2024-2025学年江苏省泰州市兴化市八年级（上）期末数学试卷（含详解）

这是一份2024-2025学年江苏省泰州市兴化市八年级（上）期末数学试卷（含详解），共27页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）下列调查中，最适合全面调查的是（ ）
A．检查一枚用于发射卫星的运载火箭的各零部件
B．调查某款新能源车电池的使用寿命
C．了解全国中学生的视力情况
D．对2024年春节联欢晚会满意度的调查
2．（3分）下列四组线段中，可以构成直角三角形的是（ ）
A．4，5，6B．2，3，4C．3，4，7D．1，2，3
3．（3分）如图，小明书上的三角形被墨迹污染了一部分，很快他就根据所学知识画出一个与书上完全一样的三角形，那么这两个三角形完全一样的依据是（ ）
A．SSSB．SASC．SSAD．ASA
4．（3分）已知△ABC的三边长分别是3、4、5，则该三角形斜边上的中线长是（ ）
A．2B．2.5C．3D．3.5
5．（3分）甲、乙两人沿相同路线由A地到B地匀速前进，两地之间的路程为20km．两人前进路程s（单位：km）与甲的前进时间t（单位：h）之间的对应关系如图所示．根据图象信息，下列说法正确的是（ ）
A．甲比乙晚出发1hB．乙全程共用2h
C．乙比甲早到B地3hD．甲的速度是5km/h
6．（3分）如图，弹性小球从P（2，0）出发，沿所示方向运动，每当小球碰到正方形OABC的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当小球第一次碰到正方形的边时的点为P1，第二次碰到正方形的边时的点为P2…，第n次碰到正方形的边时的点为Pn，则P2024的坐标是（ ）
A．（5，3）B．（3，5）C．（2，0）D．（0，2）
二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分.请把答案直接写在答题卡相应位置上）
7．（3分）投掷一枚硬币100次，其中“正面朝上”的有46次，则“正面朝上”的频率是 ．
8．（3分）等腰三角形的两边长分别为1和3，则三角形的周长为 ．
9．（3分）在平面直角坐标系中，点（﹣3，2）关于y轴的对称点的坐标是 ．
10．（3分）2.026kg精确到0.1kg是 kg．
11．（3分）汽车油箱内存油50L，每行驶100km耗油10L，行驶过程中油箱内剩余油量y L与行驶路程x km的函数表达式是 ．
12．（3分）一个不透明的袋中装有除颜色外其余均相同的8个黄球和4个黑球和若干个红球，每次摇匀后随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，通过大量重复摸球试验后，发现摸到红球的频率稳定于0.4，由此可估计袋中约有红球 个．
13．（3分）函数y＝kx与y＝6﹣x的图象如图所示，则k＝ ．
14．（3分）如图，已知点A（﹣3，4），将线段OA绕点A逆时针旋转90°至AA′，则A′的坐标是 ．
15．（3分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，若点P在边AC上运动，过点P作PQ⊥AB，垂足为Q，连接BP，则BP+PQ的最小值是 ．
16．（3分）如图，在直角坐标系中，已知AB∥x轴，AC＝BC，A（﹣4，4），C（0，1），D（2，7）．现在为方便居民生活，政府决定在一条笔直的公路边上新建一个燃气站P，该公路的函数表达式是直线y＝x﹣1，从燃气站P向C、D两个中转站分别铺设管道，输送燃气．C、D两个中转站点之间有一个古建筑区△ABC，燃气管道不能穿过该区域，为使铺设管道的路线最短，则燃气站P的坐标是 ．
三、解答题（本大题共有10题，共102分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（12分）计算与求值：
（1）计算：(−5)2−38−14；
（2）求x的值：（x+3）3＝﹣27．
18．（8分）有甲、乙两只不透明的袋子，每只袋子中装有红球和黄球若干，各袋中所装球的总个数相同，这些球除颜色外都相同．实践组用甲袋、创新组用乙袋各自做摸球试验：两人一组，一人从袋中任意摸出1个球，另一人记下颜色后将球放回并搅匀，各组连续做这样的试验，将记录的数据绘制成如下两种条形统计图：
（1） 图能更好地反各组试验的总次数， 图能更好地反映各组试验摸到红球的频数（填“A”或“B”）；
（2）求实践组摸到黄球的频率；
（3）实践组摸到黄球的频率 创新组摸到黄球的频率（填“大于”、“小于”或“等于”）．
19．（8分）如图，∠C＝∠D＝90°，∠CBA＝∠DAB．
（1）求证：△ABC≌△BAD；
（2）若∠DAB＝70°，则∠CAB＝ °．
20．（8分）如图，直线l是一次函数y＝kx+4的图象，且直线l经过点（1，2）．
（1）求k的值；
（2）若直线l与x轴、y轴分别交于A、B两点，求△AOB的面积．
21．（10分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠ABC的平分线交AC于点D，若BC＝6，AB＝10．
（1）求AC的长；
（2）过点D作DE⊥AB，垂足为E，求DE的长．
22．（10分）甲、乙两家旅行社推出两日游优惠活动，两家旅行社报价均为800元/人，且提供同样的服务，但优惠办法不同．甲旅行社的优惠办法是：每人按报价的8折收费．乙旅行社的优惠办法是：若人数不超过20人，每人按报价的9折收费；若人数超过20人，则超出部分每人按报价的7折收费．
（1）若某单位报名参加两日游的人数超过了20人，设报名参加两日游的人数为x人，请写出甲、乙两家旅行社两日游收费y甲、y乙（元）与x（人）之间的函数表达式；
（2）若报名参加两日游的人数确定为50人，请你通过计算，选择收费较少的一家．
23．（10分）如图，∠BAD、∠ABE是△ABC的两个外角．
（1）用无刻度直尺和圆规分别作∠BAD和∠ABE的平分线，两线交于点O；（保留作图痕迹，不写作法）
（2）在（1）的条件下，连接CO，求证：CO平分∠ACB．
24．（10分）如图①，公路上有A、B、C三个车站，一辆汽车从A站以速度v1匀速驶向B站，到达B站后不停留，以速度v2匀速驶向C站，汽车行驶路程y（千米）与行驶时间x（小时）之间的函数图象如图②所示．
（1）求整个行驶过程中y与x之间的函数关系式及x的取值范围；
（2）若汽车在某一段路程内刚好用50分钟行驶了60千米，求这段路程开始时x的值．
25．（12分）在△ABC中，∠C＝90°，点O是AB的中点，点D是AC边上一个动点，连接DO．
（1）如图①，当直线DO恰好垂直平分AB时，若BC＝2，AC＝3．
①连接BD，求△BCD的周长；
②求线段CD的长；
③如图②，在△ABC右侧作∠ABE＝∠ABC，过点A作AE∥BC交BE于点E，求线段BE的长．
（2）如图③，过点B作OD的垂线，垂足为H，连接HC，若BC＝2，∠A＝30°，在点D运动的过程中，HC的长是否存在最大值？若存在，求出该最大值；若不存在，请说明理由．
26．（14分）【问题导入】如图①，在直线l上找一点P，如何使得PA+PB最小？
小华同学的思路：作点A关于直线l的对称点A′，连接BA′，与直线l交于点P．由对称可得PA′＝PA，所以PA+PB＝PA′+PB≥A′B，当A′、P、B三点共线的时候，PA′+PB＝A′B，此时PA+PB最小．
如图②，在直线l上找一点P，如何使得|PA﹣PB|最大？
小明同学的思路：作点A关于直线l的对称点A′，连接BA′并延长交直线l交于点P．由对称可得PA′＝PA，所以|PA﹣PB|＝|PA′﹣PB|≤A′B，当A′、P、B三点共线的时候，|PA﹣PB|＝A′B，此时|PA﹣PB|最大．
可见，解此类问题的关键是将问题转化为“两点之间线段最短”来解决．
【理解运用】（1）如图③，直线y=12x+b上有点A（4，a）、B（﹣2，1），点P在x轴上运动，点Q在直线AB下方的y轴上运动．
①求a、b的值；
②当PA+PB最小时，求点P的坐标；
③令t＝QA﹣QB﹣PA﹣PB，当t的值最大时，求点Q的坐标及t的最大值．
【深度探究】（2）在（1）的条件下，且满足t＝QA﹣QB﹣PA﹣PB，当t的值最大时，若点M、N分别是线段OP、OQ上的动点，且PM＝ON，连接PN、MQ，当PN+MQ最小时，求点M的坐标．
2024-2025学年江苏省泰州市兴化市八年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分.在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号涂在答题卡相应位置上）
1．（3分）下列调查中，最适合全面调查的是（ ）
A．检查一枚用于发射卫星的运载火箭的各零部件
B．调查某款新能源车电池的使用寿命
C．了解全国中学生的视力情况
D．对2024年春节联欢晚会满意度的调查
【解答】解：A、检查一枚用于发射卫星的运载火箭的各零部件，适合全面调查，故本选项符合题意；
B、调查某款新能源车电池的使用寿命，适宜采用抽样调查，故本选项不符合题意；
C、了解全国中学生的视力情况，适宜采用抽样调查，故本选项不符合题意；
D、对2024年春节联欢晚会满意度的调查，适宜采用抽样调查，故本选项不符合题意；
故选：A．
2．（3分）下列四组线段中，可以构成直角三角形的是（ ）
A．4，5，6B．2，3，4C．3，4，7D．1，2，3
【解答】解：A、∵42+52＝41，62＝36，
∴42+52≠62，
∴不能构成直角三角形，
故A不符合题意；
B、∵22+32＝13，42＝16，
∴22+32≠42，
∴不能构成直角三角形，
故B不符合题意；
C、∵（3）2+（7）2＝10，42＝16，
∴（3）2+（7）2≠42，
∴不能构成直角三角形，
故C不符合题意；
D、∵12+（2）2＝3，（3）2＝3，
∴12+（2）2＝（3）2，
∴能构成直角三角形，
故D符合题意；
故选：D．
3．（3分）如图，小明书上的三角形被墨迹污染了一部分，很快他就根据所学知识画出一个与书上完全一样的三角形，那么这两个三角形完全一样的依据是（ ）
A．SSSB．SASC．SSAD．ASA
【解答】解：由图可知，三角形两角及夹边可以作出，
所以，依据是ASA．
故选：D．
4．（3分）已知△ABC的三边长分别是3、4、5，则该三角形斜边上的中线长是（ ）
A．2B．2.5C．3D．3.5
【解答】解：∵△ABC的三边长分别是3、4、5，
∴32+42＝25，52＝25，
∴32+42＝52，
∴△ABC是直角三角形，
∴该三角形斜边上的中线长是2.5，
故选：B．
5．（3分）甲、乙两人沿相同路线由A地到B地匀速前进，两地之间的路程为20km．两人前进路程s（单位：km）与甲的前进时间t（单位：h）之间的对应关系如图所示．根据图象信息，下列说法正确的是（ ）
A．甲比乙晚出发1hB．乙全程共用2h
C．乙比甲早到B地3hD．甲的速度是5km/h
【解答】解：甲的速度是：20÷4＝5km/h；
乙的速度是：20÷1＝20km/h；
由图象知，甲出发1小时后乙才出发，乙到2小时后甲才到，
故选：D．
6．（3分）如图，弹性小球从P（2，0）出发，沿所示方向运动，每当小球碰到正方形OABC的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当小球第一次碰到正方形的边时的点为P1，第二次碰到正方形的边时的点为P2…，第n次碰到正方形的边时的点为Pn，则P2024的坐标是（ ）
A．（5，3）B．（3，5）C．（2，0）D．（0，2）
【解答】解：由题意得，
点P1的坐标为（5，3），
点P2的坐标为（3，5），
点P3的坐标为（0，2），
点P4的坐标为（2，0），
点P5的坐标为（5，3），
∵2024÷4＝506，
∴点P2024的坐标为（2，0），
故选：C．
二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分.请把答案直接写在答题卡相应位置上）
7．（3分）投掷一枚硬币100次，其中“正面朝上”的有46次，则“正面朝上”的频率是 0.46 ．
【解答】解：∵投郑一枚硬币100次，其中“正面朝上”的有46次，
∴“正面朝上”的频率是46÷100＝0.46．
故答案为：0.46．
8．（3分）等腰三角形的两边长分别为1和3，则三角形的周长为 7 ．
【解答】解：分两种情况：
当等腰三角形的腰长为1，底边长为3时，
∵1+1＝2＜3，
∴不能组成三角形；
当等腰三角形的腰长为3，底边长为1时，
∵3+1＝4＞3，
∴三角形的周长＝3+3+1＝7；
综上所述：三角形的周长为7，
故答案为：7．
9．（3分）在平面直角坐标系中，点（﹣3，2）关于y轴的对称点的坐标是 （3，2） ．
【解答】解：在平面直角坐标系中，点（﹣3，2）关于y轴的对称点的坐标是（3，2），
故答案为：（3，2）．
10．（3分）2.026kg精确到0.1kg是 2.0 kg．
【解答】解：2.026kg精确到0.1kg是 2.0千克，
故答案为：2.0．
11．（3分）汽车油箱内存油50L，每行驶100km耗油10L，行驶过程中油箱内剩余油量y L与行驶路程x km的函数表达式是 y＝50﹣0.1x ．
【解答】解：汽车每行驶1km耗油0.1L，行驶x km后耗油0.1xL．
油箱内剩余油量yL等于初始油量50L减去耗油量0.1xL，
所以函数表达式为：y＝50﹣0.1x．
故答案为：y ＝50﹣0.1x．
12．（3分）一个不透明的袋中装有除颜色外其余均相同的8个黄球和4个黑球和若干个红球，每次摇匀后随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，通过大量重复摸球试验后，发现摸到红球的频率稳定于0.4，由此可估计袋中约有红球 8 个．
【解答】解：∵通过大量重复摸球试验后，发现摸到红球的频率稳定于0.4，
∴可估计摸到红球的概率为0.4，
设袋中红球的个数为x，
根据题意，得：x8+4+x=0.4，
解得x＝8，
经检验：x＝8是分式方程的解，
所以可估计袋中约有红球8个．
故答案为：8．
13．（3分）函数y＝kx与y＝6﹣x的图象如图所示，则k＝ 2 ．
【解答】解：∵一次函数y＝6﹣x与y＝kx图象的交点横坐标为2，
∴4＝6﹣2，
解得：y＝4，
∴交点坐标为（2，4），
代入y＝kx，2k＝4，解得k＝2．
故答案为：2
14．（3分）如图，已知点A（﹣3，4），将线段OA绕点A逆时针旋转90°至AA′，则A′的坐标是 （1，7） ．
【解答】解：过点A作y轴的平行线EF，交x轴于点N，再过点A′作EF的垂线，垂足为M，
由旋转可知，
AO＝AA′，∠A′AO＝90°，
∴∠A′AM+∠OAN＝90°．
又∵A′M⊥EF，AN⊥x轴，
∴∠A′MA＝∠ANO＝90°，
∴∠OAN+∠AON＝90°，
∴∠A′AM＝∠AON．
在△A′MA和△ANO中，
∠A′MA=∠ANO∠A′AM=∠AONAA′=AO，
∴△A′MA≌△ANO（AAS），
∴A′M＝AN，MA＝NO．
∵点A的坐标为（﹣3，4），
∴A′M＝AN＝4，MA＝NO＝3，
∴4﹣3＝1，4+3＝7，
∴点A′的坐标为（1，7）．
故答案为：（1，7）．
15．（3分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，若点P在边AC上运动，过点P作PQ⊥AB，垂足为Q，连接BP，则BP+PQ的最小值是 245 ．
【解答】解：延长BC到D，使得CD＝CB，过D作DQ⊥AB于Q，交AC于P，
∴∠DQB＝90°，
∵∠C＝90°，
∴AC垂直平分BD，
∴BP＝DP，
∴BP+PQ＝DP+PQ≥DQ，此时DQ′为BP+PQ的最小值，
∵∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，
∴AC=AB2−BC2=4，
连接AD，
则2S△ABD＝BD•AC＝AB•DQ，即：6×4＝5DQ，
解得：DQ=245，
故答案为：245．
16．（3分）如图，在直角坐标系中，已知AB∥x轴，AC＝BC，A（﹣4，4），C（0，1），D（2，7）．现在为方便居民生活，政府决定在一条笔直的公路边上新建一个燃气站P，该公路的函数表达式是直线y＝x﹣1，从燃气站P向C、D两个中转站分别铺设管道，输送燃气．C、D两个中转站点之间有一个古建筑区△ABC，燃气管道不能穿过该区域，为使铺设管道的路线最短，则燃气站P的坐标是 (103，73) ．
【解答】解：作点C（0，1）关于直线y＝x﹣1的对称点E，连接BE交直线y＝x﹣1于点P，连接CP，
因为燃气管道不穿过△ABC，所以连接BD，此时管道路线最短，
设AB交y轴于点F，直线y＝x﹣1交x轴于点M，交y轴于点N，如图所示，
∵AB|x轴，
∴CF⊥AB，
∵CA＝CB，
∴AF＝BF，
∵A（﹣4，4），
∴BF＝AF＝4，
∴B（4，4），
∵D（2，7）
∴BD=(4−2)2+(7−4)2=13，
令x＝0得y＝﹣1，
∴N（0，1），
令y＝0得x﹣1＝0，解得x＝1，
∴M（1，0），
又∵C（0，1），
∴在Rt△OCM中，OC＝OM＝1，
在Rt△OMN中，ON＝OM＝1，
由C、E对称可知，PC＝PE，CM＝EM，
∴BD+BP+PC=BD+BE=13+BE，
∵CM＝EM，C（0，1），M（1，0），
∴xE+xC2=xM，yE+yC2=yM，
∴xE＝2﹣0＝2，yE＝0﹣1＝﹣1，
∴E（2，﹣1），
设直线BE的解析式为：y＝kx+b，代入点B、E的坐标，可得2k+b=−14k+b=4，
解得，k=52b=−6，
∴直线BE的解析式为：y=52x−6，
联立y=52x−6y=x−1，
解得x=103y=73，
∴P(103，73)．
故答案为：(103，73)．
三、解答题（本大题共有10题，共102分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（12分）计算与求值：
（1）计算：(−5)2−38−14；
（2）求x的值：（x+3）3＝﹣27．
【解答】解：（1）原式=5−2−12
=212；
（2）（x+3）3＝﹣27，
x+3＝﹣3，
x＝﹣6．
18．（8分）有甲、乙两只不透明的袋子，每只袋子中装有红球和黄球若干，各袋中所装球的总个数相同，这些球除颜色外都相同．实践组用甲袋、创新组用乙袋各自做摸球试验：两人一组，一人从袋中任意摸出1个球，另一人记下颜色后将球放回并搅匀，各组连续做这样的试验，将记录的数据绘制成如下两种条形统计图：
（1） B 图能更好地反各组试验的总次数， A 图能更好地反映各组试验摸到红球的频数（填“A”或“B”）；
（2）求实践组摸到黄球的频率；
（3）实践组摸到黄球的频率 小于 创新组摸到黄球的频率（填“大于”、“小于”或“等于”）．
【解答】解：（1）B图能更好地反映各组试验的总次数，A图能更好地反映各组试验摸到红球的频数；
故答案为：B，A．
（2）实践组摸到黄球的频率＝（500﹣372）÷500＝0.256；
（3）实践组摸到黄球的频率小于创新组摸到黄球的频率（答案不唯一）．
19．（8分）如图，∠C＝∠D＝90°，∠CBA＝∠DAB．
（1）求证：△ABC≌△BAD；
（2）若∠DAB＝70°，则∠CAB＝ 20 °．
【解答】（1）证明：在△ABC和△BAD中，
∠C=∠D=90°∠CBA=∠DABAB=BA，
∴△ABC≌△BAD（AAS）；
（2）解：∵∠DAB＝70°，∠D＝90°，
∴∠DBA＝90°﹣70°＝20°，
由（1）知△ABC≌△BAD，
∴∠CAB＝∠DBA＝20°，
故答案为：20．
20．（8分）如图，直线l是一次函数y＝kx+4的图象，且直线l经过点（1，2）．
（1）求k的值；
（2）若直线l与x轴、y轴分别交于A、B两点，求△AOB的面积．
【解答】解：（1）把（1，2）代入y＝kx+4，
得k+4＝2，解得k＝﹣2；
（2）当y＝0时，﹣2x+4＝0，解得x＝2，
则直线y＝﹣2x+4与x轴的交点坐标为A（2，0）．
当x＝0时，y＝﹣2x+4＝4，
则直线y＝﹣2x+4与y轴的交点坐标为B（0，4）．
所以△AOB的面积为12×2×4＝4．
21．（10分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠ABC的平分线交AC于点D，若BC＝6，AB＝10．
（1）求AC的长；
（2）过点D作DE⊥AB，垂足为E，求DE的长．
【解答】解：（1）在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC=AB2−BC2=102−62=8；
（2）如图，过点D作DE⊥AB于点E，
∵∠C＝90°，BD是∠ABC的平分线，
∴DE＝CD，
设CD＝x，则DE＝x，
∵S△ABC＝S△ABD+S△BCD，
∴12×6×8=12×6CD+12×10DE，
即24＝3x+5x，
解得x＝3，
即DE＝3．
22．（10分）甲、乙两家旅行社推出两日游优惠活动，两家旅行社报价均为800元/人，且提供同样的服务，但优惠办法不同．甲旅行社的优惠办法是：每人按报价的8折收费．乙旅行社的优惠办法是：若人数不超过20人，每人按报价的9折收费；若人数超过20人，则超出部分每人按报价的7折收费．
（1）若某单位报名参加两日游的人数超过了20人，设报名参加两日游的人数为x人，请写出甲、乙两家旅行社两日游收费y甲、y乙（元）与x（人）之间的函数表达式；
（2）若报名参加两日游的人数确定为50人，请你通过计算，选择收费较少的一家．
【解答】解：（1）y甲＝0.8×800x＝640x，y乙＝0.9×800×20+0.7×800（x﹣20）＝560x+3200．
答：y甲与x之间的函数表达式为y甲＝640x，y乙与x之间的函数表达式为y乙＝560x+3200．
（2）当x＝50时，y甲＝640×50＝32000，y乙＝560×50+3200＝31200，
∵32000＞31200，
∴应该选择乙旅行社．
23．（10分）如图，∠BAD、∠ABE是△ABC的两个外角．
（1）用无刻度直尺和圆规分别作∠BAD和∠ABE的平分线，两线交于点O；（保留作图痕迹，不写作法）
（2）在（1）的条件下，连接CO，求证：CO平分∠ACB．
【解答】（1）解：图形如图所示：
（2）证明：过点O作OH⊥CD于点H，OM⊥AB于点M，ON⊥CE于点N．
∵AO平分∠BAD，OB平分∠ABE，
∴OH＝OM，OM＝ON，
∴OH＝ON，
∴OC平分∠ACB．
24．（10分）如图①，公路上有A、B、C三个车站，一辆汽车从A站以速度v1匀速驶向B站，到达B站后不停留，以速度v2匀速驶向C站，汽车行驶路程y（千米）与行驶时间x（小时）之间的函数图象如图②所示．
（1）求整个行驶过程中y与x之间的函数关系式及x的取值范围；
（2）若汽车在某一段路程内刚好用50分钟行驶了60千米，求这段路程开始时x的值．
【解答】解：（1）由图象可知，当0≤x≤3时，y＝60x，
当3＜x≤4时，y＝180+270−1804−3（x﹣3）＝90x﹣90；
∴y=60x(0≤x≤3)90x−90(3＜x≤4)；
（2）∵汽车在某一段路程内刚好用50分钟行驶了60千米，
∴60（3﹣x）+90（x+5060−3）＝60，
解得x＝2.5，
∴这段路程开始时x的值为2.5．
25．（12分）在△ABC中，∠C＝90°，点O是AB的中点，点D是AC边上一个动点，连接DO．
（1）如图①，当直线DO恰好垂直平分AB时，若BC＝2，AC＝3．
①连接BD，求△BCD的周长；
②求线段CD的长；
③如图②，在△ABC右侧作∠ABE＝∠ABC，过点A作AE∥BC交BE于点E，求线段BE的长．
（2）如图③，过点B作OD的垂线，垂足为H，连接HC，若BC＝2，∠A＝30°，在点D运动的过程中，HC的长是否存在最大值？若存在，求出该最大值；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）①如图1，∵直线DO恰好垂直平分AB，
∴AD＝BD，
∵BC＝2，AC＝3，
∴△BCD的周长＝BC+CD+BD＝BC+CD+AD＝BC+AC＝2+3＝5；
②设CD＝x，则AD＝BD＝3﹣x，
∵∠C＝90°，
∴CD2+BC2＝BD2，
∴x2+22＝（3﹣x）2，
∴x=56，
∴CD=56；
③如图2，过点B作BF⊥AE于F，则BF＝AC＝3，AF＝BC＝2，
设EF＝a，则AE＝a+2，
∵AE∥BC，
∴∠ABC＝∠BAE，
∵∠ABE＝∠ABC，
∴∠BAE＝∠ABE，
∴BE＝AE＝a+2，
由勾股定理得：EF2+BF2＝BE2，
∴a2+32＝（a+2）2，
∴a=54，
∴BE＝a+2=54+2=134，
即BE的长是134；
（2）存在，
如图3，取OB的中点M，连接MH，
∵BC＝2，∠A＝30°，∠ACB＝90°，
∴AB＝2BC＝4，
∵O是AB的中点，
∴OA＝OB＝2，
∵BH⊥OD，
∴∠BHD＝90°，
∴MH=12OB＝OM＝BM＝1，
∴点H在以OB为直径的圆上，
连接CH，CM，则CM+MH≥CH，
当C，M，H三点共线时，CH有最大值，其最大值为：CM+MH，
如图4，连接CO，则CO=12AB＝2＝OB，
∵∠B＝60°，
∴△BCO是等边三角形，
∵M是OB的中点，
∴CM⊥OB，
∴CM=BC2−BM2=22−12=3，
∴CH的最大值是3+1．
26．（14分）【问题导入】如图①，在直线l上找一点P，如何使得PA+PB最小？
小华同学的思路：作点A关于直线l的对称点A′，连接BA′，与直线l交于点P．由对称可得PA′＝PA，所以PA+PB＝PA′+PB≥A′B，当A′、P、B三点共线的时候，PA′+PB＝A′B，此时PA+PB最小．
如图②，在直线l上找一点P，如何使得|PA﹣PB|最大？
小明同学的思路：作点A关于直线l的对称点A′，连接BA′并延长交直线l交于点P．由对称可得PA′＝PA，所以|PA﹣PB|＝|PA′﹣PB|≤A′B，当A′、P、B三点共线的时候，|PA﹣PB|＝A′B，此时|PA﹣PB|最大．
可见，解此类问题的关键是将问题转化为“两点之间线段最短”来解决．
【理解运用】（1）如图③，直线y=12x+b上有点A（4，a）、B（﹣2，1），点P在x轴上运动，点Q在直线AB下方的y轴上运动．
①求a、b的值；
②当PA+PB最小时，求点P的坐标；
③令t＝QA﹣QB﹣PA﹣PB，当t的值最大时，求点Q的坐标及t的最大值．
【深度探究】（2）在（1）的条件下，且满足t＝QA﹣QB﹣PA﹣PB，当t的值最大时，若点M、N分别是线段OP、OQ上的动点，且PM＝ON，连接PN、MQ，当PN+MQ最小时，求点M的坐标．
【解答】解：（1）①由题意得，
12×4+b=a12×(−2)+b=1，
∴a=4b=2；
②如图1，
作点B关于x轴对称点B′，连接AB′，交x轴于点P，则PA+PB最小，
设直线AB′的解析式为：y＝kx+m，
∴4k+m=4−2k+m=−1，
∴k=56m=23，
∴y=56x+23，
当y＝0时，0=56x+23，
∴x=−45，
∴（−45，0）；
③如图1，
作点B关于y轴对称点B″（2，1），作直线AB″，交y轴于点Q，
则t＝QA﹣QB﹣PA﹣PB最大，
设直线AB″的解析式为：y＝px+q，
∴4p+q=42p+q=1，
∴p=32q=−2，
∴y=32x−2，
当x＝0时，y＝﹣2，
∴Q（0，﹣2），
∵QA﹣QB＝QA﹣QB″＝AB″=(4−2)2+(4−1)2=13，
PA+PB＝PA+PB′＝AB′=(4+2)2+(4+1)2=61，
t最大＝QA﹣QB﹣PA﹣PB=13−61；
（2）如图2，
作PG⊥x轴，截取PG＝OP，
∵PM＝ON，∠GPM＝∠PON＝90°，
∴△GPM≌△PON（SAS），
∴PN＝GM，
∴PN+MQ＝GM+MQ≥GQ，
∴当G、M、Q共线时，PM+QN最小，
∵G（−45，45），Q（0，﹣2），
∴直线GQ的解析式为：y=−72x−2，
当y＝0时，−72x−2=0，
∴x=−47，
∴M（−47，0）．
题号
1
2
3
4
5
6
答案
A
D
D
B
D
C