2024-2025学年安徽省阜阳市第三中学高二上学期1月期末考试数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年安徽省阜阳市第三中学高二上学期1月期末考试数学试卷（含答案），共8页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设直线l:x−2y+2=0的倾斜角为α，则csα的值为( )
A. 55B. − 55C. 2 55D. −2 55
2.若a,b,c构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是( )．
A. b+c，b，b−cB. a，a+b，a−b
C. a+b，a−b，cD. a+b，a+b+c，c
3.房间里有6盏电灯，分别由6个开关控制，至少开1盏灯用以照明，则不同的方法种数是( )
A. 31B. 32C. 63D. 64
4.设Sn是等比数列an的前n项和，若S3=4，a4+a5+a6=6，则S9S6=( )
A. 32B. 1910C. 53D. 196
5.已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F，抛物线上一点P(1,t)满足PF=2，则抛物线方程为( )
A. y2=14xB. y2=12xC. y2=2xD. y2=4x
6.由直线x−y+4=0上的点向圆(x−1)2+(y−1)2=1引切线，则切线长的最小值为( )
A. 3B. 7C. 2 2D. 2 2−1
7.如图所示，若P为平行四边形ABCD所在平面外一点，H为PC上的点，且PHHC=12，点G在AH上，且AGAH=m.若G，B，P，D四点共面，则m=( )
A. 12B. 14C. 34D. 23
8.设函数fx=x2−a3lnx+x−b.若fx≥0，则a−b的最小值为( )
A. 0B. 1C. 2−3ln2D. 34−3ln32
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知空间中三点A(0,1,1)，B(2,2,1)，C(2,1,0)，则( )
A. BC=2
B. BC方向上的单位向量坐标是0,− 22,− 22
C. n=(1,−2,2)是平面ABC的一个法向量
D. AC在BC上的投影向量的模为 2
10.已知函数f(x)=x3−x+1，则 ( )
A. f(x)有两个极值点B. f(x)有三个零点
C. 点(0,1)是曲线y=f(x)的对称中心D. 直线y=2x是曲线y=f(x)的切线
11.若数列{an}前n项和Sn，满足1ASn+B=1an−1an+1，其中A，B∈R，则称{an}是P(A,B)数列( )
A. 若an=n，则{an}是P(1,0)数列B. 若an=2n，则{an}是P(1,2)数列
C. P(2,0)数列是等差数列D. P(1,B)数列是等比数列
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.数列an满足an+1=2an，且a1=4，则a2023+a2024= ．
13.函数fx=xx−a2的极小值点为2，则实数a的值为 ．
14.设F1，F2是双曲线C:x2a2−y2b2=1a>0,b>0的左、右焦点，点A是双曲线C右支上一点，若△AF1F2的内切圆M的半径为a(M为圆心)，且∃λ∈R，使得AM+3OM=λF1F2，则双曲线C的离心率为 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
已知函数fx=x2−alnx．
(1)若函数fx的图象在点P1,f1处的切线l过坐标原点，求实数a的值；
(2)讨论函数fx的单调性．
16.(本小题12分)
已知数列{an}，{bn}，其中{an}是各项均为正数的等比数列，满足3a1+a2=18，
a42=9a1a5，且bn=2lg3an−1．
(1)求数列{an}，{bn}的通项公式;
(2)设cn=anbn，求数列{cn}的前n项和Sn．
17.(本小题12分)
如图，在三棱柱ABC−DEF中，AD=DE=2，EF=BF= 10，DF=2 3，∠BAD=π3．
(1)证明：平面CBEF⊥平面ABED;
(2)求二面角F−AB−C的正弦值．
18.(本小题12分)
已知椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0的离心率为 22，左､右焦点分别为F1,F2，过F2作直线l与椭圆C交于A,B两点，且▵ABF1的周长为4 2.设AB的中点为P,O为坐标原点，直线OP与直线x=2相交于点Q．
(1)求椭圆C的标准方程．
(2)是否存在直线l使得▵BQF2为等腰三角形？如果存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．
(3)求∠AQB的正弦值的最大值．
19.(本小题12分)
已知函数f(x)定义域为I，D⊆I，若∀x∈D，∃t∈D，当x0在0,+∞上恒成立，
可得函数fx的增区间为0,+∞，没有减区间；
②当a>0时，令f′x>0，可得x> a2，
故函数fx的减区间为0, a2，增区间为 a2,+∞．
综上可知，当a≤0时，fx在0,+∞单调递增；
当a>0时，fx在0, a2上单调递减，在 a2,+∞上单调递增．

16.解：(1)设等比数列an的公比为q，因为a42=9a1a5=9a32，
所以a4=3a3，所以q=a4a3=3．
所以3a1+a2=6a1=18，所以a1=3，
所以an=a1qn−1=3n，所以bn=2lg3an−1=2lg33n−1=2n−1，
所以an=3n，bn=2n−1．
(2)由(1)可得cn=anbn=2n−13n，
所以Sn=1×3+3×32+5×33+⋅⋅⋅+2n−33n−1+2n−13n，
3Sn=1×32+3×33+5×34+⋅⋅⋅+(2n−3)3n+(2n−1)3n+1，
所以−2Sn=3+232+33+34+⋅⋅⋅+3n−2n−13n+1
=3+2×321−3n−11−3−2n−13n+1=3−321−3n−1−2n−13n+1
=−6−2n−23n+1，所以Sn=n−13n+1+3．
17.解：(1)证明：取BE的中点O，连接OD，OF，BD．
四边形ADEB为平行四边形，又因为AD=DE=2，∠BAD=π3，
所以△BDE为等边三角形，所以OD⊥BE，OD= 3，
在△BEF中，OF⊥BE，OF= EF2−OE2=3，
因为OF2+OD2=DF2，所以OF⊥OD，
因为OF∩BE=O，OF、BE⊂平面CBEF，
所以OD⊥平面CBEF，
因为OD⊂平面ABED，所以平面CBEF⊥平面ABED；
(2)以O为坐标原点，分别以OD，OE，OF所在直线为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则C(0,−2,3)，A( 3,−2,0)，B(0,−1,0)，F(0,0,3)，AC=(− 3,0,3)，AB=(− 3,1,0)，
AF=(− 3,2,3)．
设平面FAB的法向量为m=(x1,y1,z1)，平面ABC的法向量为n=(x2,y2,z2)，
则m⋅AF=0m⋅AB=0，即− 3x1+2y1+3z1=0− 3x1+y1=0，令x1= 3，得m=( 3,3,−1)，
则n⋅AC=0n⋅AB=0，即− 3x2+3z2=0− 3x2+y2=0，令x2= 3，得n=( 3,3,1)，
csm,n=m·n|m|·n=11 13· 13=1113，则sinm,n=4 313，
故二面角F−AB−C的正弦值为4 313．
18.【详解】(1)由题意ca= 22,4a=4 2,∴a= 2,c=1,∴b=1,
故椭圆C的标准方程为x22+y2=1．
(2)显然l的斜率不为0，设l的方程为x=my+1,Ax1,y1,Bx2,y2，
联立x22+y2=1x=my+1，得m2+2y2+2my−1=0，
∴y1+y2=−2mm2+2,y1y2=−1m2+2，
∴x1+x2=4m2+2,∴P2m2+2,−mm2+2，
∴kOP=−m2，直线OP的方程为y=−m2x，从而Q2,−m，
∴kQF2=−m,kQF2⋅kAB=−m⋅1m=−1,∴AB⊥QF2，
若▵BQF2为等腰三角形，则BF2=QF2，
又BF2= 1+m2y2,QF2= 1+m2,∴ 1+m2y2= 1+m2,∴y2=±1,x2=0，
∴存在直线l使得▵BQF2为等腰三角形，此时l的方程为x−y−1=0或x+y−1=0．
(3)由(2)知，AB⊥QF2,AF2= 1+m2y1,BF2= 1+m2y2,QF2= 1+m2，
∴tan∠AQF2=AF2QF2=y1，同理tan∠BQF2=y2，
∴tan∠AQB=tan∠AQF2+∠BQF2=y1+y21−y1y2=y1−y21+y1y2=2 2 m2+1m2+2m2+1m2+2=2 2 m2+1≤2 2，
当且仅当m=0时取等号，tan∠AQB最大值时，sin∠AQB取最大值，
最大值时有tan∠AQB=sin∠AQBcs∠AQB=sin∠AQB 1−sin2∠AQB=2 2，
∴sin∠AQB≤2 23，即∠AQB的正弦值的最大值为2 23．
【点睛】关键点点睛：解题的关键点是结合两角和的正切公式结合值域化简得出最大值即可．

19.(1)(i)当a=0时，f(x)=2ln(1+x)−2x，则f′(x)=21+x−2=2−2(1+x)1+x=−2x1+x，
则当x∈(−1,0)时，f′(x)>0，当x∈(0,+∞)时，f′(x)