新高考数学一轮复习方法技巧与题型归纳训练 专题42 概率与统计的综合应用（2份，原卷版+解析版）

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题型一：决策问题
题型二：道路通行问题
题型三：保险问题
题型四：概率最值问题
题型五：放回与不放回问题
题型六：体育比赛问题
题型七：几何问题
题型八：彩票问题
题型九：纳税问题
题型十：疾病问题
题型十一：建议问题
题型十二：概率与数列递推问题
题型十三：硬币问题
题型十四：自主选科问题
题型十五：高尔顿板问题
题型十六：自主招生问题
题型十七：顺序排位问题
题型十八：博彩问题
【典例例题】
题型一：决策问题
例1．（2022·全国·高三专题练习）最新研发的某产品每次试验结果为成功或不成功，且每次试验的成功概率为．现对该产品进行独立重复试验，若试验成功，则试验结束；若试验不成功，则继续试验，且最多试验8次．记为试验结束时所进行的试验次数，的数学期望为．
(1)证明：；
(2)某公司意向投资该产品，若，每次试验的成本为元，若试验成功则获利元，则该公司应如何决策投资？请说明理由．
【解析】（1）由题意，
故
分布列如下：
所以的数学期望，
记，
，
作差可得，，
则；
（2）由（1）可知，则试验成本的期望小于元，
试验成功则获利元，且，则该公司应该投资该产品
例2．（2022·陕西·交大附中模拟预测（理））据悉强基计划的校考由试点高校自主命题，校考过程中达到笔试优秀才能进入面试环节．已知甲、乙两所大学的笔试环节都设有三门考试科目且每门科目是否达到优秀相互独立．若某考生报考甲大学，每门科目达到优秀的概率均为，若该考生报考乙大学，每门科目达到优秀的概率依次为，，，其中．
(1)若，分别求出该考生报考甲、乙两所大学在笔试环节恰好有一门科目达到优秀的概率；
(2)强基计划规定每名考生只能报考一所试点高校，若以笔试过程中达到优秀科目个数的期望为依据作出决策，该考生更希望进入甲大学的面试环节，求的范围．
【解析】（1）设该考生报考甲大学恰好有一门笔试科目优秀为事件，则；
该考生报考乙大学恰好有一门笔试科目优秀为事件，则．
（2）该考生报考甲大学达到优秀科目的个数设为，
依题意，，则，
该同学报考乙大学达到优秀科目的个数设为，随机变量的可能取值为：0，1，2，3．
，
，，
随机变量的分布列：
，
因为该考生更希望进入甲大学的面试，则，即，解得，
所以的范围为：.
例3．（2022·江苏·南京市宁海中学模拟预测）某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰．机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个100元，在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个300元．现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得如图柱状图：以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率，记X表示2台机器三年内共需更换的易损零件数，n表示购买2台机器的同时购买的易损零件数．
(1)求X的分布列；
(2)以购买易损零件所需费用的期望为决策依据，在与之中选其一，应选用哪个更合理？
【解析】（1）由柱状图并以频率代替概率可得，
一台机器在三年内需更换的易损零件数为8，9，10，11的概率分别为0.2，0.4，0.2，0.2，
X的可能取值为16，17，18，19，20，21，22，
从而；
；
；
；
；
；
；
所以X的分布列为
（2）购买零件所需费用含两部分：
一部分为购买零件的费用，另一部分为备件不足时额外购买的费用，
当时，费用的期望为：
元，
当时，费用的期望为：
元，
因为，所以选更适合.
变式1．（2022·辽宁葫芦岛·一模）葫芦岛市矿产资源丰富，拥有煤、钼、锌、铅等51种矿种，采矿业历史悠久，是葫芦岛市重要产业之一．某选矿场要对即将交付客户的一批200袋钼矿进行品位（即纯度）检验，如检验出品位不达标，则更换为达标产品，检验时；先从这批产品中抽20袋做检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有钼矿做检验，设每袋钼矿品位不达标的概率都为，且每袋钼矿品位是否达标相互独立．
(1)若20袋钼矿中恰有2袋不达标的概率为，求的最大值点；
(2)已知每袋钼矿的检验成本为10元，若品位不达标钼矿不慎出场，对于每袋不达标钼矿要赔付客户110元．现对这批钼矿检验了20袋，结果恰有两袋品位不达标．
①若剩余钼矿不再做检验，以（1）中确定的作为p的值．这批钼矿的检验成本与赔偿费用的和记作，求；
②以①中检验成本与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对余下的所有钼矿进行检验？
【解析】（1）20袋钼矿中恰有2件不达标的概率为．
因此
令；得，当时，，单调递增，时，，单调递减，
所以的最大值点．
（2）由（1）知，．
①令表示余下的180袋钼矿中不达标的袋数，依据题意可知，故，
又，即，
所以．
②若对余下的钼矿进行检验，则所有检验成本为2000元．由于．应该对余下的钼矿都进行检验．
变式2．（2022·安徽省舒城中学一模（文））某蛋糕店计划按日生产一种面包，每天生产量相同，生产成本每个6元，售价每个8元，未售出的面包降价处理，以每个5元的价格当天全部处理完，该蛋糕店记录了30天这种面包的日需求量（单位：个），整理得表：
(1)若该蛋糕店一天生产30个这种面包，以记录了30天的日需求量的频率作为日需求量发生的概率，求当天的利润不少于60元的概率；
(2)该蛋糕店想提高该面包的销售利润，员工甲和乙分别提出两种方案.甲的方案：保持一天生产30个这种面包；乙的方案：加大产量一天生产31个这种面包.根据以上30天日需求量的日平均利润来决策哪一种方案收益更好.
【解析】(1)由题意可知，当天需求量时，当天的利润，
当天需求量时，当天的利润.
故当天的利润y关于当天需求量n的函数解析式为：，.
由题意可得：
则当天的利润不少于60元的概率；
(2)由（1）可得甲的方案的30天的日利润的平均数为（元），
同理可得乙的利润关于当天需求量n的函数解析式为.
由题意可得：
可得乙的方案的30天的日利润的平均数.
所以乙的方案收益更好.
题型二：道路通行问题
例4． 某人某天的工作是，驾车从地出发，到，两地办事，最后返回地，，三地之间各路段的行驶时间及当天降水概率如表：
若在某路段遇到降水，则在该路段行驶的时间需延长1小时．
现有如下两个方案：
方案甲：上午从地出发到地办事然后到达地，下午在地办事后返回地；
方案乙：上午从地出发到地办事，下午从地出发到达地，办事后返回地
（1）若此人8点从地出发，在各地办事及午餐的累积时间为2小时，且采用方案甲，求他当日18点或18点之前能返回地的概率；
（2）甲、乙两个方案中，哪个方案有利于办完事后能更早返回地？
【解析】解：（1）由题意可知，若各路段均不会遇到降水，则返回地的时间为17点，
因此若18点之前能返回地的充要条件是降水的路段数不超过1，
记事件，，分别表示在上午路段降水、上午路段降水、下午路段降水，
则所求概率：
．
（2）设基本路段正常行驶时间为，降水概率为，
则该路段行驶时间的分布列为：
，
设采用甲、乙两种方案所花费的总行驶时间分别为，，
则，
．
采用甲方案更有利于办事之后能更早返回地．
例5． 市民李先生居住在甲地，工作在乙地，他的小孩就读的小学在丙地，三地之间的道路情况如图所示．假设工作日不走其它道路，只在图示的道路中往返，每次在路口选择道路是随机的．同一条道路去程与回程是否堵车相互独立．假设李先生早上需要先开车送小孩去丙地小学，再返回经甲地赶去乙地上班．假设道路A，B，D上下班时间往返出现拥堵的概率都是，道路C，E上下班时间往返出现拥堵的概率都是，只要遇到拥堵上学和上班的都会迟到．
(1)求李先生的小孩按时到校的概率；
(2)李先生是否有七成把握能够按时上班？
(3)设X表示李先生下班时从单位乙到达小学丙遇到拥堵的次数，求X的均值．
【解析】(1)因为道路D、E上班时间往返出现拥堵的概率分别是和，因此从甲到丙遇到拥堵的概率是：×＋×＝，故李先生的小孩能够按时到校的概率是1－＝.
(2)甲到丙没有遇到拥堵的概率是，丙到甲没有遇到拥堵的概率也是，甲到乙遇到拥堵的概率是×＋×＋×＝，甲到乙没有遇到拥堵的概率是1－＝，
∴李先生上班途中均没有遇到拥堵的概率是××＝