：可能．
2．已知某次摸奖的中奖概率为，则不中奖的概率为 ．
解：设“某次摸奖中奖”为事件，则“不中奖”为事件，
由题意，
．
故答案为：．
3．某同学在一次月考中的成绩是语文90分，数学95分，英语87分，则这次考试中，三科平均成绩是 ．
解：由题意可知：三科平均成绩是．
故答案为：．
4．对甲、乙两台机床生产的零件进行抽样测试，其平均数、方差计算结果如下：机床甲：，，，，由此可知： 甲 （填“甲”或“乙” 机床性能好．
解：机床甲：，，，，
平均数甲等于乙，方差甲小于乙，
甲机床较为稳定，
甲机床性能较好，
故答案为：甲．
5．从1，2，3，4，5五个数中任取一个数，则这个数是奇数的概率是 ．
解：从1，2，3，4，5这5个数字中，奇数有3个，
这个数是奇数的概率是，
故答案为：．
6．的二项展开式中的第八项为 ．
解：的二项展开式中的第八项为：．
故答案为：．
7．从2男4女中安排3人到三个场馆做志愿者，每个场馆1人，且至少有1位男生入选，不同的安排方法有 96 种．
解：若选一男两女：种；
若选两男一女：种；
所以一共种，
故答案为：96．
8．设随机变量的分布，则 2 ．
解：由题意，，
所以．
故答案为：2．
9．、相互独立，（A），（B），则 0.68 ．
解：根据题意，因为、相互独立，且（A），（B），
所以（A）（B），
所以（A）（B），
故答案为：0.68．
10．从某班6名学生，其中男生4人，女生2人中任选3人参加活动，设所选3人中女生人数为，则 1 ．
解：从某班6名学生，其中男生4人，女生2人中任选3人参加活动，
设所选3人中女生人数为，
随机变量的所有可能取值为0，1，2，
，
，
，
则随机变量的分布列为：
．
故答案为：1．
11．如果随机变量，，那么当、变化时，使成立的，的个数为 2025 ．
解：由题意可得，
，
因为，
所以，
所以使成立的，的分别为，，，，，共2025个．
故答案为：2025．
12．已知袋子中有个红球和个蓝球，现从袋子中随机摸球，则下列说法中正确的是 ①④ ．
①每次摸1个球，摸出的球观察颜色后不放回，则第2次摸到红球的概率为
②每次摸1个球，摸出球观察颜色后不放回，则第1次摸到红球的条件下，第2次摸到红球的概率为
③每次摸出1个球，摸出的球观察颜色后放回，连续摸次后，摸到红球的次数的方差为
④从中不放回摸个球，摸到红球的个数的概率是
解：对于①，记事件：第一次摸红球，事件：第一次摸蓝球，事件：第二次摸红球，
则，①对；
对于②，每次摸1个球，摸出的球观察颜色后不放回，
则第1次摸到红球的条件下，第2次摸到红球的概率为，②错；
对于③，由题意可知，则，③错；
对于④，从中不放回摸个球，摸到红球的个数的概率是，④对．
故答案为：①④．
二、选择题（本大题共4题，满分20分）
13．样本数据16，24，14，10，20，30，12，14，40的中位数为
A．14B．16C．18D．20
解：样本数据从小到大排列为：10，12，14，14，16，20，24，30，40；
所以中位数为第5个数，是16．
故选：．
14．马上期中考试了，学生们双休日在家紧张地复习功课，高桥中学对100名同学双休日每天的学习时间（小时）进行统计，发现服从正态分布，，则100名同学中，每天学习时间超过10小时的“卷王”人数为 （四舍五入保留整数，参考数据：，，
A．15B．16C．31D．32
解：由题可得：，
故所求人数为．
故选：．
15．此时此刻你正在做这道选择题，假设你会做的概率是，当你会做的时候，又能选对正确答案的概率为，而当你不会做这道题时，你选对正确答案的概率是0.25，那么这一刻，你答对题目的概率为
A．0.625B．0.75C．0.5D．0
解：设“考生答对题目”为事件，“考生知道正确答案”为事件，
则，
所以．
故选：．
16．某单位为了解职工体重情况，采用分层随机抽样的方法从800名职工中抽取了一个容量为80的样本．其中，男性平均体重为64千克，方差为151；女性平均体重为56千克，方差为159，男女人数之比为，则单位职工体重的方差为
A．166B．167C．168D．169
解：由题意可知，单位职工体重的平均数为（千克），
所以单位职工体重的方差为．
故选：．
三、解答题（本大题共有5题，满分76分）
17．现有5幅不同的国画，2幅不同的油画，7幅不同的水彩画．
（1）从中任选一幅画布置房间，有几种不同的选法？
（2）从这些国画、油画、水彩画中各选一幅布置房间，有几种不同的选法？
（3）从这些画中选出两幅不同种类的画布置房间，有几种不同的选法？
解：（1）根据题意，共有5幅不同的国画，2幅不同的油画，7幅不同的水彩画，共有幅画，
从中任选一幅画布置房间，有14种选法，
（2）分三步完成，第一步选国画有5种，
第二步选油画有2种，
第三步选水彩画有7种，
根据分步计数原理得，共有种．
（3）根据题意，分三类情况讨论：
第一类，选国画和油画共有种，
第二类，选国画和水彩画共有种，
第三类，选油画和水彩画共有种，
根据分类计数原理共有种．
18．为了促进消费回补和潜力释放，上海市政府举办“2020五五购物节”活动，某商家提供1000台吸尘器参加此项活动，其中豪华型吸尘器400台，普通型吸尘器600台．
（1）豪华型吸尘器前6天的销量分别为：9、12．、、10、10（单位：台），把这6个数据看作一个总体，其均值为10，方差为3，求的值；
（2）若用分层抽样的方法在这批吸尘器中抽取一个容量为25的样本，将该样本看成一个总体，从中任取2台吸尘器，求至少有1台豪华型吸尘器的概率（用最简分数表示）．
解：（1）依题意得：，可得，
，可得，
由，可得，
则，
（2）设所抽样本中有台豪华型吸尘器，则，解得，
抽取10台豪华型吸尘器，15台普通型吸尘器，
至少有1台豪华型吸尘器的概率．
19．小明同学每星期一、二、四、五这4天，其中星期一、星期二不交数学作业的概率均为，星期四、星期五不交数学作业的概率均为，假设他在这4天不交作业是独立的，表示他不交作业的次数．
（1）若，小明作业成绩就不及格，求小明作业成绩及格的概率；
（2）求的分布并求，若交一次作业，成绩加10分；不交一次作业成绩扣5，表示小明这周的作业成绩，求．
解：（1）由题可知的所有可能值为0，1，2，3，4，
则，
，
，
，
，
若，小明作业成绩就不及格，故小明作业成绩及格的概率：；
（2）由（1）可知的分布列为：
则，
若交一次作业，成绩加10分，不交一次作业成绩扣5分，
则，
故．
20．（16分）某企业因技术升级，决定从2023年起实现新的绩效方案．方案起草后，为了解员工对新绩效方案是否满意，决定采取如下“随机化回答技术”进行问卷调查：
一个袋子中装有三个大小相同的小球，其中1个黑球，2个白球．企业所有员工从袋子中有放回的随机摸两次球，每次摸出一球．约定“若两次摸到的球的颜色不同，则按方式Ⅰ回答问卷，否则按方式Ⅱ回答问卷”．
方式Ⅰ：若第一次摸到的是白球，则在问卷中画“〇”，否则画“”；
方式Ⅱ：若你对新绩效方案满意，则在问卷中画“〇”，否则画“”．
当所有员工完成问卷调查后，统计画〇，画的比例．用频率估计概率，由所学概率知识即可求得该企业员工对新绩效方案的满意度的估计值．其中，满意度．
（1）若该企业某部门有9名员工，用表示其中按方式Ⅰ回答问卷的人数，求的数学期望；
（2）若该企业的所有调查问卷中，画“〇”与画“”的比例为，试估计该企业员工对新绩效方案的满意度．
解：（1）每次摸到白球的概率，摸到黑球的概率为，
每名员工两次摸到的球的颜色不同的概率，
由题意可得：该部门9名员工中按方式回答问卷的人数，
所以的数学期望；
（2）记事件为“按方式回答问卷”，事件为“按方式Ⅱ回答问卷”，事件为“在问卷中画〇”．
由（1）知．
，
由全概率公式（C）（A）（B），则，解得，
故根据调査问卷估计，该企业员工对新绩效方案的满意度为．
21．（17分）由于“新冠肺炎”对抵抗力差的人的感染率相对更高，特别是老年人群体，因此某社区在疫情控制后，及时给老年人免费体检，通过体检发现“高血糖，高血脂，高血压”，即“三高”老人较多．为此社区根据医生的建议为每位老人提供了一份详细的健康安排表，还特地建设了一个老年人活动中心，老年人每天可以到该活动中心去活动，以增强体质，通过统计每周到活动中心去运动的老年人的活动时间，得到了如图频率分布直方图．
（1）从到活动中心参加活动的老人中任意选取5人，
①若将频率视为概率，求至少4人每周活动时间在，（单位：的概率；（结果用数值表示）
②若抽取的5人中每周活动时间在，（单位：的人数为2人，从5人中选出3人进行健康情况调查，记3人中每周活动时间在，（单位：的人数为，求的分布和期望与方差；
（2）当老人每周活动时间不少9小时，则称该老人为“活动爱好者”，从参加活动的老人中随机抽取10人，且抽到人为“活动爱好者”的可能性最大，试求的值．
解：（1）由频率分布直方图可知，事件“到活动中心参加活动的老人任意选取1人，每周活动时间在，内”概率为，
记“至少有4人每周活动时间在，（单位：”为事件，
则，
随机变量所以可能的取值为0，1，2，
则，
故的分布列如下：
故，
所以；
（2）老人每周活动时间不少9小时，则老人中“活动爱好者”的活动时间为，，
由直方图可得，参加活动的老人中为“活动爱好者”的概率为，
若从参加活动的老人中随机抽取10人，且抽到人为“活动爱好者”，
则，
若人的可能性最大，则，
由，
即
且，
解得，
由于，故．
题号
13
14
15
16
答案
B
B
A
D
0
1
2
0
1
2
3
4
0
1
2