山东省青岛市黄岛区青岛西海岸新区育才初级中学2023-2024学年九年级上学期期末数学试题（解析版）

这是一份山东省青岛市黄岛区青岛西海岸新区育才初级中学2023-2024学年九年级上学期期末数学试题（解析版），共32页。
说明：
1．本试题分为第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共有25道题．第Ⅰ卷1-8为选择题，共24分；第Ⅱ卷9-15题为填空题，16题为作图题，17-25题为解答题，共96分．
2．所有题目均在答题卡上作答，在试题上作答无效．
第Ⅰ卷
一、选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分）（下列每小题都给出标号A、B、C、D的四个结论．其中只有一个是正确的．每小题选对得分；不选、选错或选出的标号超过一个的不得分．）
1. 已知，那么下列式子中一定成立的是（ ）
A. B. C. D.
2. 在同一时刻的阳光下，小明影子比小强的影子长，则在同一路灯下（ ）
A. 小明的影子比小强的影子长
B. 小明的影子比小强的影子短
C. 小明的影子和小强的影子一样长
D. 无法判断谁的影子长
3. 班级元旦晚会上，主持人给大家带来了一个有奖竞猜题，他在一个不透明的袋子中放了若干个形状大小完全相同的白球，想请大家想办法估计出袋中白球的个数，数学课代表小明是这样来估计的：他先往袋中放入10个形状大小与白球相同的红球，混匀后再从袋子中随机摸出20个球，发现其中有4个红球．如果设袋中有白球x个，根据小明的方法用来估计袋中白球个数的方程是（ ）
A. B. C. D.
4. 已知都在反比例函数的图象上，则a，b，c的大小关系用“＜”连接的结果为（ ）
A. B. C. D.
5. 某校八年级组织一次篮球赛，各班均组队参赛，赛制为单循环形式（每两班之间都赛一场），共需安排15场比赛，则八年级班级的个数为（ ）
A. 5B. 6C. 7D. 8
6. 如图，四边形内接于为对角线，经过圆心．若，则的度数为（ ）

A. B. C. D.
7. 如图，某公园入口处原有三级台阶，每级台阶高为，深为，为方便残疾人士，拟将台阶改为斜坡，设台阶的起点为，斜坡的起始点为，现设计斜坡的坡度，则的长度是（ ）．
A. 210B. 120C. 504D. 60
8. 已知二次函数的图像如图所示，有下列5个结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的结论有（ ）
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
第Ⅱ卷
二、填空题（本题共7小题，每小题3分，共21分）
9. 已知α、β均锐角，且满足+=0，则α+β= ___________．
10. 如图所示是一个几何体的三视图，若这个几何体的体积是6，则它的表面积是________．

11. 如图是一幢建筑物和一根旗杆在一天中四个不同时刻的影子．将四幅图按先后顺序排列应为________．
12. 如图，四边形ABCD与四边形EFGH位似，其位似中心为点O，且，则______．
13. 如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是矩形，四边形ADEF是正方形，点A，D在x轴正半轴上，点C在y轴的正半轴上，点F在AB上，点B，E在反比例函数的图象上，若正方形ADEF的面积为4，且，则k的值为___________．
14. 如图，在正方形ABCD边长为6，对角线AC、BD相交于点O，点E、F分别在BC、CD的延长线上，且CE=3，DF=2，G为EF的中点，连接OE，交CD于点H，连接GH，则GH的长为____________．
15. 如图（1）所示，为矩形的边上一点，动点、同时从点出发，点沿折线运动到点时停止，点沿运动到点时停止，它们运动的速度都是秒．设、同发秒时，的面积为．已知与的函数关系图象如图（2）（曲线为抛物线的一部分），则下列结论：①；②；③当时，；④当秒时，；其中正确的结论是___________．
三、作图题（本满分4分）
16. 用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹．
已知：线段，直线及外一点A．
求作：矩形，使边在直线上，对角线．
四、解答题（本题共8道小题，满分71分）
17. 计算：
（1）（配方法）；
（2）（用适当方法）．
18. 小明和小亮用图中的转盘做游戏：分别转动转盘两次，两次数字之差（大数减小数）等于2，小明胜；若两次数字之差（大数减小数）等于1，则小亮胜，这个游戏对双方平吗？说说你的理由．（列表或画树状图说明）
19. 某商店购进一批单价为20元的日用品，如果以单价30元销售，那么半个月内可以售出400件．根据销售经验，提高销售单价会导致销售量的减少，即销售单价每提高1元，销售量相应减少20件．问销售单价定为多少时，才能在半个月内获得最大利润？
20. 如图1，将一长方体放置于一水平玻璃桌面上，按不同的方式摆放，记录桌面所受压强与受力面积的关系如下表所示：
（1）根据表中数据，求出压强关于受力面积的函数表达式；
（2）如图2，将另一长，宽，高分别为，且与原长方体相同重量的长方体放置于该水平玻璃桌面上，若玻璃桌面承受的最大压强为，问，这种摆放方式是否安全？请判断并说明理由．
21. 阅读与计算，请阅读以下材料，完成相应的任务．
角平分线分线段成比例定理：
如图1，在△ABC中，AD平分，则．
下面是这个定理的部分证明过程．
证明：如图2，过C作，交BA的延长线于点E．
（1）任务一：请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分；
（2）任务二：如图3，△ABC中，E是BC中点，AD是的平分线，交AC于F．若，，直接写出线段FC的长．
22. 拓展小组研制的智能操作机器人，如图1，水平操作台为l，底座AB固定，高AB为50cm，连杆BC长度为70cm，手臂CD长度为60cm．点B，C是转动点，且AB，BC与CD始终在同一平面内，
（1）转动连杆BC，手臂CD，使，，如图2，求手臂端点D离操作台的高度DE的长（精确到1cm，参考数据：，）．
（2）物品在操作台上，距离底座A端110cm的点M处，转动连杆BC，手臂CD，手臂端点D能否碰到点M？请说明理由．
23. 如图，在中，是边上的中线，是的中点，过点作，交的延长线于点，连接．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）若，，试判断四边形的形状，并证明你的结论．
24. 公路上正在行驶的甲车，发现前方30m处沿同一方向行驶的乙车后，为了行驶安全，开始减速，减速后甲车行驶的路程s（单位：m）、速度v（单位：m/s）与时间t（单位：s）的关系分别可以用二次函数和一次函数表示，其图象如图所示．
（1）当甲车减速至6m/s时，它行驶路程是多少？
（2）若乙车以10m/s的速度匀速行驶，当时间t在什么范围时，两车间的距离不超过米？
25. 在平面直角坐标系中，O为原点，是等腰直角三角形，，，顶点，点B在第一象限，矩形的顶点，点C在y轴的正半轴上，点D在第二象限，射线经过点B．将矩形沿x轴向右平移，得到矩形，点O，C，D，E的对应点分别为，，，．设，矩形与重叠部分的面积为S．


（1）如图①，求点B、C、D坐标．
（2）如图②，当点在x轴正半轴上，且矩形与重叠部分为四边形时，与相交于点F，试用含t的式子表示S．
（3）在（2）问的条件下，是否存在某一时刻t，使得矩形与重叠部分的面积为S与的面积比为？若存在，求出t的值，若不存在，请说明理由．
（4）当时，求S的最大值（直接写出结果即可）．
2023-2024学年度第一学期期末质量检测
九年级数学试题
满分：120分 时间：120分钟
说明：
1．本试题分为第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共有25道题．第Ⅰ卷1-8为选择题，共24分；第Ⅱ卷9-15题为填空题，16题为作图题，17-25题为解答题，共96分．
2．所有题目均在答题卡上作答，在试题上作答无效．
第Ⅰ卷
一、选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分）（下列每小题都给出标号A、B、C、D的四个结论．其中只有一个是正确的．每小题选对得分；不选、选错或选出的标号超过一个的不得分．）
1. 已知，那么下列式子中一定成立的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了等式的性质，根据等式的性质，逐项分析判断即可求解，熟练等式的性质：“等式的性质1：等式两边加(或减)同一个数(或式子)，结果仍相等；等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数(或式子)，结果仍相等．”是解题的关键．
【详解】解：，两边同时乘以15，可得，故A正确；
当不等于0时，等式两边乘以可得，故B不正确；
当不等于0时，等式两边乘以可得，故C不正确；
根据，无法得到，故D不正确；
故选：A．
2. 在同一时刻的阳光下，小明影子比小强的影子长，则在同一路灯下（ ）
A. 小明的影子比小强的影子长
B. 小明的影子比小强的影子短
C. 小明的影子和小强的影子一样长
D. 无法判断谁的影子长
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查中心投影和平行投影，理解中心投影和平行投影特点和规律是解答的关键．
平行投影的特点是：在同一时刻，不同物体的物高和影长成比例．中心投影的特点是：①等高的物体垂直地面放置时，在灯光下，离点光源近的物体它的影子短，离点光源远的物体它的影子长．②等长的物体平行于地面放置时，在灯光下，离点光源越近，影子越长；离点光源越远，影子越短，但不会比物体本身的长度还短．根据在同一路灯下，由于位置不确定，则无法判断谁的影子长短，进而可得结论．
【详解】解：∵在同一时刻的阳光下，小明影子比小强的影子长，
∴小明的身高比小强高，
∵在同一路灯下，两人与路灯的距离不确定，
∴无法判断谁的影子长．
故选：D．
3. 班级元旦晚会上，主持人给大家带来了一个有奖竞猜题，他在一个不透明袋子中放了若干个形状大小完全相同的白球，想请大家想办法估计出袋中白球的个数，数学课代表小明是这样来估计的：他先往袋中放入10个形状大小与白球相同的红球，混匀后再从袋子中随机摸出20个球，发现其中有4个红球．如果设袋中有白球x个，根据小明的方法用来估计袋中白球个数的方程是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了用样本数据估计总体数据，每一个小球被摸中的可能性都是相同的,因此可用摸中红球的频率代表袋子中红球占总球数的占比，由此列出等式即可.列出等量关系是解题关键．
【详解】解：∵每一个小球被摸中的可能性都是相同的，
∴由题可知， 摸中红球的频率，
袋子中红球占总球数的，
即，即可求出袋中白球的个数，
故选：D．
4. 已知都在反比例函数的图象上，则a，b，c的大小关系用“＜”连接的结果为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】此题考查了反比例函数的图象和性质，先求出反比例函数的图象两支分别位于第一、三象限，在每个象限内y随x的增大而减小，再进行判断求解即可．
【详解】解：∵反比例函数，，
∴反比例函数的图象两支分别位于第一、三象限，在每个象限内y随x的增大而减小，
∵点都在第三象限，
∵，
∴，
又∵在反比例函数的图象上，
∴，
∴．
故选：A．
5. 某校八年级组织一次篮球赛，各班均组队参赛，赛制为单循环形式（每两班之间都赛一场），共需安排15场比赛，则八年级班级的个数为（ ）
A. 5B. 6C. 7D. 8
【答案】B
【解析】
【分析】设有x个班级参加比赛，根据题目中的比赛规则，可得一共进行了场比赛，即可列出方程，求解即可．
【详解】解：设有x个班级参加比赛，
，
，
解得：（舍），
则共有6个班级参加比赛，
故选：B．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题关键是读懂题意，得到比赛总数的等量关系．
6. 如图，四边形内接于为对角线，经过圆心．若，则的度数为（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由同弧所对圆周角相等及直角三角形的性质即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∵为圆的直径，
∴，
∴；
故选：B．
【点睛】本题考查了直径所对的圆周角是直角，同圆中同弧所对的圆周角相等，直角三角形两锐角互余，掌握它们是关键．
7. 如图，某公园入口处原有三级台阶，每级台阶高为，深为，为方便残疾人士，拟将台阶改为斜坡，设台阶的起点为，斜坡的起始点为，现设计斜坡的坡度，则的长度是（ ）．
A. 210B. 120C. 504D. 60
【答案】A
【解析】
【分析】过点作，交于点，求出、的长度，由坡度求出的长度，即可求解，本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是：根据已知条件添加辅助线．
【详解】解：过点作，交于点，
台阶高为，深为，
，，
斜坡的坡度，
，
，
，
故选：．
8. 已知二次函数图像如图所示，有下列5个结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的结论有（ ）
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查二次函数图像与性质，涉及由二次函数图像与性质确定代数式符号，根据二次函数图像与性质逐项验证即可得到答案，熟记二次函数图像与性质是解决问题的关键．
【详解】解：由图可知，，，，
，即，①，故①错误；
②当时，，由于抛物线与轴左边交点横坐标大于，则抛物线与轴右边交点横坐标小于，从而可知当时，，故②正确；
③抛物线与轴有两个交点，从而得到，即，故③错误；
④由，则，当时，，则，即，从而得到，故④正确；
⑤当时，为抛物线最大值；从而，即，故⑤正确；
综上所述，正确的有②④⑤三个，
故选：C．
第Ⅱ卷
二、填空题（本题共7小题，每小题3分，共21分）
9. 已知α、β均为锐角，且满足+=0，则α+β= ___________．
【答案】75°##75度
【解析】
【分析】根据非负数的性质得到sinα=，tanβ=1，利用特殊角的三角函数值分别求出α、β，计算即可．
【详解】由已知得sinα－=0，tanβ－1=0，
∴α=30°，β=45°，
∴α+β=75°．
【点睛】本题考查的是特殊角的三角函数值、非负数的性质，掌握绝对值和算术平方根的非负性是解题的关键．
10. 如图所示是一个几何体的三视图，若这个几何体的体积是6，则它的表面积是________．

【答案】22
【解析】
【分析】根据主视图与左视图得出长方体的边长，再利用图形的体积得出它的高，进而得出表面积.
【详解】由主视图得出长方体的长是3，宽是1，这个几何体的体积是6，
设高为h，则3×1×h=6，
解得: h=2，
它的表面积是:
2×3×2+2×3×1+2×1×2
=22.
故答案为：22.
【点睛】此题主要考查了利用三视图判断几何体的边长，得出图形的高是解题关键．
11. 如图是一幢建筑物和一根旗杆在一天中四个不同时刻的影子．将四幅图按先后顺序排列应为________．
【答案】④①③②
【解析】
【分析】根据影子变化规律可知道时间的先后顺序．
【详解】解：从早晨到傍晚物体的指向是：西-西北-北-东北-东，影长由长变短，再变长．
则四幅图按先后顺序排列应是④①③②．
故答案为④①③②．
【点睛】本题考查平行投影的特点和规律．在不同时刻，同一物体的影子的方向和大小可能不同，不同时刻物体在太阳光下的影子的大小在变，方向也在改变，就北半球而言，从早晨到傍晚物体的指向是：西-西北-北-东北-东，影长由长变短，再变长．
12. 如图，四边形ABCD与四边形EFGH位似，其位似中心为点O，且，则______．
【答案】
【解析】
【分析】利用位似图形的性质结合位似比等于相似比得出答案．
【详解】四边形ABCD与四边形EFGH位似，其位似中心为点O，且，
，
则，
故答案为．
【点睛】本题考查了位似的性质，熟练掌握位似的性质是解题的关键.
13. 如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是矩形，四边形ADEF是正方形，点A，D在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，点F在AB上，点B，E在反比例函数的图象上，若正方形ADEF的面积为4，且，则k的值为___________．
【答案】8
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数的图象是双曲线，图象上的点的横纵坐标的积是定值k，即．先由正方形的面积为4，得出边长为2，求得．设B点坐标为，则E点坐标，根据点B、E在反比例函数的图象上，列出t的方程，即可求出k．
【详解】解：∵正方形的面积为4，
∴正方形的边长为2，
∴，．
设B点坐标为，则E点坐标（t+2，2），
∵点B、E在反比例函数的图象上，
∴，
解得，．
故答案为：8．
14. 如图，在正方形ABCD的边长为6，对角线AC、BD相交于点O，点E、F分别在BC、CD的延长线上，且CE=3，DF=2，G为EF的中点，连接OE，交CD于点H，连接GH，则GH的长为____________．
【答案】
【解析】
【分析】作OK⊥BC，垂足为点K，作GM⊥CD，垂足为点M．根据相似三角形的判定和性质，可求出CH和MG的长，再求出MH的长，最后利用勾股定理求解即可．
【详解】解：如图，作OK⊥BC，垂足为点K，作GM⊥CD，垂足为点M，
∵OK⊥BC，AB⊥BC，
∴，
∴，
∴．
∵正方形边长为6，
∴OK=3，KC=3，
∴KC=CE，即C为KE中点．
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴CH=OK=．
∵，
∴，
∴，
∴．
又∵G点为EF中点，即，
∴GM=CE=，MC= MF=FC=(CD+DF)=×(6+2)=4，
∴MH=MC−HC=4−=．
在Rt△MHG中，
，
故答案为：．
【点睛】本题综合考查了正方形的性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理等内容．解决本题的关键是能作出辅助线构造相似三角形．
15. 如图（1）所示，为矩形的边上一点，动点、同时从点出发，点沿折线运动到点时停止，点沿运动到点时停止，它们运动的速度都是秒．设、同发秒时，的面积为．已知与的函数关系图象如图（2）（曲线为抛物线的一部分），则下列结论：①；②；③当时，；④当秒时，；其中正确的结论是___________．
【答案】①④
【解析】
【分析】本题考查了动点问题的函数图象．根据图（2）可以判断三角形的面积变化分为三段，可以判断出当点到达点时点到达点，从而得到、的长度，再根据、是从5秒到7秒，可得的长度，然后表示出的长度，根据勾股定理求出的长度，然后针对各小题分析解答即可．
【详解】解：根据图（2）可得，当点到达点时点到达点，
点、的运动的速度都是秒，
，
，故①正确；
又从到的变化是2，
，
，
在中，，
，故②错误；
过点作于点，
∵，
，
，
，
当时，，故③错误；
当秒时，点在上，此时，，
，
，，
，
又，
，故④正确．
综上所述，正确的有①④．
故答案为：①④．
三、作图题（本满分4分）
16. 用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹．
已知：线段，直线及外一点A．
求作：矩形，使边在直线上，对角线．
【答案】见解析
【解析】
【分析】根据垂直平分线的作法及矩形的判定作图即可．
【详解】解：①以点A为圆心，线段c为半径画弧交直线l于点C和，即；
②作线段的垂直平分线交于点B；
③分别以点C和为圆心，AB长为半径向上画弧，再以A为圆心，长为半径画弧，分别交于点D和，；
④连接，；
如图所示：矩形与矩形即为所求．
【点睛】题目主要考查垂直平分线的作法及矩形的判定，理解题意，掌握基本的作图方法是解题关键．
四、解答题（本题共8道小题，满分71分）
17. 计算：
（1）（配方法）；
（2）（用适当方法）．
【答案】（1），；
（2），．
【解析】
【分析】（1）利用配方法得到，然后利用直接开平方法解方程；
（2）先把方程化为，再利用因式分解法把方程转化为或，然后解两个一次方程即可．
【小问1详解】
解：，
，
，
，
，
，
所以，；
【小问2详解】
，
，
，
或，
所以，．
【点睛】本题考查了解一元二次方程因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了配方法．
18. 小明和小亮用图中的转盘做游戏：分别转动转盘两次，两次数字之差（大数减小数）等于2，小明胜；若两次数字之差（大数减小数）等于1，则小亮胜，这个游戏对双方平吗？说说你的理由．（列表或画树状图说明）
【答案】不公平，理由见解析
【解析】
【分析】此题主要考查了树状图法求概率，利用树状图得出所有的可能，进而利用分别求出概率进而得出答案，正确画出树状图是解题关键．
【详解】解：如图所示：
所有的两数之差为：0，1，2，3，1，0，1，2，2，1，0，1，3，2，1，0共有16种，
两次数字之差（大数减小数）等于2的有4种，故两数字之差为2的概率为；
两次数字之差（大数减小数）等于1的有6种，故两数字之差为1的概率为，
故该游戏不公平．s
19. 某商店购进一批单价为20元的日用品，如果以单价30元销售，那么半个月内可以售出400件．根据销售经验，提高销售单价会导致销售量的减少，即销售单价每提高1元，销售量相应减少20件．问销售单价定为多少时，才能在半个月内获得最大利润？
【答案】单价定为35元时，才能在半个月内获得最大利润
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的销售盈利问题：先设销售单价为x元，销售利润为y元，每件盈利元，销售数量为件，列式化简计算，即可作答．
【详解】解：设销售单价为x元，销售利润为y元，
根据题意，得
，
开口向下，在时，则有最大值，
当销售单价定为35元时，才能在半个月内获得最大利润．
20. 如图1，将一长方体放置于一水平玻璃桌面上，按不同的方式摆放，记录桌面所受压强与受力面积的关系如下表所示：
（1）根据表中数据，求出压强关于受力面积的函数表达式；
（2）如图2，将另一长，宽，高分别为，且与原长方体相同重量的长方体放置于该水平玻璃桌面上，若玻璃桌面承受的最大压强为，问，这种摆放方式是否安全？请判断并说明理由．
【答案】（1）
（2）不安全，理由见解析
【解析】
【分析】本题考查反比例函数解应用题，涉及待定系数法确定函数关系式、反比例函数图像与性质等知识，读懂题意，找出反比例函数表达式是解决问题的关键．
（1）根据题中数据，可知压强关于受力面积的满足反比例函数关系，待定系数法确定函数关系式即可得到答案；
（2）由（1）中关系式，求出接触面积，代值求解与玻璃桌面承受的最大压强为比较即可得到答案．
【小问1详解】
解：，
压强关于受力面积的满足反比例函数关系，
设压强关于受力面积的函数表达式为，则，
压强关于受力面积的函数表达式为；
【小问2详解】
解：不安全，
理由见解析：由（1）知，
将另一长，宽，高分别为，右图中放置方式可得，
，
这种摆放方式不安全．
21. 阅读与计算，请阅读以下材料，完成相应的任务．
角平分线分线段成比例定理：
如图1，在△ABC中，AD平分，则．
下面是这个定理部分证明过程．
证明：如图2，过C作，交BA的延长线于点E．
（1）任务一：请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分；
（2）任务二：如图3，△ABC中，E是BC中点，AD是的平分线，交AC于F．若，，直接写出线段FC的长．
【答案】（1）见解析 （2）13
【解析】
【分析】（1）根据得到，∠2＝∠ACE，∠1＝∠E，根据∠1＝∠2，∴得到∠ACE＝∠E，AE＝AC，得到；
（2）根据AD平分∠BAC，AB=11，AC=15得到，得到，根据E是BC的中点，得到，根据EF∥AD，得到，
CF=13．
【小问1详解】
证明：证明的剩余部分，
∴，∠2＝∠ACE，∠1＝∠E，
∵∠1＝∠2，∴∠ACE＝∠E，∴AE＝AC，
∴，
即．
【小问2详解】
解：∵AD平分∠BAC，AB=11，AC=15,
∴，
∴，
∴，
∴，
∵E是BC的中点，
∴，
∵EF∥AD，
∴，
∴CF=13．
【点睛】本题考查了角平分线性质的证明和应用，解决问题的关键是熟练掌握平行线分线段成比例定理，线段的和差倍分关系．
22. 拓展小组研制的智能操作机器人，如图1，水平操作台为l，底座AB固定，高AB为50cm，连杆BC长度为70cm，手臂CD长度为60cm．点B，C是转动点，且AB，BC与CD始终在同一平面内，
（1）转动连杆BC，手臂CD，使，，如图2，求手臂端点D离操作台的高度DE的长（精确到1cm，参考数据：，）．
（2）物品在操作台上，距离底座A端110cm的点M处，转动连杆BC，手臂CD，手臂端点D能否碰到点M？请说明理由．
【答案】（1）106cm；（2）能碰到，见解析
【解析】
【分析】（1）通过作辅助线构造直角三角形，利用三角函数值解直角三角形即可完成求解；
（2）求出端点D能够到的最远距离，进行比较即可得出结论．
【详解】解：（1）过点C作于点P，
过点B作于点Q，如图1，
，
，
在中，， ．
，
．
∴手臂端点D离操作台 l 的高度DE的长为106cm．
（2）能．
理由：当点B，C，D共线时，如图2，
，，
在中，，
．
手臂端点D能碰到点M．
【点睛】本题考查了直角三角形的应用，涉及到了解直角三角形等知识，解决本题的关键是能读懂题意，并通过作辅助线构造直角三角形，能正确利用三角函数值解直角三角形等，考查了学生的综合分析与知识应用的能力．
23. 如图，在中，是边上的中线，是的中点，过点作，交的延长线于点，连接．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）若，，试判断四边形的形状，并证明你的结论．
【答案】（1）见解析 （2）四边形是正方形．理由见解析
【解析】
【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，平行四边形的判定，正方形的判定的应用．
（1）根据证，利用全等三角形的对应边相等得到．结合已知条件，利用“有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”证得结论；
（2）得出四边形是平行四边形，根据直角三角形斜边上中线性质得出，根据正方形的判定推出即可．
【小问1详解】
证明：∵，
，
是的中点，是边上的中线，
，，
在和中，
，
，
，
，
．
∵，
四边形是平行四边形；
【小问2详解】
解：四边形是正方形．理由如下：
证明：在中，，，是斜边上的中线，
，，
平行四边形是正方形．
24. 公路上正在行驶的甲车，发现前方30m处沿同一方向行驶的乙车后，为了行驶安全，开始减速，减速后甲车行驶的路程s（单位：m）、速度v（单位：m/s）与时间t（单位：s）的关系分别可以用二次函数和一次函数表示，其图象如图所示．
（1）当甲车减速至6m/s时，它行驶的路程是多少？
（2）若乙车以10m/s的速度匀速行驶，当时间t在什么范围时，两车间的距离不超过米？
【答案】（1）当甲车减速至时，它行驶的路程是米；
（2）
【解析】
【分析】本题考查了二次函数与一次函数的实际应用，掌握待定系数法求函数解析式及配方法求二次函数最值是解题关键．
（1）二次函数图象过原点，可设二次函数解析式为，一次函数解析式为，利用待定系数法求出各系数，再将代入解析式求值即可；
（2）乙车行驶速度是，时间是，行驶路程为，设两车之间的距离为，则，依据两车间的距离不超过25.5米列出不等式解答即可．
【小问1详解】
解：二次函数图象过原点，可设二次函数解析式为，
代入，，可得：
，
解得：，
即二次函数解析式为：；
设一次函数解析式为，
代入，得：
，
解得：，
即一次函数解析式为：，
当时，代入一次函数解析式，解得，
此时，，
当甲车减速至时，它行驶的路程是米；
【小问2详解】
解：乙车行驶速度是，时间是，行驶路程为，
设甲、乙之间的距离为（单位：米），
则
，
，
解得：或9，
．
25. 在平面直角坐标系中，O为原点，是等腰直角三角形，，，顶点，点B在第一象限，矩形的顶点，点C在y轴的正半轴上，点D在第二象限，射线经过点B．将矩形沿x轴向右平移，得到矩形，点O，C，D，E的对应点分别为，，，．设，矩形与重叠部分的面积为S．


（1）如图①，求点B、C、D坐标．
（2）如图②，当点在x轴正半轴上，且矩形与重叠部分为四边形时，与相交于点F，试用含t的式子表示S．
（3）在（2）问的条件下，是否存在某一时刻t，使得矩形与重叠部分的面积为S与的面积比为？若存在，求出t的值，若不存在，请说明理由．
（4）当时，求S的最大值（直接写出结果即可）．
【答案】（1），，
（2）
（3）5 （4）
【解析】
【分析】（1）先根据等腰直角三角形的性质和点A的坐标求出点B的坐标，然后根据矩形的性质和点E的坐标求出点C、D的坐标；
（2）先用含t的代数式表示出，然后用的面积减去的面积即可表示出S；
（3）根据矩形与重叠部分的面积为S与的面积比推出与的面积比，据此解方程即可求出t值；
（4）根据二次函数的性质在t的取值范围内求出其最大值即可．
【小问1详解】
解：过点B作轴于F，

∵中，，，点，
∴，
∴点B的坐标为，
∵射线经过点B，
∴点D、C的纵坐标为2，
∵点，
∴点D的横坐标为，
∴点C坐标为，点D坐标为；
【小问2详解】
解：∵点，
∴，
又∵，当点F在上（即）时，
且矩形与重叠部分为四边形时，
，
故的取值范围是，
，
∴，
此时矩形与重叠部分的面积，
即；
【小问3详解】
解：存在．
理由如下：∵矩形与重叠部分的面积为S与的面积比为，
∴与面积比为，
即，
即，
解得：，
∴；
【小问4详解】
解：如图，当时，设矩形与的边分别交于点，

依题意，得，均为等腰直角三角形，
，
，
∴当时，
当时 ，S最大，最大值为．
【点睛】本题是几何变换综合题，主要考查平移变换的性质，等腰直角三角形的性质，矩形的性质和二次函数的应用等知识点，深入理解题意是解决问题的关键．桌面所受压强
400
500
800
100
1250
受力面积
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