2025年四川省乐山市第一中学校高三高考二模测试数学试题

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本试卷满分150分，考试时间120分钟.
注意事项：
1.答卷前，务必将自己的姓名、考籍号填写在答题卡规定的位置上.
2.答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.
3.考试结束后，只将答题卡交回.
第I卷（选择题）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知双曲线的焦距为，则（ ）
A. B. C. D.
2. 已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
3. 函数，若在是减函数，则实数a的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
4. 已知，则（ ）
A B. C. D. 0
5. 等差数列的前项和为，若，，则（ ）
A. 30B. 50C. 20D. 40
6. 已知圆锥的底面半径为1，高为，过高线的中点且垂直于高线的平面将圆锥截成上、下两部分，则上、下两部分的体积比为（ ）
A. B. C. D.
7. 已知是双曲线的两个焦点，为上除顶点外的一点，，且，则的离心率的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
8. 已知函数，设，，，则，，的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 下列说法正确是（ ）
A. 某校高一年级共有男女学生500人，现按性别采用分层抽样的方法抽取容量为50人的样本，若样本中男生有30人，则该校高一年级女生人数是200
B. 数据1，3， 4，5，7，9，11，16的第75百分位数为10
C. 线性回归方程中，若线性相关系数越大，则两个变量的线性相关性越强
D. 根据分类变量与的成对样本数据，计算得到，根据小概率值的独立性检验，可判断与有关联，此推断犯错误的概率不大于0.05
10. 已知等差数列的前项和为，且，则（ ）
A.
B.
C. 当时，取得最小值
D. 记，则数列的前项和为
11. 如图，已知正方体的棱长为，为底面内（包括边界）的动点，则下列结论正确的是（ ）．
A. 三棱锥的体积为定值
B. 存在点，使得
C. 若，则点在正方形底面内的运动轨迹长为
D. 若点是中点，点是的中点，过，作平面平面，则平面截正方体的截面面积为
第II卷（非选择题）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知向量， ，则在方向上的投影向量等于___________.
13. 已知的展开式的二项式系数之和为32，则其展开式中常数等于________.
14. 抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线交于A、B两点，抛物线在A、B处的切线交于点，则的最小值为__________.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知函数的部分图象如图所示．
（1）求解析式；
（2）求的单调递减区间；
（3）若不等式在上恒成立，求m的取值范围.
16. 在平面直角坐标系中，已知椭圆的右顶点为，且其两个焦点与短轴顶点相连形成的四边形为正方形．过点且与轴不重合的直线与椭圆交于，两点．
（1）求椭圆的方程；
（2）试判断是否存在实数，使得为定值．若存在，求出的值，并求出该定值；若不存在，请说明理由．
17. 如图，在四棱锥中，底面为梯形，，为等边三角形.
（1）证明：平面.
（2）若为等边三角形，求平面与平面夹角的余弦值.
18. 已知函数（）．
（1）若，求的图象在处的切线方程；
（2）若对于任意的恒成立，求a的取值范围；
（3）若数列满足且（），记数列的前n项和为，求证：．
19. 已知函数，．
（1）对任意的，恒成立，求实数的取值范围；
（2）设方程在区间内根从小到大依次为，，…，，…，求证：．