河南省郑州市郑东新区2024-2025学年数学九年级上学期数学期末试卷（原卷版+解析版）

这是一份河南省郑州市郑东新区2024-2025学年数学九年级上学期数学期末试卷（原卷版+解析版），共34页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1. 下列关于的方程一定是一元二次方程的是（ ）
A. B. C. D.
2. 如图所示的机器零件的左视图为（ ）
A. B.
C. D.
3. 下列说法中不正确的是（ ）
A. 对角线相等的四边形是矩形
B. 菱形既是轴对称图形又是中心对称图形
C. 对角线互相垂直平分的四边形是菱形
D. 正方形的四条边都相等
4. 某公司收益逐年递增，2022年缴税50万元，2024年缴税72万元．若该公司这两年缴税年平均增长率是，则年平均增长率满足方程（ ）
A. B.
C. D.
5. 如图1是装了液体的长方体容器的主视图（数据如图），将该容器绕地面一棱进行旋转倾斜后，水面恰好接触到容器口边缘，如图2所示，此时液面宽度（ ）
A. B. C. D.
6. 已知，，是抛物线上的三个点，则，，的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
7. 如图，四边形是菱形，对角线、交于点，于点，是线段中点，连接．若，，则的长为（ ）
A. B. C. D.
8. 如图，树垂直立在地面上，小明在时测得树的影子长为时又测得该树的影子长为，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度长为（ ）
A. B. 5mC. D.
9. 坐落于开封清明上河园中的虹桥是一座抛物线型拱桥，被列为中国十大名桥之一．按如图所示建立平面直角坐标系，得到抛物线解析式为，正常水位时水面宽为16m，当水位上升3m时，水面宽为（ ）
A. B. C. D.
10. 如图1，某科技小组进行野外考察时，利用压力一定时压强与接触面积成反比例关系，通过铺垫木板增大接触面积来达到减小压强的效果，顺利通过了一片烂泥湿地.已知人对木板的压力与人的质量的关系如图2所示，若小明和小亮的质量分别为和，且小明和小亮对木板的压强与木板面积的关系如图3所示，点为反比例函数图象上的一个动点，过点分别作轴和轴的垂线，交轴于点，交轴于点，交另一反比例函数图象于点，过点作轴的垂线，垂足为点，请你结合以上信息，判断下列说法中不正确的是（ ）
A. 由图2可知，人对木板的压力与人的质量成正比
B. 图3中图象表示的是小明对木板的压强与木板面积之间的函数关系
C. 当木板面积为时，小亮对木板的压强比小明对木板的压强大
D. 四边形的面积为定值，表示小明、小亮两人对木板的压力相差20N
二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分）
11. 任写出一个顶点在y轴正半轴上的抛物线表达式_____.
12. 物理课上学过小孔成像的原理，它是一种利用光的直线传播特性实现图象投影的方法．如图，燃烧的蜡烛（竖直放置）经小孔在屏幕（竖直放置）上成像，设，，小孔到的距离为，则小孔到的距离为______．
13. 一个口袋中装有红球、白球共10个，这些球除颜色外都相同．将口袋中的球搅拌均匀，从中随机摸出一个球，记下它的颜色后再放回口袋中．不断重复这一过程，共摸了100次球，发现有69次摸到红球，则可估计这个口袋中红球的数量是 _____．
14. 如图，在正方形方格纸中，每个小正方形的边长都相等，、、、都在格点处，与相交于点，则的值为______．
15. 如图，矩形中，，，点是对角线上动点，将沿折叠，得到，若与矩形的一条边平行，则的长为______．
三、解答题（共8小题，共75分）
16. （1）解方程：；
（2）计算：．
17. 郑东新区有着丰富的旅游资源，小明决定利用一天时间来郑东新区游玩，通过查阅资料，小明制定了如下游玩计划：上午从3个自然景点（A．北龙湖湿地公园B．郑州之林C．郑州市森林公园）中随机选取一个游玩，下午再从2个人文景点（D．河南自然博物馆；E．河南省科技馆新馆）中随机选取一个去参观.
（1）小明从自然景点中选中“郑州之林”的概率是______；
（2）用树状图或表格求小明恰好选“北龙湖湿地公园”和“河南省科技馆新馆”的概率．
18. 如图，在中，是对角线．
（1）请你用无刻度的直尺和圆规，作线段的垂直平分线，分别交、于点、（不写作法、保留作图痕迹）；
（2）判断四边形的形状，并说明理由；
（3）若，，则四边形的周长为______．
19. 如图正比例函数与反比例函数图象交于、两点．
（1）求反比例函数的表达式和点坐标；
（2）直接写出时的取值范围；
（3）若点是第二象限反比例函数图象上一点，过点作轴的垂线，交轴于点、交直线于点，若三个点、、中恰有一点是其它两点所连线段的中点，则称点、、三点为“和谐点”，直接写出使点、、三点成为“和谐点”的的坐标．
20. 如图是某路灯的示意图，灯杆垂直于地面，是灯臂，测得，一个长为6.5米的梯子斜靠在灯杆上，调整梯子的位置，直至恰好与点在同一直线上，此时梯子底部距灯杆底部2.5米．
（1）填空：______；
（2）通过查阅资料，这种路灯的灯臂的长为2米，请你根据以上数据计算出路灯距离地面的高度．（结果精确到0.1，）
21. 元旦期间，某商场礼品柜台购进大量生肖饰品进行销售，已知每件生肖饰品的进价为8元，当销售价定为20元时，平均每天可售出300件，为尽快减少库存，商场决定降价销售．调查发现，当销售价每降低1元时，平均每天就可以多售出50件．
（1）当售价降低5元时，每件的利润为______元，每天可以售出______件，当天总利润为______元；
（2）若商场要想使这种生肖饰品的销售利润平均每天达到4000元，则该生肖饰品的售价应定为多少元？
（3）要想获得最大利润，该生肖饰品的售价应定为多少合适？
22. 方程与不等式揭示了数学中最基本的数量关系，函数则研究变量间的关系，借助函数可以认识方程与不等式.观察表格：
（1）【数学观察】根据表中信息填空：______；
（2）【实践操作】在如图所示的平面直角坐标系中（每个小正方形网格的边长为1），已经画出了一次函数的图象，请你在同一坐标系中画出二次函数的图象；
（3）【独立思考】
①二次函数与一次函数图象的交点坐标是______；
②方程的解为______；
③不等式的解集是______；
（4）【归纳总结】若二次函数的图象与一次函数的图象相交，则交点的______坐标可以看成关于的方程的解；
（5）【巩固应用】若二次函数的图象与一次函数的图象只有一个交点，则关于的方程的解是______．（直接写出结果）
23. 综合与实践
（1）特例感知
如图1，点、分别是线段的三等分点，以为边作等边三角形，连接，
则的度数是______；写出图中一个与相等的角______．
（2）类比探究
如图2，在中，，点、在边上，连接、，若是等边三角形，请你探究线段、、之间的数量关系，并说明理由；
（3）拓展延伸
在（2）的条件下，若以、、为边的三角形恰好是直角三角形，直接写出的值．
2024-2025学年上学期学情调研
学科：数学 年级：九年级 时间：100分钟
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1. 下列关于方程一定是一元二次方程的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的定义，正确理解一元二次方程的定义是解答本题的关键．“方程两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是次，这样的方程叫做一元二次方程”．根据一元二次方程的定义，逐项判断，即可解题．
【详解】解：A. 是一元一次方程，不符合题意；
B. 是分式方程，不符合题意；
C. 二元二次方程，不符合题意；
D. 是一元二次方程，符合题意；
故选：D．
2. 如图所示的机器零件的左视图为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了简单几何体的三视图，理解视图的定义，掌握简单组合体三视图的画法和形状是正确解题的关键．
根据简单几何体三视图的画法，画出它的左视图即可得到答案．
【详解】解：这个几何体的左视图为：
故选：B ．
3. 下列说法中不正确的是（ ）
A. 对角线相等的四边形是矩形
B. 菱形既是轴对称图形又是中心对称图形
C. 对角线互相垂直平分的四边形是菱形
D. 正方形的四条边都相等
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了矩形的判定、菱形的性质和判定，正方形的性质，熟练掌握相关知识点，是解题的关键．
根据矩形的判定，菱形的性质，菱形的判定，逐一进行判断即可．
【详解】解：A、对角线相等的平行四边形才是矩形，仅说四边形错误，故A错误；
B、菱形沿对角线对称（轴对称），绕中心旋转重合（中心对称），故B正确；
C、对角线互相垂直平分的四边形是菱形，这是菱形判定定理，故C正确；
D、正方形四条边相等，是基本性质，故D正确．
故选：A．
4. 某公司收益逐年递增，2022年缴税50万元，2024年缴税72万元．若该公司这两年缴税的年平均增长率是，则年平均增长率满足方程（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的增长率问题，设该公司这两年缴税的年平均增长率是，根据“2022年缴税50万元，2024年缴税72万元”，列一元二次方程即可．
【详解】解：设该公司这两年缴税的年平均增长率是，列方程为，
故选：B．
5. 如图1是装了液体的长方体容器的主视图（数据如图），将该容器绕地面一棱进行旋转倾斜后，水面恰好接触到容器口边缘，如图2所示，此时液面宽度（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查矩形的性质、平行线的性质及相似三角形得判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题关键．根据题意得出，，根据平行线得性质得出，即可证明，根据相似三角形的性质即可得答案．
【详解】解：如图，过点作于，
由题意可知：，，，，，，
∴，，
∴，
∴，即，
解得：，
故选：B．
6. 已知，，是抛物线上的三个点，则，，的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了二次函数的性质，根据二次函数的对称性，找出点A的对称点，再利用二次函数的增减性可判断y值的大小．
【详解】解：∵函数的解析式是，
∴对称轴是，
∴点A关于对称轴的点是，
那么点B在对称轴上，点C 、的对称点都在对称轴的右边，
∵，
∴抛物线开口向上，并且在对称轴的右边y随x的增大而增大，
∵
∴
故选D
7. 如图，四边形是菱形，对角线、交于点，于点，是线段的中点，连接．若，，则的长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】此题重点考查菱形的性质、勾股定理，由菱形的性质得， 则， 因为F是线段AD的中点，求出长，然后根据求出长即可．
【详解】解：∵四边形是菱形，对角线、交于点，
∴，
∴，
∵是线段的中点，，
，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∵，
，
故选： D．
8. 如图，树垂直立在地面上，小明在时测得树的影子长为时又测得该树的影子长为，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度长为（ ）
A. B. 5mC. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
利用两角对应相等的两个三角形相似证明，进而可得，代入数据可得答案．
【详解】解：，
，
，
，
，
，
，
，
解得或 (舍去)，
∴树的高度长为
故选： D．
9. 坐落于开封清明上河园中的虹桥是一座抛物线型拱桥，被列为中国十大名桥之一．按如图所示建立平面直角坐标系，得到抛物线解析式为，正常水位时水面宽为16m，当水位上升3m时，水面宽为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了二次函数的应用，根据正常水位时水面宽米，求出当时求得，再根据水位上升3米时，代入解析式求出x即可解答．
【详解】解：∵米，
∴当时，，
当水位上升3m时，，
把代入得：，解得：，
此时水面宽米．
故选B．
10. 如图1，某科技小组进行野外考察时，利用压力一定时压强与接触面积成反比例关系，通过铺垫木板增大接触面积来达到减小压强的效果，顺利通过了一片烂泥湿地.已知人对木板的压力与人的质量的关系如图2所示，若小明和小亮的质量分别为和，且小明和小亮对木板的压强与木板面积的关系如图3所示，点为反比例函数图象上的一个动点，过点分别作轴和轴的垂线，交轴于点，交轴于点，交另一反比例函数图象于点，过点作轴的垂线，垂足为点，请你结合以上信息，判断下列说法中不正确的是（ ）
A. 由图2可知，人对木板的压力与人的质量成正比
B. 图3中图象表示的是小明对木板的压强与木板面积之间的函数关系
C. 当木板面积为时，小亮对木板的压强比小明对木板的压强大
D. 四边形的面积为定值，表示小明、小亮两人对木板的压力相差20N
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数的应用，由于压力一定时，压强和受力面积成反比，压力于质量成正比例，根据解析式逐一判断即可，掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】解：由图可得：人对木板的压力随人的质量的增大而增大，所以人对木板的压力与人的质量成正比，故正确，不符合题意；
小明和小亮的质量分别为和，那么小明对木板的压力小于小亮对木板的压力，由物理知识可得：压强结合图可得：在受力面积相同的情况下，小明对木板的压强小于小亮对木板的压强，所以图中图象表示的是小明对木板的压强与木板面积之间的函数关系，正确，不符合题意；
设
∵经过点,
，
解得：，
，
当时，，
当时，，
∵木板面积为，
∴小明对木板的压强，
小亮对木板的压强，
，
∴当木板面积为时，小亮对木板的压强比小明对木板的压强大，
∴正确，不符合题意；
由题意得：小明对木板的压强，小亮对木板的压强，则四边形的面积，也说明小明对木板的压力为，小亮对木板的压力，那么小明、小亮两人对木板的压力相差，故错误，符合题意；
故选: D．
二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分）
11. 任写出一个顶点在y轴正半轴上的抛物线表达式_____.
【答案】 （本题答案不唯一）
【解析】
【分析】根据题意可得出抛物线顶点为（x，0），然后进行书写表达式.
【详解】由于顶点在y轴正半轴上，得出抛物线为顶点式抛物线，
所以任写一个即可.
【点睛】本题考查的是顶点式的性质,熟练掌握顶点式的性质是本题的解题关键.
12. 物理课上学过小孔成像的原理，它是一种利用光的直线传播特性实现图象投影的方法．如图，燃烧的蜡烛（竖直放置）经小孔在屏幕（竖直放置）上成像，设，，小孔到的距离为，则小孔到的距离为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键.
过点作，垂足为，延长交 于点，证明 ， 从而利用相似三角形的性质进行计算即可解答.
【详解】解：过点作，垂足为，延长交于点，
由题意得：
∴，
，
，即，
解得：
∴小孔到 的距离为，
故答案为：.
13. 一个口袋中装有红球、白球共10个，这些球除颜色外都相同．将口袋中的球搅拌均匀，从中随机摸出一个球，记下它的颜色后再放回口袋中．不断重复这一过程，共摸了100次球，发现有69次摸到红球，则可估计这个口袋中红球的数量是 _____．
【答案】7
【解析】
【分析】本题主要考查利用频率估计概率以及用样本估计总体，解答本题的关键要明确用样本去估计总体时，样本越具有代表性、容量越大，这时对总体的估计也就越精确．
【详解】解：估计这个口袋中红球的数量为（个），
故答案为：7．
14. 如图，在正方形方格纸中，每个小正方形的边长都相等，、、、都在格点处，与相交于点，则的值为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了解直角三角形，勾股定理的逆定理，勾股定理，平行线的性质，先作交格点于点，连接，然后根据平行线的性质可以得到，再根据勾股定理可以得到、和的长，然后根据勾股定理的逆定理可以判断的形状，即可求得的值，从而可以得到的值．
【详解】解：作交格点于点，连接，如图所示，
，
，
设每个小正方形的边长为，
由图可知：，
，
，
，
是直角三角形，
，
，
故答案为：．
15. 如图，矩形中，，，点是对角线上的动点，将沿折叠，得到，若与矩形的一条边平行，则的长为______．
【答案】或##6或2
【解析】
【分析】本题主要考查了翻折问题、矩形的性质、解直角三角形，由问题与矩形的一条边平行可知需要分类讨论，当与平行或与平行，画出图形，依据图形特征利用勾股定理和解直角三角形得到边成比例，列方程求解即可．
【详解】解：∵四边形是矩形，
∴，
，
①如图， 当时， 设与交于点，
∵，
∴，
∵将沿折叠， 得到，
∴，
∵，
∴，
∴，
在中， ，即 ，
解得
，
在中，，即 ，
，
；
②如图， 当时，

方法一： ∵将沿折叠， 得到，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
方法二： 同理可得，
∵，
，即
解得，
由勾股定理可得，
，
∵，
∴，
即 ，
解得
∴；
故答案为：或.
三、解答题（共8小题，共75分）
16. （1）解方程：；
（2）计算：．
【答案】（1） （2）
【解析】
【分析】本题考查解一元二次方程和实数的混合运算．
（1）先移项，再利用因式分解法求解即可；
（2）先计算绝对值、负整数指数幂、代入三角函数值、化简二次根式，再计算加减即可．
【详解】（1）解：
，
则
或 ，
解得 ；
（2）原式
．
17. 郑东新区有着丰富的旅游资源，小明决定利用一天时间来郑东新区游玩，通过查阅资料，小明制定了如下游玩计划：上午从3个自然景点（A．北龙湖湿地公园B．郑州之林C．郑州市森林公园）中随机选取一个游玩，下午再从2个人文景点（D．河南自然博物馆；E．河南省科技馆新馆）中随机选取一个去参观.
（1）小明从自然景点中选中“郑州之林”的概率是______；
（2）用树状图或表格求小明恰好选“北龙湖湿地公园”和“河南省科技馆新馆”的概率．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查了画树状图求概率，正确理解题意并画出树状图是解题的关键．
（1）根据概率的计算公式计算，即得答案；
（2）先画出树状图，再列举事件总的可能性结果及符合条件的等可能结果，最后根据概率的计算公式计算，即得答案．
【小问1详解】
解：明从自然景点中选中“郑州之林”的概率 ；
故答案为： ；
【小问2详解】
解：画树状图为：
共有种等可能的结果，其中小明恰好选“北龙湖湿地公园”和“河南省科技馆新馆”的结果数为，所以小明恰好选“北龙湖湿地公园”和“河南省科技馆新馆”的概率．
18. 如图，在中，是对角线．
（1）请你用无刻度的直尺和圆规，作线段的垂直平分线，分别交、于点、（不写作法、保留作图痕迹）；
（2）判断四边形的形状，并说明理由；
（3）若，，则四边形的周长为______．
【答案】（1）见解析；
（2）四边形是菱形，理由见解析；
（3）．
【解析】
【分析】（1）分别以，为圆心，大于长为半径作弧，在线段两侧分别得到一个交点，连接两个交点，交于点、，交于点即可；
（2）四边形是菱形，连接、，根据平行四边形的性质结合，直线是的垂直平分线，证明，得到，，即可证明；
（3）证明，求出，再根据四边形是菱形，即可得解．
【小问1详解】
解：如图所示，直线即为的垂直平分线：
；
【小问2详解】
解：四边形是菱形，理由如下：
连接、，
，
四边形是平行四边形，
，
，，
直线是的垂直平分线，
，
，
，
，
四边形是菱形；
【小问3详解】
解： ，，
，
，
，
，，
，
，
四边形是菱形，
四边形的周长为．
故答案：．
【点睛】本题考查四边形综合问题，涉及三角形相似的判定与性质，菱形的判定与性质，平行四边形的性质，三角形全等的判定与性质，垂直平分线的作法及性质，熟练掌握菱形的判定与平行四边形的性质是解题的关键．
19. 如图正比例函数与反比例函数的图象交于、两点．
（1）求反比例函数的表达式和点坐标；
（2）直接写出时的取值范围；
（3）若点是第二象限反比例函数图象上一点，过点作轴的垂线，交轴于点、交直线于点，若三个点、、中恰有一点是其它两点所连线段的中点，则称点、、三点为“和谐点”，直接写出使点、、三点成为“和谐点”的的坐标．
【答案】（1），
（2）或
（3）
【解析】
【分析】（1）由 的A的坐标，然后利用待定系数法求得反比例函数的解析式，根据反比例函数的中心对称性求得B点的坐标；
（2）根据图象即可求解；
（3）分两种情况，根据“和谐点”的定义列方程解题即可．
【小问1详解】
解：∵正比例函数与反比例函数的图象交于，
，
，
，
∴反比例函数的表达式为，
∵正比例函数与反比例函数的图象交于 两点，
；
【小问2详解】
解：观察图象，时，的取值范围是：或 ；
【小问3详解】
解：设，则，
如图1，

当在点的下方时，则，
解得，
，
，
如图2，

当在点的上方时，，则，
解得 ，
，
，
∴点的坐标为或．
【点睛】本题属于反比例函数与一次函数的交点问题，考查了一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求反比例函数的解析式，函数与不等式和方程的关系等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题．
20. 如图是某路灯的示意图，灯杆垂直于地面，是灯臂，测得，一个长为6.5米的梯子斜靠在灯杆上，调整梯子的位置，直至恰好与点在同一直线上，此时梯子底部距灯杆底部2.5米．
（1）填空：______；
（2）通过查阅资料，这种路灯的灯臂的长为2米，请你根据以上数据计算出路灯距离地面的高度．（结果精确到0.1，）
【答案】（1）米
（2）路灯距离地面的高度约为米
【解析】
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
（1）根据垂直定义可得， 然后在中，利用勾股定理进行计算，即可解答；
（2）过点作， 交的延长线于点， 先利用平角定义可得，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长， 再分别在和中， 利用锐角三角函数的定义求出和的值，从而列出方程进行计算，即可解答．
【小问1详解】
解：∵，
∴，
∵米， 米，
(米)，
故答案为：米；
【小问2详解】
解：过点作， 交的延长线于点，
∵，
∴，
在中， 米，
(米) ，
在中，，
在中， ，
∵，
，
解得：
(米)，
∴路灯距离地面的高度约为米．
21. 元旦期间，某商场礼品柜台购进大量的生肖饰品进行销售，已知每件生肖饰品的进价为8元，当销售价定为20元时，平均每天可售出300件，为尽快减少库存，商场决定降价销售．调查发现，当销售价每降低1元时，平均每天就可以多售出50件．
（1）当售价降低5元时，每件的利润为______元，每天可以售出______件，当天总利润为______元；
（2）若商场要想使这种生肖饰品的销售利润平均每天达到4000元，则该生肖饰品的售价应定为多少元？
（3）要想获得最大利润，该生肖饰品的售价应定为多少合适？
【答案】（1）, ,
（2）每件该生肖饰品的售价为元
（3）生肖饰品的售价应定为元
【解析】
【分析】本题考查二次函数和一元二次方程的应用，关键是根据等量关系列出函数解析式．
（1）根据题意即可得出结论；
（2）设该生肖饰品每件应降价元，根据每件的利润销售量列出方程，解方程即可；
（3）设该生肖饰品每件应降价元，获得利润为元，根据每件的利润销售量总利润列出函数解析式，根据函数的性质求最值即可．
【小问1详解】
解：根据题意知，当售价降低元时，
每件的利润为(元)，
每天可以售出：(件)，
当天总利润为：(元)，
故答案为： ， ， ；
【小问2详解】
解：设该生肖饰品每件应降价元，
根据题意得：
整理得：
解得
∵为尽快减少库存，
，
此时
∴每件该生肖饰品的售价为元；
【小问3详解】
解：设该生肖饰品每件应降价元，获得利润为元，
，
，
∴当时， 最大，
∵为整数，
∴当或=时，最大，最大值为，
∵为尽快减少库存，
，
此时(元)，
∴要想获得最大利润，该生肖饰品的售价应定为元合适.
22. 方程与不等式揭示了数学中最基本的数量关系，函数则研究变量间的关系，借助函数可以认识方程与不等式.观察表格：
（1）【数学观察】根据表中信息填空：______；
（2）【实践操作】在如图所示的平面直角坐标系中（每个小正方形网格的边长为1），已经画出了一次函数的图象，请你在同一坐标系中画出二次函数的图象；
（3）【独立思考】
①二次函数与一次函数图象的交点坐标是______；
②方程的解为______；
③不等式的解集是______；
（4）【归纳总结】若二次函数的图象与一次函数的图象相交，则交点的______坐标可以看成关于的方程的解；
（5）【巩固应用】若二次函数的图象与一次函数的图象只有一个交点，则关于的方程的解是______．（直接写出结果）
【答案】（1）
（2）见解析 （3）①或 ②或 ③
（4）横 （5）
【解析】
【分析】本题为二次函数综合运用，涉及到一次函数和二次函数的图象和性质，熟悉函数和不等式的关系是解题的关键．
（1）把代入求出值即可；
（2）根据表格数据描点连线绘制图象即可；
（3）①根据表格信息得到交点坐标即可；
②根据交点坐标得到方程的解即可；
③借助图象得到不等式的解集；
（4）由（3）知，若两个函数交点的横坐标为方程的解；
（5）联立两个函数表达式得 ， 即可得到 求出， 即可求解．
【小问1详解】
解：当时，，
故答案为：；
【小问2详解】
解：根据表格数据描点连线绘制图象如下：
【小问3详解】
解：①二次函数 与一次函数 图象的交点坐标是或，
故答案为：或；
②方程 解为：或，
故答案为：或；
③观察图象知，不等式的解集是
故答案为：
【小问4详解】
解：由（3）知，若二次函数图象与一次函数的图象相交，则交点的横坐标可以看成关于的方程的解，
故答案为：横；
【小问5详解】
联立两个函数表达式得：，
则
则
故方程为：则
故答案为：．
23. 综合与实践
（1）特例感知
如图1，点、分别是线段的三等分点，以为边作等边三角形，连接，
则的度数是______；写出图中一个与相等的角______．
（2）类比探究
如图2，在中，，点、在边上，连接、，若是等边三角形，请你探究线段、、之间的数量关系，并说明理由；
（3）拓展延伸
在（2）的条件下，若以、、为边的三角形恰好是直角三角形，直接写出的值．
【答案】（1）； , ,
（2）理由见解析
（3）或
【解析】
【分析】（1）由点、分别是线段的三等分点，得到，根据等边三角形的性质得到，根据全等三角形的性质得到，求得
（2）根据三角形的内角和定理得到，根据等边三角形的性质得到 ，根据相似三角形的性质得到；
（3）根据勾股定理得到或，然后根据（2）的结论和勾股定理解题即可．
【小问1详解】
解：∵点、分别是线段的三等分点，
∴，
∵是等边三角形，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为： ， ， ， ；
【小问2详解】
解：
理由： ∵，
∴，
∵是等边三角形，
∴，
∴， ，
，
，
，
，
，
；
【小问3详解】
解：∵以、、为边的三角形恰好是直角三角形，
或，
①当时，
；
，
解得（负值舍去），
；
②当时，
；
，
解得
（负值舍去），
综上所述，的值为或．
【点睛】本题是相似形的综合题，考查了相似三角形的判定和性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握各知识点是解题的关键．
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