山东省淄博市周村区2023-2024学年九年级上学期期末数学试题（解析版）

这是一份山东省淄博市周村区2023-2024学年九年级上学期期末数学试题（解析版），共32页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 下图是由一个长方体和一个圆柱组成的几何体，它的俯视图是（ ）
A. B.
C. D.
2. 点在平面直角坐标系内，设与轴正半轴的夹角为，以下正确的是（ ）
A. B. C. D.
3. 如图，线段是的直径，如果，那么的度数是（ ）
A. B. C. D.
4. 不透明的袋子中装有一个红色小球和一个白色小球，除颜色外两个小球无其它差别．从中随机取出一个小球后，放回并摇匀，再从中随机取出一个小球，则两次都取到白色小球的概率为（ ）
A. B. C. D.
5. 将抛物线向右平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，所得到的抛物线为（ ）
A. B. C. D.
6. 已知二次函数的图象与x轴的一个交点坐标是，则关于x的一元二次方程的两个实数根是（ ）
A ，B. ，C. ，D. ，
7. 如图，中，弦AB，CD相交于点E，．若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
8. 如图，是一圆锥的左视图，根据图中所标数据，圆锥侧面展开图的扇形圆心角的大小为( )

A. 90°B. 120°C. 135°D. 150°
9. 如图，在直角三角形材料中，，，，现用此材料裁出一个面积最大的半圆形模板，则该半圆形模板的半径是（ ）
A. 2B. 3C. D.
10. 如图，是的直径，点C在上，，垂足为D，，点E是上的动点（不与C重合），点F为的中点，若在E运动过程中的最大值为4，则的值为（ ）
A. B. C. D.
二、填空题（请将最终结果填入题中的横线上，每小题4分，共20分）
11. 反比例函数的图象经过点和点，则的值是______．
12. 正五边形的中心角的度数是_____．
13. 一个圆柱体容器内装入一些水，截面如图所示，若⊙O中的直径为52cm，水面宽AB＝48cm，则水的最大深度为_______________cm．
14. 已知实数满足，则的最小值为______．
15. 如图，点A，C均在半径为的上，点是内一点，于点．若______．
三、解答题（要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤，共90分）
16. 求下列各式的值：
（1）；
（2）．
17. 如图，在平面直角坐标系中，过格点A、B、C作一圆弧．
（1）所在圆的圆心M的坐标为 ；
（2）求扇形MAC的面积．（结果保留π）
18 如图，已知抛物线L：y＝x2+bx+c经过点A(0，﹣5)，B(5，0)．
（1）求b，c的值；
（2）连结AB，交抛物线L的对称轴于点M．求点M的坐标；
19. 如图，在一个的棋盘内已有四枚棋子，在剩余的方格内继续随机放入棋子（每一方格内最多放入一枚棋子），如果有三枚棋子在同一条直线上，我们称之为“三连珠”
（1）如果随机放入枚棋子，出现“三连珠”概率是______．
（2）如果随机放入枚棋子，求棋盘内同时出现三个“三连珠”的概率．（请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程）
20. 如图，是的直径，点是弦延长线上一点，过点作于点，过点作的切线，交于点．
（1）求证：；
（2）若是中点，，，求的长．
21. 如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l：y＝kx+1（k≠0）与函数（x＞0）的图象G交于点A（1，2），与x轴交于点B．
（1）求k，m的值；
（2）点P为图象G上一点，过点P作x轴的平行线PQ交直线l于点Q，作直线PA交x轴于点C，若S△APQ：S△ACB＝1：4，求点P的坐标．
22. 如图，为的直径，，C为上一点，，垂足为，且交于E，C是弧的中点．
（1）求证：是的切线；
（2）若，求的长；
（3）若，求的长．
23. 如图1，已知二次函数的图象与轴交于点和点，与轴交于点．
图1图2
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）若点为二次函数图象上一点，当时，求点的坐标；
（3）如图2，将直线向下平移，与二次函数的图象相交于M，N两点，直线相交于点，求点的横坐标（直接写出答案）．
九年级数学试题
一、选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确的选项填在题后的括号内，每小题4分，共40分）
1. 下图是由一个长方体和一个圆柱组成的几何体，它的俯视图是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据从上面看得到的图形是俯视图即可解答．
【详解】解：从上面看下边是一个矩形，矩形的上边是一个圆，
故选：D．
【点睛】本题考查了简单组合体的三视图，掌握从上面看得到的图形是俯视图是解答本题的关键．
2. 点在平面直角坐标系内，设与轴正半轴的夹角为，以下正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查三角函数及勾股定理，解题的关键是熟练掌握三角函数的定义；
根据题意画出图形，结合三角函数逐个判断即可得到答案．
【详解】解：由题意得，如图所示，
在中
，，
，
设与轴正半轴的夹角为，
，故选项A不符合题意；
，故选项B不符合题意；
，故选项C符合题意，选项D不符合题意；
故选：C．
3. 如图，线段是的直径，如果，那么的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】连接，根据直径所对的圆周角是直角得出，从而求出的度数，最后利用同弧所对的圆周角相等即可解答．
【详解】解：如图：连接，
是的直径，
，
，
，
，
故选：D．
【点睛】本题考查了圆周角定理，熟练掌握直径所对的圆周角是直角是解题的关键．
4. 不透明的袋子中装有一个红色小球和一个白色小球，除颜色外两个小球无其它差别．从中随机取出一个小球后，放回并摇匀，再从中随机取出一个小球，则两次都取到白色小球的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了画树状图或列表法求概率，依据题意先用列表法或画树状图法分析所有等可能的出现结果，然后根据概率公式求出该事件的概率即可．
【详解】解：画树状图如下：
共有4种等可能的结果，其中两次都取到白色小球的结果有1种，
两次都取到白色小球概率为．
故选：D．
5. 将抛物线向右平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，所得到的抛物线为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据二次函数图象的平移方法“左加右减，上加下减”，由此可直接排除选项．
【详解】解：由抛物线向右平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，所得到的抛物线为；
故选C．
【点睛】本题主要考查二次函数图象的平移，熟练掌握二次函数图象的平移是解题的关键．
6. 已知二次函数的图象与x轴的一个交点坐标是，则关于x的一元二次方程的两个实数根是（ ）
A. ，B. ，C. ，D. ，
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点，先求出抛物线的对称轴，在求出抛物线与x轴的另一个交点，最后根据抛物线与一元二次方程的关系求解．
【详解】解：∵抛物线的对称轴为：，图象与x轴的一个交点坐标是，
∴根据抛物线的对称性得抛物线与x轴的另一个交点是，
∴关于x的一元二次方程的两个实数根是：，，
故选：A．
7. 如图，中，弦AB，CD相交于点E，．若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】此题考查了圆周角定理，连接，根据邻补角定义求出，根据圆周角定理推出，根据三角形内角和定理求出，根据圆周角定理及圆心角、弧关系求解即可．
【详解】解：连接，
∵，
∴，
∵ ，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴ ，
∴ 的度数为．
故选：B．
8. 如图，是一圆锥的左视图，根据图中所标数据，圆锥侧面展开图的扇形圆心角的大小为( )

A. 90°B. 120°C. 135°D. 150°
【答案】B
【解析】
【详解】解：∵圆锥的底面半径为3，
∴圆锥的底面周长为6π，
∵圆锥的高是6，
∴圆锥的母线长为
设扇形的圆心角为n∘，
∴ =6π，
解得n=120.
答：圆锥的侧面展开图中扇形的圆心角为120°.
故选B.
点睛：本题考查了圆锥的计算，根据圆锥的底面半径得到圆锥的底面周长，也就是圆锥的侧面展开图的弧长，根据勾股定理得到圆锥的母线长，利用弧长公式可求得圆锥的侧面展开图中扇形的圆心角．
9. 如图，在直角三角形材料中，，，，现用此材料裁出一个面积最大的半圆形模板，则该半圆形模板的半径是（ ）
A. 2B. 3C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】此题考查了圆切线的性质，勾股定理等知识，解题的关键是正确画出图形．
设半圆的圆心为O，圆O与相切于点D，与相切于点E，首先根据勾股定理求出，设，然后利用代数求解即可．
【详解】如图所示，设半圆的圆心为O，圆O与相切于点D，与相切于点E，
∵，，，
∴
∵，
∴，
设
∴
∴
解得．
∴该半圆形模板的半径是．
故选：C．
10. 如图，是的直径，点C在上，，垂足为D，，点E是上的动点（不与C重合），点F为的中点，若在E运动过程中的最大值为4，则的值为（ ）
A B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先判断出点，，，四点共圆，判断出的最大值为，再求出，然后根据勾股定理即可求出答案．
【详解】解：如图，
连接，，
点是的中点，
，
，
，
，
，
点，，，在以为直径的圆上，
，
∵，
在中，，，
根据勾股定理得，
故选A．
【点睛】此题主要考查了垂径定理，四点共圆，勾股定理，作出辅助线判断出点，，，四点共圆是解本题的关键．
二、填空题（请将最终结果填入题中的横线上，每小题4分，共20分）
11. 反比例函数的图象经过点和点，则的值是______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查反比例函数图象上的点的坐标特征．把A点坐标代入解析式，即可求出k的值．再将B点坐标代入解析式解出m即可．掌握反比例函数图象上的点的坐标满足其解析式是解题关键．
【详解】把代入解析式得： ，
解得：，
∴反比例函数，
将B点坐标代入解析式得：，
解得：．
故答案为：．
12. 正五边形的中心角的度数是_____．
【答案】72°．
【解析】
【分析】根据正多边形的圆心角定义可知：正n边形的圆中心角为，则代入求解即可．
【详解】解：正五边形的中心角为： ．
故答案为72°．
【点睛】此题考查了正多边形的中心角的知识．题目比较简单，注意熟记定义．
13. 一个圆柱体容器内装入一些水，截面如图所示，若⊙O中的直径为52cm，水面宽AB＝48cm，则水的最大深度为_______________cm．
【答案】16
【解析】
【分析】连接OA，过O点作，垂足为H，交于点C，由垂径定理求出AH，根据勾股定理求出OH，即可求出最大深度CH.
【详解】解：如图
连接OA，过O点作，垂足为H，交于点C
∵的直径为52cm
∴OA=OC=26cm
∵，且过O点
∴OC垂直且平分AB
∴AH=24cm
根据勾股定理
得OH=10cm
∴CH=OC-OH=26-10=16cm
所以水的最深为16cm
【点睛】本题主要考查了垂径定理及勾股定理，熟记概念是解题的关键.
14. 已知实数满足，则的最小值为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了二次函数最值，二次函数的性质，表示出关于的函数解析式是解题的关键．
由得到，即可得到，根据二次函数的性质即可求得．
【详解】解：∵，
的最小值为，
故答案为：．
15. 如图，点A，C均在半径为的上，点是内一点，于点．若______．
【答案】
【解析】
【分析】连接，过点作于点，作于点，延长交于点，连接，先求出，，再证出，根据相似三角形的性质可得，然后利用勾股定理求出，最后在中，利用勾股定理求解即可得．
【详解】解：如图，连接，过点作于点，作于点，延长交于点，连接，
则，
，
，
，
，
，
由圆周角定理得：，
，
在和中，
，
，
，即，
解得，
，
，
，，
则在中，，
故答案为：．
【点睛】本题考查了勾股定理、相似三角形的判定与性质、圆周角定理、垂径定理等知识，通过作辅助线，构造相似三角形是解题关键．
三、解答题（要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤，共90分）
16. 求下列各式的值：
（1）；
（2）．
【答案】（1）1； （2）1．
【解析】
【分析】本题考查了特殊角三角函数值的混合运算，熟记各特殊角的三角函数值是解题关键．
（1），据此即可求解；
（2）据此即可求解；
【小问1详解】
解：原式
【小问2详解】
解：原式
17. 如图，在平面直角坐标系中，过格点A、B、C作一圆弧．
（1）所在圆的圆心M的坐标为 ；
（2）求扇形MAC的面积．（结果保留π）
【答案】（1）M（2，1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，可以作弦AB和BC的垂直平分线，交点即为圆心；
（2）根据扇形的面积公式，即可求得．
【小问1详解】
根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，
可以作弦AB、BC的垂直平分线，交点即为圆心．
如图所示，则圆心是（2，1）；
故答案为：（2，1）．
【小问2详解】
连接MA、MC，如图所示：
.
由作图知，∠AMC=90°，
所以扇形PAC的面积为：
【点睛】本题考查了扇形面积的计算以及垂径定理，正确确定圆心是解题的关键．
18. 如图，已知抛物线L：y＝x2+bx+c经过点A(0，﹣5)，B(5，0)．
（1）求b，c的值；
（2）连结AB，交抛物线L的对称轴于点M．求点M的坐标；
【答案】（1），；（2）交点M的坐标为（2，-3）．
【解析】
【分析】（1）将点A、点B坐标代入函数解析式，求解方程组即可；
（2）设直线AB的解析式为：，将点A、点B坐标代入函数解析式求解确定解析式，然后根据（1）中确定二次函数解析式，求出其对称轴，求两条之间交点即可确定点M的坐标．
【详解】解：（1）将点A、点B坐标代入函数解析式可得：
，
解得：，
∴，；
（2）设直线AB的解析式为：，
将点A、点B坐标代入函数解析式可得：
，
解得：，
∴一次函数解析式为：，
由（1）得二次函数解析式为：，
对称轴为：，
直线与的交点为M，
∴当时，，
∴交点M的坐标为（2，-3）．
【点睛】题目主要考查利用待定系数法确定二次函数与一次函数解析式，两条直线的交点问题，二次函数的基本性质，理解题意，熟练运用待定系数法确定解析式是解题关键．
19. 如图，在一个的棋盘内已有四枚棋子，在剩余的方格内继续随机放入棋子（每一方格内最多放入一枚棋子），如果有三枚棋子在同一条直线上，我们称之为“三连珠”
（1）如果随机放入枚棋子，出现“三连珠”的概率是______．
（2）如果随机放入枚棋子，求棋盘内同时出现三个“三连珠”的概率．（请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）直接由概率公式求解即可；
（2）画树状图，共有个等可能的结果，棋盘内同时出现三个“三连珠”的结果有个，再由概率公式求解即可．
【小问1详解】
解：棋盘内已有四枚棋子，在剩余的个方格内随机放入一枚棋子，能出现“三连珠”的位置是1、2、3、5四个位置，
∴出现“三连珠”的概率是．
故答案为：．
【小问2详解】
画树状图如图：
共有个等可能的结果，棋盘内同时出现三个“三连珠”的有、、、，共个结果，
∴棋盘内同时出现三个“三连珠”的概率为．
∴棋盘内同时出现三个“三连珠”概率为．
【点睛】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．注意列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
20. 如图，是的直径，点是弦延长线上一点，过点作于点，过点作的切线，交于点．
（1）求证：；
（2）若是的中点，，，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）利用切线的性质可得出，利用垂直的定义可得出，利用等腰三角形的性质可得出，利用余角的性质可得出，再利用等腰三角形的判定即可得证；
（2）先利用正弦定义求出，利用勾股定理求出，在和中利用勾股定理可得出，然后代入数值求解即可．
【小问1详解】
证明：连接，如图1．

∵是⊙的切线，是⊙的半径，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
∴，
∴；
【小问2详解】
解：连接，如图2．
∵，是的中点，
∴，，
在中，，
∴，
∴，
设，则，
在中，．
在中，．
∴，解得．
即的长为．
【点睛】本题主要考查了圆的切线的性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，正弦的定义等知识，连接经过切点的半径是解决此类问题常添加的辅助线．
21. 如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l：y＝kx+1（k≠0）与函数（x＞0）的图象G交于点A（1，2），与x轴交于点B．
（1）求k，m的值；
（2）点P为图象G上一点，过点P作x轴的平行线PQ交直线l于点Q，作直线PA交x轴于点C，若S△APQ：S△ACB＝1：4，求点P的坐标．
【答案】（1）；（2）P点坐标为（2，1）或（，3）
【解析】
【分析】（1）根据待定系数法求得即可；
（2）分两种情况讨论，通过证得△APQ∽△ACB，从而得到，即可求得P点的坐标．
【详解】（1）将点A（1，2）代入y＝kx+1（k≠0）中，得k+1＝2，
∴k＝1，
将点A（1，2）代入（x＞0）中得m＝2；
（2）①当点P在点A下方时，
过点A作AG⊥x轴，交直线PQ于点H，
∵PQ平行于x轴，
∴△APQ∽△ACB，
∴＝，
∴，
∵点A（1，2），
∴点P纵坐标为1．
∵m＝2，
∴．
∴P点坐标为（2，1）．
②当点P在点A上方时，
过点A作AG⊥x轴，交直线PQ于点H．
∵PQ平行于x轴，
∴△APQ∽△ACB．
∴（）2＝，
∴，
∵点A（1，2），
∴P点纵坐标为3．
代入得，，
∴P点坐标为，
∴P点坐标为（2，1）或．
【点睛】本题考查了三角形相似的判定与性质、待定系数法求函数解析式，还用到分类讨论思想．
22. 如图，为的直径，，C为上一点，，垂足为，且交于E，C是弧的中点．
（1）求证：是的切线；
（2）若，求的长；
（3）若，求的长．
【答案】（1）证明见解析；
（2）4.8； （3）6．
【解析】
【分析】（1）连接，由等腰三角形的性质和角平分线的定义得出，于是可判断，由于，则，然后根据切线的判定定理即可得到结论；
（2）连接，根据圆周角定理得到，由于，则可判断，然后利用相似比可计算出的长．
（3）如图，连接，作于．由，推出，推出，设，则，由，可得，求出x即可解决问题；
【小问1详解】
证明：连接．
是弧的中点，
平分，
，
，
，
，
，
，
，
，即，
为半径，
为的切线．
【小问2详解】
解：是的直径，
，
，
,
又，
，
，即，
解得：．
【小问3详解】
如图，连接，作于．
平分，
，
是弧的中点，
，
，
，
，
设，则，
由，可得，
，解得或9（舍弃），
，
∴，
．
【点睛】本题考查切线的判定，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，做辅助线构造全等三角形是解题的关键．
23. 如图1，已知二次函数的图象与轴交于点和点，与轴交于点．
图1图2
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）若点为二次函数图象上的一点，当时，求点的坐标；
（3）如图2，将直线向下平移，与二次函数的图象相交于M，N两点，直线相交于点，求点的横坐标（直接写出答案）．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】本题考查了二次函数综合问题，解直角三角形，待定系数法求解析式，一次函数的平移，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键；
（1）由待定系数法即可求解；
（2）过作于，过作轴于，过作于，设，求出，由，知是等腰直角三角形，可证，故，，即，解得)，求出直线函数表达式为，联立，即可解得的坐标为)；
（3）由得直线的表达式为：，设直线的表达式为，联立，可得，设，则，由点、得直线的表达式为：，由得直线的表达式为：，联立，得．
【小问1详解】
解：将，点代入，
得：，
解得：，
抛物线的解析式为；
【小问2详解】
过作于，过作轴于过作于，如图：
设，
在中，令得
解得或，
∴，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
解得，
∴，
由得直线的表达式为，
联立，
解得或，
∴的坐标为；
【小问3详解】
点的横坐标是，
由得直线的表达式为：，
∵直线向下平移，与二次函数的图象相交于两点，
设直线的表达式为
联立，
整理得：，
设，
则，
∴，
由点得直线的表达式为：，
由得直线的表达式为：，
联立，
整理得，
Q的横坐标是为．