2025保定部分高中高二下学期开学考试数学含解析

这是一份2025保定部分高中高二下学期开学考试数学含解析，共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．已知直线经过点，，则的斜率为（ ）
A．B．2C．D．
2．双曲线的离心率为（ ）
A．B．3C．D．
3．若构成空间的一个基底，则下列向量可作为基底的是（ ）
A．，，B．，，
C．，，D．，，
4．已知数列满足，设的前项和为，则（ ）
A．0B．1C．D．2025
5．已知椭圆的两个焦点为，，椭圆上有一点，则的周长为（ ）
A．6B．16C．D．12
6．已知数列满足，且，则（ ）
A．B．C．D．
7．如图，在直三棱柱中，，，，E是的中点，则直线AB与平面所成角的正弦值为（ ）

A．B．C．D．
8．已知数列满足，，设的前项和为，若，，成等差数列，则（ ）
A．10B．11C．12D．13
二、多选题
9．在空间直角坐标系中，已知点，，，，则（ ）
A．B．与夹角的余弦值为
C．在上的投影向量为D．点到直线BC的距离为
10．在数列中，若对任意连续三项，，，均有，，则称该数列为“跳跃数列”．已知等比数列是“跳跃数列”，则公比的取值可能是（ ）
A．B．C．D．
11．已知A，B，C是抛物线上不同的动点，F为抛物线W的焦点，直线l为抛物线W的准线，AB的中点为，则（ ）
A．当时，的最大值为32
B．当时，的最小值为22
C．当时，直线AB的斜率为
D．当A，F，B三点共线时，点P到直线l的距离的最小值为14
三、填空题
12．在棱长为6的正四面体中，点M在OA上，且，则 ．
13．已知等差数列的前项和为，若，则 .
14．“将军饮马”问题源自唐代诗人李顾的诗作《古从军行》，其中隐含着一个有趣的数学问题：将军在观望烽火之后，从山脚下的某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为，河岸线所在直线方程为，若将军从点处出发，并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营，则“将军饮马”的最短总路程为 ，在河边饮马点的坐标为 ．
四、解答题
15．已知定点，定直线，曲线上有一动点，过点作直线的垂线，垂足为，且．
(1)求曲线的方程；
(2)若点在轴的右侧，，求周长的最小值．
16．在等差数列中，，且．
(1)求的通项公式；
(2)求数列的前项和．
17．如图，在四棱锥中，平面，底面是矩形，，是PD的中点．
(1)证明：平面．
(2)证明：平面．
(3)求平面与平面夹角的余弦值．
18．已知数列的前项和为，满足；是以为首项，且公差不为0的等差数列，，，成等比数列．
(1)求，的通项公式；
(2)令，求数列的前项和．
19．已知椭圆的短轴长为，且离心率为.
(1)求C的方程.
(2)过点作斜率不为0的直线与椭圆C交于S，T不同的两点，再过点作直线ST的平行线与椭圆C交于G，H不同的两点.
①证明：为定值.
②求面积的取值范围.
1．C
【详解】解：直线的斜率．
故选：C
2．A
【详解】因为，，所以，
故离心率为．
故选：A.
3．D
【详解】因为，所以，，共面；
因为，所以，，共面；
因为，所以，，共面；
因为不存在x，y，使得，所以，，不共面，所以可以作为基底．
故选：D.
4．B
【详解】由正弦函数周期公式可知是周期为4的周期数列，
且，，，，得：，
所以．
故选：B
5．D
【详解】因为，，
所以，
故的周长为．
故选：D.
6．C
【详解】因为，所以．
因为，所以数列是首项为1，公比为2的等比数列，
所以，所以，
故．
故选：C
7．D
【详解】由题意知CA，CB，两两垂直，以，，的方向分别为轴，轴，轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，
设平面的法向量为，
因为，，
所以令，得，
因为，所以，
故直线AB与平面所成角的正弦值为．

故选：D.
8．B
【详解】因为，且，
所以当时，，
因为也满足，所以，
因为，
所以，
若，，成等差数列，则，即，得.
故选：B.
9．ABD
【详解】因为，，所以，故A正确；
因为，，所以，故B正确；
因为，，所以在上的投影向量为，故C错误；
因为，所以的一个单位方向向量为，
因为，所以点到直线BC的距离为，故D正确．
故选：ABD.
10．AC
【详解】因为等比数列是“跳跃数列”，
由已知，，
则，得，所以A，C正确．
故选：AC.
11．ACD
【详解】抛物线的焦点，准线，设，
对于A，，
当且仅当A，F，B三点共线时，有最大值32，A正确；
对于B，如图，分别过点作准线的垂线，垂足分别为，
设交抛物线于点，因，故，
由图知当且仅当三点共线时取得最小值为长，
因的中点为，则为梯形的中位线，且，
，即的最小值为15，B错误；
对于C，由，得，当时，，
直线AB的斜率为，C正确；
对于D，设直线的方程为，由消去得，
则，则点P到直线l的距离
，
因此当时，点P到直线l的距离的最小值为14，D正确.
故选：ACD
12．
【详解】因为，
所以，
．
故答案为：-12
13．12
【详解】设，则，
因为也成等差数列，所以，
即，即，
所以.
故答案为：12.
14．
【详解】
设点关于直线对称的点为，
则,解得，故最短路径为．
记圆的圆心为，则直线BC的方程为，
联立，解得，即饮马点的坐标为．
故答案为：；.
15．(1)
(2)
【详解】（1）设．因为，所以，
整理得，即曲线的方程为；
（2）设曲线的左焦点为，则．
因为点在双曲线的右支上，所以，所以．
因为，
所以的周长为．
当Ｑ，Ｐ，三点共线时，取得最小值，
所以周长的最小值为．
16．(1)
(2)
【详解】（1）设的公差为．因为，所以．
因为，所以，解得，
故．
（2）设的前项和为，则．
当时，；
当时，．
故.
17．(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)
【详解】（1）连接BD，交AC于点O，连接OM．
因为底面是矩形，所以O为AC，BD的中点．
因为M是PD的中点，所以．
因为平面，平面，所以平面．
（2）因为平面，所以．
因为，平面，所以平面．
因为平面，所以．
因为，M是PD的中点，所以．
因为平面，所以平面．
（3）以为坐标原点，，，的方向分别为轴，轴，轴的正方向，
建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，．
由（2）知平面的一个法向量为．
设平面的法向量为，因为，，
所以令，得．
设平面与平面的夹角为，则，
所以平面与平面夹角的余弦值为．
18．(1)，；
(2).
【详解】（1）因为，所以当时，，所以．
当时，，
两式相减可得，所以，
所以是首项为1，公比为的等比数列，所以.
设等差数列的公差为，
因为，所以，，，
因为，，成等比数列，
所以，解得（舍去）或，所以.
（2）因为，
所以，，
两式相减得，
所以.
19．(1)；
(2)①证明见解析；
②.
【详解】（1）由已知得，
因为，又由，
可解得，
所以椭圆方程为：.
（2）
①设斜率不为0的直线的方程为，
联立直线和椭圆方程可得，化简得，
由于椭圆与直线交于两点，，
因此，所以或，
根据韦达定理可得，，
又因为，，
因此，
令的方程为，椭圆与直线交于两点，
联立直线和椭圆方程，化简得，
同理：，，
，
因此（为定值）．
②由于，又由于，
因此，
化简可得，设，由于，因此，
因此，
又由于当时，，因此，
因此，
所以面积的取值范围为．题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
C
A
D
B
D
C
D
B
ABD
AC
题号
11









答案
ACD