山东省泰安市新泰一中老校区（新泰中学）2025-2026学年高一上学期第一次月考数学试题（解析版）

这是一份山东省泰安市新泰一中老校区（新泰中学）2025-2026学年高一上学期第一次月考数学试题（解析版），共14页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单项选择题：（本大题共8小题，每小题5分，共计40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.）
1 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据绝对值不等式的解法，结合集合交集的定义进行求解即可.
【详解】因为，，
所以，
故选：A
2. 已知命题，则命题的否定为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据存在量词命题的否定为全称量词命题判断即可.
【详解】因为命题，
所以命题的否定为：，
故C正确；
故选：C.
3. 下列命题为真命题的是（ ）
A. ，当时，
B. 集合与集合是相同的集合
C. 若，，则
D. 最小值为8
【答案】C
【解析】
【分析】利用不等式的性质，运用作差法判断选项A，C，根据集合的性质结合二次函数性质判断选项B，利用基本不等式判断选项D．
【详解】选项A：，
，，则，，
，即，当时，，故A错误；
选项B：集合表示的定义域，即，集合表示的值域，即，
，故B错误；
选项C：，
又，，则，，
，即，故C正确；
选项D：令，由得，表达式变为，
根据基本不等式：，当且仅当时取等号，即等号不成立，
的最小值不为8，故D错误．
故选：C．
4. 设、，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】
【分析】设，分析函数在上的单调性，结合函数的单调性以及充分条件、必要条件判断可得出合适的选项.
【详解】设，则函数在、上均为增函数，
又因为函数在上连续，故函数在上单调递增，
若，则，即；
若，则，可得.
因此，“”是“”的充要条件.
故选：C.
5. 已知不等式的解集为或，则下列结论正确的是（ ）
A.
B.
C.
D. 的解集为
【答案】D
【解析】
【分析】根据不等式与方程的关系，结合韦达定理，求得的关系，再分析选项即可求解.
【详解】对于A，由已知可得开口向下，即，故A错误；
对于BCD，是方程的两个根，
所以，
所以，
，故BC错误，D正确；
故选：D.
6. 已知，则以下错误的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由不等式的性质结合特殊值排除法逐项分析即可.
【详解】因为，所以，
对于A，，,,
综上可得，故A正确；
对于B，，故B正确；
对于C，，故C正确；
对于D，当时，，故D错误；
故选：D.
7. 已知关于的不等式对任意恒成立，则的取值范围是（ ）
A. B.
C. 或D. 或
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意，分和两种情况讨论，即可求出的取值范围．
【详解】当时，不等式化为恒成立，
当时，不等式不能恒成立，
当时，要使不等式恒成立，需，
解得，
综上所述，不等式对任意恒成立，的取值范围是，
故选：A.
8. 已知，，且，则最小值（ ）
A. B. C. D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】先分离常数得到，再利用基本不等式“1”的妙用求出最小值.
【详解】，结合可知：原式，
且
当且仅当，时等号成立．
即最小值为．
故选：C
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知实数a，b，c满足，且，则下列说法正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】BC
【解析】
【分析】根据不等式性质及条件判断A、D；根据题意得，结合不等式的性质判断B；结合题意，利用函数的单调性判断C.
【详解】对于A，因，所以，所以，故A错误；
对于B，由于且，故，所以，
故，B正确；
对于C，因为，且函数在R上单调递增，所以，故C正确；
对于D，因为，所以，所以，故D错误.
故选：BC
10. 中国古代重要数学著作《孙子算经》下卷有题: “今有物，不知其数，三三数之，剩二; 五五数之，剩三; 七七数之，剩二. 问: 物几何? ”现有数学语言表达如下: 已知 ， ，若，则下列选项中符合题意的整数为（ ）
A. 8B. 23C. 37D. 128
【答案】BD
【解析】
【分析】直接将各选项的数字变形判断即可.
【详解】因为，故；
，故；
因，则；则.
故选：BD.
11. 已知x，y均为正实数，则（ ）
A. 的最大值为
B. 若，则的最大值为8
C. 若，则的最小值为
D. 若，则的最小值为
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据题意，结合基本不等式，可判定A、C正确，B错误，再由，化简得到，得出，结合二次函数的性质，可判定D正确.
【详解】A中，因为，可得，当且仅当时，等号成立，
所以，即的最大值为，所以A正确；
B中，由，则，
当且仅当时，等号成立，所以的最小值为，所以B不正确；
C中，若，则，
当且仅当时，即时，等号成立，所以C正确；
D中，由，可得，
则，
令，则，
又由，所以当，可得，
所以，所以D正确.
故选：ACD.
三、填空题：（本大题共3小题，每小题5分，共计15分.）
12. 已知集合，若，则的值为__________.
【答案】
【解析】
【分析】分类讨论和，注意元素的互异性.
【详解】因为，所以或，
当，即时，，此时集合中有重复元素3，所以不符合题意，舍去；
当时，解得或（舍去），此时当时，符合题意，
综上可知，，
故答案为：.
13. 若关于x的不等式的解集中恰有3个整数，则实数m的取值范围是___________.
【答案】或
【解析】
【分析】先对不等式进行因式分解，再根据m和1的大小关系进行分类讨论，结合题意，即可求解.
【详解】由得：，
①当时，不等式的解集为：，
因为解集中恰有3个整数，所以；
②当时，不等式的解集为，不符合题意；
③当时，不等式的解集为：，
因为解集中恰有3个整数，所以；
综上所述：实数m的取值范围是：或.
故答案为：或
14. 已知函数，，则________
【答案】，且
【解析】
【分析】根据已知关系及解析式直接写出的解析式，并标注函数的定义域.
【详解】由，且，可得且，
所以，其定义域为且.
故答案为：，且
四、解答题：（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
15. 已知集合或.
（1）若，求实数的取值范围；
（2）若，求实数的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据集合的并集运算即可列不等式求解，
（2）根据包含关系列不等式求解.
【小问1详解】
因为或
所以，解得，
所以实数的取值范围是.
【小问2详解】
或，
由得当时，，解得；
当时，，即，
要使，则，得.
综上，.
16. 设集合，．
（1）若，求实数的值；
（2）若，求实数的取值范围．
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】（1）求出集合、，由可得出关于的等式，进而可求得实数的值；
（2）求得集合，由可得出实数所满足的不等式组，进而可解得实数的取值范围.
【详解】（1），，
，且，
所以，，解得；
（2），，则或.
又，所以，解得.
因此，实数的取值范围是.
【点睛】本题考查利用集合的运算结果求参数，同时也考查了一元二次不等式的解法，考查计算能力，属于基础题.
17. 已知二次函数的图像过点和原点，对于任意，都有．
（1）求函数的表达式；
（2）设，若函数≥在上恒成立，求实数的最大值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由题意得，得，从而恒成立，得，即可求解；
（2）依题意可得，分和两种情况，当时，分离变量进行求解即可.
【小问1详解】
由题意得 ，所以，
因为对于任意，都有，即恒成立，
故，解得，.
所以；
【小问2详解】
由≥得
当时，不等式恒成立；
当时，，
令，则，
即，
当且仅当时，即时，实数取得最大值.
18. 如图，要设计一张矩形广告牌，该广告牌含有大小相等的左右两个矩形栏目即图中阴影部分，这两栏的面积之和为，四周空白的宽度为，两栏之间的中缝空白的宽度为，设广告牌的高为．
（1）求广告牌的面积y关于x的表达式；
（2）如何设计才能使广告牌的面积最小，并求出最小值．
【答案】（1）；（2）设计广告牌的高度为时广告牌的面积最小，且最小值为．
【解析】
【分析】（1）设广告牌的宽为，则由题意可得，且，从而可求得广告牌的面积y关于x的表达式；
（2）由（1）可得，然后利用基本不等式求解即可
【详解】解：（1）依题意设广告牌的宽为，则，
所以，且，
所以广告牌的面积．
（2）由（1）知，
，
当且仅当，即时等号成立．
所以当时，广告牌的面积最小最小值为．
答：设计广告牌的高度为时广告牌的面积最小，且最小值为．
19. 已知函数.
（1）关于的不等式的解集为，求关于的不等式的解集;
（2）已知，当时，，
①若存在正实数a，b，使不等式有解，求的取值范围;
②求的最小值.
【答案】（1）答案见解析
（2）①，②36
【解析】
【分析】（1）由根与系数的关系求出关系，代入所求不等式，分类讨论解集；
（2）由条件得，再利用基本不等式求解问题.
小问1详解】
因为关于的不等式的解集为，
所以，即
所以不等式可转化为，
又，所以，即，
当，即时，解得;
当，即时，解得;
当，即时，解得，
综上所述:当时，不等式的解集为;
当时，不等式的解集为，
当时，不等式的解集为.
【小问2详解】
因为当时，，所以，
即，所以，
①若存在正实数a，b，使不等式有解，则，
，
当且仅当，即时，，
所以，解得或，
即的取值范围是.
②由，可得，
所以
，
当且仅当，即时，等号成立，
所以的最小值为36.
【点睛】关键点点睛：第（2）问中，若存在正实数a，b，使不等式有解，则，利用基本不等式求出，则，可解不等式.