2024-2025学年山东省泰安市新泰一中老校区（新泰中学）高一下学期第一次月考数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年山东省泰安市新泰一中老校区（新泰中学）高一下学期第一次月考数学试卷（含答案），共6页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知点A0,1，B1,2，向量AC=2,3，则向量BC=( )
A. (1,2)B. (−1,−2)C. (3,6)D. (−3,−5)
2.若e1,e2是平面内的一个基底，则下列四组向量中能作为平面向量的基底的是( )
A. {e1−e2,e2−e1}B. 2e1−e2,e1−12e2
C. 2e2−3e1,6e1−4e2D. e1+e2,e1+3e2
3.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若sin(A+B)=13，a=3，c=4，则sinA=( )
A. 23B. 14C. 34D. 16
4.已知M是边长为1的正▵ABC的边AC上靠近C的四等分点，N为AB的中点，则BM⋅MN的值是( )
A. −12B. −14C. 12D. 14
5.在▵ABC中，已知b2+c2−bc=a2，且btanC=ctanB，则▵ABC的形状为( )
A. 直角三角形B. 等腰直角三角形
C. 有一个角为60 ∘的直角三角形D. 等边三角形
6.已知ΔABC中，AB=AC=10,BC=12，点D为AC的中点，点M为边BC上一动点，则MD⇀⋅MC⇀的最小值为
A. −32B. −74C. −94D. −54
7.已知单位向量a，b互相垂直，若存在实数t，使得a+(1−t)b与(1−t)a+b的夹角为60∘，则t=( )
A. −1± 22B. −1± 2C. −1± 32D. −1± 3
8.在锐角△ABC中，csA=35，则ABAC的取值范围为( )
A. (12,2)B. (25,52)C. (35,53)D. (45,54)
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知三个非零向量a，b，c共面，则( )
A. 若a=b，b=c，则a=c
B. 若a⊥b，b⊥c，则a//c
C. 若a⋅b=b⋅c，则a=c
D. 若a//b，则存在实数λ，使a=λb
10.下列说法中错误的是( )
A. 单位向量都相等
B. 对于任意向量a，b，必有a+b≤a+b
C. 平行向量不一定是共线向量
D. 若a，b满足a>b且a与b同向，则a>b
11.▵ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，下列说法正确的是( )
A. 若acsA=bsinB，则A=B
B. A>B是sinA>sinB的充要条件
C. 若a=1，b=2，A=30°，则解此三角形必有两解
D. 若▵ABC是锐角三角形，则sin A+sin B>csA+csB
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若点A、B的坐标分别为2,−2、B4,3，向量a=2k−1,7，且a//AB，则k的值为 ．
13.已知a=(1,2)，b=(x,4)，若a与b的夹角是锐角，则实数x的取值范围是 ．
14.▵ABC外接圆圆心为O，a，b，c分别为∠A，∠B，∠C所对的边，若b2−2b+c2=0，则BC⋅AO的取值范围为 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
已知a=2，b=3，且a⋅b=−4．
(1)若a+kb⊥a，求k的值；
(2)求b与a+b夹角的余弦值．
16.(本小题12分)
在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足asinB+ 3bcs(B+C)=0，a= 19．
(1)求A；
(2)若b=2，求△ABC的面积．
17.(本小题12分)
如图所示，在▵ABC中，∠BAC=120 ∘，AB=AC=3，点D在线段BC上，且DC=2BD.求：
(1)AD的长；
(2)∠DAC的大小．
18.(本小题12分)
已知锐角△ABC中的三个内角分别为A，B，C．
(1)设BC⋅CA=CA⋅AB，判断△ABC的形状；
(2)设向量s=(2sinC,− 3)，t=(cs2C,2cs2C2−1)，且s//t，若sinA=23，求sin(π3−B)的值．
19.(本小题12分)
如图，A、C两岛相距10 7海里，上午9点整有一客轮在位于C岛的北偏西40°且距C岛10海里的D处，沿直线方向匀速开往A岛，在A岛停留10分钟后前往B市，上午9：30测得客轮位于C岛的北偏西70°且距C岛10 3海里的E处，此时小张从C岛乘坐速度为v海里/小时的小艇沿直线方向前往A岛换乘客轮去B市.
(1)求客轮的速度；
(2)若小张能乘上这班客轮，问小艇的速度至少为多少海里/小时？(由小艇换乘客轮的时间忽略不计)
(3)现测得∠BAC=120 ∘，sin∠ACB= 2114，已知速度为v海里/时v∈(0,30]的小艇每小时的总费用为12v2+v+50元，若小张由岛C直接乘小艇去B市，则至少需要多少费用？
参考答案
1.A
2.D
3.B
4.A
5.D
6.C
7.D
8.C
9.ABD
10.ACD
11.BD
12.1910
13.(−8,2)∪(2,+∞)
14.[−14,2)
15.解：(1)
由已知a+kb⊥a，
则a+kb⋅a=a2+ka⋅b=22−4k=0，
解得k=1；
(2)
由已知|a+b|= (a+b)2= a2+2a⋅b+b2= 22−4×2+32= 5，
且b⋅a+b=a⋅b+b2=−4+32=5，
所以cs b,a+b=b⋅(a+b)|b|⋅|a+b|=53× 5= 53．

16.解：(1)asinB+ 3bcs(B+C)=0，可得sinAsinB− 3sinBcsA=0，
∴sinA= 3csA，
∴tanA= 3，
∵A∈(0,π)
∴A=π3;
(2)因为A=π3，a= 19，b=2，所以12=4+c2−194c，
∴c=5，
∴S=12bcsinA=12×2×5× 32=5 32．
17.解：(1)设AB=a，AC=b，
则AD=AB+BD=AB+13BC=AB+13(AC−AB)=23AB+13AC=23a+13b．
∴|AD|2=AD2=23a+13b2=49a2+2×29a⋅b+19b2=49×9+2×29×3×3×cs120 ∘+19×9=3，
∴AD= 3．
(2)设∠DAC=θ，则向量AD与AC的夹角为θ．
∵csθ=AD⋅ACADAC=23a+13b⋅b 3×3=13b2+23a⋅b3 3=13×9+23×3×3×cs120 ∘3 3=0，
∴θ=90 ∘，即∠DAC=90 ∘．

18.解：(1)因为BC⋅CA=CA⋅AB，所以CA⋅(BC−AB)=0，
又AB+BC+CA=0，∴CA=−(AB+BC)，
所以−(AB+BC)⋅(BC−AB)=0，
所以AB2−BC2=0，
所以AB|2=BC|2，即AB=BC，
故△ABC为等腰三角形．
(2)∵s//t，∴2sinC(2cs2C2−1)=− 3cs2C，
∴sin2C=− 3cs2C，即tan2C=− 3，
∵C为锐角，∴2C∈(0,π)，∴2C=2π3，∴C=π3，
∴A=2π3−B，∴sin(π3−B)=sin(2π3−B)−π3=sin(A−π3)，
又sinA=23，且A为锐角，
∴csA= 53，∴sin(π3−B)=sin(A−π3)=sinAcsπ3−csAsinπ3=2− 156．

19.解：(1)根据题意得：CD=10，CE=10 3，AC=10 7，∠DCE=70 ∘−40 ∘=30 ∘．
在▵CDE中，由余弦定理得，
DE= CD2+CE2−2CD⋅CE⋅cs∠DCE
= 102+10 32−2×10×10 3× 32=10
所以客轮的航行速度V1=10×2=20(海里/小时)
(2)因为CD=DE，所以∠DEC=∠DCE=30 ∘，
所以∠AEC=180 ∘−30 ∘=150 ∘．
在△ACE中，由余弦定理得，AC2=AE2+CE2−2AE⋅CE⋅cs∠AEC，
整理得：AE2+30AE−400=0，解得AE=10或AE=−40(舍去)．
所以客轮从E处到岛A所用的时间t1=1020=12小时，
小张若能赶上这班客轮，则满足10 7v≤12+16，解得v≥15 7．
所以，小艇的速度至少为15 7海里/小时．
(3)在▵ABC中，∠BAC=120 ∘，sin∠ACB= 2114，
所以cs∠ACB=5 714．
sinB=sin180 ∘−∠BAC+∠ACB=sin∠BAC+∠ACB
=sin∠BACcs∠ACB+cs∠BACsin∠ACB
= 32×5 714−12× 2114= 217
由正弦定理BCsin∠BAC=ACsinB，解得BC=35，
所以小张由岛C直接乘小艇去城市B的总费用为
fv=35v12v2+v+50=3512v+1+50v≥35(2 v2⋅50v+1)=385，
当且仅当12v=50v，即v=10∈0,30时，fvmin=385(元)
所以若小张由岛C直接乘小艇去B市，其费用至少需385元．