新高考数学一轮复习方法技巧与题型归纳训练 专题06 函数的概念（2份，原卷版+解析版）

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1.函数的概念
(1)一般地，给定非空数集，，按照某个对应法则，使得中任意元素，都有中唯一确定的与之对应，那么从集合到集合的这个对应，叫做从集合到集合的一个函数.记作：，.集合叫做函数的定义域，记为，集合，叫做值域，记为.
(2)函数的实质是从一个非空集合到另一个非空集合的映射.
(3)函数表示法：函数书写方式为，
(4)函数三要素：定义域、值域、对应法则.
(5)同一函数：两个函数只有在定义域和对应法则都相等时，两个函数才相同.
2.基本的函数定义域限制
求解函数的定义域应注意：
（1）分式的分母不为零；
（2）偶次方根的被开方数大于或等于零：
（3）对数的真数大于零，底数大于零且不等于1；
（4）零次幂或负指数次幂的底数不为零；
（5）三角函数中的正切的定义域是且；
（6）已知的定义域求解的定义域，或已知的定义域求的定义域，遵循两点：①定义域是指自变量的取值范围； = 2 \* GB3 ②在同一对应法则∫下，括号内式子的范围相同；
（7）对于实际问题中函数的定义域，还需根据实际意义再限制，从而得到实际问题函数的定义域.
3.基本初等函数的值域
(1)的值域是.
(2)的值域是：当时，值域为；当时，值域为．
(3)的值域是.
(4)且的值域是.
(5)且的值域是.
4.分段函数的应用
分段函数问题往往需要进行分类讨论，根据分段函数在其定义域内每段的解析式不同，然后分别解决，即分段函数问题，分段解决．
【题型归纳目录】
题型一：函数的概念
题型二：同一函数的判断
题型三：给出函数解析式求解定义域
题型四：抽象函数定义域
题型五：函数定义域的应用
题型六：函数解析式的求法
1.待定系数法（函数类型确定）
2.换元法或配凑法（适用于了型）
3.方程组法
4.求分段函数的解析式
5.抽象函数解析式
题型七：函数值域的求解
1.观察法
2.配方法
3.图像法（数形结合）
4.基本不等式法
5.换元法（代数换元与三角换元）
6.分离常数法
7.判别式法
8.单调性法
9.有界性法
10.导数法
题型八：分段函数的应用
【典例例题】
题型一：函数的概念
例1．（2022·全国·高三专题练习）函数y=f(x)的图象与直线的交点个数（ ）
A．至少1个B．至多1个C．仅有1个D．有0个、1个或多个
例2．（2022·全国·高三专题练习）下列四个图像中，是函数图像的是（ ）
A．（1）（2）B．（1）（2）（3）C．（1）（3）（4）D．（1）（2）（3）（4）
（多选题）例3．（2022·全国·高三专题练习）下列对应关系f，能构成从集合M到集合N的函数的是（ ）
A．，，，，
B．，
C．，
D．，，
例4．（2022·浙江·高三专题练习）将函数的图像绕着原点逆时针旋转角得到曲线，当时都能使成为某个函数的图像，则的最大值是（ ）
A．B．C．D．
例5．（2022·全国·高三专题练习）存在函数，对于任意都成立的下列等式的序号是________．
【方法技巧与总结】
利用函数概念判断
题型二：同一函数的判断
例6．（2022·全国·高三专题练习）下列各组函数是同一函数的是（ ）
①与．②与．③与．④与．
A．①②B．①③C．③④D．①④
例7．（2022·全国·高三专题练习）下列各组函数中，表示同一函数的是（ ）
A．，
B．
C．，
D．，，0，，，，0，
（多选题）例8．（2022·全国·高三专题练习）下列各组函数中表示同一个函数的是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
（多选题）例9．（2022·全国·高三专题练习）在下列四组函数中，与不表示同一函数的是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【方法技巧与总结】
当且仅当给定两个函数的定义域和对应法则完全相同时，才表示同一函数，否则表示不同的函数.
题型三：给出函数解析式求解定义域
例10．（2022·全国·高三专题练习）已知等腰三角形的周长为，底边长是腰长的函数，则函数的定义域为( )
A．B．C．D．
例11．（2022·全国·河源市河源中学模拟预测）函数的定义域为___________.
例12．（2022·北京·模拟预测）函数的定义域是_______．
例13．（2022·上海市奉贤中学高三阶段练习）函数的定义域为___________.
【方法技巧与总结】
对求函数定义域问题的思路是：
（1）先列出使式子有意义的不等式或不等式组；
（2）解不等式组；
（3）将解集写成集合或区间的形式.
题型四：抽象函数定义域
例14．（2022·北京·高三专题练习）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）
A．B．C．D．
例15．（2022·全国·高三专题练习）已知函数的定义域是，则函数的定义域为______.
例16．（2022·全国·高三专题练习）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）
A．B．C．D．
例17．（2022·全国·高三专题练习）若函数的定义域为，则函数的定义域是（ ）
A．B．C．D．
例18．（2022·全国·高三专题练习）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）
A．B．C．D．
例19．（2022·全国·高三专题练习）已知函数是定义在的单调递增函数，若，则实数的取值范围是（ ）．
A．B．
C．D．
例20．（2022·全国·高三专题练习）求下列函数的定义域：
(1)已知函数的定义域为，求函数的定义域.
(2)已知函数的定义域为，求函数的定义域.
(3)已知函数的定义域为，求函数的定义域.
【方法技巧与总结】
1.抽象函数的定义域求法：此类型题目最关键的就是法则下的定义域不变，若的定义域为，求中的解的范围，即为的定义域，口诀：定义域指的是的范围，括号范围相同．已知的定义域，求四则运算型函数的定义域
2．若函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的，其定义域为各基本函数定义域的交集，即先求出各个函数的定义域，再求交集．
题型五：函数定义域的应用
例21．（2022·全国·高三专题练习）若函数的定义域为，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
例22．（2022·全国·高三专题练习）已知函数的定义域为，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
（多选题）例23．（2022·全国·高三专题练习）（多选）若函数在区间上有意义，则实数可能的取值是（ ）
A．B．C．D．
例24．（2022·全国·高三专题练习）函数的定义域是，则的取值范围是_________．
例25．（2022·上海·高三专题练习）已知函数的定义域为，则实数的取值范围是____________．
【方法技巧与总结】对函数定义域的应用，是逆向思维问题，常常转化为恒成立问题求解，必要时对参数进行分类讨论.
题型六：函数解析式的求法
【方法技巧与总结】求函数解析式的常用方法如下：
（1）当已知函数的类型时，可用待定系数法求解.
（2）当已知表达式为时，可考虑配凑法或换元法，若易将含的式子配成，用配凑法.若易换元后求出，用换元法.
（3）若求抽象函数的解析式，通常采用方程组法.
（4）求分段函数的解析式时，要注意符合变量的要求.
（5）当出现大基团换元转换繁琐时，可考虑配凑法求解．
（6）若已知成对出现，或，，类型的抽象函数表达式，则常用解方程组法构造另一个方程，消元的方法求出．
1.待定系数法（函数类型确定）
（多选题）例26．（2022·全国·高三专题练习）已知函数是一次函数，满足，则的解析式可能为（ ）
A．B．
C．D．
例27．（2022·全国·高三专题练习）设y＝f(x)是一次函数，若f(0)＝1，且成等比数列，则等于（ ）
A．n(2n＋3)B．n(n＋4)
C．2n(2n＋3)D．2n(n＋4)
例28．（2022·全国·高三专题练习）已知为二次函数，，，求的解析式．
2.换元法或配凑法（适用于了型）
例29.（2022·陕西西安·高三阶段练习（文））已知，则（ ）
A．B．
C．D．
例30．（2022·全国·高三专题练习）已知函数，则的解析式为（ ）
A．B．
C．D．
例31．（2022·全国·高三专题练习）已知函数满足，则的解析式为（ ）
A．B．
C．D．
例32．（2022·全国·高三专题练习）已知函数，则的解析式为_______
例33．（2022·全国·高三专题练习）已知，则函数f(x)=_______，=_______．
例34．（2022·全国·高三专题练习）已知，则（ ）
A．6B．3C．11D．10
例35．（2022·全国·高三专题练习）已知，则（ ）
A．B．C．D．
3.方程组法
例36．（2022·全国·高三专题练习）已知函数的定义域为，且，则（ ）
A．B．C．D．
例37．（2022·全国·高三专题练习）设函数对的一切实数均有，则等于
A．2016B．-2016C．-2017D．2017
例38．（2022·全国·高三专题练习）若函数，满足，且，则________．
例39．（2022·全国·高三专题练习）已知，则函数f(x)的解析式为___________.
4.求分段函数的解析式
例40．（2022·全国·高三专题练习）设函数，若函数在区间内有且仅有两个零点，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
例41．（2022·浙江·高三专题练习）已知函数，则___________，的最大值是___________.
例42．（2022·全国·高三专题练习）函数f(x)＝－x2＋4x－1在区间[t，t＋1](t∈R)上的最大值为g(t)．求g(t)的解析式
5.抽象函数解析式
例43．（2022·全国·高三专题练习）对任意实数，，都有，求函数的解析式．
例44．（2022·河南·高三阶段练习（文））已知函数是定义在上的增函数，且，，则（ ）
A．B．C．2D．3
例45．（2022·安徽·芜湖一中三模（理））已知函数在上满足，则曲线在点处的切线方程是（ ）
A．B．
C．D．
例46．（2022·全国·高三专题练习（文））定义在上的函数单调递增，且对，有，则___________.
例47．（2022·全国·高三专题练习）已知定义在上的单调函数，若对任意都有，则方程的解集为_______．
例48．（2022·全国·高三专题练习）已知在上是减函数，且对任意的都成立，写出一个满足以上特征的函数___________.
例49．（2022·全国·高三专题练习）设是定义在上的函数，且满足对任意等式恒成立，则的解析式为_____________．
题型七：函数值域的求解
【方法技巧与总结】
函数值域的求法主要有以下几种
(1)观察法:根据最基本函数值域（如≥0,及函数的图像、性质、简单的计算、推理，凭观察能直接得到些简单的复合函数的值域.
（2）配方法：对于形如的值域问题可充分利用二次函数可配方的特点，结合二次函数的定义城求出函数的值域.
（3）图像法：根据所给数学式子的特征，构造合适的几何模型.
（4）基本不等式法：注意使用基本不等式的条件，即一正、二定、三相等.
（5）换元法：分为三角换元法与代数换元法，对于形的值城，可通过换元将原函数转化为二次型函数.
（6）分离常数法：对某些齐次分式型的函数进行常数化处理，使函数解析式简化内便于分析.
（7）判别式法：把函数解析式化为关于x的―元二次方程，利用一元二次方程的判别式求值域，一般地，形如，或的函数值域问题可运用判别式法（注意x的取值范围必须为实数集R）.
(8)单调性法：先确定函数在定义域（或它的子集）内的单调性，再求出值域.对于形如或的函数，当ac>0时可利用单调性法.
（9）有界性法：充分利用三角函数或一些代数表达式的有界性，求出值域.因为常出现反解出y的表达式的过程，故又常称此为反解有界性法.
(10)导数法：先利用导数求出函数的极大值和极小值，再确定最大（小）值，从而求出函数的值域.
1.观察法
例50．（2022·全国·高三专题练习）函数的值域是（ ）
A．B．C．D．
例51．（2022·全国·高三专题练习）下列函数中，值域为的是（ ）
A．B．C．D．
例52．（2022·浙江·高三专题练习）下列函数中，函数值域为的是（ ）
A．B．
C．D．
2.配方法
例53.（2022·全国·高三专题练习）函数的值域为（ ）
A．B．
C．D．
例54．（2022·全国·高三专题练习）函数的图象是如图所示的折线段，其中，，函数，那么函数的值域为（ ）
A．B．
C．D．
例55．（2022·全国·高三专题练习）已知正实数，，满足，，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
3.图像法（数形结合）
例56．（2022·全国·高三专题练习）函数，的值域是（ ）
A．B．C．D．
例57.（2022·全国·高三专题练习（理））函数的最小值是（ ）
A．B．C．D．
例58．（2022·全国·高三专题练习）函数f(x)＝的值域为( )
A．[－,]B．[－,0]
C．[0,1]D．[0,]
例59.（2022·全国·高三专题练习）已知，，，则的最小值为___________.
例60．（2022·上海·高三专题练习）函数的值域为_____.
4.基本不等式法
例61．（2022·河南·模拟预测（文））下列函数中最小值为6的是（ ）
A．B．
C．D．
例62．（2022·全国·高三专题练习）函数的值域是_______．
5.换元法（代数换元与三角换元）
例63．（2022·全国·高三专题练习）函数的值域为（ ）
A．B．C．D．
例64．（2022·全国·高三专题练习）函数的值域为（ ）
A．B．C．D．
例65．（2022·全国·高三专题练习）函数的值域是（ ）
A．B．C．D．
例66．（2022·全国·高三专题练习）若，则的取值范围是________
6.分离常数法
例67．（2022·全国·高三专题练习）函数y的值域是（ ）
A．（﹣∞，+∞）B．（﹣∞，）∪（，+∞）
C．（﹣∞，）∪（，+∞）D．（﹣∞，）∪（，+∞）
例68．（2022·全国·江西科技学院附属中学模拟预测（文））函数的值域（ ）
A．B．
C．D．
7.判别式法
例69．（2022·全国·高三专题练习）函数的最大值与最小值的和是（ ）
A．B．C．D．
例70．（2021·浙江杭州·高一期中）函数的值域是___________.
例71．（2021·江苏·高一专题练习）求函数的值域______________．
例72.（2021·浙江·高一期末）函数的值域为_________.
8.单调性法
例73．（2022·全国·高三专题练习）已知函数的值域为R，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
例74．（2022·全国·高三专题练习）已知函数，则函数的值域为（ ）
A．B．C．D．
例75．（2022·全国·高三专题练习）函数的值域为（ ）
A．B．C．D．
9.有界性法
例76．（2022·全国·高三专题练习）函数的值域是________________.
例77．（2022·全国·高三专题练习）函数的值域为（ ）
A．B．C．D．
例78．（2022·全国·高三专题练习（理））实数，满足，则的最大值为___________．
10.导数法
例79．（2022·四川省高县中学校高三阶段练习（文））函数在上的最小值是__________.
例80．（2022·全国·高三专题练习）已知函数，则在上的最大值是__________．
例81．（2022·全国·高三专题练习）已知函数，当时，函数的最大值为_______ .
例82．（2022·全国·高三专题练习）已知函数，若曲线上存在点，使得，则实数的最大值是（ ）
A．B．C．D．
题型八：分段函数的应用
例83．（2022·山东济南·二模）已知函数若，则m的值为（ ）
A．B．2C．9D．2或9
例84．（2022·广西广西·模拟预测（理））已知，若，则（ ）
A．2B．C．1D．0
例85．（2022·浙江·模拟预测）己知函数，则（ ）
A．1B．2C．3D．4
例86．（2022·广东梅州·二模）设函数，则（ ）
A．2B．6C．8D．10
例87．（2022·浙江·模拟预测）已知函数，则___________；若，则实数___________.
例88．（2022·浙江省临安中学模拟预测）设，若，则__________，__________.
【方法技巧与总结】
1.分段函数的求值问题，必须注意自变量的值位于哪一个区间，选定该区间对应的解析式代入求值
2.函数区间分类讨论问题，则需注意在计算之后进行检验所求是否在相应的分段区间内.
【过关测试】
一.单选题
1．（2022·全国·高三专题练习（理））下列函数中，不满足：的是
A．B．C．D．
2．（2022·陕西陕西·二模（理））已知是定义域为上的单调增函数，且对任意，都有，则的值为（ ）
A．12B．14C．D．18
3．（2022·宁夏·银川一中一模（文））若函数f（x）满足f（1－lnx）＝，则f（2）＝（ ）
A．B．e
C．D．－1
4．（2022·江西·南昌十中模拟预测（文））设全集，集合，则（ ）
A．（1，2）B．（1，2]
C．（2，+ ∞）D．[2，+ ∞）
5．（2022·全国·高三专题练习）已知函数的定义域为(－2,0)，则的定义域为（ ）
A．(－1,0)B．(－2,0)C．(0,1)D．
6．（2022·全国·高三专题练习）函数的值域是（ ）
A．B．C．D．
7．（2022·河北保定·二模）若函数，则函数的最小值为（ ）
A．B．C．D．
8．（2022·全国·高三专题练习）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的美誉，用其名字命名的“高斯函数”：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，也称取整函数，例如：，.已知，则函数的值域为（ ）
A．B．，C．，，D．，0，
二、多选题
9．（2022·全国·高三专题练习）已知满足，则（ ）
A．B．
C．D．
10．（2022·全国·高三专题练习）下列四组函数中，f(x)与g(x) 表示同一函数的是（ ）
A．f(x)＝x＋1，g(x)＝B．f(x)＝·，g(x)＝
C．f(x)＝(x－1)0，g(x)＝1D．f(x)＝，g(x)＝
11．（2022·全国·高三专题练习）关于直线与函数的图象的交点有如下四个结论，其中正确的是（ ）
A．不论为何值时都有交点B．当时，有两个交点
C．当时，有一个交点D．当时，没有交点
12．（2022·全国·高三专题练习）等差数列中，，公差，且，则实数的可能取值为（ ）
A．B．C．D．
三、填空题
13．（2022·江西·南昌市实验中学一模（文））已知函数，则____________．
14．（2022·安徽省芜湖市教育局高三期末（理））若定义在的函数，满足，则曲线在点处的切线方程是___________.
15．（2022·全国·高三专题练习）已知f（x）是定义在R上的周期为4的周期函数，在区间[﹣2，2]上，f（x）＝，且f（5）＝2f（），则3a+2b+c的值为__．
16．（2022·全国·高三专题练习）若函数的最大值为，最小值为，则的值为___________.
四、解答题
17．（2022·陕西·武功县普集高级中学高三阶段练习（理））若，其中是常数
(1)求的值;．
(2)方程的两根异号， 求实数的取值范围；
(3)当时， 求出不等式的解集．
18．（2022·全国·高三专题练习）求下列函数的值域
（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）；
（6）；
（7）；
（8）
（9）；
（10）.
19．（2022·全国·高三专题练习）知函数
（1）若函数的定义域为，求实数的取值范围；
（2）若函数在上恒有意义，求的取值范围；
（3）是否存在实数，使得函数在区间上为增函数，且最大值为2？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由
20．（2022·全国·高三专题练习）如果一个函数的值域与其定义域相同，则称该函数为“同域函数”.已知函数的定义域为且.
（Ⅰ）若，，求的定义域；
（Ⅱ）当时，若为“同域函数”，求实数的值；
（Ⅲ）若存在实数且，使得为“同域函数”，求实数的取值范围.
21．（2022·全国·高三专题练习）若f （x）＝x2－2x，g（x）＝ax＋2(a>0)，∀x1∈[－1，2]，∃x0∈[－1，2]，使g(x1)＝f (x0)，求实数a的取值范围．
22．（2022·全国·高三专题练习）已知二元函数，则的最大值和最小值分别为多少？