2024-2025学年湖北省荆州中学高二下学期2月月考数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年湖北省荆州中学高二下学期2月月考数学试卷（含答案），共9页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.在数列an中，若a1=1，an+1=42−an，则a101=( )
A. −12B. 1C. 4D. −2
2.已知函数fx=x3+3ax2+bx+a2在x=−1处取得极值0，则f′1=( )
A. 6B. 12C. 24D. 12或24
3.圆x2+y2−4mx+2y+3m2+2m+4=0的圆心在第三象限，则m的取值范围为( )
A. (−∞,−1) B. (−∞,0) C. (−1,3) D. (−∞,−1)∪(3,+∞)
4.类比椭圆的方程x24+y2=1我们可以得到一个新的曲线方程C:x416+y4=1，曲线C上的点到原点O的距离平方最大值为( )
A. 1B. 2 2C. 15D. 17
5.设A(−2,2),B(1,1)，若直线ax+y+1=0与线段AB有交点，则a的取值范围是( )
A. −∞,−32∪[2,+∞)B. −32,2
C. (−∞,−2]∪32,+∞D. −2,32
6.已知F1，F2分别是双曲线C:x2a2−y2b2=1a>0,b>0的左、右焦点，点P，Q分别在C的左、右两支上，且满足F1P//F2Q，PF1⊥PF2，F2Q=2F2P，则C的离心率为( )
A. 302B. 293C. 294D. 305
7.已知数列an满足a1=33,an+1−an=2n，则ann的最小值为( )
A. 212B. 2 33−1C. 535D. 335
8.若2x−1≥ax恒成立，则实数a的取值范围是( )
A. (−∞,ln2]B. [0,ln2]C. (−∞,1]D. 0,1
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.记数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=n2+n(n∈N∗)，则( )
A. a3=6
B. 数列{Snan}是公差为1的等差数列
C. 数列{1Sn}的前n项和为nn+1
D. 数列{(−1)nan}的前2025项的和为−2024
10.(多选)已知函数fx=x−2exx，则( )
A. 函数fx无最小值
B. 函数fx有两个零点
C. 直线y=kx+1与函数fx的图象最多有3个公共点
D. 经过点2,0可作fx图象的1条切线
11.直四棱柱ABCD−A1B1C1D1的所有棱长都为4，∠BAD=π3，点P在四边形BDD1B1及其内部运动，且满足PA+PC=8，则( )．
A. 存在点P使得C1P//平面AB1D1
B. 直线AP与平面BDD1B1所成的角为定值
C. 点P到平面AB1D1的距离的最小值为2 217
D. 直线AA1与C1P所成角的范围为π6,π3
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.函数fx=sinxsinx+csx，则f′π4=
13.已知拋物线C:y2=2pxp>0的焦点为F，过F斜率为 3的直线交抛物线C于A,B两点，A在第一象限，则AFBF= ．
14.“雪花曲线”是瑞典数学家科赫在1904年研究的一种分形曲线.如图2是“雪花曲线”的一种形成过程：从一个正三角形开始，把每条边分成三等份，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边，重复进行这一过程．

如图，若第1个图中三角形的边长为1，则第3个图形的周长为 ；第n个图形的面积为 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
已知函数fx=lnx+12ax2+1a∈R．
(1)当a=2时，求函数y=fx在点1,f1处的切线方程；
(2)当a=−2时，求函数y=fx的单调区间．
16.(本小题12分)
已知数列an是公差为正的等差数列，a2=5，且a1+1，a3−2，a4+1成等比数列，若数列bn前n项和为Sn，并满足Sn=32bn+2n−32n∈N∗．
(1)求数列an，bn的通项公式．
(2)若cn=13an+12−bn，求数列cn的前n项和Tn．
17.(本小题12分)
已知函数f(x)=alnx+12x2−(a+1)x+a(a∈R且a≠0)
(1)讨论函数f(x)的单调性；
(2)若f(x)有两个零点，求a的取值范围．
18.(本小题12分)
如图，在四棱锥S−ABCD中，平面SAD⊥平面ABCD，SA=SD=AD=2，四边形ABCD为正方形，E为AD的中点，F为SB上一点，M为BC上一点，且平面EFM//平面SCD．

(1)求证：M为线段BC中点；
(2)求二面角S−BC−D的正切值；
(3)在棱SC上是否存在点N，使得平面DMN⊥平面ABCD？若存在，求CNCS；若不存在，说明理由．
19.(本小题12分)
设an是等差数列，其前n项和Sn，bn是等比数列，且a1=b1=3，a4=b2，S3=15．
(1)求an与bn的通项公式；
(2)设cn=anbn,n为奇数(3−4n)bnan−1⋅an+1,n为偶数，求数列cn的前2n项和T2n；
(3)若对于任意的n∈N∗不等式nan+1−λan−1n+2−120，
则f′x=1x−2x=−2x2+1x，x>0，
令f′x=0，解得x= 22或x=− 22(舍)，
则
∴fx的增区间为0, 22，减区间为 22,+∞．

16.【详解】(1)设公差为d，由a1+1，a3−2，a4+1成等比数列，
故a3−22=a1+1a4+1，即5+d−22=5−d+15+2d+1，化简得d2=9，
由于d>0，故d=3，因此an=a2+n−2d=3n−1，
由Sn=32bn+2n−32n∈N∗可得n≥2时Sn−1=32bn−1+2n−1−32，
两式作差可得bn=32bn−32bn−1+2⇒bn−2=3bn−1−2，
令n=1，则S1=32b1+2−32，故b1=−1，
因b1−2=−3≠0，所以bn−2为等比数列，公比为3，
因此bn−2=−3×3n−1=−3n，故bn=2−3n，
(2)cn=13an+12−bn=13×3n⋅3n=n⋅3n，
Tn=3+2×32+3×33+⋯+n×3n，
3Tn=32+2×33+⋯+n−1×3n+n3n+1，
故−2Tn=3+32+33+⋯+3n−n⋅3n+1=33n−13−1−n⋅3n+1=12−n⋅3n+1−32，
故Tn=12n−14⋅3n+1+34

17.解：(1)f′(x)=ax+x−(a+1)
=x2−(a+1)x+ax=(x−1)(x−a)x(x>0)，
当a0，x∈(0,1)时f′(x)0，所以f(x)在(1,+∞)单调递增;
当00，所以f(x)在(0,1)和(a,+∞)上单调递增，
x∈(1,a)时，f′(x)0，所以f(x)在(0,1)上有唯一零点，符合题意;
当0