新高考数学一轮复习题型归纳与强化测试专题11 对数与对数函数（2份，原卷版+解析版）

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【考纲要求】
1.理解对数的概念及运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数.
2.通过实例，了解对数函数的概念，能用描点法或借助计算工具画具体对数函数的图象，理解对数函数的单调性与特殊点.
3.了解指数函数y＝ax与对数函数y＝lgax(a＞0，且a≠1)互为反函数.
【考点预测】
1.对数的概念
如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝lgaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数.
2.对数的性质、运算性质与换底公式
(1)对数的性质：①algaN＝N；②lgaab＝b(a>0，且a≠1).
(2)对数的运算性质
如果a>0且a≠1，M>0，N>0，那么
①lga(MN)＝lgaM＋lgaN；
②lgaeq \f(M,N)＝lgaM－lgaN；
③lgaMn＝nlgaM(n∈R).
(3)换底公式：lgab＝eq \f(lgcb,lgca)(a>0，且a≠1，b>0，c>0，且c≠1).
3.对数函数及其性质
(1)概念：函数y＝lgax(a＞0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，定义域是(0，＋∞).
(2)对数函数的图象与性质
4.反函数
指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数y＝lgax(a>0，且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称.它们的定义域和值域正好互换.
【常用结论】
1.换底公式的两个重要结论
(1)lgab＝eq \f(1,lgba)(a>0，且a≠1；b>0，且b≠1).
(2)lgambn＝eq \f(n,m)lgab(a>0，且a≠1；b>0；m，n∈R，且m≠0).
2.对数函数的图象与底数大小的比较
如图，作直线y＝1，则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数.
故0＜c＜d＜1＜a＜b.
由此我们可得到以下规律：在第一象限内从左到右底数逐渐增大.
【方法技巧】
1.在对数运算中，先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后用对数运算法则化简合并.
2.先将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算法则，转化为同底对数真数的积、商、幂再运算.
3.ab＝N⇔b＝lgaN(a>0，且a≠1)是解决有关指数、对数问题的有效方法，在运算中应注意互化.
4.在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项.
5.一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解.
6.利用对数函数的性质，求与对数函数有关的函数值域和复合函数的单调性问题，必须弄清三方面的问题：一是定义域，所有问题都必须在定义域内讨论；二是底数与1的大小关系；三是复合函数的构成，即它是由哪些基本初等函数复合而成的.另外，解题时要注意数形结合、分类讨论、转化与化归思想的应用.
二、【题型归类】
【题型一】对数的化简与求值
【典例1】(1)计算lg535＋2lgeq \s\d9(\f(1,2))eq \r(2)－lg5eq \f(1,50)－lg514的值．
(2)计算(lg2125＋lg425＋lg85)(lg1258＋lg254＋lg52)的值．
(3)设x，y，z均为大于1的实数，且z为x和y的等比中项，则eq \f(lgz,4lgx)＋eq \f(lgz,lgy)的最小值为________．
【解析】(1)原式＝lg5eq \f(35×50,14)＋2lgeq \s\d9(\f(1,2))2eq \s\up6(\f(1,2))＝lg553－1＝2.
(2)原式＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3lg25＋lg25＋\f(1,3)lg25))(lg52＋lg52＋lg52)＝eq \f(13,3)lg25×3lg52＝13.
(3)因为x，y，z均为大于1的实数，所以lgx>0，lgy>0，lgz>0，又由z为x和y的等比中项，可得z2＝xy.eq \f(lgz,4lgx)＋eq \f(lgz,lgy)＝lgz×eq \f(4lgx＋lgy,4lgx×lgy)＝eq \f(1,2)lgxy×eq \f(4lgx＋lgy,4lgx×lgy)＝eq \f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(lgx＋lgy))\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4lgx＋lgy)),8lgx×lgy)＝eq \f(4\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(lgx))2＋5lgx×lgy＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(lgy))2,8lgx×lgy)≥eq \f(9lgx×lgy,8lgx×lgy)＝eq \f(9,8).故填eq \f(9,8).
【典例2】(1)计算(lg2)2＋lg2·lg50＋lg25的值；
(2)计算(lg32＋lg92)(lg43＋lg83)的值；
(3)设函数f1(x)＝x，f2(x)＝lg2015x，ai＝eq \f(i,2015)(i＝1，2，…，2015)，记Ik＝|fk(a2)－fk(a1)|＋|fk(a3)－fk(a2)|＋…＋|fk(a2015)－fk(a2014)|，k＝1，2，则( )
A．I1＜I2
B．I1＝I2
C．I1＞I2
D．I1与I2的大小关系无法确定
【解析】(1)原式＝(lg2)2＋(1＋lg5)lg2＋lg52
＝(lg2＋lg5＋1)lg2＋2lg5
＝(1＋1)lg2＋2lg5＝2(lg2＋lg5)＝2.
(2)原式＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(lg2,lg3)＋\f(lg2,lg9)))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(lg3,lg4)＋\f(lg3,lg8)))
＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(lg2,lg3)＋\f(lg2,2lg3)))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(lg3,2lg2)＋\f(lg3,3lg2)))
＝eq \f(3lg2,2lg3)×eq \f(5lg3,6lg2)＝eq \f(5,4).
(3)∵f1(ai＋1)－f1(ai)＝eq \f(i＋1,2015)－eq \f(i,2015)＝eq \f(1,2015)，
∴I1＝|f1(a2)－f1(a1)|＋|f1(a3)－f1(a2)|＋…＋|f1(a2015)－f1(a2014)|
＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(1,2015)))×2014＝eq \f(2014,2015).
∵f2(ai＋1)－f2(ai)＝lg2015eq \f(i＋1,2015)－lg2015eq \f(i,2015)＝lg2015eq \f(i＋1,i)＞0，
∴I2＝|f2(a2)－f2(a1)|＋|f2(a3)－f2(a2)|＋…＋|f2(a2015)－f2(a2014)|
＝lg2015eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,1)×\f(3,2)×…×\f(2015,2014)))＝lg20152015＝1.
∴I1＜I2.故选A.
【典例3】设2a＝5b＝m，且eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)＝2，则m等于( )
A.eq \r(10) B．10 C．20 D．100
【解析】2a＝5b＝m，
∴lg2m＝a，lg5m＝b，
∴eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)＝eq \f(1,lg2m)＋eq \f(1,lg5m)＝lgm2＋lgm5
＝lgm10＝2，
∴m2＝10，
∴m＝eq \r(10)(舍m＝－eq \r(10))．
故选A.
【题型二】对数函数的图象及应用
【典例1】已知函数f(x)＝lga(2x＋b－1)(a>0，且a≠1)的图象如图所示，则a，b满足的关系是( )
A．0