2025年广东省连州市初中学业水平考试数学模拟卷（原卷版+解析版）

这是一份2025年广东省连州市初中学业水平考试数学模拟卷（原卷版+解析版），共29页。
本试卷共 6 页，23 小题，满分：120 分．考试用时：120 分钟
一 、 选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四 个 选 项 中 ， 只 有 一 项 是 符 合题 目要 求 的 ．
1. 计算：（ ）
A. B. C. D.
2. 现实世界中，对称现象无处不在，中国的方块字中有些也具有对称性．下列汉字是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
3. 据悉，2024年巴黎奥运会的全球收视率已经突破历史记录，巴黎奥运会将会产生11000小时的超高清内容，屏幕让“眼见为实”的边界和范围无限扩大，让体育的魅力走进无数人心中，其中数据“11000”用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
4. 某班在班会课上开展有关社会热点的讨论会，将“直播短视频”、“以色列与加沙”、“游戏代练”、“日本排核污水”写在四张卡片上（形状和大小完全相同），小红想从这四张卡片中随机选一张，并开展主题讨论，则选中“以色列与加沙”的概率是（ ）
A. B. C. D.
5. 若 ，则下列各式中一定成立的是（ ）
A. B.
C. D.
6. 如图，三角形三条边的垂直平分线相交于一点，则以下正确的是（ ）
A. B.
C D.
7. 如图，在中，，垂足为，点是上一点，连接．下列说法错误的是（ ）
A. B.
C. D.
8. 如图，是的直径，，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
9. 过某个多边形一个顶点的所有对角线，将这个多边形分成3个三角形，则这个多边形的内角和是（ ）
A. B. C. D.
10. 已知点都在反比例函数的图象上．过点分别作两坐标轴的垂线，垂线与两坐标轴围成的矩形面积为；过点分别作两坐标轴的垂线，垂线与两坐标轴围成的面积为，与的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分．
11. 因式分解______．
12. 如图，直线m平行于直线n，写出图中所有相等内错角_____________．
13. 2024年8月6日，巴黎奥运会上中国运动员潘展乐在100米自由泳决赛中以46.40的成绩打破世界纪录斩获冠军．本次决赛中运动员们的成绩分别是：46，46.40，47，48.47，49，47.50，47.71，47.80，47.96，47.98，本次决赛成绩的中位数是_____________．
14. 一元二次方程的解是_______．
15. 如图，一扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条和的夹角为长为，贴纸部分的宽为，则贴纸部分的面积为______（纸扇有两面，结果保留）．
三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分．
16. 计算：．
17. 如图，已知的三个顶点的坐标分别为，，．
（1）将关于O点中心对称，试作出对称后的，并写出点的坐标 ；
（2）计算四边形的面积．
18. 中国人民解放军在台海地区开展演习活动是维护国家主权安全和发展利益的正当 之举，是外 部势力干涉和“台独”势力挑衅的警慑反制，也是维护台海地区和平稳定的必要行动．某次演习中，中国人民解放军在A城市周围B、C、D三个区域演习，B在A正南方向，C在A正东方向，D在A 东北方向，点B在点C南偏西，点D在点C北偏西方向100海里处．（参考数据：）
（1）求的长．
（2）由于演习过程中的特殊任务，从点C到点A需要经过点D或点B，那么C到A的两条路径和哪一条最短？
四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分．
19. 为了增强学生的防溺水安全意识，某校举办了“防溺水安全主题系列活动”，要求每个班派一名代表参加本次活动．八（1）班陈老师从全班学生中经过层层筛选，决定从以下两名同学中选一名学生代表八（1）班参加比赛．下表是班上两名同学参加各项活动的测试成绩（单位：分）
（1）如果根据三项测试的平均成绩确定人选，那么谁将被选中？
（2）如果将在线学习、知识竞赛、演讲比赛三项测试成绩得分按的比例确定两人的测试成绩，那么谁将被选中？
（3）如果将在线学习、知识竞赛、演讲比赛三项测试成绩得分按比例确定两人的测试成绩，那么谁将被选中？
20. 综合与实践
【问题情境】“漏壶”也称为“漏刻”，是一种古代计时器，在社会实践活动中，某同学根据“漏壶”的原理制作了如图①所示的液体漏壶，漏壶是由一个圆锥和一个圆柱组成的，中间连通，液体可以从圆锥容器中匀速漏到圆柱容器中，实验开始时圆柱容器中已有一部分液体．
【实验观察】（1）下表是实验记录的圆柱体容器液面高度y（厘米）与时间x（小时）的数据：
在图②所示的直角坐标系中描出上表的各点，用光滑的线连接；
【探索发现】（2）请你根据表中的数据及图象，用所学过的一次函数、二次函数、反比例函数的知识确定y与x之间的函数表达式；
【结论应用】（3）如果本次实验记录的开始时间是上午，那么当圆柱体容器液面高度达到20厘米时是几点？
21. 中秋节是我国的传统节日．月饼是中秋节的一种美食之一，月饼寓意着团 圆和完 美．“豆沙饼”是某地的特色月饼，深受当地人们的喜爱．某商店在中秋节来临之前，去当地的玉猫饼家订购普通豆沙月饼和蛋黄豆沙月饼两种进行试销．已知蛋黄豆沙月饼的单价是普通豆沙饼单价的倍，用元购进蛋黄豆沙饼的数量比用元购进普通豆沙月饼的数量多个．
（1）普通豆沙月饼和蛋黄豆沙月饼的单价分别是多少？
（2）若某商店把蛋黄豆沙月饼以元销售时，那么半个月可以售出个．根据销售经验，把这个蛋黄豆沙月饼的单价每提高元，销量会相应减少个．将售价定为多少元时，才能使半个月获得的利润最大？最大利润是多少？
五、解答题（三）：本大题共2小题，第22题12分，第23题14分，共27分．
22. 【知识技能】
（1）如图1，在三角形纸片中，，点D在上，将沿直线翻折后，点B落在点E处，如果，那么线段的长为多少？
【数学理解】
（2）如图2矩形中，，点E为上一点：且，将沿翻折，得到，连接并延长，与相交于点F，则的值为：
【拓展探索】
（3）如图3，在矩形纸片中，，点E为射线上的一个动点，把沿直线折叠，当点A的对应点F刚好落在线段的垂直平分线上时，求的长．
23. 如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，．抛物线的对称轴与经过点的直线交于点，与轴交于点．
（1）求抛物线的表达式；
（2）若在抛物线上存在点，使得是以为直角边直角三角形，求出所有点的坐标；
（3）以点为圆心，画半径为的圆，为上一个动点，请求出的最小值．
2025年连州市初中学业水平考试模考卷
数 学
本试卷共 6 页，23 小题，满分：120 分．考试用时：120 分钟
一 、 选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四 个 选 项 中 ， 只 有 一 项 是 符 合题 目要 求 的 ．
1. 计算：（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了有理数的减法，掌握有理数减法运算法则是解题的关键．
根据有理数的减法运算法则计算即可．
【详解】解：，
故选：B ．
2. 现实世界中，对称现象无处不在，中国的方块字中有些也具有对称性．下列汉字是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了轴对称图形的识别．根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【详解】解：B、C、D选项中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
A选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
故选：A．
3. 据悉，2024年巴黎奥运会的全球收视率已经突破历史记录，巴黎奥运会将会产生11000小时的超高清内容，屏幕让“眼见为实”的边界和范围无限扩大，让体育的魅力走进无数人心中，其中数据“11000”用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中，为正整数，确定a与n的值是解题的关键．根据科学记数法的方法进行解题即可．
【详解】解：依题意，数据“11000”用科学记数法表示为，
故选：B
4. 某班在班会课上开展有关社会热点的讨论会，将“直播短视频”、“以色列与加沙”、“游戏代练”、“日本排核污水”写在四张卡片上（形状和大小完全相同），小红想从这四张卡片中随机选一张，并开展主题讨论，则选中“以色列与加沙”的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了利用概率公式求概率，直接利用概率公式计算即可．
【详解】解：∵四张卡片中有一张卡片是“以色列与加沙”，
∴选中“以色列与加沙”的概率是．
故选C．
5. 若 ，则下列各式中一定成立的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了不等式性质，掌握不等式的性质是解题的关键．
不等式的性质：不等式的两边同时加上或减去同一个数或式子，不等号的方向不变；不等式的两边同时乘以或除以同一个正数，不等号的方向不变；不等式的两边同时乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变；由此即可求解．
【详解】解：若，
，故A选项错误，不符合题意；
，故B选项错误，不符合题意；
，故C选项正确，符合题意；
，故D选项错误，不符合题意；
故选：C ．
6. 如图，三角形三条边的垂直平分线相交于一点，则以下正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查线段垂直平分线的性质，根据线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，可得答案．
【详解】解：点P是三条边的垂直平分线的交点，
，，
，
故选：D．
7. 如图，在中，，垂足为，点是上一点，连接．下列说法错误的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，直角三角形的性质，根据等等腰三角形的三线合一得，，进而得，再根据直角三角形的性质得，即可得出结论．
【详解】解：∵在中，，
∴，，A、B正确，不符合题意；
∴是线段的垂直平分线，
∴，D正确，不符合题意；
在，是斜边，是直角边，，
∴C错误，符合题意．
故选：C．
8. 如图，是的直径，，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查的是圆周角定理．根据邻补角的定义求出的度数，根据圆周角定理“一条弧所对的圆周角是这条弧所对的圆心角的一半”，即可解答．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
故选：B．
9. 过某个多边形一个顶点的所有对角线，将这个多边形分成3个三角形，则这个多边形的内角和是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了多边形内角和定理，掌握多边形对角线及对角线分三角形的个数，内角和定理的运用是解题的关键．
设多边形的边数为（且为整数），从一个顶点出发可引出的对角线条数为条，将多边形分成三角形的个数是个，由此得到多边形的边数，再根据多边形内角和定理即可求解．
【详解】解：设多边形的边数为（且为整数），
∴，
解得，，
∴这个多边形的五边形，
∴该五边形的内角和为，
故选：D ．
10. 已知点都在反比例函数的图象上．过点分别作两坐标轴的垂线，垂线与两坐标轴围成的矩形面积为；过点分别作两坐标轴的垂线，垂线与两坐标轴围成的面积为，与的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数与几何图形面积的关系，掌握反比例函数图形的性质是解题的关键．
根据题意得到，，由此即可求解．
【详解】解：点都在反比例函数的图象上，过点分别作两坐标轴的垂线，垂线与两坐标轴围成的矩形面积为，
∴，
过点分别作两坐标轴的垂线，垂线与两坐标轴围成的面积为，
∴，
∴，
故选：D ．
二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分．
11. 因式分解______．
【答案】
【解析】
【分析】直接利用乘法公式分解因式得出答案．
【详解】解：（x﹣1）2．
故答案为：（x﹣1）2．
【点睛】此题主要考查了公式法分解因式，正确应用乘法公式是解题关键．
12. 如图，直线m平行于直线n，写出图中所有相等的内错角_____________．
【答案】，
【解析】
【分析】本题考查了三线八角，平行线的性质，掌握平行线的性质是解题的关键．
根据三线八角的定义，平行线的性质即可求解．
【详解】解：直线m平行于直线n，
∴所有相等的内错角为：，，
故答案为：， ．
13. 2024年8月6日，巴黎奥运会上中国运动员潘展乐在100米自由泳决赛中以46.40的成绩打破世界纪录斩获冠军．本次决赛中运动员们的成绩分别是：46，46.40，47，48.47，49，47.50，47.71，47.80，47.96，47.98，本次决赛成绩的中位数是_____________．
【答案】47.755
【解析】
【分析】本题主要考查中位数，熟练掌握中位数是解题关键；根据题意可按从小到大的顺序进行排列，然后可得第5个和第6个数据和的平均数即为中位数．
【详解】解：由题意得：46，46.40，47，47.50，47.71，47.80，47.96，47.98，48.47，49，
∴本次决赛成绩的中位数是；
故答案为47.755．
14. 一元二次方程的解是_______．
【答案】，
【解析】
【分析】本题考查了利用因式分解的方法求解一元二次方程，利用两数相乘积为0，两因式中至少有为0转化为两个一元一次方程来求解．
【详解】解：，
，
，，
故答案为：，．
15. 如图，一扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条和的夹角为长为，贴纸部分的宽为，则贴纸部分的面积为______（纸扇有两面，结果保留）．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查求扇形的面积，利用大扇形的面积减去小扇形的面积即可得出结果．
【详解】解：∵，
∴，
∴贴纸部分的面积为；
故答案为：．
三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分．
16. 计算：．
【答案】1
【解析】
【分析】本题考查了含特殊角的三角函数的混合运算，绝对值、零次幂，先运算乘方、化简绝对值、零次幂以及特殊角的三角函数，再运算加减法，即可作答．
【详解】解：
．
17. 如图，已知的三个顶点的坐标分别为，，．
（1）将关于O点中心对称，试作出对称后的，并写出点的坐标 ；
（2）计算四边形的面积．
【答案】（1）
（2）10
【解析】
【分析】本题考查了利用中心对称的性质进行网格作图，点的坐标，割补法求面积； 掌握中心对称的性质，能根据具体图形割补成规则图形是解题的关键，
（1）由中心对称的性质可作图即可，由图可得点的坐标；
（2）的面积可转化为1个矩形的面积减去4个直角三角形的面积，即可求解；
【小问1详解】
解：如图所示，△A1B1C1为所求．
由图可知点的坐标
故答案为：；
【小问2详解】
解：如图所示：
．
18. 中国人民解放军在台海地区开展的演习活动是维护国家主权安全和发展利益的正当 之举，是外 部势力干涉和“台独”势力挑衅的警慑反制，也是维护台海地区和平稳定的必要行动．某次演习中，中国人民解放军在A城市周围B、C、D三个区域演习，B在A正南方向，C在A正东方向，D在A 东北方向，点B在点C南偏西，点D在点C北偏西方向100海里处．（参考数据：）
（1）求的长．
（2）由于演习过程中的特殊任务，从点C到点A需要经过点D或点B，那么C到A的两条路径和哪一条最短？
【答案】（1）海里
（2）最短
【解析】
【分析】本题考查了方位角问题(解直角三角形的应用)，勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）认真研读题干，得，海里，，然后在中，（海里），则，即可作答．
（2）分别算出每条路径的总长，再进行比较，即可作答．
【小问1详解】
解：如图，过D点作的垂线交于E点，
根据题意有：，海里，，
在中，（海里）；
在等腰直角中，，
∴（海里）；
【小问2详解】
解：由（1）知，海里，海里，海里，海里，
∴走路线时，（海里）；
∴走路线时，（海里）,
则（海里）,
（海里）；
∴（海里），
则
即选择最短．
四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分．
19. 为了增强学生的防溺水安全意识，某校举办了“防溺水安全主题系列活动”，要求每个班派一名代表参加本次活动．八（1）班陈老师从全班学生中经过层层筛选，决定从以下两名同学中选一名学生代表八（1）班参加比赛．下表是班上两名同学参加各项活动的测试成绩（单位：分）
（1）如果根据三项测试的平均成绩确定人选，那么谁将被选中？
（2）如果将在线学习、知识竞赛、演讲比赛三项测试成绩得分按的比例确定两人的测试成绩，那么谁将被选中？
（3）如果将在线学习、知识竞赛、演讲比赛三项测试成绩得分按的比例确定两人的测试成绩，那么谁将被选中？
【答案】（1）甲将被选中
（2）乙将被选中 （3）甲将被选中
【解析】
【分析】本题主要考查平均数，加权平均数的运用，掌握加权平均数的计算方法是解题的关键．
（1）根据平均数的计算方法求解即可；
（2）根据加权平均数的计算方法求解即可；
（3）根据加权平均数的计算方法求解即可．
【小问1详解】
解：甲的平均成绩为（分） ，
乙的平均成绩为（分） ，
∴甲将被选中；
【小问2详解】
解：根据题意，两人的测试成绩如下：
甲的测试成绩为（分） ，
乙的测试成绩为（分），
∴乙将被选中；
【小问3详解】
解：根据题意，两人的测试成绩如下：
甲的测试成绩为（分），
乙的测试成绩为（分），
∴甲将被选中．
20. 综合与实践
【问题情境】“漏壶”也称为“漏刻”，是一种古代计时器，在社会实践活动中，某同学根据“漏壶”的原理制作了如图①所示的液体漏壶，漏壶是由一个圆锥和一个圆柱组成的，中间连通，液体可以从圆锥容器中匀速漏到圆柱容器中，实验开始时圆柱容器中已有一部分液体．
【实验观察】（1）下表是实验记录的圆柱体容器液面高度y（厘米）与时间x（小时）的数据：
在图②所示的直角坐标系中描出上表的各点，用光滑的线连接；
【探索发现】（2）请你根据表中的数据及图象，用所学过的一次函数、二次函数、反比例函数的知识确定y与x之间的函数表达式；
【结论应用】（3）如果本次实验记录的开始时间是上午，那么当圆柱体容器液面高度达到20厘米时是几点？
【答案】（1）见解析 ；（2）；（3）圆柱体容器液面高度达到20厘米时是上午
【解析】
【分析】本题考查待定系数法求一次函数的解析式、一次函数的实际应用问题：
（1）将各点在坐标系中直接描出，再用光滑线连接即可；
（2）利用待定系数法解答，即可求解；
（3）令，求出x的值，即可求解．
【详解】解：（1）画出函数图象，如下：

（2）由图可知该图象是一次函数，设该函数的表达式为．
点、在该图象上
，解得，
与之间的函数表达式为．
（3）当时，即，
解得：，
则
∴圆柱体容器液面高度达到20厘米时是上午．
21. 中秋节是我国的传统节日．月饼是中秋节的一种美食之一，月饼寓意着团 圆和完 美．“豆沙饼”是某地的特色月饼，深受当地人们的喜爱．某商店在中秋节来临之前，去当地的玉猫饼家订购普通豆沙月饼和蛋黄豆沙月饼两种进行试销．已知蛋黄豆沙月饼的单价是普通豆沙饼单价的倍，用元购进蛋黄豆沙饼的数量比用元购进普通豆沙月饼的数量多个．
（1）普通豆沙月饼和蛋黄豆沙月饼的单价分别是多少？
（2）若某商店把蛋黄豆沙月饼以元销售时，那么半个月可以售出个．根据销售经验，把这个蛋黄豆沙月饼的单价每提高元，销量会相应减少个．将售价定为多少元时，才能使半个月获得的利润最大？最大利润是多少？
【答案】（1）普通豆沙饼的单价是元，蛋黄豆沙饼的单价是元
（2）当售价定为元时，才能使半个月获得的利润最大，最大利润是元
【解析】
【分析】本题考查分式方程的应用，二次函数的应用，
（1）设普通豆沙饼的单价是元，则蛋黄豆沙饼的单价是元，根据“用元购进蛋黄豆沙饼的数量比用元购进普通豆沙月饼的数量多个”列出分式方程求解即可；
（2）设售价定为元，利润为元，根据题意列出关于的二次函数，结合二次函数的性质求解即可；
解题的关键：（1）正确理解题意，列出方程；（2）正确列出函数关系式．
【小问1详解】
解：设普通豆沙饼的单价是元，则蛋黄豆沙饼的单价是元，
依题意，得：，
解得：，
经检验：是所列方程的解且符合题意，
∴（元），
答：普通豆沙饼的单价是元，蛋黄豆沙饼的单价是元；
【小问2详解】
设售价定为元，利润为元，
依题意，得：，
∵
∴二次函数的图像开口向下，函数有最大值，
∴当时，有最大值，最大值为元，
答：当售价定为元时，才能使半个月获得的利润最大，最大利润是元．
五、解答题（三）：本大题共2小题，第22题12分，第23题14分，共27分．
22. 【知识技能】
（1）如图1，在三角形纸片中，，点D在上，将沿直线翻折后，点B落在点E处，如果，那么线段的长为多少？
【数学理解】
（2）如图2矩形中，，点E为上一点：且，将沿翻折，得到，连接并延长，与相交于点F，则的值为：
【拓展探索】
（3）如图3，在矩形纸片中，，点E为射线上的一个动点，把沿直线折叠，当点A的对应点F刚好落在线段的垂直平分线上时，求的长．
【答案】（1）；（2）；（3）2.5或10
【解析】
【分析】（1）解得到，根据翻折的性质得到，则，那么；
（2）由矩形得到，由沿翻折，得到，可知，过点作于M，可得，在中，则，，则，可得，求出，在中，即可求解；
（3）当点F在矩形内部时，由折叠的性质得，在中，由勾股定理得，则，设，则，在中，由勾股定理即可求解；当点F在矩形外部时，由折叠的性质得，同①得，则，设，则，同理在中， 由勾股定理即可求．
【详解】（1）解：∵在中，，
∴，
∵由沿直线翻折后，可知
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵四边形是矩形
∴，
由沿翻折，得到，可知：
，
如图过点作于M，

∵，
∴，
在中，
∴，，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴
∴
∴
在中，，，，
∴；
（3）解：∵四边形是矩形，
∴，
设线段的垂直平分线交于点M，交于点N，
则，
∴四边形为矩形，
则，，
分两种情况：
①如图，当点F在矩形内部时，由折叠的性质得，
在中，由勾股定理得，
∴，
设，则，
在中，由勾股定理得，
即，
解得
即的长为；
②如图，当点F在矩形外部时，
由折叠的性质得，
同①得，
∴，
设，则，
在中，由勾股定理得，
即，解得，
即的长10，
综上所述，当点F刚好落在线段的垂直平分线上时，的长为或10．
【点睛】本题考查了解直角三角形，折叠的性质，矩形的判定与性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，熟练掌握知识点是解题的关键．
23. 如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，．抛物线的对称轴与经过点的直线交于点，与轴交于点．
（1）求抛物线的表达式；
（2）若在抛物线上存在点，使得是以为直角边的直角三角形，求出所有点的坐标；
（3）以点为圆心，画半径为的圆，为上一个动点，请求出的最小值．
【答案】（1）
（2）存在，或或
（3）
【解析】
【分析】（1）根据题意，可求出点的坐标，再运用待定系数法即可求解；
（2）根据直角三角形的性质，分类讨论：①当时；②当时；分别求出直线的解析式，再联立二次函数为二元一次方程组求解即可；
（3）如图，在上取点，使，连接，可证，得，当点三点共线时，的值最小，运用勾股定理即可求解．
【小问1详解】
解：∵抛物线的对称轴，，
∴ ，．
∴将代入，
得，
解得，
抛物线的解析式为；
【小问2详解】
解：存在点，理由如下：
直线的解析式为，将代入得
解得：
∴直线的解析式为：
∵抛物线对称轴与轴交于点，
∴当时，，
∴，
①当时，设直线交对称轴于点，
∵，，二次函数对称轴为，
∴，，轴，
∴是等腰直角三角形，，
∵，
∴，且，
∴，
∴，
∴点坐标为，
设直线的解析式为，将点坐标代入，
得，
解得，
直线的解析式为，
解方程组，
得或，
∴点的坐标为；
②∵，，
∴
∴
∴是直角三角形，
当时，根据点关于抛物线对称轴对称，
则直线经过点坐标为，
设直线的解析式为，将点坐标代入，
得，
解得，
直线的解析式为，
解方程组，
解得或，
∴点的坐标为或；
综上，点的坐标为或或；
【小问3详解】
解：已知，以点为圆心，画半径为的圆，点为上一个动点，
如图，在上取点，使，连接，
，
∴，
，
，
又，
，
，即，
当点三点共线时，的值最小，即为线段的长，
最小值为．
【点睛】本题主要考查待定系数法求解析式，二次函数与特殊三角形，圆基础知识，相似三角形的判定和性质，勾股定理，最短路径等知识的综合，掌握二次函数图象的性质，特殊三角形的性质，最短路径的计算方法是解题的关键．
选手
主题活动项目
在线学习
知识竞赛
演讲比赛
甲
89
99
85
乙
84
96
90
时间x（小时）
1
2
3
4
5
圆柱体容器液面高度y（厘米）
6
10
14
18
22
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