江苏省扬州市邗江区2024-2025学年八年级上学期期末数学试卷（原卷版+解析版）

这是一份江苏省扬州市邗江区2024-2025学年八年级上学期期末数学试卷（原卷版+解析版），共33页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 下列四种图案是2024年巴黎奥运会中部分运动项目的示意图，其中是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
2. 下列长度的三条线段首尾相连能组成直角三角形的是（ ）
A 4，5，6B. 1，2，3C. 7，24，25D. 9，37，38
3. 在平面直角坐标系中，下列各点在第二象限的是（ ）
A. （3，1）B. （3，-1）
C. （-3，1）D. （-3，-1）
4. 函数的自变量取值范围是（ ）
A. B. C. D.
5. 如图，如果，那么下列结论错误的是（ ）
A. B. C. D.
6. 如图，在三角形纸片中，．把沿着翻折，点B在点D处，连接．如果，则度数为（ ）
A. B. C. D.
7. 如图，在和中，，，，交于点M，交于点N．下列结论：①；②；③．其中所有正确结论的序号是（ ）
A. ①②B. ②③C. ①③D. ①②③
8. 如图，已知一次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C在线段上，且，直线与的平分线交于D点，则点D的横坐标与它的纵坐标的和为（ ）
A. 2.1B. 2.2C. 2.3D. 2.4
二、填空题（本大题有10个小题，每小题3分，共30分．请把答案直接填在答题卡相应的位置上．）
9. 的立方根是_________．
10. 月球的半径约为1738000米，1738000这个数用科学记数法表示为___________．
11. 比较大小：___________（用“”或“”填空）．
12. 若点在函数的图象上，则______．
13. 已知是一次函数图象上两点，若，则_____．（填“>”“”“
【解析】
【分析】本题考查了一次函数的性质，熟知一次函数的图象与性质是解题的关键．
根据所给一次函数解析式，结合一次函数的性质即可解决问题．
【详解】解：因为一次函数解析式为，
所以y随x的增大而减小．
因为在此一次函数图象上，且，
所以．
故答案为：>．
14. 在等腰三角形ABC中，，则的度数为______．
【答案】45°或72°
【解析】
【分析】分∠A是顶角和底角两种情况分类讨论列出方程求解即可．
【详解】解：设，则，
当是顶角时，，
即：，
解得：，
此时；
当是底角时，，
即，
解得：，
此时，
故答案为：或．
【点睛】本题考查等腰三角形的性质，能够进行分类讨论是解题关键，难度不大．
15. 已知一次函数（m为常数）的图象与y轴交点在x轴的下方，则m的取值范围为 ________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了一次函数与系数的关系：对于一次函数，它与y轴交于，当时，在y轴的正半轴上，直线与y轴交于正半轴；当时，在y轴的负半轴，直线与y轴交于负半轴．
据此得到，再解不等式即可．
【详解】解：当，
∴图象与y轴交点为
∵函数图象与y轴的交点在x轴下方，
∴，
∴解得，
∴m的取值范围为．
故答案为：．
16. 如图，在中，，平分，交于点D，E为的中点，连接，则的周长为 _______．
【答案】28
【解析】
【分析】本题考查等腰三角形的性质、直角三角形的性质等知识点，灵活运用等腰三角形得到性质是解题的关键．
由等腰三角形的性质推出，，由直角三角形斜边中线的性质得到，再求的周长即可．
【详解】解：∵在中，，平分，
∴，
∴，
∵E为 的中点，
∴，
∴的周长．
故答案为：28．
17. 直线沿x轴向右平移2个单位，则平移后的直线与x轴、y轴所围成的三角形面积为 __________________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了一次函数的几何变换，以及图象与坐标轴的交点求面积，解题的关键是掌握“左加右减，上加下减”．
根据函数图象“上加下减”的平移规律得到直线解析式，求出解析式与坐标轴交点，然后根据三角形面积公式求解即可．
【详解】解：直线沿x轴向右平移2个单位长度得到：，
令，即，
解得，
令，得，
所以直线与x轴和y轴的交点坐标分别为：与，
所以直线与坐标轴围成的三角形的面积为．
故答案为：．
18. 如图，已知是直角三角形，，现在将绕着点A逆时针旋转到，将绕着点A顺时针旋转到，连接，则点A到直线的距离为 ____________________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查旋转性质、点到直线的距离、全等三角形的判定和性质等知识点，正确寻找全等三角形解决问题是解题的关键．
如图，过点A作于点T，过点D作交的延长线于点H，过点C作于点J．利用全等三角形的性质求出，利用勾股定理求出，再利用面积法求解即可．
【详解】解：如图，过点A作于点T，过点D作交的延长线于点H，过点C作于点J．
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
由旋转变换的性质可知，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
故答案为：．
三、解答题（本题有10个小题，共96分）
19. （1）计算：；
（2）解方程：．
【答案】（1）4；（2）或
【解析】
【分析】本题考查实数的运算，平方根，熟练掌握相关运算法则及定义是解题的关键．
（1）利用算术平方根及立方根的定义计算即可；
（2）将原方程整理后利用平方根的定义解方程即可．
【详解】解：（1）原式；
（2）原方程整理得：，
则，
∴或，
解得：或．
20. 已知：一个正数a的两个不同平方根分别是和．
（1）求a的值；
（2）求的立方根．
【答案】（1）49 （2）
【解析】
【分析】本题考查了实数中平方根与立方根的相关知识，知道一个正数的两个平方根互为相反数是解题的关键．
（1）先根据一个正数的两个平方根互为相反数可列等式求x的值，再求出a的值．
（2）先求出的值，再用立方根的定义求值．
【小问1详解】
解：由题意得，
解得，
∴，
∴；
【小问2详解】
解：由（1）可知，
∴，
∴的立方根为．
21. 如图：
（1）画出关于轴对称的；
（2）在y轴上画出点P，使得最小．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】本题考查了轴对称——最短路线问题，作图－轴对称变换和三角形面积，熟练掌握这些知识点是本题解题的关键．
（1）根据轴对称的性质分别作出、、三点关于轴的对称点、、，依次连接各点即可；
（2）由于点关于轴对称的点为，则，连接交轴于点，则点即为所求点．
【小问1详解】
解：如图，即为所求；
【小问2详解】
解：如图，点即为所求．
．
22. 已知与x成正比，且当时，．
（1）求y与x的函数表达式；
（2）当时，请直接写出x的取值范围为 ．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式：求一次函数，则需要两组x，y的值．也考查了一次函数的性质．
（1）利用正比例的函数的定义，设，然后把已知的对应值代入求出k，从而得到y与x的函数表达式；
（2），即求，解不等式即可求得x的取值范围．
【小问1详解】
解：设，
把，代入得，
解得，
∴，
∴y与x的函数表达式为；
【小问2详解】
解：当时，即，
解得x的取值范围为．
故答案为：．
23. 如图，在中，，，的垂直平分线交于点，连接．
（1）若，求的度数；
（2）若，求的长．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）先由直角三角形两锐角互余得出，再根据垂直平分线的性质得出，由等边对等角得出，最后根据求解即可；
（2）设，则，直接根据勾股定理列方程求解即可．
【小问1详解】
解：∵，
∴，
∵的垂直平分线交于点，
∴，
∴，
∴；
【小问2详解】
解：由（1）得，
设，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
解得，即．
【点睛】本题考查了直角三角形两锐角互余，垂直平分线的性质，等边对等角，角的和差，勾股定理，熟练掌握知识点是解题的关键．
24. 某商店销售一台A型电脑销售利润为100元，销售一台B型电脑的销售利润为150元．该商店计划一次购进两种型号的电脑共100台，其中B型电脑的进货量不超过A型电脑的3倍，设购进A型电脑x台，这100台电脑的销售总利润为y元．
（1）求y关于x的函数解析式；
（2）该商店购进A型、B型电脑各多少台，才能使销售总利润最大？最大利润为多少？
【答案】（1）
（2）该商店购进A型25台，B型75台时，利润最大，最大利润为13750元
【解析】
【分析】（1）根据题意列出关系式y＝100x+150（100﹣x），整理即可；
（2）利用“B型电脑的进货量不超过A型电脑的3倍”列不等式求出x的范围，再根据一次函数的性质解答即可．
【小问1详解】
解：据题意得，y＝100x+150（100﹣x），即y＝﹣50x+15000，
∴y关于x的函数解析式为：y＝﹣50x+15000．
【小问2详解】
解：根据题意得，100﹣x≤3x，
解得x≥25，
由（1）可知y＝﹣50x+15000，
∵k＝﹣50＜0，
∴y随x的增大而减小，
∴当x＝25时，y有最大值，
，
100﹣25＝75（台），
∴该商店购进A型电脑25台，B型电脑75台时，才能使销售总利润最大，最大利润13750元．
【点睛】本题主要考查了一次函数及一元一次不等式的应用，解题的关键是确定一次函数的增减性．
25. 如图，点E在△ABC的外部，点D边BC上，DE交AC于点F，若，，．
(1)求证：；
(2)若，求证△ABD为等边三角形．
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【解析】
【分析】（1）先根据三角形的内角和定理可证，再根据SAS判定定理即可求证；
（2）根据题意易得，再根据全等三角形的性质和等边对等角即可求得，即可求证．
【详解】解：（1）∵
∴
∵
∴
∵，
∴
∵，，
∴
（2）证明：∵
∴
∵
∴，
∴
∴
∴
∴是等边三角形．
【点睛】此题主要考查三角形的内角和定理、全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定，熟练进行逻辑推理是解题关键．
26. 现有甲、乙两个容器，每个容器都装有进水管和出水管，甲容器原来没有水，乙容器原有一定的水量．首先打开甲容器的进水管注水，第10分钟同时打开甲、乙两容器的出水管排水，第15分钟关闭甲容器的进水管，直到甲、乙两容器水排完．甲、乙两容器中的水量、（单位：L）与时间x（从甲容器注水开始计时，单位：）的函数关系如图所示．请结合图像信息，解答下列问题：
（1）甲容器进水管的注水速度是 ；乙容器出水管的排水速度是 ；
（2）求甲容器出水管的排水速度及线段对应的函数表达式；
（3）当 时，两容器中的水量差为180 L．
【答案】（1）60；40
（2）甲容器出水管的排水速度，段的函数表达式为
（3）或或
【解析】
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，一次函数的应用，待定系数法等；
（1）由图象得甲容器进水管的注水速度（），乙容器出水管的排水速度：（），即可求解；
（2）设甲容器出水管的排水速度得，解方程，即可求解；求出 ，设段的函数表达式为，由待定系数法，即可求解；
（3）分段讨论：当时，当时，当时，列方程，即可求解；
理解横纵坐标的实际意义，掌握待定系数法，能根据实际意义用方程和函数进行求解是解题的关键．
【小问1详解】
解：由题意得
甲容器进水管的注水速度：（），
乙容器出水管的排水速度：（）；
故答案：、；
【小问2详解】
解：设甲容器出水管的排水速度，
，
解得：，
故甲容器出水管的排水速度，
第分钟甲容器的水量为：
（），
，
设段的函数表达式为，则有
，
解得：，
故段的函数表达式为；
【小问3详解】
解：当时，
，
解得：；
当时，
，
解得：；
当时，
，
解得：；
故答案：或或．
27. 如图①所示，在中，高相交于点F，且．
（1）求证：；
（2）求的度数；
（3）如图②，延长到点G，过点G作的垂线交的延长线于点H，当时，求证：．
【答案】（1）见解析 （2）
（3）见解析
【解析】
【分析】此题是三角形的综合题，主要考查了三角形的高，全等三角形的判定，等腰直角三角形的判定和性质，理解三角形的高，熟练掌握全等三角形的判定，等腰直角三角形的判定和性质是解决问题的关键，难点是正确地作出辅助线，构造全等三角形．
（1）证和全等即可证明；
（2）证和全等得，从而得为等腰直角三角形，进而可得的度数；
（3）在上截取，连接，先证和全等得，，再证，进而可依据“”判定和全等，从而得，由此可得线段的数量关系．
【小问1详解】
证明：∵的高交于点F，如图所示：
∴，，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
【小问2详解】
解：∵，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∴；
【小问3详解】
证明：在上截取，连接，如图2所示：
∵是的高，，
∴，，
在和中，
，
∴，
∴，，
由（2）可知：，即，
∴，
∴，
即，
在和中，
，
∴，
∴，
∴．
即．
28. 如图，直线：与y轴交于点A，直线和直线关于过点且与x轴垂直的直线m成轴对称，直线和直线交于C点，直线与x轴交于D点．
（1）请用无刻度的直尺和圆规在图1中作出直线且标注出C点和D点．（不写作法，保留作图痕迹），并直接写出直线l的解析式为 ；
（2）点E为直线上一动点，若有，请求出E点坐标；
（3）点F为直线上一动点，点G为y轴上一动点，若是以为直角边的等腰直角三角形，请直接写出点F的坐标为： ．
【答案】（1）见解析，
（2）或
（3））或
【解析】
【分析】本题属于一次函数综合应用，主要考查了待定系数法、三角形全等的判定与性质、三角形面积等知识点，灵活运用分类讨论思想是解题的关键．
（1）直线与直线m的交点即为C，过A作直线轴，交直线m于K，在射线上截取，使，过C、作直线交x轴于D，直线即为直线，求出，可得，再由待定系数法得直线解析式即可；
（2）设直线交x轴于T，，求出，可得，当E在A下方时，可得；当E在A上方时，得；
（3）如图：过F作轴，交x轴于Q，过G作于P，设，当G在F下方时，由得，故，解得，知；当G在F上方时，同理可得．
【小问1详解】
解：直线与直线m的交点即为C，过A作直线轴，交直线m于K，在射线上截取，使，过C、作直线交x轴于D，直线即为直线，
如图：直线，点C，点D即为所求；
在中，令得，令得，
∴，
∵A，关于直线对称，
∴，
设直线解析式为，把，代入得：
，解得：，
∴直线l2解析式为．
故答案：．
【小问2详解】
解：设直线交x轴于T，，
在中，令得，
∴，
在中，令得，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
当E在A下方时，如图：
∴，
∴，解得：，
∴；
当EA上方时，如图：
∴，
∴，解得：．
综上所述，E的坐标为或．
【小问3详解】
解：如图：过F作轴，交x轴于Q，过G作于P，设，当G在F下方时，如图：
∵是以为直角边的等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，解得，
∴；
当G在F上方时，如图：
同理可得，
∴，
∴，解得，
∴；
经分析，不存在点G为直角顶点的情况．
综上，点F的坐标为或．
故答案为：或．