新高考数学二轮复习核心考点精讲精练专题15 几何体与球切、接、截的问题（讲）（2份，原卷版+解析版）

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1．（2021·全国·统考高考真题）北斗三号全球卫星导航系统是我国航天事业的重要成果．在卫星导航系统中，地球静止同步卫星的轨道位于地球赤道所在平面，轨道高度为（轨道高度是指卫星到地球表面的距离）．将地球看作是一个球心为O，半径r为的球，其上点A的纬度是指与赤道平面所成角的度数．地球表面上能直接观测到一颗地球静止同步轨道卫星点的纬度最大值为，记卫星信号覆盖地球表面的表面积为（单位：），则S占地球表面积的百分比约为（ ）
A．26%B．34%C．42%D．50%
2．（2020·全国·统考高考真题）已知为球的球面上的三个点，⊙为的外接圆，若⊙的面积为，，则球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
3.（2022·全国·统考高考真题）已知球O的半径为1，四棱锥的顶点为O，底面的四个顶点均在球O的球面上，则当该四棱锥的体积最大时，其高为（ ）
A．B．C．D．
总结规律 预测考向
（一）规律与预测
（1）以几何体的结构特征为基础，考查几何体的面积体积计算为主，题型基本稳定为选择题或填空题，难度中等以下；也有几何体的面积或体积在解答题中与平行关系、垂直关系等相结合考查的情况.
（2）与立体几何相关的“数学文化”、实际问题等相结合，考查数学应用.
（3）几何体的表面积与体积是主要命题形式.有时作为解答题的一个构成部分考查几何体的表面积与体积，有时结合面积、体积的计算考查等积变换等转化思想．几何体与球的切、接、截问题，往往是知识考查的载体.
（4）以选择题、填空题的形式考查线线、线面、面面位置关系的判定与性质定理，对命题的真假进行判断，属于基础题.空间中的平行、垂直关系的证明也是高考必考内容，多出现在立体几何解答题中的第（1）问，第（2）问则考查几何体面积、体积的计算.
（二）本专题考向展示

考点突破 典例分析
考向一 空间几何体的外接球
【核心知识】
(1)长方体的外接球直径等于长方体的体对角线长．
(2)三棱锥S－ABC的外接球球心O的确定方法：先找到△ABC的外心O1，然后找到过O1的平面ABC的垂线l，在l上找点O，使OS＝OA，点O即为三棱锥S－ABC的外接球的球心．
(3)正方体的棱长为a，球的半径为R，
①若球为正方体的外接球，则；
②若球为正方体的内切球，则2R＝a；
③若球与正方体的各棱相切，则.
(4)若长方体的同一顶点的三条棱长分别为a，b，c，外接球的半径为R，则.
(5)正四面体的外接球与内切球的半径之比为3∶1.
【典例分析】
典例1. （2022·全国·校联考模拟预测）已知均在球的球面上运动，且满足，若三棱锥体积的最大值为6，则球的体积为（ ）
A．B．C．D．
典例2.（2022秋·河南·高三信阳高中校联考期末）如图，已知长方体的体积为16，，与相交于点，则三棱锥的外接球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
典例3.（2022·四川资阳·统考二模）已知O是边长为3的正三角形ABC的中心，点P是平面ABC外一点，平面ABC，二面角的大小为60°，则三棱锥外接球的表面积为______．
【规律方法】
1.空间几何体的外接球是高中数学的重难点．我们可以通过对几何体的割补或寻求几何体外接球的球心两大策略求解此类问题．
2.关键在于利用几何体的结构特征确定球的球心，利用球的截面的性质，球心和球的截面的中心连线垂直于截面．结合相关几何量之间的数量关系可确定球心．
考向二 空间几何体的内切球
【核心知识】
1．确定锥体内切球球心的方法
（1）内切球球心到多面体各面的距离均相等，外接球球心到多面体各顶点的距离均相等.
（2）正多面体的内切球和外接球的球心重合.
（3）正棱锥的内切球和外接球的球心都在高线上，但不一定重合.
2.多面体的内切球可利用等积法求半径．
【典例分析】
典例4.（2022秋·四川巴中·高三南江中学校考阶段练习）一个圆锥的侧面展开图是半径为的半圆，则此圆锥的内切球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
典例5.（2022秋·山东·高三利津县高级中学校联考阶段练习）已知三棱柱中，，，平面平面，，若该三棱柱存在体积为的内切球，则三棱锥体积为（ ）
A．B．C．2D．4
典例6.（2022秋·广东·高三校联考阶段练习）已知圆台上底面半径为1，下底面半径为3，球与圆台的两个底面和侧面均相切，则该圆台的侧面积与球的表面积之比为（ ）
A．B．C．D．
【总结提升】
空间几何体与球接、切问题的求解方法
(1)确定球心的位置，弄清球的半径(直径)与几何体的位置和数量关系．
(2)求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球心及接、切点作截面，把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解．
(3)补成正方体、长方体、正四面体、正棱柱、圆柱等规则几何体.
考向三 几何体与球切、接、截综合问题
【核心知识】
正四面体与球常用的结论
设正四面体的棱长为ａ，则
（1）正四面体的高为.
（2）正四面体的外接球和内切球的球心均是正四面体的中心，半径分别为和.
【典例分析】
典例7.（多选题）（2022秋·湖北·高三校联考阶段练习）《九章算术》中将底面为矩形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为阳马.已知四棱锥为阳马，底面是边长为2的正方形，其中两条侧棱长都为3，则（ ）
A．该阳马的体积为B．该阳马的表面积为
C．该阳马外接球的半径为D．该阳马内切球的半径为
典例8.（2022·云南昆明·昆明一中校考模拟预测）在三棱锥中，AB=BC=AC=，AP=PB=PC=1，则以点P为球心，以为半径的球被平面ABC截得的图像的面积为___________.
典例9.（2023·全国·高三专题练习）棱长为1的正方体的8个顶点都在球的表面上，，分别为棱，的中点，则经过，球的截面面积的最小值为_________
典例10.（2022·广西·统考一模）已知棱长为8的正方体中，点E为棱BC上一点，满足，以点E为球心，为半径的球面与对角面的交线长为___________.
典例11.（2022秋·四川绵阳·高三绵阳中学校考阶段练习）如图为某公园供游人休息的石凳，它可以看做是一个正方体截去八个一样的四面体得到的，它的表面是由正三角形和正方形组成，设被截正方体的棱长为2a，若球О以该几何体的中心为球心，且与正三角形表面相切，则该球被其中一个正方形表面截得的截面面积为__________.
典例12.（2022秋·湖北·高三湖北省红安县第一中学校联考阶段练习）球体在工业领域有广泛的应用，某零件由两个球体构成，球的半径为为球表面上两动点，为线段的中点.半径为2的球在球的内壁滚动，点在球表面上，点在截面上的投影恰为的中点，若，则三棱锥体积的最大值是___________.
【规律方法】
1.与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．球与旋转体的组合通常是作它们的轴截面解题，球与多面体的组合，通过多面体的一条侧棱和球心，或“切点”、“接点”作出截面图，把空间问题化归为平面问题．
2．若球面上四点P，A，B，C中PA，PB，PC两两垂直或三棱锥的三条侧棱两两垂直，可构造长方体或正方体确定直径解决外接问题．
3.几何体的外接球
一个多面体的顶点都在球面上即为球的外接问题，解决这类问题的关键是抓住外接球的特点，即球心到多面体的顶点的距离等于球的半径.
4.几何体的内切球
求解多面体的内切球问题，一般是将多面体分割为以内切球球心为顶点，多面体的各侧面为底面的棱锥，利用多面体的体积等于各分割棱锥的体积之和求内切球的半径.