广东省汕头市潮阳区河溪中学2024-2025学年高二下学期3月月考数学试题（原卷版+解析版）

这是一份广东省汕头市潮阳区河溪中学2024-2025学年高二下学期3月月考数学试题（原卷版+解析版），共20页。试卷主要包含了 已知复数满足，则复数， 函数的部分图像大致为等内容，欢迎下载使用。
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．
1. 已知集合，则下列关系一定正确的是（ ）
A B. C. D.
2. 已知复数满足，则复数（ ）
A. B.
C. D.
3. 在中，角A，B，C所对的边分别为，，，若，，，则（ ）
A. B. 1C. D.
4. 已知圆锥的表面积等于，其侧面展开图是一个半圆，则底面圆的半径为
A. B. C. D.
5. 已知角的始边与x轴的非负半轴重合，终边上有一点，则（ ）
A. B. C. D.
6. 函数的部分图像大致为（ ）
A. B.
C D.
7. 已知双曲线的左，右焦点分别为是双曲线C上位于第一象限的一点，且，设O为坐标原点，N为的中点，的角平分线交线段ON于点M，若，则双曲线C的离心率为（ ）
A. B. 2C. D. 3
8. 已知函数 在 上单调递增，则的取值范围是（ ）
A B. C. D.
二､多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. （多选）已知向量，，则（ ）
A. B.
C. D.
10. 已知正数满足，则下列选项正确的是（ ）
A. B. ab≥8
C. a+b≥4D.
11. 已知函数的部分图象如图所示，则（ ）
A. 在上单调递增
B. 关于的方程在上有2个相异实根
C. 的图象关于点对称
D. 将的图象向左平移个单位长度，所得图象对应的函数为偶函数
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 函数的定义域为________.
13. 设，其在点处的切线斜率为__________．
14. 将数据，，，…排成如图的三角形数阵，（第一行一个，第二行两个，⋯，最下面一行有个，）则数阵中所有数据的和为________.

四､解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15. 已知数列，中，，，是公差为1的等差数列，数列是公比为2的等比数列.
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的前项和.
16. 已知函数，且曲线在点处的切线与直线平行．
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）求函数的单调区间．
17. 如图，在四棱锥中，底面ABCD，底面ABCD是菱形，点E是PD的中点，且．
（1）求证：平面ACE；
（2）若，求BE与平面ACE所成角的正弦值．
18. 2024年5月22日至5月28日是第二届全国城市生活垃圾分类宣传周，本次宣传周的主题为“践行新时尚分类志愿行”.某中学高一年级举行了一次“垃圾分类知识竞赛”，为了了解本次竞赛成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩（单位：分，得分取正整数，满分为100分）作为样本进行统计，将成绩进行整理后，分为五组（，，，，），其中第二组的频数是第一组频数的2倍，请根据下面尚未完成的频率分布直方图（如图所示）解决下列问题：
（1）求a，b值，并估计这次竞赛成绩的中位数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；
（2）如果用分层抽样的方法从样本成绩为和的学生中共抽取6人，再从6人中选2人，求2人分数恰好来自同一组的概率；
（3）某老师在此次竞赛成绩中抽取了10名学生的分数：，已知这10个分数的平均数，标准差，若剔除其中的75和85这两个分数，求剩余8个分数的平均数与方差.
19. 已知椭圆焦距为2，且经过点，M为C的右顶点，过点P的直线l与C交于点异于点
（1）求C的标准方程;
（2）求面积的最大值.
河溪中学2024——2025学年度第二学期学月考试
高二数学科试卷
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．
1. 已知集合，则下列关系一定正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先根据已知判断元素和集合B的关系，再根据元素及集合的关系判断A，应用集合及集合的基本关系判断B，C，D.
【详解】因为集合，
则，所以，C选项正确；
则可以在集合B中,也可以不在集合B中，所以A,B,D选项错误.
故选：C.
2. 已知复数满足，则复数（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由已知等式化简求出，从而可求出复数.
【详解】因为，
所以．
故选：D．
3. 在中，角A，B，C所对的边分别为，，，若，，，则（ ）
A. B. 1C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用正弦定理计算即可.
【详解】根据正弦定理，得，解得．
故选：A.
4. 已知圆锥的表面积等于，其侧面展开图是一个半圆，则底面圆的半径为
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【详解】试题分析：设圆锥的底面圆的半径为，母线长为，侧面展开图是一个半圆，，圆锥的表面积为，，故圆锥的底面半径为，故选B.
考点：圆锥的几何性质及侧面积公式.
5. 已知角的始边与x轴的非负半轴重合，终边上有一点，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由三角函数的定义可求得，，，利用二倍角的余弦公式可求值.
【详解】由题意可得，，因此，，
所以，，，，
所以
故选：B.
6. 函数的部分图像大致为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】求出函数定义域并探讨其奇偶性，再利用特殊点及特殊区间的函数值特性即可判断得解.
【详解】因且，则，于是得函数定义域为，
又，即为奇函数﹐C不正确；
而，B不正确；
因时，，，则，A不正确，D符合.
故选：D
7. 已知双曲线的左，右焦点分别为是双曲线C上位于第一象限的一点，且，设O为坐标原点，N为的中点，的角平分线交线段ON于点M，若，则双曲线C的离心率为（ ）
A. B. 2C. D. 3
【答案】C
【解析】
【分析】先假设，得到，利用双曲线的定义得出，再利用勾股定理即可得到结果.
【详解】设，因为为等腰直角三角形且N为的中点，
所以，所以，
因为，所以，即，
在中，由勾股定理，有，解得，
故选：C．
【点睛】关键点点睛：设，先判断出为等腰直角三角形，得到线段之间的比例关系，进而得，再用勾股定理即可求得结果.
8. 已知函数 在 上单调递增，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据在上恒大于0，且单调递增，可求的取值范围.
【详解】因为函数 在 上单调递增，
所以在上单调递增，所以.
且在恒大于0，所以或.
综上可知：.
故选：B
二､多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9 （多选）已知向量，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BD
【解析】
【分析】分别计算出，然后判断选项即可;
【详解】因为，，
所以，
选项A，因为，所以与不垂直，所以A错误，
选项B，因为，，所以，所以，所以B正确，
选项C，因为，所以，所以，所以C错误，
选项D，因，所以，所以，所以D正确.
故选：BD
10. 已知正数满足，则下列选项正确的是（ ）
A. B. ab≥8
C. a+b≥4D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】由题意可得，利用化简计算和基本不等式判断各个选项；
【详解】对于A，由题可得，即故A正确；
对于B，为正数，为正数，所以，当且仅当a=b=2时，等号成立.故B不正确；
对于C，为正数，当且仅当a=b=2时，等号成立，故C 正确；
对于D，为正数，当且仅当时，等号成立.故 D正确.
故选: ACD.
11. 已知函数的部分图象如图所示，则（ ）
A. 在上单调递增
B. 关于的方程在上有2个相异实根
C. 的图象关于点对称
D. 将的图象向左平移个单位长度，所得图象对应的函数为偶函数
【答案】AB
【解析】
【分析】根据函数图象求出函数解析式，再根据余弦函数的性质一一判断即可.
【详解】由的图象得，，解得，
所以，又，所以，
解得，又，所以，所以，
由，解得，
即的单调递增区间为，
令得，又，
所以在上单调递增，故A正确；
当，则，
令，即，所以在上单调递增，
且，所以；
令，即，所以在上单调递减，且；
所以当时，在上有两个不相等的实根，故B正确；
因为，所以的图象关于直线对称，故C错误；
将的图象向左平移个单位长度，得的图象，
显然为奇函数，故D错误．
故选：AB
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 函数的定义域为________.
【答案】
【解析】
【分析】根据对数的真数大于零，结合一元二次不等式的解法即可得结果.
【详解】要使有意义，
则，
可得，
即，
可得，
即的定义域为，
故答案为：.
【点睛】本题主要考查对数型复合函数的定义域，考查了一元二次不等式的解法，属于基础题.
13. 设，其在点处的切线斜率为__________．
【答案】0
【解析】
【分析】由复合函数求导法则求出函数的导函数，再根据导数的几何意义计算可得.
【详解】因为，所以，
则，所以曲线在点处的切线斜率为0.
故答案为：0
14. 将数据，，，…排成如图的三角形数阵，（第一行一个，第二行两个，⋯，最下面一行有个，）则数阵中所有数据的和为________.

【答案】
【解析】
【分析】写出数阵中所有数据的和，利用错位相减法求解即可.
【详解】由题意，设数阵中所有数据的和为，
则①，
②，
由①-②得：
，
所以.
故答案为：
【点睛】方法点睛：解决此类探究性问题，关键在观察、分析已知数据、寻找它们之间的相互联系，利用常见数列的通项公式和求和知识求解.
四､解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15. 已知数列，中，，，是公差为1的等差数列，数列是公比为2的等比数列.
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的前项和.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）先根据题意及等差数列的通项公式计算出数列的通项公式，再根据等比数列的通项公式计算出数列的通项公式，即可计算出数列的通项公式；
（2）根据数列的通项公式的特点运用分组求和法，以及等差数列和等比数列的求和公式即可计算出前项和．
【小问1详解】
由题意，可得，
故，，
数列是公比为2的等比数列，且，
，
，．
【小问2详解】
由题意及（1），可得，
则
．
16. 已知函数，且曲线在点处的切线与直线平行．
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）求函数的单调区间．
【答案】（1）
（2）单调递增区间为，，单调递减区间为.
【解析】
【分析】（1）求导，根据点斜式求解直线方程，
（2）根据导数的正负即可求解单调性.
【小问1详解】
，
，
直线l的斜率为，
由题意知，解得，
，，即，
曲线在点处的切线方程为，
即；
【小问2详解】
由（1）知，
由得或，由得，
的单调递增区间为，，的单调递减区间为，
17. 如图，在四棱锥中，底面ABCD，底面ABCD是菱形，点E是PD的中点，且．
（1）求证：平面ACE；
（2）若，求BE与平面ACE所成角的正弦值．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）先证，再利用线面平行的判定定理即可得证；
（2）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用向量法求解即可．
【小问1详解】
证明：连接BD交AC于点F，连接EF，
底面ABCD是菱形，是BD的中点，
又E是PD的中点，，
平面ACE，平面ACE，
所以平面ACE；
【小问2详解】
记AD中点为O，连接EO，OC，则，
又底面ABCD，底面ABCD，
底面ABCD，，
又，，平面COE，
所以平面COE，又平面COE，，
所以是等边三角形，
是PD的中点，且，．
以O为原点，OA，OC，OE分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系．
不妨设，则，，，，
，，，
设平面ACE的法向量，
，，
可取，，
记BE与平面ACE所成角为，则，
即BE与平面ACE所成角的正弦值为.
18. 2024年5月22日至5月28日是第二届全国城市生活垃圾分类宣传周，本次宣传周的主题为“践行新时尚分类志愿行”.某中学高一年级举行了一次“垃圾分类知识竞赛”，为了了解本次竞赛成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩（单位：分，得分取正整数，满分为100分）作为样本进行统计，将成绩进行整理后，分为五组（，，，，），其中第二组的频数是第一组频数的2倍，请根据下面尚未完成的频率分布直方图（如图所示）解决下列问题：
（1）求a，b值，并估计这次竞赛成绩的中位数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；
（2）如果用分层抽样方法从样本成绩为和的学生中共抽取6人，再从6人中选2人，求2人分数恰好来自同一组的概率；
（3）某老师在此次竞赛成绩中抽取了10名学生的分数：，已知这10个分数的平均数，标准差，若剔除其中的75和85这两个分数，求剩余8个分数的平均数与方差.
【答案】（1），，中位数约为70.5
（2）
（3）平均数为80，方差为37.5
【解析】
【分析】（1）根据频率的性质以及频率之和为1即可求解，即可根据中位数的计算公式求解，
（2）根据分层抽样比，结合列举法列举所有基本事件，即可根据古典概型的概率公式求解，
（3）根据平均数以及方差的计算公式即可求解.
【小问1详解】
由第二组的频数是第一组的2倍，可得第二组的频率为第一组的2倍，所以，
解得
又，解得
成绩落在内的频率为：，
落在内的频率为：，
因此中位数落在区间内，
设中位数为，则，解得.
故估计这次竞赛成绩的中位数约为70.5.
【小问2详解】
第四组的抽取人数为4，设所抽取的人为，
第五组的抽取人数为2，设所抽取的人为，
则从中随机抽取两名学生有，，，，，，，，，，，，，，共15种情况，
记事件“抽取的两名学生在同一组”，所以事件A包含的基本事件为，，，，，，共7种情况.
所以
【小问3详解】
由，得：.
又，
所以：.
剔除其中的75和85两个分数，设剩余8个数为
平均数与标准差分别为，，
则剩余8个分数的平均数：；
所以
即：.
方差：
故剩余8个分数的平均数为80，方差为37.5.
19. 已知椭圆的焦距为2，且经过点，M为C的右顶点，过点P的直线l与C交于点异于点
（1）求C的标准方程;
（2）求面积的最大值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由已知可得，，求解即可；
（2）设与直线PM平行的直线l的方程为，与椭圆方程联立，利用时，求得切线方程，进而求得椭圆上的点到直线PM的距离的最大值，进而求得面积的最大值.
【小问1详解】
由题，故，
把代入椭圆方程中得到，
解得：，，
所以椭圆的标准方程为；
【小问2详解】
由题，直线PM方程为，
设与直线PM平行的直线m的方程为，
当直线m与椭圆相切时，切点到直线PM距离取得最大值，Q为切点时，面积最大，
把代入椭圆方程中得：，
当直线m与椭圆相切时，距离最大，
故有，即，
所以，即，
当时，与之间的距离即为椭圆上点到直线PM距离的最大值，
此时，
所以面积最大值为