2024-2025学年安徽省亳州市利辛县八年级（上）期末数学试卷 （含详解）

这是一份2024-2025学年安徽省亳州市利辛县八年级（上）期末数学试卷 （含详解），共27页。试卷主要包含了选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。
1．（4分）在平面直角坐标系中，点（3，﹣2）在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
2．（4分）下列2024年巴黎奥运会项目图标中，轴对称图形是（ ）
A．B．
C．D．
3．（4分）如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，BE平分∠ABC交AC边于点E，∠BAC＝55°，∠ABE＝25°，则∠CAD的度数是（ ）
A．15°B．20°C．25°D．30°
4．（4分）小明在游乐场坐过山车，在某一段60秒时间内过山车的高度h（米）与时间t（秒）之间的函数关系图象如图所示，下列结论错误的是（ ）
A．当t＝41时，h＝15
B．过山车距水平地面的最高高度为98米
C．在0≤t≤60范围内，当过山车高度是80米时，t的值只能等于30
D．当41≤t≤53时，高度h（米）随时间t（秒）的增大而增大
5．（4分）两个完全一样的三角板如图摆放，使三角板的一条直角边分别与△ABC的边AB、AC重合，它们的顶点重合于点M，则点M一定在（ ）
A．∠A的平分线上B．AC边的高上
C．BC边的中垂线上D．AB边的中线上
6．（4分）如图，△ABC≌△ADE，∠CAE＝90°，AB＝2，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．2B．3C．4D．无法确定
7．（4分）一次函数y＝mx+n与正比例函数y＝mnx（mn≠0）在同一坐标系中的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
8．（4分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，过点A作AB的垂线交BC于D，BD＝4，则CD的长为（ ）
A．1B．2C．2.5D．3
9．（4分）人工智能的发展使得智能机器人送餐成为时尚．如图，某餐厅的机器人小数和小文从厨房门口出发，准备给相距450cm的客人送餐，小数比小文先出发，且速度保持不变，小文出发一段时间后将速度提高到原来的2倍．设小数行走的时间为x（s），小数和小文行走的路程分别为y1（cm），y2（cm），y1，y2与x之间的函数图象如图所示，则下列说法不正确的是（ ）
A．小数比小文先出发15秒
B．小文提速后的速度为30cm/s
C．n＝40
D．从小数出发至送餐结束，小文和小数最远相距150cm
10．（4分）如图所示框架PABQ，其中AB＝21cm，AP，BQ足够长，PA⊥AB于点B，点M从B出发向A运动，同时点N从B出发向Q运动，点M，N运动的速度之比为3：4，当两点运动到某一瞬间同时停止，此时在射线AP上取点C，使△ACM与△BMN全等，则线段AC的长为（ ）cm．
A．18或28B．9C．9或14D．18
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
11．（5分）某风景区集体门票的收费标准是25人以内（含25人），每人10元，超过25人的，超过的部分每人5元．当人数超过25人时，请写出此时应收门票费用y（元）与人数x（人）之间的函数关系式 ．
12．（5分）如图，已知函数y＝ax+b与函数y＝kx﹣3的图象交于点P（4，﹣6），则不等式ax+b≤kx﹣3的解集是 ．
13．（5分）如图，OE、OF分别是AC、BD的垂直平分线，垂足分别为E、F，且AB＝CD，∠ABD＝116°，∠CDB＝28°，则∠OBD＝ °．
14．（5分）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，AC＝6，D是线段AB上一个动点，以BD为边在△ABC外作等边△BDE．若F是DE的中点，连接BF，
（1）∠FBC＝ °；
（2）当CF取最小值时，△BDE的周长为 ．
三、（本大题共2小题，每小题8分，共16分）
15．（8分）已知点P（2m+4，m﹣1），请分别根据下列条件，求出点P的坐标．
（1）点Q的坐标是（2，﹣3），PQ∥y轴；
（2）点P在第一、三象限的角平分线上．
16．（8分）如图，△ABC的顶点A（﹣1，4），B（﹣4，﹣1），C（1，1）．若△ABC向右平移4个单位长度，再向下平移3个单位长度得到△A'B'C'，且点C的对应点坐标是C'．
（1）画出△A'B'C'，并直接写出点C′的坐标；
（2）△ABC内有一点P（a，b）经过以上平移后的对应点为P'，直接写出点P'的坐标．
四、（本大题共2小题，每小题8分，共16分）
17．（8分）如图，在△ABC中，BD是AC边上的高，∠A＝72°，CE平分∠ACB交BD于点E，∠BEC＝115°，求∠ABC的度数．
18．（8分）如图，在△ABC和△DEB中，点D在边AB上，下面有四个条件：①BD＝CA，②DE＝AB，③DE∥AC，④∠ABC＝∠E．
（1）从中选三个作为题设，余下的一个作为结论，组成一个真命题，请填序号：已知： ，求证： ；
（2）请对你写出的命题进行证明．
五、（本题10分）
19．（10分）如图，在△ABC中，AB＝AC，AB＞BC，点D在边BC上，CD＝2BD，点E，F在线段AD上，∠1＝∠2＝∠BAC．
（1）求证：AF＝BE；
（2）若△BDE的面积为1.4，△ABC的面积为18，求△CFD的面积．
六、（本题10分）
20．（10分）在△ABC中，AB＞AC，点E在BC边上，连接AE，将△AEC沿AE翻折使得点D落在AB边上得△AED，连接DC．
（1）如图1，若∠BAC＝52°，∠ACB＝90°，则∠BCD＝ °；
（2）如图2，若AB＝BC，BD＝DE，求∠BCD的度数．
七、（本题12分）
21．（12分）《九章算术》中记载，浮箭漏（如图①）出现于汉武帝时期，它由供水壶和箭壶组成，箭壶内装有箭尺，水匀速地从供水壶流到箭壶，箭壶中的水位逐渐上升，箭尺匀速上浮，可通过读取箭尺读数计算时间．某学校科技研究小组仿制了一套浮箭漏，并从函数角度进行了如下实验探究．研究小组每2h记录一次箭尺读数（箭尺最大读数为120cm），得到如表：
（1）如图②，建立平面直角坐标系，横轴表示供水时间x（h），纵轴表示箭尺读数y（cm），描出以表格中数据为坐标的各点，并连线；
（2）观察描出各点的分布规律，可以知道它是我们学过的 函数，请结合表格数据，求出该函数解析式；
（3）应用上述得到的规律计算：如果本次实验记录的开始时间是上午9：00，那么当箭尺读数为81cm时是什么时候？
八、（本题12分）
22．（12分）一次函数y1＝ax+b（a≠0）恒过定点（1，0）．
（1）若一次函数y1＝ax+b还经过（2，3）点，求y1的表达式；
（2）若有另一个一次函数y2＝bx+a．
①点A（m，p）和点B（n，p）分别在一次函数y1和y2的图象上，求证：m+n＝2；
②设函数y＝y1﹣y2，当﹣2≤x≤4时，函数y有最大值6，求a的值．
九、（本题14分）
23．（14分）如图1，已知A，B为直线MN同侧的两点，连接AP，BP，若∠APM＝∠BPN，则称点P为点A，B关于直线MN的“等角点”．
（1）如图2，在△ABC中，D为BC上一点，点D、E关于直线AB对称，连接EB并延长至点F，判断点B是否为点D、F关于直线AB的“等角点”，并说明理由；
（2）如图2，在射线EF上求作一点Q，使得点C为点B、Q关于直线AN的“等角点”；
（3）如图3，在△ABC中，∠ABC，∠BAC的平分线交于点O，点O到AC的距离为2，直线l垂直平分边BC，点P为点O，B关于直线l的“等角点”，连接OP，BP，当∠ACB＝60°时，直接写出OP+BP的值．
2024-2025学年安徽省亳州市利辛县八年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）
1．（4分）在平面直角坐标系中，点（3，﹣2）在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【解答】解：点（3，﹣2）所在象限是第四象限．
故选：D．
2．（4分）下列2024年巴黎奥运会项目图标中，轴对称图形是（ ）
A．B．
C．D．
【解答】解：A，C，D选项中的图标都不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
B选项中的图标能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形．
故选：B．
3．（4分）如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，BE平分∠ABC交AC边于点E，∠BAC＝55°，∠ABE＝25°，则∠CAD的度数是（ ）
A．15°B．20°C．25°D．30°
【解答】解：∵BE平分∠ABC交AC边于点E，∠ABE＝25°，
∴∠ABD＝2∠ABE＝50°，
∵AD是BC边上的高，
∴∠ADB＝90°，
∴∠ABD+∠BAD＝90°，
∴∠BAD＝40°，
∴∠CAD＝∠BAC﹣∠BAD＝55°﹣40°＝15°，
故选：A．
4．（4分）小明在游乐场坐过山车，在某一段60秒时间内过山车的高度h（米）与时间t（秒）之间的函数关系图象如图所示，下列结论错误的是（ ）
A．当t＝41时，h＝15
B．过山车距水平地面的最高高度为98米
C．在0≤t≤60范围内，当过山车高度是80米时，t的值只能等于30
D．当41≤t≤53时，高度h（米）随时间t（秒）的增大而增大
【解答】解：A．由图象可知，当t＝41秒时，h的值是15米，故本选项不合题意；
B．由图象可知，过山车距水平地面的最高高度为98米，故本选项不合题意；
C．由图象可知，在0≤t≤60范围内，当过山车高度是80米时，t的值有3个，原说法错误，故本选项符合题意；
D．由图象可知，当41＜t≤53时，高度h（米）随时间t（秒）的增大而增大；故本选项不合题意；
故选：C．
5．（4分）两个完全一样的三角板如图摆放，使三角板的一条直角边分别与△ABC的边AB、AC重合，它们的顶点重合于点M，则点M一定在（ ）
A．∠A的平分线上B．AC边的高上
C．BC边的中垂线上D．AB边的中线上
【解答】解：如图：
∵ME⊥AB，MF⊥AC，ME＝MF，
∴M在∠A的角平分线上，
故选：A．
6．（4分）如图，△ABC≌△ADE，∠CAE＝90°，AB＝2，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．2B．3C．4D．无法确定
【解答】解：∵△ABC≌△ADE，AB＝2，
∴S△ABC＝S△ADE，AB＝AD＝2，∠BAC＝∠DAE，
∵∠CAE＝90°，
∴∠BAD＝∠CAE＝90°，
∴S阴影=S△ABD=12AB⋅AD=12×2×2=2，
故选：A．
7．（4分）一次函数y＝mx+n与正比例函数y＝mnx（mn≠0）在同一坐标系中的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
【解答】解：A、由一次函数图象可知，m＜0，n＞0，所以mn＜0，正比例函数图象位置不符mn＜0，此选项不符合题意；
B、由一次函数图象可知，m＞0，n＜0，所以mn＜0，正比例函数图象位置不符mn＜0，此选项不符合题意；
C、由一次函数图象可知，m＞0，n＞0，所以mn＞0，正比例函数图象位置不符mn＞0，此选项不符合题意；
D、由一次函数图象可知，m＜0，n＞0，所以mn＜0，正比例函数图象位置符合mn＜0，此选项符合题意；
故选：D．
8．（4分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，过点A作AB的垂线交BC于D，BD＝4，则CD的长为（ ）
A．1B．2C．2.5D．3
【解答】解：∵AB＝AC，∠BAC＝120°，
∴∠B＝∠C=12×（180°﹣∠BAC）＝30°，
∵DA⊥AB，
∴∠BAD＝90°，
∴∠DAC＝∠BAC﹣∠BAD＝30°，
∴∠DAC＝∠C，
∴AD＝DC，
∵∠B＝30°，∠BAD＝90°，
∴BD＝2AD＝4，
∴AD＝CD＝2，
∴CD＝2．
故选：B．
9．（4分）人工智能的发展使得智能机器人送餐成为时尚．如图，某餐厅的机器人小数和小文从厨房门口出发，准备给相距450cm的客人送餐，小数比小文先出发，且速度保持不变，小文出发一段时间后将速度提高到原来的2倍．设小数行走的时间为x（s），小数和小文行走的路程分别为y1（cm），y2（cm），y1，y2与x之间的函数图象如图所示，则下列说法不正确的是（ ）
A．小数比小文先出发15秒
B．小文提速后的速度为30cm/s
C．n＝40
D．从小数出发至送餐结束，小文和小数最远相距150cm
【解答】解：根据图象，小数比小文先出发15秒，
∴A正确，不符合题意；
小文提速前的速度为30÷（17﹣15）＝15（cm/s），
∴小文提速后的速度为15×2＝30（cm/s），
∴B正确，不符合题意；
∵30（m﹣17）＝450﹣30，
∴m＝31，
∴小数的速度为310÷31＝10（cm/s），
∴小数到达目的地所用时间为450÷10＝45（s），
∴n＝45，
∴C不正确，符合题意；
小数和小文相遇前，当x＝15时小文和小数相距最远，为10×15＝150（cm），
小数和小文相遇后，当x＝m＝31时小文和小数相距最远，为450﹣10×31＝140（cm），
∵150＞140，
∴从小数出发至送餐结束，小文和小数最远相距150cm，
∴D正确，不符合题意．
故选：C．
10．（4分）如图所示框架PABQ，其中AB＝21cm，AP，BQ足够长，PA⊥AB于点B，点M从B出发向A运动，同时点N从B出发向Q运动，点M，N运动的速度之比为3：4，当两点运动到某一瞬间同时停止，此时在射线AP上取点C，使△ACM与△BMN全等，则线段AC的长为（ ）cm．
A．18或28B．9C．9或14D．18
【解答】解：∵点M，N运动的速度之比为3：4，
∴设BM＝3tcm，则BN＝4tcm，
∵AB＝21cm，
∴AM＝AB﹣BM＝（21﹣3t）cm，
又∵∠A＝∠B＝90°，
∴当△ACM与△BMN全等时，有以下两种情况：
①当BM＝AC，BN＝AM时，则△ACM≌△BMN，
由BN＝AM，得：4t＝21﹣3t，
解得：t＝3，
∴AC＝BM＝3tcm＝9cm；
②当BM＝AM，BN＝AC时，则△ACM≌△BNM，
由BM＝AM，得：3t＝21﹣3t，
解得：t＝3.5，
∴AC＝BN＝4tcm＝14cm，
综上所述，AC的长为9cm或14cm，
故选：C．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
11．（5分）某风景区集体门票的收费标准是25人以内（含25人），每人10元，超过25人的，超过的部分每人5元．当人数超过25人时，请写出此时应收门票费用y（元）与人数x（人）之间的函数关系式 y＝5x+125（x＞25） ．
【解答】解：当x＞25时，得y＝10×25+5×（x﹣25）＝5x+125．
故答案为：y＝5x+125（x＞25）．
12．（5分）如图，已知函数y＝ax+b与函数y＝kx﹣3的图象交于点P（4，﹣6），则不等式ax+b≤kx﹣3的解集是 x≤4 ．
【解答】解：∵函数y＝ax+b与函数y＝kx﹣3的图象交于点P（4，﹣6），
∴不等式ax+b≤kx﹣3的解集是x≤4．
故答案为x≤4．
13．（5分）如图，OE、OF分别是AC、BD的垂直平分线，垂足分别为E、F，且AB＝CD，∠ABD＝116°，∠CDB＝28°，则∠OBD＝ 44 °．
【解答】解：如图，连接OA、OC，
∵OE、OF分别是AC、BD的垂直平分线，
∴OA＝OC，OB＝OD，
∴∠OBD＝∠ODB，
在△AOB和△COD中，
OA=OBAB=CDOB=OD，
∴△AOB≌△COD（SSS），
∴∠ABO＝∠CBO，
∵∠ABD＝116°，∠CDB＝28°，
∴∠ABO+∠OBD＝116°，∠CDO﹣∠ODB＝28°，
∴∠ABO＝72°，∠OBD＝44°，
故答案为：44．
14．（5分）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，AC＝6，D是线段AB上一个动点，以BD为边在△ABC外作等边△BDE．若F是DE的中点，连接BF，
（1）∠FBC＝ 60 °；
（2）当CF取最小值时，△BDE的周长为 18 ．
【解答】解：（1）∵等边△BDE，F是DE的中点，
∴∠DBE＝60°，BF平分∠DBE，
∴∠DBF=12∠DBE=12×60°＝30°，
∴∠FBC＝∠ABC+∠DBF＝30°+30°＝60°．
故答案为：60；
（2）∵在Rt△ABC中，∠ABC＝30°，
∴AB＝2AC＝2×6＝12，
∴BC=AB2−AC2=122−62=63，
由（1）得，∠FBC＝60°恒成立，
又∵当CF取最小值，
∴CF⊥BF，即∠CFB＝90°，
∴∠FCB＝90°﹣60°＝30°，
∴BF=12BC=12×63=33，
∵等边△BDE，F是DE的中点，
∴BF⊥DE，DF=12DE，
设等边△BDE的边长为2x，则DF＝x，
在Rt△BDF中，DF2+BF2＝BD2，
∴x2+(33)2=(2x)2，
解得x＝3，
∴BD＝2x＝6，
∴△BDE的周长为3×6＝18．
故答案为：18．
三、（本大题共2小题，每小题8分，共16分）
15．（8分）已知点P（2m+4，m﹣1），请分别根据下列条件，求出点P的坐标．
（1）点Q的坐标是（2，﹣3），PQ∥y轴；
（2）点P在第一、三象限的角平分线上．
【解答】解：（1）因为点P坐标为（2m+4，m﹣1），点Q坐标为（2，﹣3），且PQ∥y轴，
所以2m+4＝2，
解得m＝﹣1，
则m﹣1＝﹣2，
所以点P的坐标为（2，﹣2）．
（2）因为点P在第一、三象限的角平分线上，
所以2m+4＝m﹣1，
解得m＝﹣5，
则2m+4＝﹣6，m﹣1＝﹣6，
所以点P的坐标为（﹣6，﹣6）．
16．（8分）如图，△ABC的顶点A（﹣1，4），B（﹣4，﹣1），C（1，1）．若△ABC向右平移4个单位长度，再向下平移3个单位长度得到△A'B'C'，且点C的对应点坐标是C'．
（1）画出△A'B'C'，并直接写出点C′的坐标；
（2）△ABC内有一点P（a，b）经过以上平移后的对应点为P'，直接写出点P'的坐标．
【解答】解：（1）如图，△A′B′C′即为所求作，C′（5，﹣2），
（2）点P（a，b）经过以上平移后的对应点为P′，
∴P′（a+4，b﹣3）．
四、（本大题共2小题，每小题8分，共16分）
17．（8分）如图，在△ABC中，BD是AC边上的高，∠A＝72°，CE平分∠ACB交BD于点E，∠BEC＝115°，求∠ABC的度数．
【解答】解：∵BD是AC边上的高，
∴∠BDC＝90°，
∵∠BEC＝115°，
∴∠DCE＝∠BEC﹣∠CDE＝25°，
∵CE平分∠ACB，
∴∠BCD＝2∠DCE＝×25°＝50°，
∵∠A＝72°，
∴∠ABC＝180°﹣∠A﹣∠ACB＝180°﹣72°﹣50°＝58°，
所以∠ABC的度数为58°．
18．（8分）如图，在△ABC和△DEB中，点D在边AB上，下面有四个条件：①BD＝CA，②DE＝AB，③DE∥AC，④∠ABC＝∠E．
（1）从中选三个作为题设，余下的一个作为结论，组成一个真命题，请填序号：已知： ①③④ ，求证： ②（答案不唯一） ；
（2）请对你写出的命题进行证明．
【解答】解：（1）已知：①③④，求证：②．
故答案为：①③④；②（答案不唯一）；
（2）证明如下：∵DE∥AC，
∴∠A＝∠EDB，
在△ABC≌△DEB中，
∠A=∠EDB∠ABC=∠EAC=BD，
∴△ABC≌△DEB（AAS），
∴DE＝AB．
五、（本题10分）
19．（10分）如图，在△ABC中，AB＝AC，AB＞BC，点D在边BC上，CD＝2BD，点E，F在线段AD上，∠1＝∠2＝∠BAC．
（1）求证：AF＝BE；
（2）若△BDE的面积为1.4，△ABC的面积为18，求△CFD的面积．
【解答】（1）证明：∵∠AFC＝180°﹣∠2，∠BEA＝180°﹣∠1，且∠1＝∠2，
∴∠AFC＝∠BEA，
∵∠2＝∠CAF+∠ACF，∠BAC＝∠CAF+∠BAE，且∠2＝∠BAC，
∴∠CAF+∠ACF＝∠CAF+∠BAE，
∴∠ACF＝∠BAE，
在△ACF和△BAE中，
∠ACF=∠BAE∠AFC=∠BEAAC=BA，
∴△ACF≌△BAE（AAS），
∴AF＝BE．
（2）解：由（1）得△ACF≌△BAE，
∴S△ACF＝S△BAE，
∵CD＝2BD，
∴S△ACD＝2S△ABD，
∴S△ABD+2S△ABD＝S△ABC＝18，
∴S△ABD＝6，S△ACD＝12，
∵S△BDE＝1.4，
∴S△ACF＝S△BAE＝S△ABD﹣S△BDE＝6﹣1.4＝4.6，
∴S△CFD＝S△ACD﹣S△ACF＝12﹣4.6＝7.4，
∴△CFD的面积为7.4．
六、（本题10分）
20．（10分）在△ABC中，AB＞AC，点E在BC边上，连接AE，将△AEC沿AE翻折使得点D落在AB边上得△AED，连接DC．
（1）如图1，若∠BAC＝52°，∠ACB＝90°，则∠BCD＝ 26 °；
（2）如图2，若AB＝BC，BD＝DE，求∠BCD的度数．
【解答】解：（1）如图1，由翻折得AD＝AC，
∵∠BAC＝52°，∠ACB＝90°，
∴∠ACD＝∠ADC=12×（180°﹣52°）＝64°，
∴∠BCD＝∠ACB﹣∠ACD＝90°﹣64°＝26°，
故答案为：26．
（2）如图2，设AE交CD于点F，
∵点D与点C关于直线AE对称，
∴AE垂直平分CD，
∴∠AFC＝90°，
∵DE＝CE，
∴∠BCD＝∠EDC，
∵BD＝DE，
∴∠B＝∠DEB＝∠BCD+∠EDC＝2∠BCD，
∵AB＝BC，
∴∠BAC＝∠BCA=12（180°﹣∠B）=12（180°﹣2∠BCD）＝90°﹣∠BCD，
∴∠CAF＝∠DAF=12∠BAC=12（90°﹣∠BCD），∠ACF＝∠BCA﹣∠BCD＝90°﹣∠BCD﹣∠BCD＝90°﹣2∠BCD，
∵∠CAF+∠ACF＝90°，
∴12（90°﹣∠BCD）+90°﹣2∠BCD＝90°，
∴∠BCD＝18°，
∴∠BCD的度数是18°．
七、（本题12分）
21．（12分）《九章算术》中记载，浮箭漏（如图①）出现于汉武帝时期，它由供水壶和箭壶组成，箭壶内装有箭尺，水匀速地从供水壶流到箭壶，箭壶中的水位逐渐上升，箭尺匀速上浮，可通过读取箭尺读数计算时间．某学校科技研究小组仿制了一套浮箭漏，并从函数角度进行了如下实验探究．研究小组每2h记录一次箭尺读数（箭尺最大读数为120cm），得到如表：
（1）如图②，建立平面直角坐标系，横轴表示供水时间x（h），纵轴表示箭尺读数y（cm），描出以表格中数据为坐标的各点，并连线；
（2）观察描出各点的分布规律，可以知道它是我们学过的 一次 函数，请结合表格数据，求出该函数解析式；
（3）应用上述得到的规律计算：如果本次实验记录的开始时间是上午9：00，那么当箭尺读数为81cm时是什么时候？
【解答】解：（1）描点并连线如图所示：
（2）观察描出各点的分布规律，可以知道它是我们学过的一次函数．
故答案为：一次．
设y与x之间的函数解析式为y＝kx+b（k、b为常数，且k≠0）．
将x＝0，y＝6和x＝2，y＝18分别代入y＝kx+b，
得b=62k+b=18，
解得k=6b=6，
∴y与x之间的函数解析式为y＝6x+6．
（3）当y＝81时，得6x+6＝81，
解得x＝12.5，
上午9：00经过12.5小时是21：30，即下午9：30．
答：当箭尺读数为81cm时是下午9：30．
八、（本题12分）
22．（12分）一次函数y1＝ax+b（a≠0）恒过定点（1，0）．
（1）若一次函数y1＝ax+b还经过（2，3）点，求y1的表达式；
（2）若有另一个一次函数y2＝bx+a．
①点A（m，p）和点B（n，p）分别在一次函数y1和y2的图象上，求证：m+n＝2；
②设函数y＝y1﹣y2，当﹣2≤x≤4时，函数y有最大值6，求a的值．
【解答】（1）解：∵一次函数y1＝ax+b经过点（1，0）和点（2，3），
∴a+b＝0，2a+b＝3，解得：a＝3，b＝﹣3，
∴y1的表达式为：y1＝3x﹣3；
（2）①证明：∵一次函数y1＝ax+b（a≠0）恒过定点（1，0），
∴a+b＝0，
∴b＝﹣a，
∴y1的表达式为：y1＝ax﹣a，
∵y2＝bx+a，
∴y2＝﹣ax+a，
∵点A（m，p）在一次函数y1＝ax﹣a的图象上，
∴p＝ma﹣a，
∵点B（n，p）在一次函数y2＝﹣ax+a的图象上，
∴p＝﹣na+a，
∴ma﹣a＝﹣na+a，
即ma+na＝2a，
∵a≠0，
∴m+n＝2；
②解：由①得y1＝ax﹣a，y2＝﹣ax+a，
∵y＝y1﹣y2，
∴y＝（ax﹣a）﹣（﹣ax+a）＝2ax﹣2a，
∵a≠0，
∴有以下两种情况：
（ⅰ）当a＜0时，
对于y＝2ax﹣2a，y随x的增大而减小，
又∵﹣2≤x≤4，
∴当x＝﹣2时，y为最大，
∴2a×（﹣2）﹣2a＝6，
解得：a＝﹣1
（ⅱ）当a＞0时，
对于y＝2ax﹣2a，y随x的增大而增大，
又∵﹣2≤x≤4，
∴当x＝4时，y为最大，
∴2a×4﹣2a＝6，
解得：a＝1，
综上所述：当﹣2≤x≤4时，函数y有最大值6，a的值为﹣1或1．
九、（本题14分）
23．（14分）如图1，已知A，B为直线MN同侧的两点，连接AP，BP，若∠APM＝∠BPN，则称点P为点A，B关于直线MN的“等角点”．
（1）如图2，在△ABC中，D为BC上一点，点D、E关于直线AB对称，连接EB并延长至点F，判断点B是否为点D、F关于直线AB的“等角点”，并说明理由；
（2）如图2，在射线EF上求作一点Q，使得点C为点B、Q关于直线AN的“等角点”；
（3）如图3，在△ABC中，∠ABC，∠BAC的平分线交于点O，点O到AC的距离为2，直线l垂直平分边BC，点P为点O，B关于直线l的“等角点”，连接OP，BP，当∠ACB＝60°时，直接写出OP+BP的值．
【解答】解：（1）点B是点D、F关于直线AB的“等角点”，理由如下：
如图，
∵点D、E关于直线AB对称，
∴∠ABD＝∠ABE，
∵∠ABE＝∠FBM，
∴∠ABD＝∠FBM，
∴点B是点D、F关于直线AB的“等角点”；
（2）如图2，作法：1．以点C为圆心，以CD长为半径作弧，交射线AC于点G、H；
2．连接GD，以点H为圆心，以GD长为半径作弧，交前弧于点I；
3．作射线CI交EF于点Q，
点Q就是所求的点．
理由：由作法得CG＝CH＝CD＝CI，GD＝HI，
在△CDG和△CIH中，
CG=CHCD=CIGD=HI，
∴△CDG≌△CIH（SSS），
∴∠BCA＝∠QCN，
∴点B，Q关于直线AN的“等角点”为点C，
∴点Q就是所求的点．
（3）如图，连接OC，PC，过点O作OD⊥AC于D，
∵∠ABC，∠BAC的平分线交于点O，
∴OC平分∠ACB，
∴∠OCD=12∠ACB＝30°，
∵OD⊥AC，
∴OC＝2OD＝4，
∵直线l垂直平分边BC，
∴∠BPE＝∠CPE，BP＝CP，
∵点P为O，B关于直线l“等角点”，
∴∠BPE＝∠OPF，
∴∠CPE＝∠OPF，
∵∠OPF+∠BPO+∠BPE＝180°，
∴∠CPE+∠BPO+∠BPE＝180°，
∴O，P，C在同一条直线上，
∴OP+BP＝OP+CP＝OC＝4，
供水时间x（h）
0
2
4
6
8
箭尺读数y（cm）
6
18
30
42
54
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
D
B
A
C
A
A
D
B
C
C
供水时间x（h）
0
2
4
6
8
箭尺读数y（cm）
6
18
30
42
54