河北省邯郸市峰峰矿区2024-2025学年九年级上学期1月期末试卷数学试题（原卷版+解析版）

这是一份河北省邯郸市峰峰矿区2024-2025学年九年级上学期1月期末试卷数学试题（原卷版+解析版），共30页。试卷主要包含了求点的坐标；等内容，欢迎下载使用。
说明: 1． 本试卷共6 页， 满分120分．
2． 请将所有答案填写在答题卡上，答在试卷上无效．
一、选择题 （本大题共12个小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 二次函数的一次项系数是（ ）
A. B. 1C. 3D. 5
2. 在中，，设所对的边分别为，．若◆，则“◆”表示（ ）
A. B. C. D.
3. 如图，学校可能位于小明家（ ）
A. 南偏西方向上B. 南偏西方向上
C. 南偏东方向上D. 南偏东方向上
4. 下列4个袋子中，装有除颜色外都相同的10个小球，分别从每个袋子中任意摸出一个球，摸到的球是红球这一事件属于必然事件，则应选择的袋子是（ ）
A. B. C. D.
5. 下列选项中的两个相似图形，不是位似图形的是（ ）
A. B. C. D.
6. 如图， 将绕点O逆时针方向旋转 得， 若， 则 的度数是（ ）
A. B. C. D.
7. 是边长为4的正六边形的外接圆，点在上，连接，则的长可以是（ ）
A. 5B. 6C. 7D. 9
8. 如图，四边形顶点在方格纸的格点上，下列方格纸中的四边形与已知四边形相似的是（ ）
A. B. C. D.
9. 如图，正方形纸片的中心刚好是的外心，则（ ）

A B. C. D.
10. 如图，其小区在一块长为，宽为的矩形空地上新修三条宽度相同的小路，其中一条和矩形的一边平行．另外两条和矩形的另一边平行，空地剩下的部分种植花草，使得小路占地面积为，求小路的宽度．设小路的宽度为，甲、乙两位同学分别得到如下方程：
甲：；
乙：
其中正确的是（ ）
A. 甲对、乙不对B. 甲不对、乙对
C. 甲、乙均对D. 甲、乙均不对
11. 如图所示为某新款茶吧机，开机加热时每分钟上升，加热到，停止加热，水温开始下降，此时水温与通电时间成反比例关系．当水温降至时，饮水机再自动加热，若水温在时接通电源，水温与通电时间之间的关系如图所示，则下列说法中错误的是（ ）
A. 水温从加热到，需要4min
B. 水温下降过程中，与函数关系式是
C. 在一个加热周期内水温不低于的时间为
D. 上午10点接通电源，可以保证当天能喝到不低于的水
12. 如图，抛物线（常数），双曲线.设与双曲线有个交点的横坐标为，且满足，在位置随变化的过程中，的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
二、填空题 （本大题共4个小题，每小题3分，共12分）
13. 如图是反比例函数的图象．整数的值是________．
14. 已知点与点是关于原点O的对称点，则长为_________．
15. 若a，b是方程的两个实数根，则的值为______．
16. 如图，点C为扇形的弧上一个动点，连接、，若，，则阴影部分面积的最小值为______．
三、解答题 （本大题共8个小题，满分72分，解答题应写出必要的解题步骤或文字说明、证明过程）
17. 已知反比例函数的图象位于第二、四象限．
（1）求k的取值范围；
（2）若点是该反比例函数图象上的两点，试比较函数值的大小．
18. 若一元二次方程的右边被墨水污染▊．
（1）若方程的一个解为时，求“▊”的值；
（2）若“▊”表示，求．
19. 如图，三根同样的绳子，，穿过一块木板，姐妹两人分别站在木板的左、右两侧，每次各自选取本侧的一根绳子，每根绳子被选中的机会相等．
（1）姐姐从这三根绳子中随机选一根，恰好选中绳子的概率为 ；
（2）用画树状图（或列表）的方法，求姐姐和妹妹选中的两个绳头恰好是同一根绳子的概率．
20. 如图，在中，点在边上，．
（1）求证：；
（2）若，求的长．
21. 探究：用一条直线将一个中心对称图形分成面积相等的两部分．
我们知道圆和平行四边形都是中心对称图形，由图1可总结规律：一个中心对称图形， 的直线将它分成面积相等的两部分．
应用1 ：如图2，若矩形 是老林家的一块田地，P为水井，现要把这块田地平均分给两个儿子，为了用水方便，要求分给两个儿子的田地都与水井 P 相邻． 请你帮老林家设计一下，画出图形，并说明理由．
应用2 ：图3是一个由正方形和圆构成的“组合图形”，用一条直线 将图3的阴影部分分成面积相等的两部分． （不写作图过程，保留作图痕迹）
22. 图1是我国古代提水的器具桔槔（jié gā），创造于春秋时期．它选择大小两根竹竿，大竹竿中点架在作为杠杆的竹梯上．大竹竿末端悬挂一个重物，前端连接小竹竿（小竹竿始终与地面垂直），小竹竿上悬挂水桶．其原理是通过对架在竹梯上的大竹竿末端下压用力，从而提水出井．当放松大竹竿时，小竹竿下降，水桶就会回到井里．如图2是桔槔的示意图，大竹竿米，O为的中点，支架垂直地面，此时水桶在井里时，．
（1）如图2，求支点O到小竹竿的距离（结果精确到0.1米）；
（2）如图3，当水桶提到井口时，大竹竿旋转至的位置，小竹竿至的位置，此时，求点A上升的高度（结果精确到0.1米）．（参考数据：，，，）
23. 图1是木马玩具底座水平放置的示意图．点O是所在圆的圆心，的半径为，已知点A，B之间的水平距离为，且两点距离地面的竖直高度一样高．
计算
（1）求点A的竖直高度；
操作
（2）将图1木马玩具沿地面向右作无滑动的滚动，当与相切于点B时，如图2，点A的竖直高度升高了多少？
探究
（3）在上述操作过程中，直接写出圆心O运动的路径长．（参考数据：）
24. 平面直角坐标系中，已知抛物线．
（1）抛物线的对称轴为直线 ；
（2）当时，函数值的取值范围是．
①求和的值；
②抛物线上一点到轴的距离为6．求点的坐标；
③将该抛物线在间的部分记为，将在直线下方的部分沿翻折，其余部分保持不变．得到的新图象记为．设的最高点、最低点的纵坐标分别为，若，求的取值范围．
2024--2025学年第一学期期末督测
九年级数学试题 （人教版）
说明: 1． 本试卷共6 页， 满分120分．
2． 请将所有答案填写在答题卡上，答在试卷上无效．
一、选择题 （本大题共12个小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 二次函数的一次项系数是（ ）
A. B. 1C. 3D. 5
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的定义，一般地，形如（是常数，）的函数，叫做二次函数，其中分别为二次项系数，一次项系数，常数项．据此分析，即可求解．
【详解】解：二次函数的一次项系数是
故选：A．
2. 在中，，设所对的边分别为，．若◆，则“◆”表示（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了三角函数的定义．根据三角函数的定义进行判断，即可解决问题．
【详解】解：∵中，，、、所对的边分别为，，
∴，即，
，即，
，即，
，即，
观察四个选项，B选项符合题意，
故选：B．
3. 如图，学校可能位于小明家（ ）
A. 南偏西方向上B. 南偏西方向上
C. 南偏东方向上D. 南偏东方向上
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了方向角的定义，根据题意画出图形，即可求解；理解方向角的定义是解题的关键．
【详解】解：如图，

由图得，学校可能位于小明家南偏西方向上，
故选：B．
4. 下列4个袋子中，装有除颜色外都相同的10个小球，分别从每个袋子中任意摸出一个球，摸到的球是红球这一事件属于必然事件，则应选择的袋子是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．根据事件发生的可能性大小判断即可．
【详解】解：A、里面知有10个白球，从里面摸出红球是不可能事件，不符合题意；
B、里面只有10个红球，从里面摸出红球是必然事件，符合题意；
C、里面有2个红球，8个白球，从里面摸出红球是随机事件，不符合题意；
D、里面有9个红球，1个白球，从里面摸出红球是随机事件，不符合题意；
故选：B．
5. 下列选项中的两个相似图形，不是位似图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查的是位似变换，掌握两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形是解题的关键．根据位似图形的定义解答即可．
【详解】解：根据位似图图形的定义可知选项A、B、D中的两个图形都是位似图形，C中的两个图形不是位似图形，
故选：C．
6. 如图， 将绕点O逆时针方向旋转 得， 若， 则 的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了旋转的性质，熟记旋转的性质是解题的关键．
根据旋转的性质得出，即可推出结果．
【详解】解：∵将绕点逆时针方向旋转得，
，
又 ∵，
，
故选：C．
7. 是边长为4的正六边形的外接圆，点在上，连接，则的长可以是（ ）
A. 5B. 6C. 7D. 9
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了正多边形，以及勾股定理等知识．连接，过点C作于点H，则的长介于和之间，分别求出和的长，再结合选项即可得到问题答案．
【详解】解：连接，过点C作于点H，
∵多边形是正六边形，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：C．
8. 如图，四边形的顶点在方格纸的格点上，下列方格纸中的四边形与已知四边形相似的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了相似多边形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，如果两个四边形的四条边对应成比例，且四个角对应相等，那么这两个四边形相似，据此求解即可．
【详解】解：设每个小正方形的边长为1，
则已知四边形的四条边分别为1，，2，．
选项中的四边形的四条边分别为，2，2，，两个四边形的四条边对应不成比例，不符合题意；
选项中的四边形的四条边分别为2，，，4，两个四边形的四条边不是对应成比例，故选项中的四边形与已知四边形不相似，不符合题意；
选项中的四边形的四条边分别为2，，，4，两个四边形的四条边不是对应成比例，故选项中的四边形与已知四边形不相似，不符合题意；
选项中的四边形的四条边分别为2，，4，，两个四边形的四条边对应成比例．
将已知四边形表示为四边形，将选项中的四边形表示为．
如图，连接、，则，．
在与中，
，
，
，，．
在与中，
，
，
，，，
，，，，
又，
四边形四边形．
故选：D．
9. 如图，正方形纸片的中心刚好是的外心，则（ ）

A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了圆内接四边形对角互补，正方形的性质，根据题意可得是四点共圆，再利用圆内接四边形的性质即可求解
【详解】解：如图所示，连接，

∵正方形纸片的中心刚好是的外心，且是的外心，
∴是四点共圆，
∴
∴，
故选：A．
10. 如图，其小区在一块长为，宽为的矩形空地上新修三条宽度相同的小路，其中一条和矩形的一边平行．另外两条和矩形的另一边平行，空地剩下的部分种植花草，使得小路占地面积为，求小路的宽度．设小路的宽度为，甲、乙两位同学分别得到如下方程：
甲：；
乙：
其中正确的是（ ）
A. 甲对、乙不对B. 甲不对、乙对
C. 甲、乙均对D. 甲、乙均不对
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了列一元二次方程解决实际问题，解决本题的关键是找出图形中面积之间的相等关系，把各部分的面积用含的代数式表示出来，并列出等式，即可得到需要的一元二次方程．
【详解】解：矩形的长为，宽为，则矩形的面积为，小路占地面积为，
种植花草的面积为，
从平移的角度考虑，把种植花草的区域拼成一个矩形，矩形的长为，宽为，
矩形的面积为，
可列方程，
甲列的方程正确；
两条竖着的小路的长为，宽为，
两条竖着的小路的面积为，
横着的小路的长度为，宽为，
横着的小路的面积为，
三条小路有两个重叠的区域，重叠区域是边长为的正方形，
重叠部分的面积为，
小路的面积可表示为，
可列方程为，
乙列的方程错误；
综上所述，甲对、乙不对．
故选： A．
11. 如图所示为某新款茶吧机，开机加热时每分钟上升，加热到，停止加热，水温开始下降，此时水温与通电时间成反比例关系．当水温降至时，饮水机再自动加热，若水温在时接通电源，水温与通电时间之间的关系如图所示，则下列说法中错误的是（ ）
A. 水温从加热到，需要4min
B. 水温下降过程中，与的函数关系式是
C. 在一个加热周期内水温不低于的时间为
D. 上午10点接通电源，可以保证当天能喝到不低于的水
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数的应用，熟练掌握待定系数法确定函数解析式、灵活运用所学知识解决问题是解题的关键．根据题意和图象，先求得函数的解析式，进而反比例函数的性质逐项判断即可．
【详解】解：A、∵开机加热时每分钟上升，
∴水温从加热到，所需时间为：，故A选项说法正确，不合题意；
B、由题可得，在反比例函数图象上，
设反比例函数解析式为，
代入点可得，，
∴水温下降过程中，y与x函数关系式是，故B选项说法正确，不合题意；
C、当水温升至时，用时，
当水温降至时，，解得：，
∴在一个加热周期内水温不低于的时间为，故C选项说法错误，符合题意；
D、在中，令，则，
即：每20分钟，饮水机重新加热，
∴上午10点接通电源，当天时饮水机是第二次加热，
把代入，得：，
即：时的水温为，不低于，故D选项说法正确，不合题意；
故选：C．
12. 如图，抛物线（常数），双曲线.设与双曲线有个交点的横坐标为，且满足，在位置随变化的过程中，的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用双曲线求出L与双曲线在（4，），（3，2）之间的一段有个交点，利用方程即可解决问题．
【详解】对双曲线，当3＜x0＜4时，＜y0＜2，即L与双曲线在（4，），（3，2）之间的一段有个交点．
①由＝−（4-t）（4-t+4）解得t=5或7．
②由2=-（3-t）（3-t+4）解得t=5．
满足条件的t的值为5＜t＜7．
故选D．
【点睛】本题考查二次函数综合题、待定系数法、平移等知识，解题的关键是理解题意，学会利用图形信息解决问题，学会用方程的思想思考问题，考虑问题要全面
二、填空题 （本大题共4个小题，每小题3分，共12分）
13. 如图是反比例函数的图象．整数的值是________．
【答案】1
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数的性质，由反比例函数的性质得，由图得，即可求解；理解反比例函数的性质是解题的关键．
【详解】解：由题意得
，
解得：，
图象在第一象限，
，
是整数，
，
故答案为：．
14. 已知点与点是关于原点O的对称点，则长为_________．
【答案】10
【解析】
【分析】本题考查了关于原点对称的点的坐标特征以及两点间距离公式，解题的关键是先根据原点对称性质求出点坐标，再利用距离公式计算长度．
先根据关于原点对称的点的坐标特征求出点坐标，再代入两点间距离公式计算的长度．
【详解】因为点与点关于原点对称，根据关于原点对称的点的坐标特征：横，纵坐标都互为相反数，可得，即．
根据两点间距离公式，其中，则：
，
所以长为10．
故答案为：10．
15. 若a，b是方程的两个实数根，则的值为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程根与系数关系定理，求代数式的值，熟练掌握的两根满足是解题的关键．
【详解】解：∵a，b是方程的两个实数根，
∴，
∴，
故答案为：．
16. 如图，点C为扇形的弧上一个动点，连接、，若，，则阴影部分面积的最小值为______．
【答案】
【解析】
【分析】设弧的中点为，连接，，，根据等边三角形的性质求出，进而得到的长，根据扇形面积公式，三角形的面积公式计算即可求解．
【详解】解：如图，设弧的中点为，连接，，，要使阴影部分的面积最小，需要满足四边形的面积最大，只需满足的面积最大即可，从而可得当点位于弧的中点时，的面积最大 ，连接，则于，且垂直平分，
∵，，
∴为等边三角形，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∵扇形的面积，
∴阴影部分面积的最小值，
故答案为：．
【点睛】此题考查了扇形面积计算，垂径定理，勾股定理，等边三角形的性质，掌握扇形面积公式是解题的关键．
三、解答题 （本大题共8个小题，满分72分，解答题应写出必要的解题步骤或文字说明、证明过程）
17. 已知反比例函数的图象位于第二、四象限．
（1）求k的取值范围；
（2）若点是该反比例函数图象上的两点，试比较函数值的大小．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查了反比例函数增减性与比例系数的关系，比较反比例函数函数值的大小，解题的关键在于熟知反比例函数图象增减性以及经过的象限与比例系数的关系．
（1）反比例函数图象经过第二、四象限，那么比例系数小于0，据此求解即可；
（2）根据题意可得在每个象限内，y随x增大而增大，根据点的坐标可知点A和点B都在第二象限，由此可得答案．
【小问1详解】
解：∵反比例函数的图象位于第二、四象限，
∴，
∴；
【小问2详解】
解：∵反比例函数的图象位于第二、四象限，
∴在每个象限内，y随x增大而增大，
∵点是该反比例函数图象上的两点，，
∴点A和点B都在第二象限，
∴．
18. 若一元二次方程的右边被墨水污染▊．
（1）若方程的一个解为时，求“▊”的值；
（2）若“▊”表示，求．
【答案】（1）
（2），
【解析】
【分析】本题考查一元二次方程的解与解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程的解，解一元二次方程的方法．
（1）把代入，解出▊，即可；
（2）根据题意，可得方程为，解出方程，即可．
【小问1详解】
解：把代入，
∴，
∴“▊”的值为．
【小问2详解】
解：由题意得，方程为，
∴，
∵，
∴，
∴，．
19. 如图，三根同样的绳子，，穿过一块木板，姐妹两人分别站在木板的左、右两侧，每次各自选取本侧的一根绳子，每根绳子被选中的机会相等．
（1）姐姐从这三根绳子中随机选一根，恰好选中绳子的概率为 ；
（2）用画树状图（或列表）的方法，求姐姐和妹妹选中的两个绳头恰好是同一根绳子的概率．
【答案】（1）
（2）见解析，
【解析】
【分析】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法或树状图法以及概率公式是解答本题关键．
（1）直接运用概率公式解答即可；
（2）列得出所有等可能结果，从中找出符合条件的结果数，然后根据概率公式计算即可．
小问1详解】
解：∵共有三根同样的绳子，，穿过一块木板，
∴姐姐从这三根绳子中随机选一根，恰好选中绳子的概率为：．
故答案为：．
【小问2详解】
解：画树状图，如图所示：
，
共有9种等可能的结果数，其中两人选到同一条绳子的结果数为3，
所以两人选到同一条绳子的概率．
20. 如图，在中，点在边上，．
（1）求证：；
（2）若，求的长．
【答案】（1）证明见解析；
（2）．
【解析】
【分析】（）由得，，进而得，由，得，即可求证；
（）由得，可得到，进而得到，再由线段的和差关系即可求解；
本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
【小问1详解】
证明：∵，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
【小问2详解】
解：由，得，
，
四边形是平行四边形，
，
．
21. 探究：用一条直线将一个中心对称图形分成面积相等的两部分．
我们知道圆和平行四边形都是中心对称图形，由图1可总结规律：一个中心对称图形， 的直线将它分成面积相等的两部分．
应用1 ：如图2，若矩形 是老林家的一块田地，P为水井，现要把这块田地平均分给两个儿子，为了用水方便，要求分给两个儿子的田地都与水井 P 相邻． 请你帮老林家设计一下，画出图形，并说明理由．
应用2 ：图3是一个由正方形和圆构成的“组合图形”，用一条直线 将图3的阴影部分分成面积相等的两部分． （不写作图过程，保留作图痕迹）
【答案】探究：经过对称中心；应用1：见详解；应用2：见详解
【解析】
【分析】本题考查作图中心对称设计图案，中心对称图形的性质，正方形和矩形的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
探究：根据中心对称图形的性质解答即可；
应用1：连接，交于点，作直线即可；
应用2：连接，交于点，作直线分别交于点即可；
【详解】解：探究：根据图1可总结规律：一个中心对称图形，经过对称中心的直线将它分成面积相等的两部分．
故答案为：经过对称中心；
应用1：如图：
理由：矩形是中心对称图形，对称中心是两条对角线的交点O，过O、P的直线满足把矩形面积等分，且都与水井P相邻；
应用2：
理由：正方形是中心对称图形，对称中心是两条对角线的交点，过O、的直线满足把正方形面积和圆面积等分，直线 将图3的阴影部分分成面积相等的两部分．
22. 图1是我国古代提水的器具桔槔（jié gā），创造于春秋时期．它选择大小两根竹竿，大竹竿中点架在作为杠杆的竹梯上．大竹竿末端悬挂一个重物，前端连接小竹竿（小竹竿始终与地面垂直），小竹竿上悬挂水桶．其原理是通过对架在竹梯上的大竹竿末端下压用力，从而提水出井．当放松大竹竿时，小竹竿下降，水桶就会回到井里．如图2是桔槔的示意图，大竹竿米，O为的中点，支架垂直地面，此时水桶在井里时，．
（1）如图2，求支点O到小竹竿的距离（结果精确到0.1米）；
（2）如图3，当水桶提到井口时，大竹竿旋转至的位置，小竹竿至的位置，此时，求点A上升的高度（结果精确到0.1米）．（参考数据：，，，）
【答案】（1）支点O到小竹竿的距离
（2）点A上升的高度为
【解析】
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
（1）作于点G，由题意可知，，在中，应用特殊角三角函数值求即可；
（2）记交于点H，由题意推出，在中，求，在中求，则点A上升的高度可解．
小问1详解】
解：作于点G（图1），
∵O为的中点，，
∴，
∵，
∴
∵，
∴，
在中，
∴
∴支点O到小竹竿的距离．
【小问2详解】
解：记交于点H（图2），
∵，，
∴，
∴
∵，
∴，
∴
在中，
，
在中，
m
∴点A上升的高度为．
23. 图1是木马玩具底座水平放置的示意图．点O是所在圆的圆心，的半径为，已知点A，B之间的水平距离为，且两点距离地面的竖直高度一样高．
计算
（1）求点A的竖直高度；
操作
（2）将图1的木马玩具沿地面向右作无滑动的滚动，当与相切于点B时，如图2，点A的竖直高度升高了多少？
探究
（3）在上述操作过程中，直接写出圆心O运动的路径长．（参考数据：）
【答案】（1）点A的竖直高度为，见解析；（2）点A的竖直高度升高了，见解析；（3）
【解析】
【分析】（1）过点作于点C交于点D，则为切点，根据勾股定理求出长即可解题；
（2）过点作于点，根据列方程解题即可；
（3）根据解直角三角形得到，进而得到圆心角的度数代入弧长公式即可解题．
【详解】（1）过点作于点C交于点D，则为切点，
∵A，B两点距离地面的竖直高度一样高，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴点A的竖直高度；
（2）过点作于点，
则A点到地面的距离为长，设，则，
∴，即，
解得，
∴点A的高度升高为；
（3）如图，，
∴，
∴，
∴圆心O运动的路径长为．
【点睛】本题考查垂径定理，勾股定理，三角函数，弧长公式，作辅助线构造直角三角形是解题的关键．
24. 在平面直角坐标系中，已知抛物线．
（1）抛物线的对称轴为直线 ；
（2）当时，函数值的取值范围是．
①求和的值；
②抛物线上一点到轴的距离为6．求点的坐标；
③将该抛物线在间的部分记为，将在直线下方的部分沿翻折，其余部分保持不变．得到的新图象记为．设的最高点、最低点的纵坐标分别为，若，求的取值范围．
【答案】（1）
（2）①，；②点P的坐标为或；③
【解析】
【分析】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到图象的翻折、函数的最值、不等式的应用等，要注意分类求解，避免遗漏．
（1）函数的对称轴为：即可求解；
（2）①函数对称轴为，当时，函数值y的取值范围是，故是函数的最小值，即抛物线的顶点为，即可求解；②抛物线上一点P到x轴的距离为6，而顶点坐标为，故，即可求解；③分在点H下方、上方两种情况分别求解即可．
【小问1详解】
解：函数的对称轴为：
，
故答案为：；
小问2详解】
①函数对称轴为，当时，函数值y的取值范围是
故是函数的最小值，即抛物线的顶点为．
将函数顶点坐标代入函数表达式并解得：．
故抛物线的表达式为：，
则；
②∵抛物线上一点P到x轴的距离为6，而顶点坐标为，
，
解得：，
故点P的坐标为 或；
③．
设图象折叠后顶点M的对应点为，点H是函数所处的位置，图象Q为区域，
点，点，则点
当点在点H下方或与H重合时，函数Q的最高点为H，最低点为N，
则，，依题意得：
．解得，
当点在点H上方时，函数Q的最高点为点，最低点为N，
则，，依题意得：
．解得．
若，的取值范围．综上所述：．