2024-2025学年河南省新乡市长垣一中九年级（上）期末数学试卷（含详解）

这是一份2024-2025学年河南省新乡市长垣一中九年级（上）期末数学试卷（含详解），共27页。试卷主要包含了填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）《周易》被誉为中华文化的瑰宝，其中包含了丰富的哲学思想和智慧．如图为易经中部分“卦”的符号，其中是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
2．（3分）若x＝1是一元二次方程x2+x+m＝0的一个根，则方程的另一个根是（ ）
A．2B．﹣2C．4D．﹣4
3．（3分）截至2024年，长垣市建筑防腐企业1335家，全行业从业人员突破10万大关，长垣市防腐产业不仅占据了国内70%以上的市场份额，年产值达468.79亿元亿元，是长垣市名副其实的支柱型产业．数据“468.79亿”用科学记数法表示为（ ）
A．468.79×108B．46.879×109
C．4.6879×1010D．0.46879×1011
4．（3分）如图为天气预报网站显示的“长垣市2025年1月30日的降水概率为73%”，对这条信息的下列说法中，正确的是（ ）
A．1月30日长垣市将有73%的时间下雨
B．1月30日长垣市将有73%的地区下雨
C．1月30日长垣市下雨的可能性较大
D．1月30日长垣市最高气温一定为8℃
5．（3分）如图，已知AB∥CD∥EF，若AC＝6，CE＝3，DF＝2.5，则BD的长为（ ）
A．3B．5C．5.5D．6
6．（3分）在4×4网格中，∠α的位置如图所示，则sinα的值为（ ）
A．255B．55C．2D．12
7．（3分）如图，某小区计划在一块长为32m，宽为20m的矩形空地上修建三条同样宽的道路，剩余的空地上种植草坪，使草坪的面积为570m2．设道路的宽为x m，则下面所列方程正确的是（ ）
A．（32﹣x）（20﹣x）＝32×20﹣570
B．32x+2×20x＝32×20﹣570
C．（32﹣2x）（20﹣x）＝570
D．32x+2×20x﹣2x2＝570
8．（3分）如图，⊙O的半径为15，弦AB＝18，点M是弦AB上的动点且点M不与点A、B重合，若OM的长为整数，则这样的点M有几个？（ ）
A．3B．4C．5D．6
9．（3分）某同学在用函数模型研究问题时观察到x与y的几组对应值：
由此作出以下判断
①可能是一次函数关系；
②可能是反比例函数关系；
③可能是二次函数关系．
你认为正确描述的序号应该是（ ）
A．①②B．①③C．②③D．①②③
10．（3分）如图①，在正方形ABCD中，点E是AB的中点，点P是对角线AC上一动点，设PC＝x，PE+PB＝y，图②是y关于x的函数图象，且图象上最低点Q的纵坐标可能是（ ）
A．5B．2C．3D．35
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．（3分）已知：点A（2024，﹣2025）与点B（a，b）关于原点O成中心对称，则a+b＝ ．
12．（3分）如图，点A是反比例函数y=kx（k＜0）的图象上的一点，过点A作AB⊥x轴，垂足为B，点C为y轴上的一点，连接AC，BC．若△ABC的面积为5，则k的值是 ．
13．（3分）元旦前夕许多人相聚郑州二七纪念塔迎接新年，在庄重的钟声中，牢记历史，传承红色基因，共同奋进，创造美好的明天．如图是二七塔周边部分通行路线示意图，小明从入口A进入，行至每个岔路口选择前方两条线路的可能性相同，则小明从F口走出的概率是 ．
14．（3分）长垣自古有三善之地，君子之乡的美誉．借助如图的正方形习字格书写的汉字“善”端庄稳重、舒展美观．已知一条分割线的端点A，B分别在习字格的边MP，NQ上，且AB∥MN，“善”字的笔画“、”的位置在AB的黄金分割点C处，且BCAB=5−12，若MN＝4cm，则BC的长为 cm（结果保留根号）．
15．（3分）如图所示在矩形ABCD中，AB长为5，AC长为10，以C为圆心，AC长为半径作弧，交BD于点E，则图中扇形ACE的面积为 ．
三、解答题（本大题共8个小题，满分75分）
16．（10分）解方程：
（1）x2﹣3x﹣1＝0．
（2）x2﹣4x+3＝0．
17．（9分）【问题情境】我们美丽的校园中植物千姿百态，某小组小张，小娟，小东三位同学观察中发现：植物叶子通常有着不同的特征．如果用数学的眼光来观察，会有什么发现呢？于是三位同学共同开展了“利用树叶特征对树木进行分类”的项目化学习活动．
【实践发现】该小组的同学从收集的杨树叶、杏树叶中各随机选取了10片，通过测量它们长和宽（单位：cm）的数据后，再计算了它们的长宽比，整理数据如下：
【实践探究】分析数据如下：
【问题解决】填空：
（1）上述表格中：a＝ ，b＝ ；
（2）这两种树叶从长宽比的角度看， 树叶的形状差别比较小；一片长为11.5cm，宽为5cm的树叶，这片树叶来自于 树的可能性比较大．
（3）三名同学决定由两名同学作代表展示以上发现，若每位同学选中机会均等，请你用列表法或树状图求出恰好小娟小东被选中的概率为多少？
18．（8分）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l：y＝k1x+b与函数y=k2x(x＞0)的图象的两个交点分别为A（2，8）和B（8，2）．
（1）求直线l：y＝k1x+b与函数y=k2x(x＞0)的解析式；
（2）过点P（n，0）作x轴的垂线，与直线l：y＝k1x+b和函数y=k2x(x＞0)的图象的交点分别为点M，N，当点M在点N上方时，直接写出n的取值范围．
19．（9分）下面是小李设计的“过圆外一点作圆的一条切线”的尺规作图的过程．
已知：如图1，⊙O及圆外一点P．
求作：过点P作⊙O的一条切线．
作法：①连接OP；
②作OP的垂直平分线，交OP于点A；
③以A为圆心，OA的长为半径作弧，交⊙O于点B；
④作直线PB．
即直线PB为所求作的一条切线．
根据上述尺规作图的过程，回答以下问题：
（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；
（2）该作图中．可以得到∠OBP＝ °；
依据： ．
20．（9分）如图是我市某小区地下停车库入口的设计示意图，为保证社区居民安全，物业按规定执行人车分流，机动车不允许在小区地面行驶，如图为某装满家具的小型货车，车载满家具最高处为2.5m，需要从地下车库进入小区．已知AB⊥BD，坡道AD的坡度i＝1：2.4（指坡面的铅直高度BD与水平宽度AB的比），AB＝7.2m，点C在BD上，BC＝0.4m，CE⊥AD．按规定，地下停车库坡道口上方要张贴限高标志，以便告知停车人车辆能否安全驶入，请根据以上数据，求出该地下停车库限高CE的长，并通过计算分析该货车能否安全通过地下车库？
21．（9分）学校要围一个矩形花圃，花圃的一边利用足够长的墙，另三边用总长为20米的篱笆恰好围成（如图所示）．设矩形的一边AB的长为x米（要求AB＜AD），矩形ABCD的面积为S平方米．
（1）求S与x之间的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围；
（2）要想使花圃的面积最大，AB边的长应为多少米？
22．（10分）如图，二次函数y＝ax2+bx+c经过点A（﹣1，0），B（3，0），C（0，﹣3），点D是抛物线的顶点，过D作x轴的垂线交直线BC于点E．
（1）求点D坐标；
（2）求△CDE面积．
23．（11分）综合与探究：如图，∠AOB＝90°，点P在∠AOB的平分线上，PA⊥OA于点A．
（1）【操作判断】
如图①，过点P作PC⊥OB于点C，根据题意在图①中画出PC，图中∠APC的度数为 度；
（2）【问题探究】
如图②，点M在线段AO上，连接PM，过点P作PN⊥PM交射线OB于点N，判断线段OM、ON、PA数量关系并证明；
（3）【拓展延伸】
点M在射线AO上，连接PM，过点P作PN⊥PM交射线OB于点N，射线NM与射线PO相交于点F，若ON＝2OM，请直接写出OPOF的值．
2024-2025学年河南省新乡市长垣一中九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的．
1．（3分）《周易》被誉为中华文化的瑰宝，其中包含了丰富的哲学思想和智慧．如图为易经中部分“卦”的符号，其中是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：A、是中心对称图形，符合题意；
B、不是中心对称图形，不符合题意；
C、不是中心对称图形，不符合题意；
D、不是中心对称图形，不符合题意；
故选：A．
2．（3分）若x＝1是一元二次方程x2+x+m＝0的一个根，则方程的另一个根是（ ）
A．2B．﹣2C．4D．﹣4
【解答】解：设方程另一个根为x＝t，根据题意得t+1＝﹣1，
解得t＝﹣2，
则方程的另一个根是﹣2．
故选：B．
3．（3分）截至2024年，长垣市建筑防腐企业1335家，全行业从业人员突破10万大关，长垣市防腐产业不仅占据了国内70%以上的市场份额，年产值达468.79亿元亿元，是长垣市名副其实的支柱型产业．数据“468.79亿”用科学记数法表示为（ ）
A．468.79×108B．46.879×109
C．4.6879×1010D．0.46879×1011
【解答】解：468.79亿＝46879000000＝4.6879×1010．
故选：C．
4．（3分）如图为天气预报网站显示的“长垣市2025年1月30日的降水概率为73%”，对这条信息的下列说法中，正确的是（ ）
A．1月30日长垣市将有73%的时间下雨
B．1月30日长垣市将有73%的地区下雨
C．1月30日长垣市下雨的可能性较大
D．1月30日长垣市最高气温一定为8℃
【解答】解：降水概率指的是下雨的可能性情况．
故选：C．
5．（3分）如图，已知AB∥CD∥EF，若AC＝6，CE＝3，DF＝2.5，则BD的长为（ ）
A．3B．5C．5.5D．6
【解答】解：∵AB∥CD∥EF，
∴BDDF=ACCE，
∵AC＝6，CE＝3，DF＝2，
∴BD2.5=63，
∴BD＝5．
故选：B．
6．（3分）在4×4网格中，∠α的位置如图所示，则sinα的值为（ ）
A．255B．55C．2D．12
【解答】解：如图：
由网格的特征可知，△ABC是直角三角形，
∴AB=AC2+BC2=22+12=5，
∴sinα=ACAB=25=255，
故选：A．
7．（3分）如图，某小区计划在一块长为32m，宽为20m的矩形空地上修建三条同样宽的道路，剩余的空地上种植草坪，使草坪的面积为570m2．设道路的宽为x m，则下面所列方程正确的是（ ）
A．（32﹣x）（20﹣x）＝32×20﹣570
B．32x+2×20x＝32×20﹣570
C．（32﹣2x）（20﹣x）＝570
D．32x+2×20x﹣2x2＝570
【解答】解：∵道路的宽为x m，
∴种植草坪的部分可合成长为（32﹣2x）m，宽为（20﹣x）m的矩形．
根据题意得：（32﹣2x）（20﹣x）＝570．
故选：C．
8．（3分）如图，⊙O的半径为15，弦AB＝18，点M是弦AB上的动点且点M不与点A、B重合，若OM的长为整数，则这样的点M有几个？（ ）
A．3B．4C．5D．6
【解答】解：如图，过点O作OP⊥AB于点P，连接OA，
∵弦AB＝18，
∴AP=12AB＝9，
∵OA＝15，
∴OP=OA2−AP2=12，
∴OM的最短距离为OP，最长距离为OA，
∵点M是弦AB上的动点且点M不与点A、B重合，
∴12≤OM＜15，
∵OM的长为整数，
∴OM可取12，13，14，
即这样的点M有5个，
故选：C．
9．（3分）某同学在用函数模型研究问题时观察到x与y的几组对应值：
由此作出以下判断
①可能是一次函数关系；
②可能是反比例函数关系；
③可能是二次函数关系．
你认为正确描述的序号应该是（ ）
A．①②B．①③C．②③D．①②③
【解答】解：由表中数据可知，三个点不在同一直线上，故①错误；
设y与x的关系为二次函数，设y＝ax2+bx+c，
则a+b+c=44a+2b+c=216a+4b+c=1，
解得：a=12b=−72c=7，
∴y=12x2−72x+7，故③正确；
三个点的横坐标和纵坐标的积都为4，故都在反比例函数y=4x图象上，故②正确；
故选：C．
10．（3分）如图①，在正方形ABCD中，点E是AB的中点，点P是对角线AC上一动点，设PC＝x，PE+PB＝y，图②是y关于x的函数图象，且图象上最低点Q的纵坐标可能是（ ）
A．5B．2C．3D．35
【解答】解：如图，连接PD，
∵B、D关于AC对称，
∴PB＝PD，
∴PB+PE＝PD+PE，
∴当D、P、E共线时，PE+PB的值最小，
观察图象可知，当点P与A重合时，PE+PB＝9，
∴AE＝EB＝3，AD＝AB＝6，
在Rt△AED中，DE=62+32=35，
∴PB+PE的最小值为35，
∴点Q的纵坐标为35，
∵AE∥CD，
∴PCAP=CDAE=2，
∵AC＝62，
∴CP＝62×23=42，
∴点Q的横坐标为42，
∴点Q的坐标为（42，35）．
故选：D．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．（3分）已知：点A（2024，﹣2025）与点B（a，b）关于原点O成中心对称，则a+b＝ 1 ．
【解答】解：∵点A（2024，﹣2025）与点B（a，b）关于原点O成中心对称，
∴a＝﹣2024，b＝﹣（﹣2025）＝2025，
∴a+b＝﹣2024+2025＝1．
故答案为：1．
12．（3分）如图，点A是反比例函数y=kx（k＜0）的图象上的一点，过点A作AB⊥x轴，垂足为B，点C为y轴上的一点，连接AC，BC．若△ABC的面积为5，则k的值是 ﹣10 ．
【解答】解：连接AO，
∵AB⊥x轴，
∴AB∥y轴，
∴S△ABO＝S△ABC＝5．
又∵点A在反比例函数的图象上，
∴|k|2=5．
又∵k＜0，
∴k＝﹣10．
故答案为：﹣10．
13．（3分）元旦前夕许多人相聚郑州二七纪念塔迎接新年，在庄重的钟声中，牢记历史，传承红色基因，共同奋进，创造美好的明天．如图是二七塔周边部分通行路线示意图，小明从入口A进入，行至每个岔路口选择前方两条线路的可能性相同，则小明从F口走出的概率是 14 ．
【解答】解：画树状图如下：
共有4种等可能的结果，其中小明从F口走出的结果有1种，
∴小明从F口走出的概率为14．
故答案为：14．
14．（3分）长垣自古有三善之地，君子之乡的美誉．借助如图的正方形习字格书写的汉字“善”端庄稳重、舒展美观．已知一条分割线的端点A，B分别在习字格的边MP，NQ上，且AB∥MN，“善”字的笔画“、”的位置在AB的黄金分割点C处，且BCAB=5−12，若MN＝4cm，则BC的长为 25−2 cm（结果保留根号）．
【解答】解：∵分割线的端点A，B分别在习字格的边MP，NQ上，且AB∥MN，四边形NMPQ为正方形，
∴AB＝MN，
∵MN＝4cm，
∴AB＝4cm，
∵BCAB=5−12，
∴BC=5−12×4=25−2（cm）．
故答案为：25−2．
15．（3分）如图所示在矩形ABCD中，AB长为5，AC长为10，以C为圆心，AC长为半径作弧，交BD于点E，则图中扇形ACE的面积为 25π ．
【解答】解：∵四边形ABCD为矩形，
∴BD∥AC，CD＝AB＝5，
在Rt△CDE中，∵CE＝AC＝10，CD＝5，
∴sin∠CED=CDCE=510=12，
∴∠CED＝30°，
∵BD∥AC，
∴∠ACE＝∠CED＝30°，
∴图中扇形ACE的面积=90×π×102360=25π．
故答案为：25π．
三、解答题（本大题共8个小题，满分75分）
16．（10分）解方程：
（1）x2﹣3x﹣1＝0．
（2）x2﹣4x+3＝0．
【解答】解：（1）x2﹣3x﹣1＝0，
∵a＝1，b＝﹣3，c＝﹣1，
∴Δ＝（﹣3）2﹣4×1×（﹣1）＝13＞0，
∴x=3±132×1=3±132，
∴x1=3+132，x2=3−132；
（2）x2﹣4x+3＝0．
（x﹣1）（x﹣3）＝0，
∴x﹣1＝0或x﹣3＝0，
∴x1＝1，x2＝3．
17．（9分）【问题情境】我们美丽的校园中植物千姿百态，某小组小张，小娟，小东三位同学观察中发现：植物叶子通常有着不同的特征．如果用数学的眼光来观察，会有什么发现呢？于是三位同学共同开展了“利用树叶特征对树木进行分类”的项目化学习活动．
【实践发现】该小组的同学从收集的杨树叶、杏树叶中各随机选取了10片，通过测量它们长和宽（单位：cm）的数据后，再计算了它们的长宽比，整理数据如下：
【实践探究】分析数据如下：
【问题解决】填空：
（1）上述表格中：a＝ 2.15 ，b＝ 1.5 ；
（2）这两种树叶从长宽比的角度看， 杏 树叶的形状差别比较小；一片长为11.5cm，宽为5cm的树叶，这片树叶来自于 杨 树的可能性比较大．
（3）三名同学决定由两名同学作代表展示以上发现，若每位同学选中机会均等，请你用列表法或树状图求出恰好小娟小东被选中的概率为多少？
【解答】解：（1）将杨树叶的长宽比重新排列为1.7、1.8、2、2.1、2.1、2.2、2.4、2.4、2.4、2.8，
所以其中位数a=2.1+2.22=2.15，
杏树叶的长宽比的众数b＝1.5，
故答案为：2.15，1.5；
（2）由表知，杏树叶的长宽比的方差小于杨树叶长宽比的方差，
所以这两种树叶从长宽比的角度看，杏树叶的形状差别比较小；
11.5÷5＝2.3，
所以这片树叶来自于杨树的可能性比较大，
故答案为：杏，杨；
（3）根据题意画树状图如下：
∵由图可知，共有6种等可能的结果，其中恰好小娟小东被选中的结果有2种．
∴恰好小娟小东被选中的概率为26=13．
18．（8分）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l：y＝k1x+b与函数y=k2x(x＞0)的图象的两个交点分别为A（2，8）和B（8，2）．
（1）求直线l：y＝k1x+b与函数y=k2x(x＞0)的解析式；
（2）过点P（n，0）作x轴的垂线，与直线l：y＝k1x+b和函数y=k2x(x＞0)的图象的交点分别为点M，N，当点M在点N上方时，直接写出n的取值范围．
【解答】解：（1）∵直线l：y＝k1x+b与函数y=k2x(x＞0)的图象的两个交点分别为A（2，8）和B（8，2），
∴把A（2，8）和B（8，2）代入l：y＝k1x+b，得：2k1+b=88k1+b=2，
解得：k1=−1b=10，
∴直线l：y＝k1x+b的解析式为y＝﹣x+10；
∵函数y=k2x(x＞0)的图象经过点A（2，8），
∴8=k22，
∴k2＝16，
∴函数y=k2x(x＞0)的解析式为y=16x；
（2）∵直线l：y＝k1x+b与函数的图象的两个交点分别为A（2，8）和B（8，2），
如图所示：
观察图象可知，满足条件的n的值为：2＜n＜8．
19．（9分）下面是小李设计的“过圆外一点作圆的一条切线”的尺规作图的过程．
已知：如图1，⊙O及圆外一点P．
求作：过点P作⊙O的一条切线．
作法：①连接OP；
②作OP的垂直平分线，交OP于点A；
③以A为圆心，OA的长为半径作弧，交⊙O于点B；
④作直线PB．
即直线PB为所求作的一条切线．
根据上述尺规作图的过程，回答以下问题：
（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；
（2）该作图中．可以得到∠OBP＝ 90 °；
依据： 直径所对的圆周角等于90° ．
【解答】解：（1）如图，补全图形.
理由：连接OB，∵OA＝PA，且OA为⊙A的半径，
∴OP为⊙A的直径，
∴∠OBP＝90°，
∵OB是⊙O的半径，且PB⊥OB，
∴直线PB为⊙O的切线．
（2）∵直径所对的圆周角等于90°，OP为⊙A的直径，
∴∠OBP＝90°，
故答案为：90，直径所对的圆周角等于90°．
20．（9分）如图是我市某小区地下停车库入口的设计示意图，为保证社区居民安全，物业按规定执行人车分流，机动车不允许在小区地面行驶，如图为某装满家具的小型货车，车载满家具最高处为2.5m，需要从地下车库进入小区．已知AB⊥BD，坡道AD的坡度i＝1：2.4（指坡面的铅直高度BD与水平宽度AB的比），AB＝7.2m，点C在BD上，BC＝0.4m，CE⊥AD．按规定，地下停车库坡道口上方要张贴限高标志，以便告知停车人车辆能否安全驶入，请根据以上数据，求出该地下停车库限高CE的长，并通过计算分析该货车能否安全通过地下车库？
【解答】解：∵i＝1：2.4，
∴tan∠BAD＝1：2.4=512，
∴BDAB=512，
∵AB＝7.2m，
∴BD=512×7.2＝3（m），
∵BC＝0.4m，
∴DC＝BD﹣BC＝2.6m，
∵CE⊥AD，AB⊥DB，
∴∠DCE＝∠BAD，
∵tan∠BAD=512，
∴cs∠DCE＝cs∠BAD=1213，
∴CE＝CD•cs∠DCE＝2.6×1213=2.4m．
即地下车库入口的限高CE的长为2.4m，
∵2.4＜2.5，
∴该货车不能安全通过地下车库．
21．（9分）学校要围一个矩形花圃，花圃的一边利用足够长的墙，另三边用总长为20米的篱笆恰好围成（如图所示）．设矩形的一边AB的长为x米（要求AB＜AD），矩形ABCD的面积为S平方米．
（1）求S与x之间的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围；
（2）要想使花圃的面积最大，AB边的长应为多少米？
【解答】解：（1）∵四边形ABCD是矩形，AB的长为x米，∴CD＝AB＝x（米）．
∵矩形除AD边外的三边总长为20米，
∴BC＝（20﹣2x）米．
∴S＝x（20﹣2x）＝﹣2x2+20x．
∵0＜x＜20﹣2x，
∴0＜x＜203．
∴S与x之间的函数关系式为S＝﹣2x2+20x（0＜x＜203）．
（2）∵S＝﹣2x2+20x＝﹣2（x﹣5）2+50，0＜x＜203，
∴当x＝5时，S取最大值，最大值＝50（平方米），
∴AB边的长为5米时，花圃的面积最大，最大值为50平方米．
22．（10分）如图，二次函数y＝ax2+bx+c经过点A（﹣1，0），B（3，0），C（0，﹣3），点D是抛物线的顶点，过D作x轴的垂线交直线BC于点E．
（1）求点D坐标；
（2）求△CDE面积．
【解答】解：（1）由题意，设抛物线解析式为y＝a（x+1）（x﹣3），
把C（0，﹣3）代入得﹣3＝a×（0+1）×（0﹣3），
解得a＝1，
∴抛物线解析式为y＝（x+1）（x﹣3），
即y＝x2﹣2x﹣3；
∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∴D（1，﹣4），
（2）设直线BC的解析式为y＝mx+n，
把B（3，0），C（0，﹣3）分别代入得3m+n=0n=−3，
解得m=1n=−3，
∴直线BC的解析式为y＝x﹣3，
当x＝1时，y＝x﹣3＝﹣2，
∴E（1，﹣2），
∴三角形CDE的面积=12×（﹣2+4）×1＝1．
23．（11分）综合与探究：如图，∠AOB＝90°，点P在∠AOB的平分线上，PA⊥OA于点A．
（1）【操作判断】
如图①，过点P作PC⊥OB于点C，根据题意在图①中画出PC，图中∠APC的度数为 90 度；
（2）【问题探究】
如图②，点M在线段AO上，连接PM，过点P作PN⊥PM交射线OB于点N，判断线段OM、ON、PA数量关系并证明；
（3）【拓展延伸】
点M在射线AO上，连接PM，过点P作PN⊥PM交射线OB于点N，射线NM与射线PO相交于点F，若ON＝2OM，请直接写出OPOF的值．
【解答】解：（1）如图，PC即为所求．
∵∠AOB＝90°，PA⊥OA，PC⊥OB，
∴四边形OAPC是矩形，
∴∠APC＝90°，
故答案为：90；
（2）OM+ON＝2PA．
证明：如图，过P作PC⊥OB于点C．
由（1）知四边形OAPC是矩形，
∵点P在∠AOB的平分线上，PA⊥OA，PC⊥OB，
∴PA＝PC，
∴矩形OAPC是正方形，
∴OA＝AP＝PC＝OC，∠APC＝90°，
∵PN⊥PM，
∴∠APM＝∠CPN＝90°﹣∠MPC，
又∠MAP＝∠CNP＝90°，AP＝CP，
∴△APM≌△CPN（ASA），
∴AM＝CN，
∴OM+ON＝OM+OC+CN＝OM+AM+OC＝OA+OC＝2AP，
∴OM+ON＝2PA；
（3）①当M在线段AO上时，如图，延长NM、PA交于点G．
由（2）知OM+ON＝2AP，
设OM＝x，则ON＝2x，OA＝AP=32x．
∴AM＝AO﹣OM=12x，
∵∠MON＝∠MAG＝90°，∠OMN＝∠AMG，
∴△MON∽△MAG（ASA），
∴AGON=AMOM，
∴AG2x=12xx，
∴AG＝x，
∵AP∥OB，
∴△ONF∽△PGF，
∴OFPF=ONPG=2x52x=45，
∴PFOF=54，
∴OPOF=94；
②当M在AO的延长线上时，如图，过P作PC⊥OB于C，并延长交MN于G．
由（2）知，四边形OAPC是正方形，
∴OA＝AP＝PC＝OC，∠APC＝90°，PC∥AO，
∵PN⊥PM，
∠APM＝∠CPN＝90°﹣∠MPC，
又∵∠A＝∠PCN＝90°，AP＝CP，
∴△APM≌△CPN，
∴AM＝CN，
∴ON﹣OM＝OC+CN﹣OM＝AO+AM﹣OM＝2AO，
∵ON＝2OM＝2x，
∴AO=12x，CN＝AM=32x，
∵PC∥AO，
∴△CGN∽△OMN，
∴CGOM=CNON，
即CGx=32x2x，
∴CG=34x，
∵PC∥AO，
∴△OMF∽△PGF，
∴OFPF=OMPG=x32x+34x，
∴PFOF=94，
∴OPOF=134；
综上，OPOF的值为94或134．
x
…
1
2
4
…
y
…
4
2
1
…
序号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
杨树叶的长宽比
2
2.4
2.1
2.4
2.8
1.8
2.4
2.2
2.1
1.7
杏树叶的长宽比
1.5
1.6
1.5
1.4
1.5
1.4
1.7
1.5
1.6
1.4
平均数
中位数
众数
方差
杨树叶的长宽比
2.19
a
2.4
0.0949
杏树叶的长宽比
1.51
1.5
b
0.0089
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
A
B
C．
C
B
A
C
C
C
D
x
…
1
2
4
…
y
…
4
2
1
…
序号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
杨树叶的长宽比
2
2.4
2.1
2.4
2.8
1.8
2.4
2.2
2.1
1.7
杏树叶的长宽比
1.5
1.6
1.5
1.4
1.5
1.4
1.7
1.5
1.6
1.4
平均数
中位数
众数
方差
杨树叶的长宽比
2.19
a
2.4
0.0949
杏树叶的长宽比
1.51
1.5
b
0.0089