广东省广州市2024-2025学年高二上册12月月考数学学情检测试题（附答案）

这是一份广东省广州市2024-2025学年高二上册12月月考数学学情检测试题（附答案），共18页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共8小题）
1．双曲线的渐近线方程为（ ）
A．B．
C．D．
2．已知直线的倾斜角为，则该直线的一个方向向量为（ ）
A．B．C．D．
3．已知，向量，，，且，，则的值为（ ）
A．B．C．D．
4．已知三棱锥O—ABC，点M，N分别为线段AB，OC的中点，且，，，用，，表示，则等于（ ）
A．B．C．D．
5．若直线l与椭圆交于点A、B,线段的中点为,则直线l的方程为( )
A．B．C．D．
6．在棱长为2的正方体，中，、分别是、的中点，则点到截面的距离为（ ）
A．B．C．D．
7．是双曲线的左、右焦点，直线l为双曲线C的一条渐近线，关于直线l的对称点为，且点在以F2为圆心、以半虚轴长b为半径的圆上，则双曲线C的离心率为
A．B．C．2D．
8．已知曲线，则下列结论中错误的是( ).
A．曲线与直线无公共点
B．曲线与圆有三个公共点
C．曲线关于直线对称
D．曲线上的点到直线的最大距离是
二、多选题（本大题共3小题）
9．已知事件，满足，，则下列结论正确的是( ).
A．若，则
B．若与互斥，则
C．若，则与相互独立
D．若与相互独立，则
10．已知抛物线的焦点为，，是抛物线上两点，则下列结论正确的是( ).
A．若，则线段的中点到轴的距离为
B．若直线的倾斜角为且过点，则
C．以线段为直径的圆与轴相切
D．若直线的倾斜角为且过点，则的面积
11．已知正方体的棱长为2，点满足，其中，则（ ）
A．存在唯一点，使得平面
B．存在唯一点，使得平面
C．当时，点到平面的距离的最小值为
D．当时，三棱锥的体积的最小值为
三、填空题（本大题共3小题）
12．经过点，且垂直于直线的直线的方程是 ．
13．已知圆与圆，则圆和圆的一条公切线的方程为 .
14．已知离心率为 的椭圆和离心率为的双曲线有公共的焦点，其中为左焦点，是与在第一象限的公共点．线段的垂直平分线经过坐标原点，则的最小值为 ．
四、解答题（本大题共5小题）
15．在平面直角坐标系中，点到点的距离比点到直线的距离小，记动点的轨迹为曲线.
(1)求曲线的方程；
(2)已知直线过点且与曲线交于两点，求的值.
16．某校为增强学生的环保意识，普及环保知识，在全校范围内组织了一次有关环保知识的竞赛. 现从参赛的所有学生中，随机抽取人的成绩（满分为分）作为样本，得到成绩的频率分布直方图如图所示.
(1)求频率分布直方图中的值，并估计该校此次环保知识竞赛成绩的第百分位数；
(2)在该样本中，若采用分层抽样的方法，从成绩低于分的学生中随机抽取人，查看他们的答题情况，再从这人中随机抽取人进行调查分析，求这人中至少有人成绩在内的概率.
17．在平面直角坐标系中，已知圆的圆心在直线上，且圆与直线相切于点.
(1)求圆的方程；
(2)过坐标原点的直线被圆截得的弦长为，求直线的方程.
18．如图，在四面体中，平面，M，P分别是线段，的中点，点Q在线段上，且.
(1)求证：平面；
(2)当，时，求平面与平面夹角的余弦值；
(3)在（2）的条件下，若为内的动点，平面，且与平面所成的角最大，试确定点G的位置.
19．“工艺折纸”是一种把纸张折成各种不同形状物品的艺术活动，在我国源远流长．某些折纸活动蕴含丰富的数学知识，例如：如图用一张圆形纸片，按如下步骤折纸：
步骤1：设圆心是E，在圆内异于圆心处取一定点，记为F；
步骤2：把纸片折叠，使圆周正好通过点F，此时圆周上与点F重合的点记为A；
步骤3：把纸片展开，并留下一道折痕，记折痕与AE的交点为P；
步骤4：不停重复步骤2和3，就能得到越来越多的折痕和越来越多的点P．
现取半径为8的圆形纸片，设点F到圆心E的距离为，按上述方法折纸．以线段FE的中点为原点，的方向为x轴的正方向建立平面直角坐标系xOy，记动点P的轨迹为曲线C．

(1)求曲线C的方程：
(2)若点Q为曲线C上的一点，过点Q作曲线C的切线交圆于不同的两点M，N．
（ⅰ）试探求点Q到点的距离是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，请说明理由；
（ⅱ）求面积的最大值．
答案
1．【正确答案】A
【详解】双曲线的渐近线方程是，即.
故选：A.
2．【正确答案】C
【详解】直线的倾斜角为，则斜率，
所以该直线的一个方向向量为.
故选：C.
3．【正确答案】A
【详解】因为向量， ，，
由，则，解得，
由，则，解得，则．
故选：A．
4．【正确答案】A
【分析】利用空间向量基本定理进行计算.
【详解】.
故选：A
5．【正确答案】A
【详解】设.
则
两式相减得
即
因为,线段AB的中点为,所以
所以
所以直线的方程为,即
故选: A
6．【正确答案】B
【详解】以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，
则，
设平面的法向量为，
则，
令，则，
故设平面的法向量为，
所以点到截面的距离为.
故选：B
7．【正确答案】B
【分析】根据左焦点与渐近线方程，求得关于直线l的对称点为，写出以F2为圆心、以半虚轴长b为半径的圆的方程，再将代入圆的方程，化简即可得离心率．
【详解】因为直线l为双曲线C的一条渐近线，则直线
因为是双曲线的左、右焦点
所以（-c，0），（c，0）
因为关于直线l的对称点为，设为（x，y）
则
解得
所以为（）
因为是以为圆心，以半虚轴长b为半径的圆，则圆的方程为
将以的（）代入圆的方程得
化简整理得 ，所以
所以选B
本题考查了双曲线渐近线方程、离心率的应用，点关于直线对称点的求法，对于几何关系的理解非常关键，属于难题．
8．【正确答案】D
【详解】对于A选项，联立，将代入，得，
所以曲线与直线无公共点，A选项正确；
下面分析曲线的图象：
曲线，当时，曲线方程可化为；
当时，曲线方程可化为，不符合；
当时，曲线方程可化为；
当时，曲线方程可化为.
由此画出曲线的图象如下图所示：
对于B选项，圆的圆心为，半径是，
与圆弧(）的圆心距为，所以圆与圆相内切，切点为.
结合图象可知曲线与圆有三个公共点，B选项正确；
对于C选项，点满足直线对称的对称点是，
将点代入得，整理得，
所以曲线关于直线对称，C选项正确；
对于D选项，由图可知，曲线上的点到直线的最大距离是，
即圆弧()的半径，所以D选项错误.
故选：D.
9．【正确答案】BC
【详解】对于A，由，得，A错误；
对于B，由A与B互斥，得，B正确；
对于C，由，得，则A与B相互独立，C正确；
对于D，由A与B相互独立，得，相互独立，则，D错误.
故选：BC
10．【正确答案】AC
【详解】对于A：由抛物线，则其准线方程为．
分别设M、N到准线的距离为、，则，
所以线段的中点到x轴的距离为，A正确；
对于B：因为直线的倾斜角为且过点F0,1，所以直线的方程为，
且直线与抛物线必相交，联立方程，消去x化简并整理得.
设Mx1,y1、Nx2,y2，则，所以，B错误；
对于C：设，结合选项A可得，以线段为直径的圆的半径为
．又F0,1，则以线段为直径的圆的圆心为，
所以圆心到x轴的距离为，则以线段为直径的圆与x轴相切，C正确；
对于D：直线的倾斜角为且过点F0,1，直线的方程为，
且直线与抛物线必相交，联立方程，
消去x化简并整理得．设Mx1,y1、Nx2,y2，则，
所以，点O0,0到的距离设为，
则，所以的面积，D错误.
故选：
11．【正确答案】ACD
【详解】解：以为原点，所在方向分别为轴、轴、轴，建立空间坐标系，如图所示：

则
对于A，因为，
所以，，
所以，
又因为，，
设平面的法向量为，
则，所以，
取，则，
又因为平面，
所以，
所以，
所以，唯一确定，故正确；
对于B，因为，
要使平面，
则，
所以，
所以，
故点不唯一，故错误；
对于C，因为，所以三点共线，

因为,
设点到平面的距离为，
则有，所以，
设到的距离为，
则，
当与重合时，，
所以，故C正确；
对于D，因为，所以点在以为圆心，为半径的圆弧上，

设到的距离为
因为，
当点位于圆弧中点时，.
所以，故D正确.
故选：ACD.
12．【正确答案】
【详解】设所求直线方程为，代入点得，
故所求直线方程为，
故答案为.
13．【正确答案】；；（三个任意一个都算正确）
【详解】由题可知：
所以
两个圆的半径和为
所以两个圆外切，所以有三条公切线,
设公切线为
由圆心到切线的距离等于半径得

解得 或或
所以切线方程为，或
故；；
14．【正确答案】
【详解】设为右焦点，半焦距为，，，
为中点，线段的垂直平分线经过坐标原点，为中点，则，
由，，
则，，，所以，从而有，
故，
当且仅当，即时取等，所以的最小值为.
故．
15．【正确答案】(1)
(2)-4
【详解】（1）由点到点的距离比点到直线的距离小，
得点到点的距离等于点到直线的距离，
因此点的轨迹是以点为焦点、直线为准线的抛物线，
所以点的轨迹的方程为.
（2）显然直线不垂直于轴，设其方程为，，，
由消去得，恒成立，，
所以.
16．【正确答案】(1)，第百分位数为
(2)
【分析】（1）根据频率分布直方图频率之和为计算，再根据百分位数计算公式计算第百分位数；
（2）根据分层抽样确定各区间人数，然后利用古典概型概率计算公式计算概率.
【详解】（1）由频率分布直方图可得，，
则，
前3组的频率和为，
第4组频率为，
所以第百分位数位于第4组内，
记第50百分位数为，则，解得，
即第50百分位数为；
（2）由频率分布直方图可知，
成绩在内的频率分别为，
采用分层抽样的方法从样本中抽取的6人，
成绩在内的有1人，记为，
成绩在内的有2人，记为，
成绩在内的有3人，记为，
则从成绩在内的6人随机抽取2人，共有：
､､
，共有15种，
2人中至少有1人成绩在内，共有：
､､，有12种，
记事件“人中至少有1人成绩在内”，则.
17．【正确答案】(1)；
(2)或.
【分析】（1）求出过点且与直线垂直的直线方程，与联立求出圆心，根据两点间的距离求出半径，即可得圆的方程；
（2）分类讨论，利用点到直线的距离公式，结合过原点的直线被圆截得的弦长为，求直线的方程.
【详解】（1）过点且与直线垂直的直线方程为，
联立，解得，所以,
所以圆的半径为,
所以圆的方程为.

（2）由（1）可知圆的方程为，
因为直线被圆截得的弦长为，
所以到直线的距离为，
若直线的斜率不存在，则方程为，此时圆心到直线的距离为，不符合题意；
若直线的斜率存在，设方程为，
则,即,解得或,
所以直线的方程为或.

18．【正确答案】(1)证明见解析
(2)
(3)点位于中位线靠近的八等分点的第3个点处
【详解】（1）取BD中点，连接PO，
是BM的中点，，且，
在线段CD上取点，使，连接OF，QF，
，，且，
，四边形POFQ为平行四边形，，
又平面平面，平面.
（2），则，，
取BD中点，则，又平面，平面BCD，
以为原点，OB，OC，OP所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，故，
则，，，
，所以，
故，
易知平面的一个法向量为，
设平面的一个法向量为，
则，即，
取，则，，
设平面与平面的夹角为，
则，
所以平面与平面夹角的余弦值为.
（3）由（2）知为BD中点，为AD中点，连接OM，
，
点为内动点且平面QGM，
又平面ABD，平面平面，
，故点在OM上，
设，又，，，
则，
，
易知平面的一个法向量为，
设QG与平面所成角为，则最大时，最大，
，
所以当时，最大，此时最大，
即当点位于中位线靠近的八等分点的第3个点处时，QG与平面所成角最大.
19．【正确答案】(1)；
(2)（ⅰ）不为定值，理由见详解；（ⅱ）
【详解】（1）由题意可知，，
则，
可知动点P的轨迹是以为焦点的椭圆，且，
所以曲线C的方程为.
（2）①联立方程，消去y，可得，
因为直线与曲线C相切，则，
整理可得，则原方程为，解得，
将代入直线，可得，
可知，且，
则，不为定值；
②由题意可知，圆的圆心为O0,0，半径，

因为O0,0到直线的距离，
可得，
因为，则，
可得，
则面积，
可知当，即时，取到最大值.