陕西省安康市旬阳县2024-2025学年九年级上学期1月期末数学试题（原卷版+解析版）

这是一份陕西省安康市旬阳县2024-2025学年九年级上学期1月期末数学试题（原卷版+解析版），共24页。试卷主要包含了请将各题答案填写在答题卡上等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1．满分120分，答题时间为120分钟．
2．请将各题答案填写在答题卡上．
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1. 医院作为社会健康体系的核心支柱，在国民经济与民众生活中占据着举足轻重的地位．下列医院图标中，是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
2. 若x＝1是关于x的一元二次方程x2+mx﹣3＝0的一个根，则m的值是（ ）
A. ﹣2B. ﹣1C. 1D. 2
3. 用配方法解方程 时，配方后所得的方程是（ ）
A. B.
C. D.
4. 校长陪餐制度深受学生家长认可，一天午餐时，张校长已经坐在了④号座位，学生甲在①～③号座位中随机选择一个座位就坐，则学生甲恰好坐在张校长正对面的概率为（ ）
A. B. C. D.
5. 如图，，为的直径，与相切于点．若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
6. 已知抛物线，若点，，都在该抛物线上，则，，大小关系是（ ）
A. B. C. D.
7. 如图，在圆内接正五边形中，连接，，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
8. 已知圆锥的侧面积为，母线长是，则这个圆锥的底面圆的周长为（ ）
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
9. 在古诗句“小荷才露尖尖角，早有蜻蜓立上头”中，“早有蜻蜓立上头”描述的事件是_____．（填“必然事件”“随机事件”或“不可能事件”）
10. 如图，在三角形纸片中，，将三角形纸片绕点按逆时针方向旋转，得到三角形，则的度数为_____．
11. 若方程的两个根是和，则二次函数的图象的对称轴是直线_____．
12. 如图，某品牌扫地机器人的形状是“莱洛三角形”，它的三“边”分别是以等边三角形的三个顶点为圆心，边长为半径的三段圆弧．若该等边三角形的边长为3，则这个“莱洛三角形”的周长是______．
13. 若点在二次函数的图象上，则的最大值为________．
三、解答题（本大题共13小题，共81分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
14. 解方程：．
15. 已知二次函数图像的顶点坐标为，与轴的交点坐标为，求该二次函数的解析式．
16. 如图1，有一个亭子，它的地基的平面示意图如图2所示，该地基的平面示意图可以近似的看作是半径为的圆内接正六边形，求这个正六边形地基的周长．
17. 如图，线段是一条弦．请用尺规作图法，作出圆心．（保留作图痕迹，不写作法）

18. 某校欲从两名男生和两名女生中选拔选手参加“自强不息，迈向成功”主题演讲比赛．
（1）若从这四位选手中随机选出一名同学，则选到男生的概率是_____；
（2）若从这四位选手中随机选出两名同学，请用列表或画树状图的方法，求出恰好选中一男一女的概率．
19. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，．
（1）将绕点顺时针旋转后得到，画出．
（2）直接写出顶点的坐标．
20. 已知关于的一元二次方程有两个实数根，求的取值范围．
21. 如图，在中，．将绕点逆时针旋转一定角度得到，且满足，连接，求的度数．
22. 已知二次函数的图象经过点．
（1）求的值和该二次函数图象的顶点坐标．
（2）若将该二次函数的图象向右平移2个单位长度，求新抛物线与轴交点的坐标．
23. 小明很喜欢钻研问题，一次数学老师拿来一个残缺的圆形瓦片让小明求瓦片所在圆的半径．如图，小明连接瓦片弧线的两端，量得的中点到的距离，，求圆形瓦片所在圆的半径．
24. 某商店销售标有“助力陕西”的文化衫，其成本为每件30元．销售大数据分析表明：当每件售价为40元时，平均每月售出600件；若售价每下降1元，其月销售量就增加200件．为了回笼资金，该商店决定降价促销，在库存只有1300件“助力陕西”文化衫的情况下，若预计月获利恰好为8400元，则每件文化衫应降价多少元？
25. 如图，四边形内接于，为的直径，，连接，过点作，，垂足分别为．
（1）求证：．
（2）求证：是切线．
26. 问题提出（1）当时，二次函数的最大值为______．
问题探究（2）已知二次函数是常数，的图象经过两点，平移该函数的图象，使其顶点始终在直线上，求平移后所得抛物线与轴交点的纵坐标的最大值．
问题解决（3）某养殖户利用一段围墙（围墙足够长）为一边，用总长为的围网围成了如图所示的三块矩形区域，且这三块矩形区域的面积相等．设的长度为，矩形区域的面积为，当为何值时，有最大值？最大值是多少？
九年级期末质量监测
数学
注意事项：
1．满分120分，答题时间为120分钟．
2．请将各题答案填写在答题卡上．
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1. 医院作为社会健康体系的核心支柱，在国民经济与民众生活中占据着举足轻重的地位．下列医院图标中，是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了中心对称图形的识别，熟练掌握中心对称图形的定义是解题的关键．
根据中心对称图形的定义逐项判断即可．
【详解】解：A． 不是中心对称图形，故该选项不符合题意；
B． 不是中心对称图形，故该选项不符合题意；
C． 是中心对称图形，故该选项符合题意；
D． 不是中心对称图形，故该选项不符合题意；
故选：C．
2. 若x＝1是关于x的一元二次方程x2+mx﹣3＝0的一个根，则m的值是（ ）
A. ﹣2B. ﹣1C. 1D. 2
【答案】D
【解析】
【分析】把x=1代入方程x2+mx-3=0，得出一个关于m的方程，解方程即可．
详解】解：把x=1代入方程x2+mx-3=0得：1+m-3=0，
解得：m=2．
故选：D．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解和解一元一次方程，关键是能根据题意得出一个关于m的方程．
3. 用配方法解方程 时，配方后所得的方程是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】此题考查了配方法解一元二次方程，解答此题最重要的一步是在等式两边同时加上一次项系数一半的平方．把方程左边化为完全平方式即可．
【详解】解：
两边加1得，，
即：．
故选：B
4. 校长陪餐制度深受学生家长的认可，一天午餐时，张校长已经坐在了④号座位，学生甲在①～③号座位中随机选择一个座位就坐，则学生甲恰好坐在张校长正对面的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了求概率，熟练掌握概率计算公式是解题的关键．
利用概率计算公式计算即可得到答案．
【详解】解：根据题意得，学生甲恰好坐在张校长正对面的概率为，
故选：B．
5. 如图，，为的直径，与相切于点．若，则的度数为（ ）
A B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了圆周角定理，切线的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
根据圆周角定理得到，根据等腰三角形的性质得到，根据切线的性质得到，根据三角形内角和定理得到，即可得到答案．
【详解】解：，，
，
，
，
与相切于点，
，
，
故选：B．
6. 已知抛物线，若点，，都在该抛物线上，则，，的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，由抛物线解析式得出抛物线开口向下，对称轴为直线，再根据点距离抛物线越远，函数值越小，即可得出答案，熟练掌握二次函数的性质是解此题的关键．
【详解】解：，
，抛物线开口向下，对称轴为直线，
，，，，
，
故选：D．
7. 如图，在圆内接正五边形中，连接，，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了正五边形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
根据题意得到，，根据三角形内角和定理得到，同理得到，计算即可得到答案．
【详解】解：正五边形，
，，
，
，
同理得到，
，
故选：A．
8. 已知圆锥的侧面积为，母线长是，则这个圆锥的底面圆的周长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了圆锥的相关计算，理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解题的关键．
根据圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面周长是扇形的弧长，直接利用扇形的面积公式计算求解即可．
【详解】解：设这个圆锥的底面周长为，则，
，
故选：C．
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
9. 在古诗句“小荷才露尖尖角，早有蜻蜓立上头”中，“早有蜻蜓立上头”描述的事件是_____．（填“必然事件”“随机事件”或“不可能事件”）
【答案】随机事件
【解析】
【分析】本题考查了事件的分类，随机事件∶在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件；必然事件：在一定条件下，一定会发生的事件；不可能事件∶在一定条件下，一定不会发生的事件．
根据事件分类即可得到答案．
【详解】解：在古诗句“小荷才露尖尖角，早有蜻蜓立上头”中，“早有蜻蜓立上头”描述的事件，可能发生，也可能不发生，是随机事件，
故答案为：随机事件．
10. 如图，在三角形纸片中，，将三角形纸片绕点按逆时针方向旋转，得到三角形，则的度数为_____．
【答案】##34度
【解析】
【分析】本题考查了旋转的性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
根据旋转的旋转得到，因为，计算即可得到答案．
【详解】解：根据题意得，
，，
，
故答案为：．
11. 若方程的两个根是和，则二次函数的图象的对称轴是直线_____．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的性质，一元二次方程的根与系数的关系，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
根据一元二次方程的根与系数的关系，求出二次函数图象的对称轴．
【详解】解：方程的两个根是和，
二次函数的图象的对称轴是直线，
故答案为：．
12. 如图，某品牌扫地机器人的形状是“莱洛三角形”，它的三“边”分别是以等边三角形的三个顶点为圆心，边长为半径的三段圆弧．若该等边三角形的边长为3，则这个“莱洛三角形”的周长是______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查的是正多边形和圆的知识，理解弧三角形的概念、掌握正多边形的中心角的求法是解题的关键．
根据正三角形的有关计算求出弧的半径和圆心角，根据弧长的计算公式求解即可．
【详解】解：如图：

∵是正三角形，
∴，
∴的长为： ，
∴“莱洛三角形”的周长=．
故答案为：．
13. 若点在二次函数的图象上，则的最大值为________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的性质，将代入二次函数解析式可得，从而得出，由此即可得出答案，熟练掌握二次函数的性质是解此题的关键．
【详解】解：点在二次函数的图象上，
，
，
当时，的值最大，最大为，
故答案为：．
三、解答题（本大题共13小题，共81分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
14. 解方程：．
【答案】，
【解析】
【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．
利用因式分解法解方程即可．
【详解】解：，
，
，
或
，．
15. 已知二次函数图像的顶点坐标为，与轴的交点坐标为，求该二次函数的解析式．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，熟练掌握求二次函数解析式的方法是解题关键．设该二次函数的解析式为，然后把点代入，求解即可获得答案．
【详解】解：由题意可知，二次函数图像的顶点坐标为，
设该二次函数的解析式为，
把点代入，
可得，
解得，
故该二次函数的解析式为，
即．
16. 如图1，有一个亭子，它的地基的平面示意图如图2所示，该地基的平面示意图可以近似的看作是半径为的圆内接正六边形，求这个正六边形地基的周长．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了圆内接六边形的性质，等边三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
根据题意得到．，得到是等边三角形，得出，即可得到答案．
【详解】解：六边形是正六边形，
．，
，
是等边三角形，
，
正六边形的周长．
17. 如图，线段是的一条弦．请用尺规作图法，作出圆心．（保留作图痕迹，不写作法）

【答案】见解析
【解析】
【分析】本题考查了尺规作图—作垂线，在圆上任取一点（异于、两点），连接，分别作出、的垂直平分线，交于点，点即为所作，熟练掌握作线段垂直平分线的方法是解此题的关键．
【详解】解：如图，圆心即为所求，
．
18. 某校欲从两名男生和两名女生中选拔选手参加“自强不息，迈向成功”主题的演讲比赛．
（1）若从这四位选手中随机选出一名同学，则选到男生的概率是_____；
（2）若从这四位选手中随机选出两名同学，请用列表或画树状图的方法，求出恰好选中一男一女的概率．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查了概率公式、画树状图(或列表法)求概率，通过画树状图确定等可能事件的总数以及满足条件的等可能事件数是解题的关键．
（1）根据题意以及概率公式直接求解即可；
（2）画树状图确定等可能事件的总数以及满足条件的等可能事件数，进一步求解即可．
【小问1详解】
解：随机选一名同学参加比赛有4种等可能结果数，而选中男生的结果有种，
∴选中男生的概率为：．
【小问2详解】
解：4名推荐人选中，两位男生分别记为，，二位女生分别记为，列表为：
共有12种等可能的结果数，其中恰好选中一男一女的结果数为8种，
所以恰好选中一男一女的概率为：．
19. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，．
（1）将绕点顺时针旋转后得到，画出．
（2）直接写出顶点的坐标．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题考查了旋转的作图和性质，熟练掌握性质是解题的关键．
（1）根据旋转的性质，确定旋转后的坐标，后画图即可 ．
（2）根据（1）计算坐标即可．
【小问1详解】
解：∵的顶点坐标分别为，，
∴绕点顺时针旋转后得到，此时，
画图如下：
则即为所求．
【小问2详解】
解：根据（1）得．
20. 已知关于的一元二次方程有两个实数根，求的取值范围．
【答案】
【解析】
【分析】此题考查了根的判别式，根据根的情况确定参数的范围即可，解题的关键是熟练掌握一元二次方程根的判别式，当方程有两个不相等的实数根时，；当方程有两个相等的实数根时，；当方程没有实数根时，．
【详解】解：∵一元二次方程有两个实数根，
∴，
解得：，
∴的取值范围为．
21. 如图，在中，．将绕点逆时针旋转一定角度得到，且满足，连接，求的度数．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了旋转的性质、等边对等角、三角形内角和定理、平行线的性质，由旋转的性质可得，，由等边对等角可得，由平行线的性质可得，由三角形内角和定理得出，即可得出答案，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
【详解】解：∵将绕点逆时针旋转一定角度得到，
∴，，
∴，
，
，
∴，
∴．
22. 已知二次函数的图象经过点．
（1）求的值和该二次函数图象的顶点坐标．
（2）若将该二次函数的图象向右平移2个单位长度，求新抛物线与轴交点的坐标．
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】本题考查了二次函数图象和几何变换，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
（1）把点代入，即可求出，再把一般式化为顶点式，即可得到该函数图象的顶点坐标；
（2）利用“左加右减”的平移规律得到平移后的抛物线解析式，令，则，得到新抛物线与轴交点的坐标为．
【小问1详解】
解：将点代入二次函数得，
解得：，
，
该二次函数图象的顶点坐标为．
【小问2详解】
解：将二次函数的图象向右平移2个单位长度，
则新抛物线的函数表达式为．
令，则，
新抛物线与轴交点的坐标为．
23. 小明很喜欢钻研问题，一次数学老师拿来一个残缺的圆形瓦片让小明求瓦片所在圆的半径．如图，小明连接瓦片弧线的两端，量得的中点到的距离，，求圆形瓦片所在圆的半径．
【答案】圆形瓦片所在圆的半径为
【解析】
【分析】本题主要考查了垂径定理、勾股定理，设圆的半径为，由题意可得延长必过圆的圆心，设圆心为，连接，则，，，由勾股定理可得，，求解即可得出答案，熟练掌握垂径定理以及勾股定理是解此题的关键．
【详解】解：设圆的半径为，
为的中点，，
∴延长必过圆的圆心，
如图，设圆心为，连接，
∴，，，
由勾股定理，得，即，
解得，
故圆形瓦片所在圆的半径为．
24. 某商店销售标有“助力陕西”的文化衫，其成本为每件30元．销售大数据分析表明：当每件售价为40元时，平均每月售出600件；若售价每下降1元，其月销售量就增加200件．为了回笼资金，该商店决定降价促销，在库存只有1300件“助力陕西”文化衫的情况下，若预计月获利恰好为8400元，则每件文化衫应降价多少元？
【答案】每件文化衫应降价3元
【解析】
【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，设每件文化衫应降价元，根据“月获利恰好为8400元”列出一元二次方程，解方程即可得出答案，理解题意，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解此题的关键．
【详解】解：设每件文化衫应降价元，
根据题意，列方程得，
整理，得，
解得，，
当时，销售量为1400件，而，故（舍去）；
当时，销售量1200件，而，故，
答：每件文化衫应降价3元．
25. 如图，四边形内接于，为的直径，，连接，过点作，，垂足分别为．
（1）求证：．
（2）求证：是的切线．
【答案】（1）见详解 （2）见详解
【解析】
【分析】本题主要考查了圆内接四边形的性质、等腰三角形的判定和性质、圆的切线的判定等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）由圆内接四边形的性质得出，由等边对等角得出，再根据三角形外角的定义及性质得出，即可得证；
（2）由圆内接四边形的性质得出，由（1）可知，从而得到，从而得出，推出，由平行线的性质可得，即可得证．
【小问1详解】
证明：四边形内接于，
，
，
，
，
，
，
；
【小问2详解】
证明：，，
，
由（1）可知，
，
，
，
，
，
，
为半径，
是切线．
26. 问题提出（1）当时，二次函数的最大值为______．
问题探究（2）已知二次函数是常数，的图象经过两点，平移该函数的图象，使其顶点始终在直线上，求平移后所得抛物线与轴交点的纵坐标的最大值．
问题解决（3）某养殖户利用一段围墙（围墙足够长）为一边，用总长为的围网围成了如图所示的三块矩形区域，且这三块矩形区域的面积相等．设的长度为，矩形区域的面积为，当为何值时，有最大值？最大值是多少？
【答案】（1）3；（2）；（3）当时，有最大值，最大值是
【解析】
【分析】（1）由题意知，，则对称轴为直线，图象开口向下，然后根据二次函数的图象与性质求当时的即可；
（2）待定系数法求得二次函数的解析式为．由顶点始终在直线上，可知抛物线横、纵坐标平移的距离相同，设平移后的抛物线为，令，表示，然后根据二次函数的图象与性质进行求解作答即可；
（3）由题意知，，即．设，则．由周长为列等式，整理得，解得，，根据，可得，即，．根据二次函数的图象与性质求解作答即可．
【详解】（1）解：由题意知，，
∴对称轴为直线，图象开口向下，
∴当时，随的增大而减小，
∴时，，
故答案为：3；
（2）解：将代入得，，
解得，
二次函数的解析式为．
顶点始终在直线上，
抛物线横、纵坐标平移的距离相同，设平移后的抛物线为，
令，则，
∵，
平移后所得抛物线与轴交点的纵坐标的最大值为．
（3）解：三块矩形区域的面积相等，
，
∴．
设，则．
，
∴，
解得，，
∵，
解得，
∴，
∴．
∵，，
当时，有最大值，最大值是300．
【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数解析式，二次函数的应用，二次函数的最值，二次函数图象的平移等知识．熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．