2024-2025学年河北省邯郸市馆陶县九年级（上）期末数学试卷

这是一份2024-2025学年河北省邯郸市馆陶县九年级（上）期末数学试卷，共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）如图，从热气球P看一面墙顶部A的仰角是（ ）
A．∠PACB．∠PBCC．∠CPAD．∠BPC
2．（3分）用配方法解方程x2﹣6x＝4时，应该把方程两边同时（ ）
A．减36B．加36C．减9D．加9
3．（3分）事件1：经过有交通信号灯的路口，遇到红灯；事件2：掷一枚骰子2次，向上一面的点数和是13，下列说法中，正确的是（ ）
A．事件1、事件2均为随机事件
B．事件1、事件2均为不可能事件
C．事件1是随机事件，事件2是不可能事件
D．事件1是不可能事件，事件2是随机事件
4．（3分）如图，在正方形网格中，两个阴影部分的格点三角形位似，则位似中心为（ ）
A．点AB．点KC．点RD．点Q
5．（3分）某火龙果种植基地，先进的灯光补给系统模拟不同时段的太阳光波，专门给火龙果补光催花，促进火龙果光合作用．技术员随机从甲、乙、丙、丁四个品种的火龙果树中各选50棵，每个品种产量的平均数x（单位：千克）及方差s2（单位：千克2）如下表所示，种植基地准备从这四个品种中选出一种产量既高又稳定的火龙果树进行种植，则应选的品种是（ ）
A．甲B．乙C．丙D．丁
6．（3分）二次函数y＝x2﹣bx+b的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
7．（3分）如图，甲、乙、丙、丁四个长方体的高h（m）与底面积S（m2）的情况分别用点A、B、C、D表示，其中点A、C恰好在同一个反比例函数的图象上，则这四个长方体中体积最大的是（ ）
A．甲B．乙C．丙D．丁
8．（3分）如图，在△ABC中，∠BAC＝70°，Ⅰ是△ABC的内心，连接AI并延长至点D，使ID＝BD．则∠DBC的度数是（ ）
A．30°B．35°C．40°D．45°
9．（3分）在半径为5的⊙O中，弦AB的长为6，若点P在⊙O上，且P到AB的距离为2，则点P的位置可以有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．3个以上
10．（3分）如图①所示，一张纸片上有一个不规则的图案（图中画图部分），小雅想了解该图案的面积是多少，她采取了以下的办法：用一个长为5m，宽为3m的长方形，将不规则图案围起来，然后在适当位置随机地向长方形区域扔小球，并记录小球在不规则图案上的次数（球扔在界线上或长方形区域外不计入试验结果），她将若干次有效试验的结果绘制成了图②所示的折线统计图，由此她估计此不规则图案的面积大约为（ ）
A．6m2B．5m2C．4m2D．3m2
11．（3分）某店销售一批户外帐篷，经调查，每顶帐篷利润为200元时，平均每天可售出60顶；单价每降价10元，每天可多售出4顶．已知该店要想平均每天盈利12160元，可列方程为(200−x)(60+x10×4)=12160，则下列表述正确的是（ ）
A．每顶帐篷单价为x元
B．降价后平均每天可出售（200﹣x）顶
C．每顶帐篷单价应降价x元
D．降价后每顶帐篷利润为(60+x10×4)元
12．（3分）在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2﹣2ax+4（a＞0）．若A（m﹣1，y1），B（m，y2），C（m+2，y3）为抛物线上三点，且总有y1＞y3＞y2，则m的取值范围可以是（ ）
A．m＜1B．m＞32C．0＜m＜12D．1＜m＜32
二、填空题（本大题共4个小题，共12分.每小题3分）
13．（3分）在某校举行的数学竞赛中，某班10名学生的成绩统计如图所示，则这10名学生成绩的众数是 分．
14．（3分）四分仪是一种十分古老的测量仪器．其出现可追溯到数学家托勒密的《天文学大成》图1是描述古代测量员用四分仪测量一方井的深度，将四分仪置于方井上的边沿，通过观衡杆测望井底点F、窥衡杆与四分仪的一边BC交于点H．如图2，四分仪为正方形ABCD．方井为矩形BEFG．若测量员从四分仪中读得AB为0.8，BH为0.4实地测得BE为2，则井深BG为 ．
15．（3分）如图，A，B，C，D均为网格图中的格点，线段AB与CD相交于点P，则∠APD的正弦值为 ．
16．（3分）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD三个顶点A（1，0）．B（1，﹣6），D（4，0），在矩形ABCD的内部（不含边界），把横、纵坐标都是整数的点称为“整点”．若双曲线y=kx(x＞0)将这些“整点”分成数量相等的两部分，则k取值范围是 ．
三、解答题（本大题共八个小题，满分72分，解答题应写出必要的解题步骤或文字说明、证明过程）
17．（7分）元旦假期，李老师驾驶小汽车从甲地匀速行驶到乙地，当小汽车匀速行驶的速度为100km/h时，行驶时间为1.5h；设小汽车匀速行驶的速度为vkm/h，行驶的时间为th．
（1）求v关于t的函数表达式；
（2）若小汽车匀速行驶的速度为60km/h，则从乙地返回甲地需要几小时？
18．（8分）如图，正方形ABCD内接于⊙O，M为弧AD中点，连接BM，CM．
（1）求证：BM＝CM；
（2）连接OB、OM，求∠BOM的度数．
19．（8分）嘉淇家客厅里装有一种开关，分别控制着A（楼梯）、B（客厅）、C（走廊）三盏电灯．在正常情况下，嘉淇按下任意一个开关均可打开对应的一盏电灯．
（1）若嘉淇任意按下一个开关，正好客厅灯亮的概率是 ．
（2）若任意按下其中的两个开关，求客厅和走廊灯同时亮的概率．
20．（8分）若关于x的一元二次方程x2+4x+2k＝0有两个不相等的实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）当k取满足条件的最大正整数时，求方程的根．
21．（9分）为了了解某小区青年对“高铁”、“扫码支付”、“网购”和“共享单车”新四大发明的喜爱程度，随机调查该小区一部分青年（每名青年只能选一个），并将调查结果制成如图所示扇形与条形统计图．
（1）a＝ ；
（2）求调查该小区青年中喜爱网网购的人数，并补充完整条形统计图；（3）已知被调查喜爱“共享单车”的青年人，一周内使用共享单车的次数分别为：1，3，5，12，b，若整数b是这组数据的中位数，直接写出该组数据的平均数．
22．（9分）如图，有两块量角器完全重合在一起（量角器的直径AB＝4，圆心为O），保持下面一块不动，上面的一块沿AB所在的直线向右平移，当圆心与点B重合时，量角器停止平移，此时半⊙O与半⊙B交于点P，连接AP．
（1）AP与半⊙B有怎样的位置关系？请说明理由．
（2）在半⊙O的量角器上，A、B点的读数分别为180°、0°时，问点P在这块量角器上的读数是多少？
（3）求图中阴影部分的面积．
23．（11分）如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝12，点E在AB上，AE＝5，P是AD上一点，将矩形沿PE折叠，点A落在点A'处．连接AC，与PE相交于点F，设AP＝x．
（1）AC＝ ；
（2）求线段A'D的最小值，并求此时tan∠APE的值；
（3）若点A'在△ABC的内部，求x的取值范围．
24．（12分）某村庄为吸引游客，沿绿道旁的母亲河河边打造喷水景观，如图1所示，为保持绿道地面干燥，水柱呈抛物线状喷入母亲河中．图2是其截面图，已知绿道路面宽OA＝3.5米，河道坝高AE＝5米，坝面AB的坡比为i＝1：0.5（即i＝tan∠ABE），当水柱离喷水口O处水平距离为2米时，水柱离地面的垂直距离达最大值，其最大值为3米．以O为原点，直线OA为x轴，建立平面直角坐标系，解决问题：
（1）求水柱所在抛物线的解析式；
（2）出于安全考虑，在河道的坝边A处竖直向上安装护栏，若护栏高度为1.2米，判断水柱能否喷射到护栏上，说明理由；
（3）河水离地平面AD距离为多少米时，刚好使水柱落在坝面截线AB与水面截线的交点处？
2024-2025学年河北省邯郸市馆陶县九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12个小题，共36分，每小题3分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（3分）如图，从热气球P看一面墙顶部A的仰角是（ ）
A．∠PACB．∠PBCC．∠CPAD．∠BPC
【解答】解：从热气球P看一面墙顶部A的仰角是∠CPA．
故选：C．
2．（3分）用配方法解方程x2﹣6x＝4时，应该把方程两边同时（ ）
A．减36B．加36C．减9D．加9
【解答】解：用配方法解方程x2﹣6x＝4时，应该把方程两边同时加9，
故选：D．
3．（3分）事件1：经过有交通信号灯的路口，遇到红灯；事件2：掷一枚骰子2次，向上一面的点数和是13，下列说法中，正确的是（ ）
A．事件1、事件2均为随机事件
B．事件1、事件2均为不可能事件
C．事件1是随机事件，事件2是不可能事件
D．事件1是不可能事件，事件2是随机事件
【解答】解：事件1：经过有交通信号灯的路口，遇到红灯，是随机事件；
事件2：掷一枚骰子2次，向上一面的点数和是13，是不可能事件，
则事件1是随机事件，事件2是不可能事件，
故选：C．
4．（3分）如图，在正方形网格中，两个阴影部分的格点三角形位似，则位似中心为（ ）
A．点AB．点KC．点RD．点Q
【解答】解：如图，连接两个阴影部分的格点的对应点，相交于点K
则位似中心为点K，
故选：B．
5．（3分）某火龙果种植基地，先进的灯光补给系统模拟不同时段的太阳光波，专门给火龙果补光催花，促进火龙果光合作用．技术员随机从甲、乙、丙、丁四个品种的火龙果树中各选50棵，每个品种产量的平均数x（单位：千克）及方差s2（单位：千克2）如下表所示，种植基地准备从这四个品种中选出一种产量既高又稳定的火龙果树进行种植，则应选的品种是（ ）
A．甲B．乙C．丙D．丁
【解答】解：因为甲品种的火龙果树、乙品种的火龙果树的产量的平均数大，
∴甲品种的火龙果树和乙品种的火龙果树产量较好，
而甲品种的火龙果树产量的方差比乙品种的火龙果树产量的方差小，
所以甲品种的火龙果树的产量比较稳定，
所以甲品种的火龙果树的产量既高又稳定．
故选：A．
6．（3分）二次函数y＝x2﹣bx+b的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
【解答】解：当b＝0时，抛物线的解析式为y＝x2，抛物线的顶点在原点；
∵抛物线y＝x2﹣bx+b的顶点坐标为：(b2，−14b2+b)，
∴当b≠0时，b2≠0，
∴抛物线的顶点不可能在y轴上，
综上分析可知，抛物线的顶点不可能在y轴上，故A不符合题意；
当x＝1时，y＝1﹣b+b＝1，
∴抛物线经过（1，1）
∴BCD三个选项中只有D选项符合．
故选：D．
7．（3分）如图，甲、乙、丙、丁四个长方体的高h（m）与底面积S（m2）的情况分别用点A、B、C、D表示，其中点A、C恰好在同一个反比例函数的图象上，则这四个长方体中体积最大的是（ ）
A．甲B．乙C．丙D．丁
【解答】解：根据题意，可知Sh的值即为长方体体积，
∵点A、C恰好在同一个反比例函数的图象上，
∴甲、丙的体积相同，
∵点D在反比例函数图象上面，点B在反比例函数图象下面，
∴丁的Sh的值最大，即体积最大，乙的Sh的值最小，即体积最少，
故选：D．
8．（3分）如图，在△ABC中，∠BAC＝70°，Ⅰ是△ABC的内心，连接AI并延长至点D，使ID＝BD．则∠DBC的度数是（ ）
A．30°B．35°C．40°D．45°
【解答】解：连接BI，
∵Ⅰ是△ABC的内心，∠BAC＝70°，
∴∠BAD＝∠DAC=12∠BAC＝35°，∠CBI＝∠ABI，
∵ID＝BD，
∴∠DBI＝∠DIB，
∵∠DBI＝∠DBC+∠CBI，∠DIB＝∠BAD+∠ABI＝∠DAC+∠ABI，
∴∠DBC+∠CBI＝∠DAC+∠ABI，
∴∠DBC＝∠DAC＝35°，
故选：B．
9．（3分）在半径为5的⊙O中，弦AB的长为6，若点P在⊙O上，且P到AB的距离为2，则点P的位置可以有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．3个以上
【解答】解：过点O作OC⊥AB于C，交⊙O于D，连接OA，如图，
∵OC⊥AB，
∴AC＝BC=12AB＝3，
在Rt△OAC中，OA＝5，AC＝3，
∴OC=OA2−AC2=4，
∴CD＝5﹣4＝1，
∴⊙O的半径为5，点P在⊙O上，且P到AB的距离为2，
∴点P的位置可以有2个．
故选：B．
10．（3分）如图①所示，一张纸片上有一个不规则的图案（图中画图部分），小雅想了解该图案的面积是多少，她采取了以下的办法：用一个长为5m，宽为3m的长方形，将不规则图案围起来，然后在适当位置随机地向长方形区域扔小球，并记录小球在不规则图案上的次数（球扔在界线上或长方形区域外不计入试验结果），她将若干次有效试验的结果绘制成了图②所示的折线统计图，由此她估计此不规则图案的面积大约为（ ）
A．6m2B．5m2C．4m2D．3m2
【解答】解：假设不规则图案面积为x m2，
由已知得：长方形面积为15m2，
根据几何概率公式小球落在不规则图案的概率为：x15m2，
当事件A试验次数足够多，即样本足够大时，其频率可作为事件A发生的概率估计值，故由折线图可知，小球落在不规则图案的概率大约为0.4，
综上有：x15=0.4，
解得x＝6．
故选：A．
11．（3分）某店销售一批户外帐篷，经调查，每顶帐篷利润为200元时，平均每天可售出60顶；单价每降价10元，每天可多售出4顶．已知该店要想平均每天盈利12160元，可列方程为(200−x)(60+x10×4)=12160，则下列表述正确的是（ ）
A．每顶帐篷单价为x元
B．降价后平均每天可出售（200﹣x）顶
C．每顶帐篷单价应降价x元
D．降价后每顶帐篷利润为(60+x10×4)元
【解答】解：∵每顶帐篷利润为200元时，平均每天可售出60顶，单价每降价10元，每天可多售出4顶，
∴所列方程中（200﹣x）表示每顶帐篷的利润，（60+x10×4）表示平均每天售出帐篷的数量，
∴x表示每顶帐篷单价降低的钱数．
故选：C．
12．（3分）在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2﹣2ax+4（a＞0）．若A（m﹣1，y1），B（m，y2），C（m+2，y3）为抛物线上三点，且总有y1＞y3＞y2，则m的取值范围可以是（ ）
A．m＜1B．m＞32C．0＜m＜12D．1＜m＜32
【解答】解：∵y＝ax2﹣2ax+4（a＞0），
∴抛物线对称轴为直线x＝1，抛物线开口向上，
∵y1＞y3，
∴x1+x32＜1，即m−1+m+22＜1，
解得m＜12，
∵y3＞y2，
∴m+m+22＞1，
解得m＞0，
∴0＜m＜12，
故选：C．
二、填空题（本大题共4个小题，共12分.每小题3分）
13．（3分）在某校举行的数学竞赛中，某班10名学生的成绩统计如图所示，则这10名学生成绩的众数是 90 分．
【解答】解：数据90出现了5次，次数最多，所以这10名学生成绩的众数是90分．
故答案为：90．
14．（3分）四分仪是一种十分古老的测量仪器．其出现可追溯到数学家托勒密的《天文学大成》图1是描述古代测量员用四分仪测量一方井的深度，将四分仪置于方井上的边沿，通过观衡杆测望井底点F、窥衡杆与四分仪的一边BC交于点H．如图2，四分仪为正方形ABCD．方井为矩形BEFG．若测量员从四分仪中读得AB为0.8，BH为0.4实地测得BE为2，则井深BG为 3.2 ．
【解答】解：依题意，AB∥EF，
∴△ABH∽△FEH，
∴ABEF=BHEH，
∵测量员从四分仪中读得AB为0.8，BH为0.4，实地测得BE为2．
∴0.8EF=0.42−0.4
解得：EF＝3.2，
∴BG＝3.2，
故答案为：3.2．
15．（3分）如图，A，B，C，D均为网格图中的格点，线段AB与CD相交于点P，则∠APD的正弦值为 31010 ．
【解答】解：如图：连接CE，DG，
由题意得：CE∥AB，
∴∠APD＝∠DCG，
由题意得：CG2＝12+12＝2，
DC2＝22+42＝20，
DG2＝32+32＝18，
∴DG2+CG2＝DC2，
∴△DCG是直角三角形，
∴∠DGC＝90°，
在Rt△DCG中，DG=18=32，CD=20=25，
∴sin∠DCG=DGCD=3225=31010，
∴sin∠APD＝sin∠DCG=31010，
故答案为：31010．
16．（3分）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD三个顶点A（1，0）．B（1，﹣6），D（4，0），在矩形ABCD的内部（不含边界），把横、纵坐标都是整数的点称为“整点”．若双曲线y=kx(x＞0)将这些“整点”分成数量相等的两部分，则k取值范围是 ﹣8＜k＜﹣6 ．
【解答】解：∵A（1，0）．B（1，﹣6），D（4，0），
∴C（4，﹣6），
∴矩形ABCD的内部有10个整点（2，﹣1），（2，﹣2），（2，﹣3），（2，﹣4），（2，﹣5），（3，﹣1），（3，﹣2），（3，﹣3），（3，﹣4），（3，﹣5），
当反比例函数图象过（2，﹣2）点时，k值为﹣4，
当反比例函数图象过（2，﹣3）点时，k值为﹣6，
当反比例函数图象过（2，﹣4）点时，k值为﹣8，
当反比例函数图象过（3，﹣2）点时，k值为﹣6，
当反比例函数图象过（3，﹣3）点时，k值为﹣9，
故k的取值范围为﹣8＜k＜﹣6．
故答案为：﹣8＜k＜﹣6．
三、解答题（本大题共八个小题，满分72分，解答题应写出必要的解题步骤或文字说明、证明过程）
17．（7分）元旦假期，李老师驾驶小汽车从甲地匀速行驶到乙地，当小汽车匀速行驶的速度为100km/h时，行驶时间为1.5h；设小汽车匀速行驶的速度为vkm/h，行驶的时间为th．
（1）求v关于t的函数表达式；
（2）若小汽车匀速行驶的速度为60km/h，则从乙地返回甲地需要几小时？
【解答】解：（1）由题意可得从甲地到乙地路程为：100×1.5＝150（km），
∴v与t的关系式为：v=150t；
（2）当小汽车匀速行驶的速度为60km/h，即v＝60km/h，
在v=150t中，令v＝60得60=150t，
解得t＝2.5，
答：小汽车速度为60km/h时，从乙地到甲地需要2.5h．
18．（8分）如图，正方形ABCD内接于⊙O，M为弧AD中点，连接BM，CM．
（1）求证：BM＝CM；
（2）连接OB、OM，求∠BOM的度数．
【解答】（1）证明：∵正方形ABCD内接于⊙O，
∴AB＝DC，
∴AB=DC，
∵M为AD的中点，
∴AM=DM，
∴AB+AM=DC+DM，
∴BM=CM，
∴BM＝CM．
（2）解：连接OB、OM、OC，
∵∠BOC=14×360°＝90°，
∴∠BOM+∠COM＝360°﹣∠BOC＝270°，
∵BM＝CM，
∴∠BOM＝∠COM，
∴2∠BOM＝270°，
∴∠BOM＝135°，
∴∠BOM的度数是135°．
19．（8分）嘉淇家客厅里装有一种开关，分别控制着A（楼梯）、B（客厅）、C（走廊）三盏电灯．在正常情况下，嘉淇按下任意一个开关均可打开对应的一盏电灯．
（1）若嘉淇任意按下一个开关，正好客厅灯亮的概率是 13 ．
（2）若任意按下其中的两个开关，求客厅和走廊灯同时亮的概率．
【解答】解：（1）小晗任意按下一个开关，正好客厅灯亮的概率是13；
故答案为：13；
（2）画树状图得：
∵共有6种等可能的结果，正好客厅灯和走廊灯同时亮的有2种情况，
∴正好客厅灯和走廊灯同时亮的概率是26=13．
20．（8分）若关于x的一元二次方程x2+4x+2k＝0有两个不相等的实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）当k取满足条件的最大正整数时，求方程的根．
【解答】解：（1）由题意得：Δ＝42﹣4×1×2k＞0，
∴16﹣8k＞0，
∴k＜2；
（2）∵k＜2，
∴最大正整数k的值为1，
∴方程为x2+4x+2＝0，
∵a＝1，b＝4，c＝2，
∴Δ＝42﹣4×1×2＝8＞0，
∴x=−4±82，
∴x1=−2+2，x2=−2−2．
21．（9分）为了了解某小区青年对“高铁”、“扫码支付”、“网购”和“共享单车”新四大发明的喜爱程度，随机调查该小区一部分青年（每名青年只能选一个），并将调查结果制成如图所示扇形与条形统计图．
（1）a＝ 30 ；
（2）求调查该小区青年中喜爱网网购的人数，并补充完整条形统计图；（3）已知被调查喜爱“共享单车”的青年人，一周内使用共享单车的次数分别为：1，3，5，12，b，若整数b是这组数据的中位数，直接写出该组数据的平均数．
【解答】解：（1）∵a%＝1﹣10%﹣40%﹣20%＝30%，
∴a＝30，
故答案为：30；
故答案为：50；
（2）由题可得，喜爱网购的人数＝5÷10%×40%＝20，
补全条形统计图如下：
（3）∵数据1，3，5，12，b的中位数是整数b，
∴b＝3或b＝4或b＝5，
当b＝3时，这组数据的平均数为1+3+5+12+35=4.8，
当b＝4时，这组数据的平均数为1+3+5+12+45=5，
当b＝5时，这组数据的平均数为1+3+5+12+55=5.2．
22．（9分）如图，有两块量角器完全重合在一起（量角器的直径AB＝4，圆心为O），保持下面一块不动，上面的一块沿AB所在的直线向右平移，当圆心与点B重合时，量角器停止平移，此时半⊙O与半⊙B交于点P，连接AP．
（1）AP与半⊙B有怎样的位置关系？请说明理由．
（2）在半⊙O的量角器上，A、B点的读数分别为180°、0°时，问点P在这块量角器上的读数是多少？
（3）求图中阴影部分的面积．
【解答】解：（1）AP与半⊙B相切；
理由如下：
连接PB．
∵AB为半⊙O的直径，
∴∠APB＝90°，即BP⊥AP，
∴AP切半⊙B于点P．
（2）连接OP．则△OPB为正三角形，
则∠POB＝60°．
即点P在这块量角器上的读数为60°．
（3）∵S阴影＝S扇形PBC﹣（S扇形POB﹣S正△POB），
又∵∠POB＝60°，∠PBO＝60°，
∴∠PBC＝120°，而正△POB的边长为2．
即S阴影=120⋅π⋅22360−(60⋅π⋅22360−34×22)=4π3−2π3+3=2π3+3．
23．（11分）如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝12，点E在AB上，AE＝5，P是AD上一点，将矩形沿PE折叠，点A落在点A'处．连接AC，与PE相交于点F，设AP＝x．
（1）AC＝ 413 ；
（2）求线段A'D的最小值，并求此时tan∠APE的值；
（3）若点A'在△ABC的内部，求x的取值范围．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝90°，
∵AB＝8，BC＝12，
∴AC=AB2+BC2=82+122=413．
故答案为：413；
（2）如图2中，连接DE，DA′．
在Rt△ADE中，∠EAD＝90°，AE＝5，AD＝BC＝12，
∴DE=AE2+AD2=52+122=13，
∵EA＝EA′＝5，
∴DA′≥DE﹣EA′＝8，
∴DA′的最小值为8，
此时E，A′，D共线，设PA＝PA′＝x，则有（12﹣x）2＝x2+82，
解得x=103，
∴tan∠APE=AEAP=5103=32；
（3）如图3﹣1中，当点A′落在AC上时，
∵∠AEP+∠EAC＝90′，∠ACB+∠EAC＝90°，
∴∠AEP＝∠ACB，
∴tan∠AEP＝tan∠ACB，
∴PAAE=ABBC，
∴PA5=812，
∴PA=103．
如图3﹣2中，当点A′落在BC上时，过点P作PH⊥BC于H，则PH＝AB＝8，PA＝BH．
在Rt△BEA′中，BE＝3，EA′＝EA＝5，
∴BA′=A′E2−BE2=52−32=4，
∵∠B＝∠EA′P＝∠PHA′＝90°，
∴∠BA′E+∠PA′H＝90°，∠PA′H+∠A′PH＝90°，
∴∠BA′E＝∠A′PH，
∴△BA′E∽△HPA′，
∴BEA′H=BA′PH，
∴3A′H=48，
∴A′H＝6，
∴AP＝BH＝BA′+A′H＝10．
观察图象可知当103＜x＜10时，点A'在△ABC的内部．
24．（12分）某村庄为吸引游客，沿绿道旁的母亲河河边打造喷水景观，如图1所示，为保持绿道地面干燥，水柱呈抛物线状喷入母亲河中．图2是其截面图，已知绿道路面宽OA＝3.5米，河道坝高AE＝5米，坝面AB的坡比为i＝1：0.5（即i＝tan∠ABE），当水柱离喷水口O处水平距离为2米时，水柱离地面的垂直距离达最大值，其最大值为3米．以O为原点，直线OA为x轴，建立平面直角坐标系，解决问题：
（1）求水柱所在抛物线的解析式；
（2）出于安全考虑，在河道的坝边A处竖直向上安装护栏，若护栏高度为1.2米，判断水柱能否喷射到护栏上，说明理由；
（3）河水离地平面AD距离为多少米时，刚好使水柱落在坝面截线AB与水面截线的交点处？
【解答】解：（1）由题意得，二次函数的顶点坐标为（2，3），
设该二次函数的解析式为y＝a（x﹣2）2+3（a≠0），二次函数经过原点，
∴4a+3＝0，
解得a=−34，
∴该二次函数的解析式为y=−34（x﹣2）2+3；
（2）水柱不能喷射到护栏上，理由如下：
当x＝3.5时，
∵1.3125＞1.2，
∴水柱不能喷射到护栏上；
（3）①∵河道坝高AE＝5米，坝面AB的坡比为i＝1：0.5（其中i＝tan∠ABE），
∴AE：BE＝1：0.5，
即BE＝2.5，
则点B与原点O的水平距离为3.5+2.5＝6，
∴点B的坐标为（6，﹣5），
又∵点A的坐标为（3.5，0），
由点A、B的坐标得，直线AB的表达式为：y1＝﹣2x+7（3.5≤x≤6），
∴=−34（x﹣2）2+3
解得x1＝2（不合题意，舍去），x2=143，
当x=143，时，y=−73，
即河水离地平面AD距离为73米时，水柱刚好落在水面上；
甲
乙
丙
丁
x
20
20
19
18
s2
1.6
1.7
1.6
1.7
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
答案
C
D
C
B
A
D
D
B
B
A
C
题号
12
答案
C
甲
乙
丙
丁
x
20
20
19
18
s2
1.6
1.7
1.6
1.7