2024-2025学年湖南省名校联考联合体高二（上）期末数学试卷（A卷）（含答案）

这是一份2024-2025学年湖南省名校联考联合体高二（上）期末数学试卷（A卷）（含答案），共10页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合A={x∈Z|−10)，则下列说法正确的是( )
A. f(x)的最小值为ea+1
B. 若x>a，f(x)的最小值为a+4，且2a∈(n0,n0+1)，n0∈N，则n0=1(参考e3=20.09)
C. 若g(x)=f(x)−eax−a(x>a)，则g(x)≥e
D. 若f(x)=ka有两根，则k的取值范围为(e2,+∞)
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知等差数列an的前n项和为Sn，3S4−4S3=3，则d= ______．
13.曲线f(x)=x+1+ln(x+1)在x=0处的切线方程为______．
14.如图，在平面直角坐标系xOy中，设A1，A2，B1，B2为椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的四个顶点，R为线段OA2靠近原点O处的三等分点，若点B2关于直线B1R的对称点M恰好在椭圆上，则该椭圆的离心率为______．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
已知△ABC的三个顶点分别为A(0,1)，B(1,2)，C(4,3)．
(1)求△ABC的面积；
(2)求△ABC的外接圆M的方程，并求这个圆的圆心坐标和半径．
16.(本小题12分)
已知函数f(x)=lnxax．
(1)当a>0时，求y=f(x)的单调区间；
(2)若g(x)=f(x)−x有两个零点，求a的取值范围．
17.(本小题12分)
如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，底面ABC是边长为2的等边三角形，AA1=4，AA1⊥AC，∠BAA1=60°，D是CC1的中点．
(1)求证：平面ACC1A1⊥平面BAD；
(2)求平面ABC与平面AB1C1夹角的余弦值．
18.(本小题12分)
已知双曲线x22−y24=1与直线l：y=kx+m(k≠± 2)有唯一的公共点M，过点M且与l垂直的直线分别交x轴、y轴于A(x,0)，B(0,y)两点．
(1)求直线AB的方程(用k，m表示)；
(2)当点M运动时，求点P(x,y)(P的横坐标为A的横坐标，P的纵坐标为B的纵坐标)的轨迹E的方程；
(3)已知点Q(3 2,0)，若直线ST不过点Q且与曲线E相交于S，T两点，并且有QS⋅QT=0，问是否存在直线ST使得△QST的面积为72？若存在，求出此时直线ST的方程；若不存在，请说明理由．
19.(本小题12分)
若正整数数列xn满足：对任意的n∈N∗，都有xn−xn−1>xn−1−xn−2(n≥3)恒成立，则称数列为“差增数列”．
(1)若1，a，b，8为“差增数列”，写出所有可能的a，b；
(2)若“差增数列”{xn}满足：x1=1，xk=2024，求k的最大值；
(3)对所有可能的“差增数列”xn，记T=max{x1,x2,…,x2024}(maxM表示数集M中的最大值)，求T的最小值．
参考答案
1.C
2.B
3.A
4.C
5.D
6.A
7.D
8.A
9.ACD
10.ABD
11.BC
12.12
13.2x−y+1=0
14. 63或 306
15.解：(1)由题意△ABC的三个顶点分别为A(0,1)，B(1,2)，C(4,3)，
可得|AB|= (1−0)2+(2−1)2= 2，
边AB所在直线l的方程为y−21−2=x−10−1，即x−y+1=0，
点C(4,3)到直线l：x−y+1=0的距离为d=|4−3+1| 12+(−1)2= 2，
所以S△ABC=12× 2× 2=1．
(2)设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，
由题意得1+E+F=0,5+D+2E+F=0,25+4D+3E+F=0,∴D=−8，E=4，F=−5，
∴所求圆的方程为x2+y2−8x+4y−5=0，
即(x−4)2+(y+2)2=25，
∴所求圆的圆心坐标是(4,−2)，半径r=5．
16.解：(1)函数f(x)的定义域为(0,+∞)，f′(x)=1x⋅ax−lnx⋅a(ax)2=a−alnxa2x2=1−lnxax2，
令f′(x)=0，即1−lnxax2=0，解得x=e．
当x>e时，1−lnx0，则f′(x)0，函数f(x)在(0,e)上单调递增；
综上，函数f(x)的单调增区间为(0,e)，单调减区间为(e,+∞)．
(2)由题意f(x)−x=0在(0,+∞)上有两个不同的根．
由lnxax−x=0，可得a=lnxx2，
令ℎ(x)=lnxx2,x∈(0,+∞)，
则问题转化为y=a与y=ℎ(x)的图象有两个交点．
ℎ′(x)=1x⋅x2−lnx⋅2x(x2)2=x−2xlnxx4=1−2lnxx3，
令ℎ′(x)=0，解得x= e．
当x> e时，1−2lnx0，则ℎ′(x)0，则ℎ′(x)>0，函数ℎ(x)在(0, e)上单调递增；
所以ℎ(x)在x= e处取得极大值，也是最大值，ℎ( e)=ln e( e)2=12e=12e，
当x→0+时，lnx→−∞，x2→0+，则ℎ(x)=lnxx2→−∞，
当x→+∞时，lnx的增长速度远慢于x2的增长速度，所以ℎ(x)=lnxx2→0．
因为y=a与y=ℎ(x)的图象有两个交点，所以02b，
又因为a，b∈N∗，所以所有可能的a，b为：
a=1b=2，或a=1b=3，或a=1b=4，或a=2b=4；
(2)当k≥2时，xk=2024=x1+(x2−x1)+...+(xk−1−xk−2)+(xk−xk−1)
≥1+0+1+2+3+...+k−2=1+12(k−1)(k−2)，
即2023≥12(k−1)(k−2)，k∈N∗，
当k=65时，12(k−1)(k−2)=2016，当k=66时，12(k−1)(k−2)=2028，
当k=65时，x65=1+0+1+2+3+...+62+70=2024，
所以正整数k的最大值为65．
(3)令yi=xi+1−xi，由题知，yk−yk−1≥1(2≤k≤n−1)，
则xm+k−xk=(xm+k−xm+k−1)+(xm+k−1−xm+k−2)+...+(xk+1−xk)≥m，
此时有(x1+x2024)−(x1012+x1013)=(x2024−x1013)−(x1012−x1)
=(y1013+y1014+...+y2023)−(y1+y2+...+y1011)
=(y1013−y1)+(y1014−y2)+...+(y2023−y1011)≥1012×1011，
所以T≥x1+x20242≥x1012+x1013+1012×10112≥2+1012×10112=511567，
当y1=−1011，y2=−1010，…，y1011=−1，y1012=0，y1013=1，…，y2023=1011时，
取x1012=1，则x1013=1，x1>x2>x3>...>x1012，x1013