浙江省嘉兴市2024-2025学年高二上册12月联考数学学情检测试题（附答案）

这是一份浙江省嘉兴市2024-2025学年高二上册12月联考数学学情检测试题（附答案），共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共8小题）
1．直线的倾斜角为（ ）
A．B．C．D．
2．已知双曲线的渐近线方程为，则双曲线的离心率是（ ）
A．B．C．2D．
3．若椭圆上一点到椭圆的两个焦点的距离之和为，则（ ）
A．B．C．D．或
4．已知数列满足，，，若数列是递增数列，则（ ）
A．B．C．D．
5．如图是正方体的表面展开图，在原正方体中，直线AB与CD所成角的大小为（ ）
A．B．C．D．
6．直线与圆的位置关系是（ ）
A．相离B．相切C．相交D．都有可能
7．抛物线的焦点为，其准线与双曲线相交于，两点，若为等腰直角三角形，则（ ）
A．B．C．D．
8．已知抛物线：，抛物线：，，的焦点分别为，，点为抛物线上的一个动点，直线过点，则（ ）
A．直线的方程为B．
C．D．与各有一个交点的直线有三条
二、多选题（本大题共3小题）
9．已知直线：，直线：，则（ ）
A．直线可以与轴平行B．直线可以与轴平行
C．当时，D．当时，
10．已知曲线：（为参数），曲线：（为参数），，以下正确的是（ ）
A．曲线是一个圆
B．曲线是一条直线
C．若，则曲线与存在公共点
D．若，则曲线上的点到曲线距离的最大值为
11．已知正方体的棱长为2，，分别是线段，上的动点，且满足，点是线段的中点，则（ ）
A．若是的中点，则平面
B．若是的中点，则平面
C．的最大值是
D．的最小值为
三、填空题（本大题共3小题）
12．若向量，，且，则 .
13．已知点，，，点满足，则的最小值为 .
14．已知椭圆：的左、右焦点分别为、，若总存在一条过的直线，使得点关于直线的对称点在椭圆上，则椭圆的离心率的取值范围是 .
四、解答题（本大题共5小题）
15．在平面直角坐标系中，已知直线过点.
(1)若直线又过点，求直线的方程；
(2)若直线与轴的正半轴，轴的正半轴分别交于，两点，求面积的最小值.
16．在四棱锥中，底面四边形是正方形，，平面平面.
(1)证明：；
(2)若，求直线与平面所成角的大小.
17．已知点，，动点使直线，的斜率之积为，其轨迹为曲线.
(1)求曲线的方程；
(2)已知点，点在曲线上，直线与轴交于点，满足，求直线的方程.
18．如图，在四棱锥中，平面，，，，，点在线段上且满足，点在线段上且满足.
(1)证明：；
(2)若，求的值；
(3)若存在，使直线与平面所成角为，求的取值范围.
19．在平面直角坐标系中，若，两点在直线的同一侧，则称，为“-同域点”；若，两点分别在直线的两侧，则称，为“-异域点”.已知：抛物线：，.
(1)若点2,0，为“-异域点”，求实数的取值范围.
(2)已知过0,1的直线与抛物线交于Ax1,y1，Bx2,y2两点，
（Ⅰ）若，为“-同域点”，比较与0的大小关系并说明理由；
（Ⅱ）直线的斜率为，过原点作斜率为的直线，，，点，到直线的距离分别记为，，若，求点，为“-同域点”的概率.
答案
1．【正确答案】D
【详解】因为直线的斜率为，设倾斜角为，所以，故.
故选：D.
2．【正确答案】A
【详解】因为双曲线的渐近线方程为，所以，所以，
故选：A.
3．【正确答案】B
【详解】若，则由得（舍去）；
若，则由得.
故选：B.
4．【正确答案】C
【详解】由数列是递增数列，
得，
化简可得，
即对于恒成立，所以，
故选：C.
5．【正确答案】D
【分析】将正方体的表面展开图还原为正方体，证明平面，即可证明，即可得答案.
【详解】将正方体的表面展开图还原为正方体，与在正方体中的位置如图所示，
由于平面平面，故，
又，且平面，
故AB⊥平面，平面，所以，
故直线与所成角的大小为.
故选：D.
6．【正确答案】C
【详解】将圆的方程化为标准方程，所以圆心坐标为，圆的半径为5，
直线恒过定点，
，点在圆内，所以直线与圆相交，
故选：C.
7．【正确答案】B
【详解】抛物线的焦点坐标为，准线方程为，
设，，
准线方程与双曲线联立可得，
解得.
因为为等腰直角三角形，
所以，即，解得，
故选：B.
8．【正确答案】D
【详解】对于A ，，，所以直线的方程为，A错误；
对于B，当在原点时，取到最小值为1，B错误；
对于C，设，所以，
当时，，此时，，C错误；
对于D，当直线与只有一个交点时，
①若与轴平行或重合时，满足与，各有一个交点，如图；
②若与相切时，与，各有一个交点的直线有两条，一条与相切，一条与轴重合，如图和，
与，各有一个交点的直线有三条，D正确.
故选：D.
9．【正确答案】ABD
【详解】当时，直线：，此时直线与轴平行，A项正确；
当时，直线：，此时直线与轴平行，B项正确；
若，则，解得，此时直线与重合，
C项错误；
若，则，解得，D正确.
故选:ABD.
10．【正确答案】BCD
【详解】A，曲线可化为：，故A错误；
B，曲线可化为：，故B正确.
C，当，：过曲线的上顶点，故C正确.
D，若，：，设曲线上的点，
则点到曲线的距离为
，故D正确.
故选：BCD.
11．【正确答案】ACD
【详解】是的中点，，，，∴是的中点.
连接交于点如图所示.
，∴四边形是平行四边形，.
又平面，平面，平面，故A正确；
以为原点如图建立空间直角坐标系，若是的中点，此时是的中点，
那么，，，，
而平面的一个法向量.，
不是平面的法向量，故B错误；
当与重合时，最大，为，故C正确；
设，，则，
，，，
，，
设，，，
故，故D正确.
故选：ACD.
12．【正确答案】45/0.8
【详解】,，
得，
则.
故
13．【正确答案】209
【详解】设，由，得，化简得，
的轨迹是以原点为圆心，3为半径的圆.，
，当时，的最小值是209.
故209.
14．【正确答案】
【详解】设点关于直线的对称点为，则，
，
，
，即，又，
椭圆的离心率的取值范围是.
故答案为.

15．【正确答案】(1)
(2)8
【详解】（1）因为过点，，所以斜率为，
所以：，即；
（2）由题意可知直线的斜率存在且不为0，
设：，
代入得，得，
当且仅当时，等号成立，
所以，所以面积的最小值是8.
16．【正确答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）连接交于点，
平面平面，平面平面，
，平面，
平面，
又平面，，
四边形是正方形，，
，平面，平面，
平面，平面，
.
（2）
取中点，连接，不妨设.
是正方形，所以，
由（1）知平面，平面，
，
平面，平面，，
平面，又平面，于是，
，是中点，，
，平面，平面，
平面，
在中，，所以，
在中，，所以，
点到平面的距离为.
，平面，平面，
平面，
点到平面的距离.
设直线与平面所成角为，于是，
又，
直线与平面所成角的大小为.
17．【正确答案】(1)
(2)
【详解】（1）设，则，整理得.
（2）由题意可知直线斜率存在，设，，
令得，
由，得，，
即，
代入：，得，，，
直线.
18．【正确答案】(1)证明见解析
(2)
(3)
【详解】（1）平面，平面，
，
又，，
平面，
平面，
，
又，，
平面，
平面，
.
（2）由（1）可知，又，，
平面，
平面，
，
由（1）可知，在中，，
.
与相似，则，
在中，，，
，.
.
（3）以为原点，以，所在直线分别为轴，轴，
以过点垂直于平面的直线为轴，建立如图空间直角坐标系.
，，
不妨设，，，，
即，
由知，
于是，，，，
设，则，，
由可得，
，.
，，
设平面的一个法向量为，于是
令，得，，
平面的一个法向量为，
，
结合，化简得，
设，，
要存在，使与平面所成角为，
在0,1上有零点.
结合知函数图象的对称轴，
故，
又，
只需满足，解得.
的取值范围是.
19．【正确答案】(1)
(2)（Ⅰ），理由见解析；（Ⅱ）
【详解】（1）：，要使点2,0，为“-异域点”，
则2,0应在的下方，应在的上方，
所以，解得；
（2）（Ⅰ）若，在的下方，则，
所以，
即，
若，在的上方，则，即，
所以，
综上，若，为“-同域点”，则；
（Ⅱ）方程为：，
联立，得，
所以，，
直线：，即，
所以，，
，
①若，为“-同域点”，则，，
此时
，
令，得，又，
则满足要求的为，，，，，共6组；
②若，不为“-同域点”，则，
此时
，
令，得，
又，
则满足要求的为，，2,3，，，共6组，
综上，满足的的样本空间有个样本点，
其中使点，为“-同域点”的样本点有6个，
故概率.