陕西省安康市旬阳县2024-2025学年八年级上学期1月期末数学试题（原卷版+解析版）

这是一份陕西省安康市旬阳县2024-2025学年八年级上学期1月期末数学试题（原卷版+解析版），共25页。试卷主要包含了请将各题答案填写在答题卡上等内容，欢迎下载使用。
八年级期末质量监测
数学
注意事项：
1．全卷满分120分，答题时间为120分钟．
2．请将各题答案填写在答题卡上．
一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个正确选项）
1. 下列四个选项中，是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
2. 数学课上，老师让小明准备三根木棒用来研究三角形三条边之间的关系，小明已经准备了和的木棒．若第三根木棒能够和已经准备了的木棒构成三角形，则第三根木棒的长度可以是（ ）
A. B. C. D.
3. 半导体产业是当今世界科技竞争的核心领域，也是国家实力的重要体现．在这个领域中，芯片制造工艺是最关键的技术之一，它决定了芯片的性能、功耗和成本．目前，全球最先进的芯片制造工艺是5纳米，只有少数几家企业能够掌握这项技术．1纳米等于米，则5纳米用科学记数法表示为（ ）
A. 米B. 米C. 米D. 米
4. 下列各式中，能用平方差公式计算是（ ）
A. B.
C. D.
5. 如图，在中，，，若的周长为，则的长为（ ）
A. B. C. D.
6. 如图，，若，，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
7. 如图，已知∠ABC=∠DCB，下列所给条件不能证明△ABC≌△DCB的是（ ）

A. ∠A=∠DB. AB=DCC. ∠ACB=∠DBCD. AC=BD
8. 如图，在等腰中，是的垂直平分线，若的周长为18，，则的长为（ ）
A. 12B. 8C. 6D. 3
二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分）
9. 当____时，代数式的值为0．
10. 如果一个多边形的每一个外角都是，那么这个多边形的边数为____．
11. 因式分解∶ __________________．
12. 如图，在中，为平分线，于点，于点，，，的长为，则的面积是______．
13. 如图，在中，平分分别为边上的动点，，则的最小值是______．

三、解答题（共13小题，计81分．解答应写出过程）
14. 计算：．
15. 计算：．
16. 计算：．
17. 如图，中，，，请用尺规作图法，在边上求作一点，使．（保留作图痕迹，不写作法）
18. 如图，，，．求证：．
19. 如图，在中，，，，求的度数．
20. 如图，，，求证：．
21. 如图，在等边中，是边上的一点，点在边的延长线上，若，，求证：为的中点．
22. 如图，的三个顶点坐标分别为，，．

（1）在图中画出关于轴对称的，并写出点的坐标；
（2）在图中轴上求作一个点，使得的值最小．
23. 如图，是内一点，．
（1）若，，求的度数．
（2）若分别为的平分线，求的度数．
24. 某商店准备购进A，B两种商品，每件A商品进价比每件B商品的进价多20元，且用2000元购进A商品的数量和用1200元购进B商品的数量相同．根据题意，甲、乙两名同学分别列出了如下方程：
甲：
乙：
（1）根据甲、乙两名同学所列方程，请你分别指出未知数x，y表示的意义．
x表示______， y表示______．
（2）求出其中一个方程的解，并回答A，B两种商品每件的进价分别是多少元？
25. ［阅读材料］
将四项及四项以上的多项式进行因式分解，我们一般使用分组分解法．分组分解法有两种分法：一是“”分组．二是“”分组．两种分组的主要区别就在于多项式中是否存在三项可以构成完全平方，若可以构成完全平方，则采用“”分组；若无法构成，则采用“”分组．
例如：；
．
［应用知识］
（1）因式分解：．
（2）因式分解：．
［拓展应用］
（3）已知一三角形的三边长分别是，且满足：．试判断这个三角形的形状，并说明理由．
26. 问题提出
（1）已知在等边三角形中，点在上，点在的延长线上，且．
①如图1，当为的中点时，则______．（填“”“”或“”）
②如图2，当为边上任意一点时，请判断与之间的数量关系，并给予证明．
问题解决
（2）如图3，现有一块不规则图形的钢材，它是由一块等边和一块等腰焊接而成的（焊接过程不考虑变形），设计要求等腰的顶点刚好在线段的延长线上，若，，求的长．
绝密★启用前
试卷类型：A
八年级期末质量监测
数学
注意事项：
1．全卷满分120分，答题时间为120分钟．
2．请将各题答案填写在答题卡上．
一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个正确选项）
1. 下列四个选项中，是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了轴对称图形的识别．轴对称图形是指把一个图形沿着某一条直线折叠，如果直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．根据轴对称图形的概念逐一进行辨别，即可解答．
【详解】解：A、B、C选项均无法找到这样的一条直线，使得沿着这条直线折叠之后，直线两旁的部分能完全重合，故它们都不是轴对称图形；
D选项，能找到这样的一条直线，使得沿着这条直线折叠之后，直线两旁的部分能完全重合，故它是轴对称图形．
故选：D
2. 数学课上，老师让小明准备三根木棒用来研究三角形三条边之间的关系，小明已经准备了和的木棒．若第三根木棒能够和已经准备了的木棒构成三角形，则第三根木棒的长度可以是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了三角形三边关系的应用，掌握三角形的三边关系是解题的关键．根据三角形的三边关系，求得第三边的范围，即可求解．
【详解】解：设第三根木棒的长度是，
则，
所以，
所以第三根木棒的长度可以是．
故选B．
3. 半导体产业是当今世界科技竞争的核心领域，也是国家实力的重要体现．在这个领域中，芯片制造工艺是最关键的技术之一，它决定了芯片的性能、功耗和成本．目前，全球最先进的芯片制造工艺是5纳米，只有少数几家企业能够掌握这项技术．1纳米等于米，则5纳米用科学记数法表示为（ ）
A. 米B. 米C. 米D. 米
【答案】A
【解析】
【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．
【详解】解：5纳米米米，
故选：A．
4. 下列各式中，能用平方差公式计算的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了平方差公式．运用平方差公式计算时，关键要找相同项和相反项，其结果是相同项的平方减去相反项的平方．根据平方差公式对各选项分别进行判断即可．
【详解】解：A：，符合题意；
B：，是完全平方公式计算，不符合题意；
C：，是完全平方公式计算，不符合题意；
D：，是完全平方公式计算；不符合题意；
故选：A．
5. 如图，在中，，，若的周长为，则的长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质，由，，则是等边三角形，根据性质可得，再根据周长即可求解，熟练掌握等边三角形的判定与性质是解题的关键．
【详解】解：∵，，
∴是等边三角形，
∴，
∵周长为，
∴，
故选：．
6. 如图，，若，，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查三角形的内角和定理，全等三角形的性质．根据全等三角形的性质可得，根据三角形的内角和定理可求出的度数，即可解答．
【详解】解：，
，
，
，
．
故选：A
7. 如图，已知∠ABC=∠DCB，下列所给条件不能证明△ABC≌△DCB的是（ ）

A. ∠A=∠DB. AB=DCC. ∠ACB=∠DBCD. AC=BD
【答案】D
【解析】
【详解】A．添加∠A=∠D可利用AAS判定△ABC≌△DCB，故此选项不合题意；
B．添加AB=DC可利用SAS定理判定△ABC≌△DCB，故此选项不合题意；
C．添加∠ACB=∠DBC可利用ASA定理判定△ABC≌△DCB，故此选项不合题意；
D．添加AC=BD不能判定△ABC≌△DCB，故此选项符合题意．
故选D．
8. 如图，在等腰中，是的垂直平分线，若的周长为18，，则的长为（ ）
A. 12B. 8C. 6D. 3
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查线段垂直平分线的性质．由线段垂直平分线的性质可知，再结合的周长可求得，则可求得，据此求解即可．
【详解】解：是的垂直平分线，
，，
周长是18，
，且，
，
．
故选：C．
二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分）
9. 当____时，代数式的值为0．
【答案】2
【解析】
【分析】本题主要考查分式的值，正确理解题意列出对应的方程是解题的关键．根据题意可得方程，再根据分式的性质得到且，解方程即可得到答案．
【详解】解：根据题意得：，
且，
，
当，代数式的值为0，
故答案为2．
10. 如果一个多边形的每一个外角都是，那么这个多边形的边数为____．
【答案】9
【解析】
【分析】本题考查了多边形的外角和定理，理解外角的个数与正多边形的边数之间的关系是解题的关键．根据外角和为，得出多边形的边数．
【详解】
∴这个多边形的边数为 9．
故答案为：9
11. 因式分解∶ __________________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了用提公因式法和公式法，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．先提取公因式x，再用平方差公式因式分解即可．
【详解】解：原式
，
故答案为：．
12. 如图，在中，为的平分线，于点，于点，，，的长为，则的面积是______．
【答案】7
【解析】
【分析】本题考查了角平分线的性质定理；由角平分线的性质定理可得，则由即可求解．
【详解】解：∵为的平分线，于点，，
∴，
∴
；
故答案为：7．
13. 如图，在中，平分分别为边上的动点，，则的最小值是______．

【答案】
【解析】
【分析】本题考查了轴对称-最短路线问题，过点A作于点，在上取一点，使，即可根据平分得到，得到，则当三点共线且垂直时最小，即为的最小值，根据求解即可．
【详解】过点A作于点，在上取一点，使，

∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴当三点共线且垂直时最小，即为的最小值，
∵，
∴，
∴的最小值是．
三、解答题（共13小题，计81分．解答应写出过程）
14. 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了整式的混合运算，先根据单项式与单项式的除法、积的乘方，再算括号，后算除法．
【详解】解：原式

．
15. 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了整式的混合运算，先根据乘法公式化简，再合并同类项，然后算除法即可．
【详解】解：原式

．
16. 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查分式的混合运算，先通分，计算括号内的，再除法变乘法，约分化简即可．
【详解】解：
．
17. 如图，在中，，，请用尺规作图法，在边上求作一点，使．（保留作图痕迹，不写作法）
【答案】画图见解析
【解析】
【分析】本题考查了作垂直平分线，等边对等角，三角形内角和定理，掌握基本作图以及等边对等角，三角形内角和定理是解题的关键．
根据三角形内角和定理和等边对等角得到，进而作出的垂直平分线交于点P即为所求．
【详解】如图所示，点P即为所求；
证明：连接，
∵，，
∴
∵
∴
∴．
18. 如图，，，．求证：．
【答案】见解析
【解析】
【分析】本题主要考查三角形全等的证明．由可得，从而通过“”即可证明．
【详解】∵，
∴，即．
在和中，
，
．
19. 如图，在中，，，，求的度数．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了等腰三角形的性质和三角形内角和定理．利用三角形的外角性质求得的度数，再利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理求得的度数，据此求解即可．
【详解】解：，，
，
∵，
，
．
20 如图，，，求证：．
【答案】证明见解析
【解析】
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．由“”可证，可得．
【详解】证明：，
和都是直角三角形．
在和中，
，
．
．
21. 如图，在等边中，是边上的一点，点在边的延长线上，若，，求证：为的中点．
【答案】证明见解析
【解析】
【分析】本题考查了等边三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形外角性质，由等边三角形的性质可得，由等腰三角形的性质可得，进而由三角形外角性质可得，即得，得到，再根据三线合一即可求证，掌握以上知识点是解题的关键．
【详解】证明：∵是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴是的角平分线，
∵是等边三角形，
∴是的边上的中线，
∴为的中点．
22. 如图，的三个顶点坐标分别为，，．

（1）在图中画出关于轴对称的，并写出点的坐标；
（2）在图中轴上求作一个点，使得的值最小．
【答案】（1），画图见解析，点的坐标为
（2）画图见解析
【解析】
【分析】此题考查了作图—轴对称变换，解题的关键是掌握轴对称变换的定义与性质．
（1）根据轴对称的性质确定，，三点，再顺次连接即可；
（2）由，关于x轴对称，再连接与x轴交点即为点P．
【小问1详解】
解：如图，即为所求作的三角形；
．
点坐标为．
【小问2详解】
如图，P即为所求，
．
23. 如图，是内一点，．
（1）若，，求的度数．
（2）若分别为的平分线，求的度数．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查的是三角形内角和定理，熟知三角形内角和是是解题的关键．
（1）先根据三角形内角和定理求出的度数，再由，，得出，由三角形内角和定理即可得出结论；
（2）由（1）知，，根据，分别为，的平分线可得出的度数，进而得出结论．
【小问1详解】
，
，
，，
，
；
【小问2详解】
由（1）知，，
，分别为，的平分线，
，
．
24. 某商店准备购进A，B两种商品，每件A商品的进价比每件B商品的进价多20元，且用2000元购进A商品的数量和用1200元购进B商品的数量相同．根据题意，甲、乙两名同学分别列出了如下方程：
甲：
乙：
（1）根据甲、乙两名同学所列的方程，请你分别指出未知数x，y表示的意义．
x表示______， y表示______．
（2）求出其中一个方程的解，并回答A，B两种商品每件的进价分别是多少元？
【答案】（1）每件A商品进价，购进A和B商品的数量
（2）50元；30元
【解析】
【分析】本题主要考查了分式方程的应用，
对于（1），根据题意即可解答；
对于（2），根据去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1，求出解，并检验即可．
【小问1详解】
解：甲方程是A商品的数量和B商品的数量相同，乙方程是每件A商品的进价比每件B商品的进价多20元，
所以x表示每件A商品的进价，y表示购进A和B商品的数量；
故答案为：每件A商品的进价，购进A和B商品的数量；
【小问2详解】
解：甲： ，
去分母得：，
整理得：，
解得：，
经检验：是原方程的解，且符合题意；
∴，
答：A，B两种商品每件的进价分别是50元和30元．
解：乙，
整理，得，
去分母，得，
解得，经检验，是原方程的解，且符合题意；
∴，
∴A，B两种商品每件的进价分别是50元和30元．
25. ［阅读材料］
将四项及四项以上的多项式进行因式分解，我们一般使用分组分解法．分组分解法有两种分法：一是“”分组．二是“”分组．两种分组的主要区别就在于多项式中是否存在三项可以构成完全平方，若可以构成完全平方，则采用“”分组；若无法构成，则采用“”分组．
例如：；
．
［应用知识］
（1）因式分解：．
（2）因式分解：．
［拓展应用］
（3）已知一三角形的三边长分别是，且满足：．试判断这个三角形的形状，并说明理由．
【答案】（1）；（2）；（3）这个三角形为等边三角形．理由见解析
【解析】
【分析】本题考查了因式分解以及因式分解的应用．
（1）利用“”分组，再利用提公因式法分解即可；
（2）利用“”分组，先利用完全平方公式计算，再利用平方差公式分解即可；
（3）整理后，利用“”分组，再利用完全平方公式分解得到，根据非负数的性质求解即可．
【详解】解：（1）
；
（2）
；
（3）这个三角形为等边三角形．
理由：，
，
，
，
．
，
，
，
这个三角形是等边三角形．
26. 问题提出
（1）已知在等边三角形中，点在上，点在的延长线上，且．
①如图1，当为的中点时，则______．（填“”“”或“”）
②如图2，当为边上任意一点时，请判断与之间的数量关系，并给予证明．
问题解决
（2）如图3，现有一块不规则图形的钢材，它是由一块等边和一块等腰焊接而成的（焊接过程不考虑变形），设计要求等腰的顶点刚好在线段的延长线上，若，，求的长．
【答案】（1）①；②．证明见解析；（2）CD＝5m
【解析】
【分析】此题考查了全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质和判定，解题的关键是熟练掌握全等三角形的性质和判定定理，等边三角形的性质和判定定理．
（1）①首先根据等边三角形的性质得到，，，然后求出，然后利用等角对等边求解即可；
②如图2，过点作，交于点，得到为等边三角形，然后证明出，进而求解即可；
（2）如图3，过点作，得到，然后根据线段的和差求解即可．
【详解】（1）①如图1，∵是等边三角形，点E是的中点，
∴平分，，
∴，，，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，即；
②．
证明：如图2，过点作，交于点．
为等边三角形，
为等边三角形，
，．
，
．
，，
．
在和中，
，
，
，
．
（2）如图3，过点作，则为等边三角形．
同理，可得．
，，
．
，
．