2024-2025学年山东省菏泽市某校高二（上）期末数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年山东省菏泽市某校高二（上）期末数学试卷（含答案），共9页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.抛物线y=4x2的准线方程为( )
A. y=−14B. y=18C. y=116D. y=−116
2.在平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，一以顶点A为端点的三条棱长均为1，且∠BAD=∠A1AD=∠A1AB=60°，则对角线AC1长为( )
A. 6B. 2C. 3D. 2
3.已知双曲线C1过点A(− 15,1)，且与双曲线C2：x2−3y2=1有相同的渐近线，则双曲线C1的标准方程为( )
A. x212−y24=1B. y212−x24=1C. x215−y25=1D. y215−x25=1
4.过定点A的直线(a+1)x−y+2=0与过定点B的直线x+(a+1)y−5a−2=0交于点P(P与A、B不重合)，则△PAB面积的最大值为( )
A. 4B. 92C. 2D. 32
5.等比数列{an}满足a1+a4=94，S6=9S3，bn=lg2an，则数列{bn}的前10项和是( )
A. −35B. −25C. 25D. 35
6.如图，在四棱台ABCD−A1B1C1D1中，底面ABCD是菱形，AA1⊥平面ABCD，AA1=A1B1=12AB=1，∠ABC=π3，则点B到直线A1D的距离为( )
A. 2B. 2 6C. 2 155D. 2 305
7.数列{an}的前n项和为Sn，已知Sn=−n2+8n，则下列说法错误的是( )
A. {an}是递减数列
B. 数列{(−1)nan}的前2025项和为2017
C. a10=−11
D. 设bn=anan+1an+2当且仅当n=2时，数列{bn}的前n项和取最大值
8.如图1所示，双曲线具有光学性质：从双曲线右焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的左焦点．若双曲线E：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，从F2发出的光线经过图2中的A，B两点反射后，分别经过点C和D，且cs∠BAC=−45，AB⊥BD，则E的离心率为( )
A. 52B. 102C. 142D. 5
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知点P在圆(x−3)2+(y−3)2=4上，点A(4,0)、B(0,4)，则下列说法正确的是( )
A. 直线AB与圆相离B. 当∠PBA最大时，|PB|= 6
C. 点P到直线AB的距离最大值为2+ 2D. 点P到直线AB的距离最小值为2− 2
10.如图，棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，E，F分别为棱A1D1，AA1的中点，G为面对角线B1C上一个动点，则下列选项中正确的有( )
A. 三棱锥A1−EFG的体积为定值13
B. 无论点G在线段B1C的什么位置，都有平面EFG⊥平面A1B1CD
C. 线段B1C上存在G点，使平面EFG//平面BDC1
D. G为B1C上靠近B1的四等分点时，直线EG与BC1所成角最小
11.数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，例如：四叶草曲线就是其中一种，其方程为(x2+y2)3=x2y2，则( )
A. 曲线C有两条对称轴
B. 曲线C上的点到原点的最大距离为12
C. 曲线C第一象限上任意一点作两坐标轴的垂线与两坐标轴围成的图形面积最大值为18
D. 四叶草面积小于π4
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知数列{an}的通项公式为an=n2n，则此数列的前n项和Sn= ______．
13.已知椭圆C的其中一个焦点为F(−4,0)，过点F的直线交椭圆C于A、B两点，若AB的中点坐标为(−1,1)，则椭圆C的方程为______．
14.已知实数x，y满足x2+y2=4，则2 (x−1)2+y2+ x2+(y−1)2的最小值为______．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
已知数列{an}中，a1=3，an+1=3anan+2．
(1)证明：数列{1−1an}为等比数列；
(2)求{an}的通项公式；
(3)令bn=an+1an，证明：bn0)，若点P1(2,0)、P2(1,32)在椭圆C上．
(1)求C的方程；
(2)如图所示，记椭圆的左、右顶点分别为A、B，当动点M在定直线x=4上运动时，直线AM、BM分别交椭圆于两点P、Q．
(i)证明：点B在以PQ为直径的圆内；
(ii)求四边形APBQ面积的最大值．
参考答案
1.D
2.A
3.A
4.B
5.C
6.D
7.D
8.B
9.BCD
10.ABD
11.BCD
12.2−n+22n
13.x224+y28=1
14. 17
15.解：(1)由an+1=3anan+2得1an+1=an+23an=23⋅1an+13，
则1−1an+1=23−23⋅1an=231−1an，
所以数列1−1an是首项为1−1a1=23，公比为23的等比数列．
(2)由(1)得1−1an=23×23n−1=23n，
解得：an=11−(23)n=3n3n−2n．
(3)bn=an+1an=3n+13n+1−2n+1⋅3n−2n3n=3⋅(3n−2n)3n+1−2n+1=3⋅(32)n−33⋅(32)n−2=3⋅(32)n−2−13⋅(32)n−2=1−13⋅32n−2.
令fn=3⋅32n−2，n∈1,+∞,
因为fn=3⋅32n−2在n∈1,+∞上单调递增，
则fn≥f1=3×32−2=52>0．
所以数列13⋅(32)n−2在n∈N∗上单调递减，从而数列bn在n∈N∗上单调递增，
且bn0，
则直线l为x=ky+2k+4，
即x−4=k(y+2)，过定点(4,−2)．
17.(1)证明：如图，设M为PD的中点，连接FM，CM，
因为F是PE中点，所以FM//ED，且FM=12ED，
因为AD//BC，AB=BC=1，AD=3，DE=PE=2，
所以四边形ABCE为平行四边形，BC/​/ED，且BC=12ED，
所以FM/​/BC，且FM=BC，
即四边形BCMF为平行四边形，
所以BF//CM，
因为BF⊄平面PCD，CM⊂平面PCD，
所以BF/​/平面PCD．
(2)解：因为AB⊥平面PED，
所以CE⊥平面PED，EP，ED，EC相互垂直，
以E为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则P(0,0,2)，A(0,−1,0)，B(1,−1,0)，C(1,0,0)，D(0,2,0)，
所以AB=(1,0,0)，AP=(0,1,2)，PC=(1,0,−2)，CD=(−1,2,0)，
设平面PAB的一个法向量为m=(x1,y1,z1)，
则m⋅AB=x1=0m⋅AP=y1+2z1=0，取z1=−1，则m=(0,2,−1)，
设平面PCD的一个法向量为n=(x2,y2,z2)，
则n⋅PC=x2−2z2=0n⋅CD=−x2+2y2=0，取z2=1，则n=(2,1,1)，
设平面PAB与平面PCD夹角为θ，
则csθ=m⋅n|m|⋅|n|=2−1 5× 6=1 30= 3030．
18.证明：(1)∵an+2=2an+1+3an，∴an+2+an+1=3an+1+3an，
又bn=an+1+an．
∴bn+1=3bn，b1=a1+a2=1+2=3，
∴数列{bn}是等比数列，首项为3，公比为3，
∴bn=3n．
(2)数列{bn}的前n项和为Sn=3(3n−1)3−1=3(3n−1)2．
94bnSn⋅Sn+1=3n(3n−1)(3n+1−1)=12(13n−1−13n+1−1)，
∴数列{94bnSn⋅Sn+1}的前n项和为Tn=12(13−1−132−1+132−1−133−1+……+13n−1−13n+1−1)
=12(12−13n+1−1)