浙江省杭州市萧山区8校2024-2025学年下学期九年级联考2月月考 数学试题（含解析）

这是一份浙江省杭州市萧山区8校2024-2025学年下学期九年级联考2月月考 数学试题（含解析），共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知的半径为5，点P在内，则的长可能是（ ）
A. 7B. 6C. 5D. 4
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了点与圆的位置关系，根据点在圆内，点到圆心的距离小于圆的半径进行判断．
【详解】解：∵的半径为5，点P在内，
∴．
故选：D．
2. 下列事件中，是不可能事件的是（ ）
A. 掷一次骰子，向上一面的点数是6B. 在装满红球的袋子中摸出一个黑球
C. 射击运动员射击一次，命中靶心D. 经过有交通信号灯的路口，恰好遇到红灯
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查的是理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．根据事件的分类，对每个选项逐个进行分类，判断每个选项是否为不可能事件．
【详解】解：A、掷一次骰子，向上一面的点数是6，是随机事件；
B、在装满红球的袋子中摸出一个黑球，是不可能事件；
C、射击运动员射击一次，命中靶心，是随机事件；
D、经过有交通信号灯的路口，恰好遇到红灯，是随机事件；
故选：B．
3. 已知P为线段的黄金分割点，，，则的长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了黄金分割的概念．黄金分割的定义，把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，他们的比值叫做黄金比，据此即可求解．
【详解】解：点是线段上的一个黄金分割点，且，，
．
故选：A．
4. 若二次函数的图象过，，三点，则，，的大小关系正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查二次函数图象上点的坐标特征，关键是根据函数关系式，找出对称轴．二次函数抛物线向下，且对称轴为．根据图象上的点的横坐标距离对称轴的远近来判断纵坐标的大小．
【详解】解：∵二次函数，
∴该二次函数的抛物线开口向上，且对称轴为：．
∵点，，都在二次函数的图象上，
且，
∴三点横坐标离对称轴的距离按由远到近为：
、、，
∴，
故选：B．
5. 如图，四边形内接于，若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据圆的内接四边形对角互补，圆心角是对弧的圆周角的2倍计算即可．
【详解】解：∵四边形内接于，
∴，而，
∴，
∴．
故选：B．
6. 如图，在纸片中，，将纸片沿某直线剪开，下列四种方式中剪下的阴影三角形与相似的是（ ）

A ①②B. ②④C. ③④D. ①③
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了相似三角形的判定．根据相似三角形的判定定理逐个判断即可．
【详解】解：图①中，∵，
∴相似；
图②中，只有，不符合相似三角形的判定，不能推出和相似；
图③中，，
∴；
图④中，只有，不符合相似三角形的判定，
不能推出和相似；
综上所述，阴影三角形与原三角形相似的有①③，故D正确．
故选：D．
7. 若抛物线经过点，则下列各点，必在抛物线上的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了二次函数图象的性质，根据抛物线图象的性质进行解答即可．
【详解】解：∵抛物线经过点，
∴抛物线的对称轴为轴，
又，
∴必在抛物线L上的是，
故选：D．
8. 如图，在中，，，，点为此三角形的重心，连结并延长交于点，过点作于点，则的长为（ ）

A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查三角形的重心，相似三角形的判定和性质，勾股定理，由三角形重心的性质得到 ，，由勾股定理得，证明，由相似三角形的性质得到即可求出，再证，即可求解，解题的关键是正确理解重心及熟练掌握相似三角形的判定和性质，勾股定理的应用．
【详解】过作于，

∵为此三角形的重心，
∴，，
∵，，，
∴由勾股定理得，
∵， ，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：．
9. 表中所列的7对值是二次函数图象上的点所对应的坐标，其中
根据表中提供的信息，有以下四个判断：
①；②；③当时，的值是；④其中判断正确的有（ ）个．
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系．依据题意，首先根据，其对应的函数值是先增大后减小，可得抛物线开口向下，所以；然后根据函数值是先增大后减小，可得；最后根据，可得二次函数有最大值，而且二次函数的最小值，所以，据此判断即可．
【详解】解：，其对应的函数值是先增大后减小，
抛物线开口向下，
，①符合题意；
，
，②符合题意；
根据图表中的数据知，只有当是抛物线的对称轴，抛物线的顶点坐标纵坐标不一定是，故③不符合题意；
，，
，
，④符合题意．
综上，可得判断正确的是：①②④．
故选：C．
10. 如图，在菱形纸片ABCD中，∠A＝60°，将纸片折叠，点A，D分别落在点，处，且经过点B，EF为折痕，当⊥CD时，的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】延长DC和，两延长线相交于点G，利用菱形的性质可证得∠A＝∠DCB＝60°，AB＝BC＝DC，利用折叠的性质可得到∠D＝∠F＝120°，DF＝F，再证明∠CBG＝∠G＝30°，利用等角对等边可得到BC＝CG，设CF＝x，DF＝y，用含x，y的代数式表示出DC，CG，FG的长，然后在Rt△FG中，利用解直角三角形可得到x与y的关系式，据此可求出CF与DF的比值．
【详解】解：延长DC和，两延长线相交于点G，
∵菱形ABCD，∠A＝60°，
∴∠A＝∠DCB＝60°，AB＝BC＝DC
∴∠BCG＝180°－60°＝120°，
∵将纸片折叠，点A，D分别落在点处，且经过点B，EF为折痕，
∴∠D＝∠F＝120°，DF＝F
∵F⊥DC，
∴∠FG＝90°，
∴∠G＝90°－60°＝30°
∴∠CBG＝180°－∠G－∠BCG＝180°－30°－120°＝30°
∴∠CBG＝∠G
∴BC＝CG，
设CF＝x，DF＝y，则DC＝CG＝x＋y
∴FG＝2x＋y，
在Rt△FG中，
．
故选：A．
【点睛】此题考查了折叠的性质、菱形的性质、等腰三角形的判定与性质以及锐角三角函数的应用．此题难度较大，注意掌握辅助线的作法，注意折叠中的对应关系，注意数形结合思想的应用．
二、填空题：本大题有6个小题，每小题3分，共18分．
11. 已知，则的值为_______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了比例的基本性质，设，将其代入，即可解答．
【详解】解：∵，
∴设，
∴，
故答案为：．
12. 已知一个正多边形的一个内角是120º，则这个多边形的边数是_______．
【答案】6
【解析】
【分析】一个正多边形的每个内角都相等，根据内角与外角互为邻补角，因而就可以求出外角的度数．根据任何多边形的外角和都是360度，利用360除以外角的度数就可以求出外角的个数，即多边形的边数．
【详解】解：∵一个正多边形的一个内角是120º，
∴这个正多边形的一个外角为：180º-120º=60º，
∵多边形的外角和为360º，
∴360º÷60º =6，
则这个多边形是六边形．
故答案为：6．
【点睛】考查了多边形内角与外角，根据外角和的大小与多边形的边数无关，由外角和求正多边形的边数，是常见的题目，需要熟练掌握．
13. 若扇形的圆心角为，半径为6，则扇形的弧长为______．
【答案】
【解析】
【分析】根据弧长公式求解即可．
【详解】∵扇形的圆心角为，半径为6，
∴扇形的弧长．
故答案为：
【点睛】本题考查了弧长计算，熟记弧长公式是解题的关键．
14. 已知二次函数的部分图象如图，由其图象可知关于x的一元二次方程的两根分别为___________．

【答案】
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的图象性质，对称轴，据此代数计算，即可作答．
【详解】解：∵二次函数，
∴对称轴，
∵这两点关于对称轴对称，
∴，
即，
故答案为：．
15. 如图，在中，，已知点D为的中点，点E在线段上，连结，若与相似，则的值为_____．
【答案】或3
【解析】
【分析】本题考查相似三角形的性质，关键是要分两种情况讨论．
分两种情况，当时推出，代入有关数据得到，当时，推出，代入有关数据求出，即可得到的值为或3．
【详解】解：∵为的中点，，
当时，
当时，
∴的值为或3．
故答案为：或3．
16. 如图，已知是的直径，弦于点E，．点P是劣弧上任意一点（不与点A，D重合），交于点M，与的延长线相交于点F，设．
①则______，（用含的代数式表示）；
②当时，则_________．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】①连接，，，由线段垂直平分线的性质得到是等边三角形，由圆周角定理得到，由直角三角形的性质即可求出
．
②设圆的半径是r， ，由，求出，得到，因此，推出，得到，代入有关数据即可求出的长，得到，的长，即可得到答案．
【详解】解：①连接，，，
∵弦于点E，，
，
，
∴是等边三角形，
，
，
，
，
，
．
故答案为：；
②，
，
，
，
，
，
，
，
∵直径，
，
，
设圆的半径是r，，
，，
，
，
，
，，
故答案为：
【点睛】本题考查圆周角定理，垂径定理，等边三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，关键是证明，求出与半径的数量关系，从而解决问题．
三、解答题：本大题有8个小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17. （1）计算：．
（2）已知，求的值．
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】本题考查了特殊角的三角函数的混合运算，比的性质等知识，解题的关键是：
（1）把特殊角的三角函数值代入，然后根据二次根式的运算法则计算即可；
（2）设设，则，，然后代入计算即可．
【详解】（1）解：原式
；
（2）解：设，
，，
原式．
18. 已知二次函数的图象经过和．
（1）求该二次函数表达式和对称轴；
（2）当时，求该二次函数的最大值和最小值．
【答案】（1）；对称轴为直线；
（2）该二次函数的最大值为12，最小值为．
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的图象和性质．
（1）先将和分别代入求出二次函数的表达式，再根据对称轴公式作答即可；
（2）先确定开口方向，再根据对称轴确定最大值和最小值即可．
【小问1详解】
解：∵经过和，
∴，
解得，
∴二次函数的表达式为；
∴对称轴为直线；
【小问2详解】
解：由（1）可知的开口向上，
∵二次函数的对称轴为直线在内，
∴当时，有最小值；
∵直线距直线最远，
∴当时，有最大值．
19. 如图，在的方格中，是格点三角形（顶点均在格点上），请按要求画图．
（1）在图1中，作格点，使得与相似，相似比为；
（2）在图2中画出绕着格点O顺时针旋转得到的．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】（1）延长至F，和至E，使得，，连接，即可；
（2）根据旋转的性质得到、、的对应点、、，再顺次连接即可作答．
【小问1详解】
解：如图所示，
【小问2详解】
解：如图所示，
20. 如图，在中，点D、B、C、E在同一条直线上，且．
（1）求证：；
（2）若，求长度．
【答案】（1）见详解 （2）
【解析】
【分析】本题考查了相似三角形的性质与判定，等边对等角：
（1）由等边对等角，得，结合，即可作答；
（2）因为相似，所以，直接代数计算，即可作答．
【小问1详解】
解：∵
∴，
∴，
∵，
∴；
【小问2详解】
解：∵
∴
∵，
∴
解得
21. 如图，的直径垂直弦于点，是圆上一点，是的中点，连结交于点，连结 ．
（1）求证：；
（2）若，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）．
【解析】
【分析】本题考查了圆周角定理，垂径定理，勾股定理．
（1）利用证明，即可得到；
（2）设，，，在中，利用勾股定理列式计算求得，在中，利用勾股定理即可求解．
【小问1详解】
证明：∵是的中点，
∴，即，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴；
【小问2详解】
解：∵的直径垂直弦，且，
∴，
设，
∴，，
在中，，即，
解得（负值已舍），即，
在中，．
22. “轻轨飞梭如影重，上天入地驶楼中”，魔幻城市重庆吸引全国各地的游客，而李子坝的“轻轨穿梭”成了游客们争相打卡的热门景点．如图，已知斜坡底端距离轻轨所穿楼栋底端处米远，斜坡长为米，坡角为，，为了方便游客拍照，现需在距斜坡底端处米的处挖去部分坡体修建一个平行于水平线的观景平台和一条新的坡角为的斜坡．
（1）求观景平台的长：（结果保留根号）
（2）小育在处测得轻轨所穿楼栋顶端的仰角为，点、、、、在同一个平面内，点、、在同一条直线上，且，求轻轨所穿楼栋的高度．
【答案】（1）米
（2）米
【解析】
【分析】本题考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题，坡度坡角问题，
（1）根据题意可得：，，从而可得，根据已知可得，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出，的长，再在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，最后利用线段的和差关系进行计算，即可解答；
（2）根据题意可得：，，，在中，利用锐角三角函数的定义求出，的长，继而求出的长，进而求出的长，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，最后利用线段的和差关系进行计算，即可解答；
掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
【小问1详解】
解：如图：
由题意得：，，，
∴，，
∵，，
∴，
在中，，
，
在中，，
∴，
∴（米），
∴观景平台的长为米；
【小问2详解】
如图：
由题意得：，，，，
∴四边形是矩形，
∴，，
在中，，，
，
，
∵，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∵，
∴（米），
∴轻轨所穿楼栋的高度约为米．
23. 已知二次函数（，为常数）的图象经过点，对称轴为直线．
（1）求二次函数的表达式；
（2）若点向上平移2个单位长度，向右平移个单位长度后，恰好落在的图象上，求的值；
（3）当时，二次函数的最大值与最小值的差为，求的取值范围．
【答案】（1）；
（2）的值为3；
（3）．
【解析】
【分析】本题主要考查了待定系数法，点平移的性质，二次函数的图象与性质，解题的关键在于熟练掌握相关知识．
（1）设二次函数的解析式为，采用待定系数法即可求解二次函数关系式；
（2）先求出平移后点B坐标，然后把坐标代入解析式求解，即可解题；
（3）根据题意分为当时，当时，当时，结合二次函数的最大值与最小值的差为，建立方程求解，即可解题．
【小问1详解】
解：设二次函数的解析式为，
把代入得，
解得，
，
整理得：；
【小问2详解】
解：点平移后的点的坐标为，
则，
解得或（舍），
的值为3；
【小问3详解】
解：当时，
最大值与最小值的差为，
解得：不符合题意，舍去；
当时，
最大值与最小值的差为，符合题意；
当时，最大值与最小值差为，
解得或，不符合题意；
综上所述，的取值范围为．
24. 我们知道，对角线互相垂直的圆内接四边形有许多特殊的结论成立，如对边的平方和相等，等等．如图1，四边形内接于，，，交于点．
（1）若，则________度，四边形的面积为________．
（2）如图2，在上找一点，连结，，使，求证：．
（3）如图1，已知，且．
当时，求的长．
如图3，在四边形内取一点，连结，，，，使，当取最小值时，直接写出的值．
【答案】（1），8；
（2）见解析； （3）；．
【解析】
【分析】（1）根据弦，圆周角直角的关系得出即可得出，再利用对角线互相垂直的四边形的面积等于对角线乘积的一半即可求面积；
（2） 延长交于点，连结，证明，根据对应边成比例即可解答；
（3）先证明，设，利用对应边成比例表示出，，根据勾股定理列出方程，解出必即可解答；
②设的长度为，，根据相似三角形的性质表示出，，利用勾股定理求出的最小值，进而求出，再证明，即可求解．
【小问1详解】
解：，
，
，
，
，
四边形的面积为：，
故答案为：；；
【小问2详解】
证明：延长交于点，连结，如图所示，
，
，，
，
，
，
，
，
；
【小问3详解】
解：设，
，
，
，
，
，
，
，
，
在中，，
，
解得，，
当时，（舍去），
，即，
，
，
，
设的长度为，，
，，
，
，
，
在中，，
，
即，
，
，
，
，
有最小值，即的长度最小值为，
，
解得，（负值舍去），即，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
【点睛】本题考查相似三角形的判断和性质，勾股定理，圆的有关概念和性质，锐角三角函数，熟练掌握以上知识是解题关键．7
14
14
7