2024-2025学年八年级下册北师大版第一次月考数学质量检测试卷（附答案）

这是一份2024-2025学年八年级下册北师大版第一次月考数学质量检测试卷（附答案），共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．若x＞y，则下列式子错误的是（ ）
A．x﹣3＞y﹣3B．3﹣x＞3﹣yC．﹣2x＜﹣2yD．x3＞y3
2．已知等腰三角形的两边长分别为5cm、2cm，则该等腰三角形的周长是（ ）
A．7cmB．9cm
C．12cm或者9cmD．12cm
3．已知△ABC的三边长分别是6cm、8cm、10cm，则△ABC的面积是（ ）
A．24cm2B．30cm2C．40cm2D．48cm2
4．不等式组3x−1＞−42x≤x+2的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A．B．
C．D．
5．一次函数y1＝kx+b与y2＝x+a的图象如图，则下列结论：①当x＜3时，y1＞0；②当x＜3时，y2＞0；③当x＞3时，y1＜y2中，正确的个数是（ ）
A．0B．1
C．2D．3
6．用反证法证明命题“钝角三角形中必有一个内角小于45°”时，首先应该假设这个三角形中（ ）
A．有一个内角小于45° B．每一个内角都小于45°
C．有一个内角大于等于45°D．每一个内角都大于等于45°
7．若不等式组a−x＞0x+1＞0无解，则a的取值范围是（ ）
A．a≤﹣1B．a≥﹣1C．a＜﹣1D．a＞﹣1
8．如图，已知∠AOB＝60°，点P在边OA上，OP＝8，点M，N在边OB上，PM＝PN，若MN＝2，则△PMN的周长是（ ）
A．14B．15C．16D．17
9．某种商品的进价为800元，出售时标价为1200元，后来由于该商品积压，商店准备打折销售，但要保证利润率不低于5%，则至多可打（ ）
A．6折B．7折C．8折D．9折
10．如图，等边△ABC的边长为12，AD是BC边上的中线，M是AD上的动点，E是AC边上一点，若AE＝4，EM+CM的最小值为（ ）
A．65B．63C．47D．6
二、填空题
11．不等式4x﹣1≤2x+1的非负整数解是 ．
12．如图，在△ABC中，∠A＝90°，∠B＝15°，斜边BC的垂直平分线交边AB于点E，垂足为点D，如果AC＝4，则BE＝ ．
13．已知（m﹣2）x|m|﹣1+3＞0是关于x的一元一次不等式，则m的值为 ．
14．若点P是△ABC角平分线的交点，且S△ABC＝30，C△ABC＝30，则点P到边AB的距离是 ．
15．已知关于x的不等式组x＞2a−32x≥3(x−2)+5有且仅有三个整数解，则a的取值范围是 ．
16．已知Rt△ACB，∠ACB＝90°，CD平分∠ACB交AB于点D，DE⊥BC，DF⊥AC，AD＝3，BD＝6，则阴影部分的面积（即△ADF与△BDE的面积和）等于 ．
17．解下列不等式：
（1）2（﹣x+2）＞﹣3x+5；（2）7−x3≤x+22+1．
18．解不等式组：x−3(x−2)＜812x−1＜3−32x．
19．如图，在Rt△ABC和Rt△DCB中，AB＝DC，∠A＝∠D＝90°，AC与DB相交于点O．求证：OB＝OC．
20．某公司购入甲、乙两种商品，2件甲商品和1件乙商品总进价为220元，3件甲商品和2件乙商品的总进价为360元．
（1）求甲、乙两种商品的进价分别为多少元；
（2）该公司计划购进甲、乙两种商品共70件，且总进价不超过4650元，则甲商品最多购入多少件？
21．已知关于x的方程3x﹣a＝4．
（1）若该方程的解满足x＞﹣2，求a的取值范围；
（2）若该方程的解是不等式x﹣2（3x﹣1）≥x+4的最大整数解，求a的值．
22．连接AB，直线AB与x轴交于点C，与y轴交于点D，平面内有一点E（3，1），直线BE与x轴交于点F．直线AB的解析式记作y1＝kx+b，直线BE解析式记作y2＝mx+t．求：
（1）直线AB的解析式△BCF的面积；
（2）当x 时，kx+b＞mx+t；
当x 时，kx+b＜mx+t；
当x 时，kx+b＝mx+t；
（3）在x轴上有一动点H，使得△OBH为等腰三角形，求H的坐标．
23．已知方程组x+y=−7−mx−y=1+3m的解满足x为非正数，y为负数．
（1）求m的取值范围；
（2）化简：|m﹣3|﹣|m+2|；
（3）在m的取值范围内，当m为何整数时，不等式2mx+x＜2m+1的解集为x＞1．
24．如图，△ABC是边长为6的等边三角形，P是AC边上一动点，由A向C运动（与A、C不重合），Q是CB延长线上一动点，与点P同时以相同的速度由B向CB延长线方向运动（Q不与B重合），过P作PE⊥AB于E，连接PQ交AB于D．
（1）若AE＝1时，求AP的长；
（2）当∠BQD＝30°时，求AP的长；
（3）在运动过程中线段ED的长是否发生变化？如果不变，求出线段ED的长；如果发生变化，请说明理由．
25．如图1，在平面直角坐标系中，边长为4的正方形OABC的两顶点A、C分别在y轴、x轴的正半轴上，O为坐标原点，现将正方形OABC绕点O顺时针方向旋转，旋转角为θ，对角线AC分别与x轴、直线y＝x交于点D、E，
（1）当0＜θ＜45°时，如图2，试求证CD2+AE2＝DE2；
（2）当0＜θ＜45°时，如图3，AB边与直线y＝x交于点M，BC边与x轴交于N，则△BMN周长为 ；
（3）当正方形OABC旋转到图3位置时，若CN＝2，则AM＝ ；
（4）当θ＝0时，直线y＝x有一动点P，当点P的坐标为 时，AP+CP+OP有最小值为 ．
答案
一、选择题
二、填空题
11．不等式4x﹣1≤2x+1的非负整数解是 0，1 ．
解：移项得：4x﹣2x≤1+1，
合并得：2x≤2，
解得：x≤1，
则不等式的非负整数解为0，1．
12．如图，在△ABC中，∠A＝90°，∠B＝15°，斜边BC的垂直平分线交边AB于点E，垂足为点D，如果AC＝4，则BE＝ 8 ．
解：连接CE，
∵DE是BC的垂直平分线，
∴CE＝BE，∠EDB＝90°，
∴∠ECB＝∠EBC＝15°，
∴∠AEC＝30°，
∴CE＝2AC＝8，
∴BE＝8．
故8．
13．已知（m﹣2）x|m|﹣1+3＞0是关于x的一元一次不等式，则m的值为 ﹣2 ．
解：∵（m﹣2）x|m|﹣1+3＞0是关于x的一元一次不等式，
∴m−2≠0|m|−1=1，
解得m＝﹣2．
故﹣2．
14．若点P是△ABC角平分线的交点，且S△ABC＝30，C△ABC＝30，则点P到边AB的距离是 2 ．
解：过点P作PD⊥AC于D，PE⊥AB于E，PF⊥BC于F，
∵P是三角形三条角平分线的交点，
∴PD＝PE＝PF，
∵S△ABC＝30，C△ABC＝30，
∴点P到边AB的距离=2×3030=2．
故2．
15．已知关于x的不等式组x＞2a−32x≥3(x−2)+5有且仅有三个整数解，则a的取值范围是 12≤a＜1 ．
解：解不等式2x≥3（x﹣2）+5，得：x≤1，
∵不等式组有且仅有三个整数解，
∴此不等式组的整数解为1、0、﹣1，
又x＞2a﹣3，
∴﹣2≤2a﹣3＜﹣1，
解得：12≤a＜1，
故12≤a＜1．
16．已知Rt△ACB，∠ACB＝90°，CD平分∠ACB交AB于点D，DE⊥BC，DF⊥AC，AD＝3，BD＝6，则阴影部分的面积（即△ADF与△BDE的面积和）等于 9 ．
解：∵DF⊥AC，DE⊥BC，
∴∠DEC＝∠DFC＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠EDF＝90°，
∴DF⊥DE，BC⊥DE，
∴DF∥BC，
∴∠FDA＝∠B，
∵∠AFD＝∠DEB＝90°，
∴△ADF∽△DBE，
∵AD＝3，BD＝6，
∴AFDE=DFBE=ADBD=36=12，
∵CD平分∠ACB，DF⊥AC，DE⊥BC，
∴DF＝DE
设AF＝x，则DF＝DE＝2x，BE＝2DF＝4x，
由勾股定理可得AF2+DF2＝AD2，
即x2+4x2＝9，
解得x=355，
∴AF=355，DF=655，DE=655，BE=1255，
∴S阴影＝S△ADF+S△BDE=12×355×655+12×655×1255=9．
故答案为9．
三、解答题
17．解下列不等式：
（1）2（﹣x+2）＞﹣3x+5；
（2）7−x3≤x+22+1．
解：（1）2（﹣x+2）＞﹣3x+5，
去括号得：﹣2x+4＞﹣3x+5，
移项合并同类项得x＞1；
（2）7−x3≤x+22+1，
去分母得：2（7﹣x）≤3（x+2）+6，
去括号得：14﹣2x≤3x+6+6，
移项合并同类项得：﹣5x≤﹣2，
解得：x≥25．
18．解不等式组：x−3(x−2)＜812x−1＜3−32x．
解：x−3(x−2)＜8①12x−1＜3−32x②，
解不等式①得：x＞﹣1，
解不等式②得：x＜2．
∴不等式组的解集为﹣1＜x＜2．
19．如图，在Rt△ABC和Rt△DCB中，AB＝DC，∠A＝∠D＝90°，AC与DB相交于点O．求证：OB＝OC．
证明：在△ABO和△DCO中，
∠AOB=∠DOC∠A=∠D=90°AB=DC，
∴△ABO≌△DCO（AAS），
∴OB＝OC．
20．某公司购入甲、乙两种商品，2件甲商品和1件乙商品总进价为220元，3件甲商品和2件乙商品的总进价为360元．
（1）求甲、乙两种商品的进价分别为多少元；
（2）该公司计划购进甲、乙两种商品共70件，且总进价不超过4650元，则甲商品最多购入多少件？
解：（1）设甲商品的进价为x元，乙商品的进价为y元，
根据题意得：2x+y=2203x+2y=360，
解得：x=80y=60．
答：甲商品的进价为80元，乙商品的进价为60元．
（2）设甲商品购入a件，则购进乙种商品（70﹣a）件，
根据题意得：80a+60（70﹣a）≤4650，
解得：a≤22.5，
∵a为正整数，
∴甲商品最多购入22件．
21．已知关于x的方程3x﹣a＝4．
（1）若该方程的解满足x＞﹣2，求a的取值范围；
（2）若该方程的解是不等式x﹣2（3x﹣1）≥x+4的最大整数解，求a的值．
解：（1）解方程3x﹣a＝4，得x=a+43，
∵该方程的解满足x＞﹣2，
∴a+43＞−2，
解得a＞﹣10；
（2）解不等式x﹣2（3x﹣1）≥x+4，得x≤−13，
∴该不等式的最大的整数解是x＝﹣1．
∵该方程的解是不等式x﹣2（3x﹣1）≥x+4的最大整数解，
∴3×（﹣1）﹣a＝4，
解得a＝﹣7．
22．连接AB，直线AB与x轴交于点C，与y轴交于点D，平面内有一点E（3，1），直线BE与x轴交于点F．直线AB的解析式记作y1＝kx+b，直线BE解析式记作y2＝mx+t．求：
（1）直线AB的解析式△BCF的面积；
（2）当x ＞2 时，kx+b＞mx+t；
当x ＜2 时，kx+b＜mx+t；
当x ＝2 时，kx+b＝mx+t；
（3）在x轴上有一动点H，使得△OBH为等腰三角形，求H的坐标．
解：（1）观察函数图象可知：
点C（﹣4，0），点D（0，2），点B（2，3），
将C、D点坐标代入直线AB的解析式中，得0=−4k+b2=b，
解得：k=12b=2．
∴直线AB的解析式为y1=12x+2．
将点B（2，3），E（3，1）代入到直线BE的解析式中，得3=2m+t1=3m+t，
解得：m=−2t=7．
∴直线BE的解析式为y2＝﹣2x+7．
令y2＝0，则有﹣2x+7＝0，解得x=72，
即点F的坐标为（72，0）．
∴CF=72−（﹣4）=152，
∴△BCF的面积S=12×3CF=12×3×152=454．
（2）结合函数图象可知：
当x＞2时，kx+b＞mx+t；当x＜2时，kx+b＜mx+t；当x＝2时，kx+b＝mx+t．
故＞2；＜2；＝2．
（3）设点H的坐标为（n，0）．
∵点O（0，0），点B（2，3），
∴OB=(2−0)2+(3−0)2=13，OH＝|n|，BH=(n−2)2+(0−3)2．
△OBH为等腰三角形分三种情况：
①当OB＝OH时，即13=|n|，解得：n＝±13，
此时点H的坐标为（−13，0）或（13，0）；
②当OB＝BH时，即13=(n−2)2+(0−3)2，解得：n＝0（舍去），或n＝4．
此时点H的坐标为（4，0）；
③当OH＝BH时，即|n|=(n−2)2+(0−3)2，解得：n=134．
此时点H的坐标为（134，0）．
综上可知：点H的坐标为（−13，0）、（13，0）、（4，0）或（134，0）．
23．已知方程组x+y=−7−mx−y=1+3m的解满足x为非正数，y为负数．
（1）求m的取值范围；
（2）化简：|m﹣3|﹣|m+2|；
（3）在m的取值范围内，当m为何整数时，不等式2mx+x＜2m+1的解集为x＞1．
解：（1）解原方程组得：x=m−3y=−2m−4，
∵x≤0，y＜0，
∴m−3≤0−2m−4＜0，
解得﹣2＜m≤3；
（2）|m﹣3|﹣|m+2|＝3﹣m﹣m﹣2＝1﹣2m；
（3）解不等式2mx+x＜2m+1得（2m+1）x＜2m+1，
∵x＞1，∴2m+1＜0，
∴m＜−12，
∴﹣2＜m＜−12，
∴m＝﹣1．
24．如图，△ABC是边长为6的等边三角形，P是AC边上一动点，由A向C运动（与A、C不重合），Q是CB延长线上一动点，与点P同时以相同的速度由B向CB延长线方向运动（Q不与B重合），过P作PE⊥AB于E，连接PQ交AB于D．
（1）若AE＝1时，求AP的长；
（2）当∠BQD＝30°时，求AP的长；
（3）在运动过程中线段ED的长是否发生变化？如果不变，求出线段ED的长；如果发生变化，请说明理由．
解：（1）∵△ABC是等边三角形，
∴∠A＝60°，
∵PE⊥AB，
∴∠APE＝30°，
∵AE＝1，∠APE＝30°，PE⊥AB，
∴AP＝2AE＝2；
（2）解：过P作PF∥QC，
则△AFP是等边三角形，
∵P、Q同时出发，速度相同，即BQ＝AP，
∴BQ＝PF，
在△DBQ和△DFP中，
∠DQB=∠DPF∠QDB=∠PDFBQ=PF，
∴△DBQ≌△DFP，
∴BD＝DF，
∵∠BQD＝∠BDQ＝∠FDP＝∠FPD＝30°，
∴BD＝DF＝FA=13AB＝2，
∴AP＝2；
（3）解：由（2）知BD＝DF，
∵△AFP是等边三角形，PE⊥AB，
∴AE＝EF，
∴DE＝DF+EF=12BF+12FA=12AB＝3为定值，即DE的长不变．
25．如图1，在平面直角坐标系中，边长为4的正方形OABC的两顶点A、C分别在y轴、x轴的正半轴上，O为坐标原点，现将正方形OABC绕点O顺时针方向旋转，旋转角为θ，对角线AC分别与x轴、直线y＝x交于点D、E，
（1）当0＜θ＜45°时，如图2，试求证CD2+AE2＝DE2；
（2）当0＜θ＜45°时，如图3，AB边与直线y＝x交于点M，BC边与x轴交于N，则△BMN周长为 8 ；
（3）当正方形OABC旋转到图3位置时，若CN＝2，则AM＝ 43 ；
（4）当θ＝0时，直线y＝x有一动点P，当点P的坐标为 （2−233，2−233） 时，AP+CP+OP有最小值为 22+26 ．
（1）证明：如图2中，将△OAE绕点O顺时针旋转90°，得到△OCT，连接DT．
则AE＝CT，∠OAE＝∠OCT，∠EOT＝90°，
∵四边形OABC是正方形，
∴∠OAC＝∠OCA＝∠OCT＝45°，
∴∠DCT＝90°，
∵直线y＝x交AC于E，
∴∠EOD＝∠DOT＝45°，
∵OD＝OD，OE＝OT，
∴△EOD≌△TOD（SAS），
∴DE＝DT，
∵DT2＝CD2+CT2，
∴DE2＝AE2+CD2．
（2）解：在图3中，将△AOM绕点O顺时针旋转90°，得到△COE．
由旋转，可知：OM＝OE，AM＝CE，∠AOM＝∠COE，∠MOE＝90°．
∵直线OM的解析式为y＝x，
∴∠MON＝45°，
∵∠MOE＝90°，
∴∠EON＝45°，
∵OM＝OE，∠MON＝∠EON，ON＝ON
∴△MON≌△EON（SAS），
∴MN＝EN＝CN+AM．
∴△BMN的周长＝BM+BN+MN＝BM+AM+BN+CN＝2AB＝8．
故8．
（3）解：由（2）可知，MN＝AM+CN，
设AM＝x，则BM＝4﹣x，MN＝x+2，
∵CN＝BN＝2，
在Rt△BMN中，MN2＝BM2+BN2，
∴（2+x）2＝（4﹣x）2+22，
∴x=43，
∴AM=43．
故43．
（4）解：如图4中，将△AOP绕点O逆时针旋转60°，得到△ORK，连接AC交OB于J．
则PA＝KR，△OPR是等边三角形，
∴OP＝PR，
∴PA+PO+PC＝PC+PR+KR≥KC，
∴K，R，P，C共线时，PA+PO+PC的值最小，此时∠OPC＝180°﹣60°＝120°，
∴∠CPJ＝60°，
∵四边形OABC是正方形，
∴OA＝OC＝BC＝AB＝4，AC⊥OB，
∴AC＝BO＝42，AJ＝JC＝22，
∴PJ=263，PC＝PA＝2PJ=463，
∴OP＝OJ﹣PJ＝22−263，
∴P（2−233，2−233），AP+CP+OP最小值＝22−263+863=22+26．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
B
D
A
D
C
D
A
C
B
D