湖南省邵阳市2024-2025学年高三上学期第一次联考数学试题 Word版含解析

这是一份湖南省邵阳市2024-2025学年高三上学期第一次联考数学试题 Word版含解析，共20页。试卷主要包含了保持答题卡的整洁， 下列说法正确的是等内容，欢迎下载使用。
本试卷共 4 页，19 个小题.满分 150 分.考试时间 120 分钟.
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名，班级，考号填写在答题卡上.将条形码横贴在答题卡上“条
形码粘贴区”.
2.作答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.答案不能答在试卷上.
3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应
位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以
上要求作答无效.
4.保持答题卡的整洁.考试结束后，只交答题卡，试题卷自行保存.
一、选择题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的）
1. 已知集合 ，集合 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先解一元二次不等式得出集合 B，再应用交集的定义计算即可.
【详解】因为集合 ，集合 ，
则 .
故选：B.
2. 已知向量 ， ， 与 的夹角为 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
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【分析】首先根据向量数量积公式求出 ，再利用三角函数诱导公式求出结果.
【详解】根据向量数量积公式 .
先求 ， .
再求 . .
所以 .
根据三角函数诱导公式 ，所以 .
故选：C.
3. 已知复数 满足： （ ，i 为虚数单位），则 （ ）
A. 5 B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】化简 ，再利用复数的除法求得复数 ，从而求出其模长.
【详解】∵ ，
∴ ，∴ ，
∴ .
故选：C.
4. 已知 ，则“ ”是“ ”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】利用充分必要条件结合函数的不等式求解即可.
【详解】绘制出 的图像，
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当 时， ，当 时， .
故“ ”是“ ”的充分不必要条件.
故选：A.
5. 为了推广一种新产品，某公司开展了有奖促销活动：将 6 件这种产品装一箱，每箱中都放置 2 件能够中
奖的产品.若从一箱中随机抽出 2 件，能中奖的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用组合数求出基本事件数和符合条件的事件数，再结合古典概型公式求解即可.
【详解】基本事件共有 件，符合条件的有 件，
且设中奖为事件 ，即 ，故 B 正确.
故选：B
6. 经过椭圆 的右焦点 作倾斜角为 的直线 ，直线 与椭圆相交于 ， 两点，则
（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由椭圆方程求得焦点坐标，从而写出直线方程，联立方程组得一元二次方程，由韦达定理得到两
个的和与差，利用交点弦长公式即可求得结果.
【详解】 ， ，∴ ，即 ，
，∴ ，
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联立方程组得 ，整理得 ，
设 ， ，∴ ， ，
.
故选：A.
7. 定义在 上的偶函数 ，其导函数为 .若 ，
恒成立，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】构造函数 ，根据函数 的奇偶性求得 的奇偶性，再根据函数 的导
数确定单调性，由此比较 三个数的大小.
【详解】若 ， ， ， ，
构造函数 ，由于 是偶函数，故 是奇函数.
由于 ，故函数 在 上递增.
由于 ，故当 时， ，当 时， .
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所以 ， ，
， ，
根据 单调性有 ，所以 ，
故选：B.
8. 已知函数 在区间 上有且仅有 4 个零点，则 的取值范
围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】将 看成一个整体，找出其范围，再根据正弦函数的图像和性质列出不等式求解.
【详解】 ，
令 ，得
， .
令 ，由 的图象得：
，化简得 .
故选：D.
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二、选择题（本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求.全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分）
9. 下列说法正确的是（ ）
A. 决定系数 越小，模型的拟合效果越好
B. 若随机变量 服从两点分布， ，则
C. 若随机变量 服从正态分布 ， ，则
D. 一组数 （ ）的平均数为 ，若再插入一个数 ，则这 个数的方差变大
【答案】BC
【解析】
【分析】利用决定系数的性质判断 A，利用两点分布的方差公式判断 B，利用正态分布的对称性判断 C，举
反例判断 D 即可.
【详解】由决定系数性质得，决定系数 越大，模型的拟合效果越好，故 A 错误，
若随机变量 服从两点分布， ，
则 ，故 B 正确，
若随机变量 服从正态分布 ， ，
由正态分布性质得 ，故 C 正确，
我们令 ， ，此时平均数 ，
方差为 ，插入一个数 ，
此时平均数为 ，方差为 ，
方差显然变小了，即再插入一个数 ，则这 个数的方差不可能变大，故 D 错误.
故选：BC
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10. 已知抛物线 的焦点为 ，准线过点 ， 是抛物线上的动点，则（ ）
A.
B. 当 时， 的最小值为
C. 点 到直线 的距离的最小值为 2
D. 当 时，直线 ON 的斜率的最大值为
【答案】ABD
【解析】
【分析】对选项 A，可根据抛物线的定义计算出 的值判断其正确，对 BCD 选项，可根据抛物线的方程设
抛物线上任意一点 的坐标为 ，将几何问题转化为代数问题进行计算求解.
【详解】根据抛物线的定义， 的准线为 ，
由题意准线过 ，可求出 ，抛物线的方程为 ，选项 A 正确；
对于选项 B，C，D，可设抛物线上的点的动点为 ，
对于 B 选项，当 时， ；
当 时，
当且仅当 时，等号成立.选项 B 正确；
对于 C 选项，直线与抛物线的位置关系如下图所示：
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到直线 的距离 ，
当 时， .选项 C 错误；
对于 D 选项，可根据向量共线作出示意图：
根据定义求出抛物线的焦点 ，由 得 ，
当 时， ；
当 时， ，
当且仅当 时，等号成立.选项 D 正确.
故选：ABD
11. 已知函数 ， ，则下列结论正确的是（ ）
A. 当 时， 为奇函数
B. 的图象关于直线 对称
C. 当 时， ，
D. 若 ， ，则
【答案】ACD
【解析】
【分析】利用奇函数、轴对称的定义判断 AB；取值计算判断 C；分离参数构造函数，结合不等式性质判断
D.
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【详解】对于 A，当 时， ，
，函数 是奇函数，A 正确；
对于 B， ，B 错误；
对于 C，当 时， ， ，C 正确；
对于 D，由 ，得 ，
令 ， ，
而 ， ，且均在 时取等号，则 ， ，
因此 ，D 正确.
故选：ACD
【点睛】结论点睛：函数 的定义域为 D， ，
①存在常数 a，b 使得 ，则函数 图象关于点
对称.
②存在常数 a 使得 ，则函数 图象关于直线 对称.
三、填空题（本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分）
12. 若等比数列 满足： ， ，则数列 的公比 ______.
【答案】
【解析】
【分析】由 结合已知条件可求得 的值.
【详解】因为等比数列 满足： ， ，
则 ，解得 .
故答案为： .
13. 某校高三（5）班班主任准备从 2 名男生和 4 名女生中选取 3 人担任数学、物理、化学学科课代表，每
学科安排 1 人，且至少有 1 名男生，则不同的选取方法有______（请用数字作答）
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【答案】96
【解析】
【分析】可采用间接法或直接法来求解不同的选取方法数.
【详解】方法一：间接法
先求出从 名男生和 名女生共 人中选 人担任学科代表的所有情况，再减去所选 人都是女生的情况，
即可得到至少有 名男生的情况.
从 个不同元素中取出 个元素的排列数记为 ，其计算公式为 .
从 人中选 人进行全排列，安排到数学、物理、化学三个学科，
方法数为 种.
从 名女生中选 人进行全排列，安排到三个学科，
方法数为 种.
用总的选法数减去 人都是女生的选法数，可得至少有 名男生的选法有 种.
方法二：直接法
分两种情况讨论：选 名男生 名女生和选 名男生 名女生，然后分别计算这两种情况的选法数，最后将
它们相加.
情况一：选 名男生 名女生
从 名男生中选 名男生的选法有 种，从 名女生中选 名女生的选法有 种，
然后将这 人进行全排列安排到三个学科，方法数为 种.
根据组合数公式 ，可得 ， .
则这种情况下的选法有 种.
情况二：选 名男生 名女生
从 名男生中选 名男生的选法有 种，从 名女生中选 名女生的选法有 种，
然后将这 人进行全排列安排到三个学科，方法数为 种.
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， .
则这种情况下的选法有 种.
将两种情况的选法数相加，可得至少有 名男生的选法有 种.
故答案为：
14. 已知在棱长为 3 的正方体 中，点 是底面 ABCD 内的动点，点 为棱 BC 上的动
点，且 ，则 的最小值为______.
【答案】
【解析】
【分析】由正切函数定义结合几何位置关系，得到 ，结合解析几何中的圆的知识，得到
三点共线时， 取得最小值，得到结果.
【详解】如图（一）， ， .
又 ， .
如图（二），建立平面直角坐标系，则 ， ， ，设点 .
，化简得： （ ， ）
则圆心为 ， ，点 关于 BC 的对称点 .
故答案为： .
四、解答题（本大题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
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15. 已知在 中，三个角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且
.
（1）求角 A 的大小；
（2）若 ，点 D 在边 BC 上，且 ，求 的值.
【答案】（1）
（2） .
【解析】
【分析】（1）根据余弦定理可求 ；
（2）根据角的关系可得 ，求出后者后可得比值.
【小问 1 详解】
，
.
即 .
由正弦定理得： ，
，
， .
【小问 2 详解】
易知 ，
， ， ，
， ， .
.
的值为 .
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16. 已知函数 .
（1）求曲线 在点 处的切线方程；
（2）若函数 有 2 个零点，求实数 的取值范围.
【答案】（1）
（2） .
【解析】
【分析】（1）利用导数的几何意义求出切线斜率，得到切线方程即可；
（2）利用给定条件求出 ，再转化为交点问题求解即可.
【小问 1 详解】
由题意知， ，
令 ，则 ， .
故 ， ，即切点为 ，
所求切线方程为 ，即 .
【小问 2 详解】
由题意得 ，
当 时， ，故函数 没有零点；
当 时，令 ，得 .
令 ，则 ， ，
因为 有 2 个零点，所以 和 有 2 个交点，
令 ， .
令 ，得 .
当 时， ， 单调递增；
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当 时， ， 单调递减.
，当 时， ；当 时， ；
当 时， ；当 时， 且 .
实数 的取值范围为 .
17. 如图，在直四棱柱 中， ， ， ，
，E，F 分别为 AD，AB 的中点.
（1）求证： ；
（2）求证：平面 平面 ；
（3）若 ，P 是线段 上的动点，求直线 与平面 所成角的正弦值的最大值.
【答案】（1）证明见解析
（2）证明见解析 （3） .
【解析】
【分析】（1）求出 ，即可得到 ，结合 ，即可得到 ，从而得证；
（2）建立空间直角坐标系，求出平面 、平面 的法向量，即可证明；
（3）设 ，即可表示出 的坐标，设直线 与平面 所成角为 ，利用向量法
求出 ，再根据二次函数的性质求出 的最大值.
【小问 1 详解】
， ，所以
又 ， ，
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又 ， ， ， .
【小问 2 详解】
在直四棱柱 中， 平面 ，又 平面 ，所以 ，
，
， ， 两两垂直，以 为原点， ， ， 所在直线分别为 轴， 轴， 轴，建立
如图所示的空间直角坐标系，
设 ，则 ， ， ， ， ， .
， ， ，
设 为平面 的一个法向量，
令 ，得 ， .
设平面 的一个法向量 ，则 ，取 .
，又平面 与平面 不重合，
平面 平面 .
【小问 3 详解】
当 时， 为平面 的一个法向量， ，
则 ，
设 ，
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， ，
设直线 与平面 所成角为 ，
，
当且仅当 时，等号成立，
所以直线 与平面 所成角的正弦值的最大值为 .
18. 已知双曲线 的渐近线方程为 ，右顶点为 ，点 在 上.
（1）求 的方程；
（2）过点 直线 与 C 相交于 F，G 两点，点 E 与点 F 关于 轴对称，问直线 EG 是否过定点？若
过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由；
（3）将圆心在 轴上，且与 C 的两支各恰有一个公共点的圆称为“子圆”，若两个“子圆”外切于点 ，圆心
距为 ，求 .
【答案】（1）
（2）直线 EG 过定点 .
（3） .
【解析】
【分析】（1）设出方程带入点，得到方程.
（2）当直线 DG 的斜率不为零时，设直线 DG 的方程再进行联立，再易知，直线 EG 的斜率存在，设直线
EG 的方程为 ，最后得到过定点.
（3）考虑子圆，两圆的圆心之间的距离，最后得到答案.
【小问 1 详解】
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设双曲线的方程为 ，
将点 代入得 ，即 ， 双曲线 的方程为
【小问 2 详解】
当直线 DG 的斜率不为零时，设直线 DG 的方程为 ， ， ， .
由 消去 整理得 ，
依题意得： ，且 ，即 且 ，
， .
易知，直线 EG 的斜率存在，设直线 EG 的方程为 .
令 ，得
.
直线 EG 过定点 .
当直线 DG 的斜率为 0 时，直线 EG 的方程为 ，过点 ，
综上，直线 EG 过定点 .
【小问 3 详解】
考虑以 为圆心的“子圆” ，
由 的方程与 的方程消去 ，得关于 的二次方程 .
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依题意，该方程的判别式 ， .
对于外切于点 的两个“子圆” ， ，显然点 在 轴上，
设 ， ， 的半径分别为 ， ，
不妨设 ， 的圆心分别为 ， .
则 ， .
两式相减得： ，而 ， .
，整理得： .
，点
.
，故 .
19. 已知正项数列 （ ）的前 项和为 ，且 .当 时，将 进行重
新排列，构成新数列 ，使其满足： 或 （其中 ， ）.
（1）当 时，写出所有满足 的数列 ；
（2）试判断数列 是否为等差数列，并加以证明；
（3）当 时，数列 满足： 是公差为 且（ 且 ）
的等差数列，求公差 .
【答案】（1）2，4，1，3，5 和 2，5，3，1，4.
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（2） 不可能是等差数列，证明见解析
（3） .
【解析】
【分析】（1）需要根据已知条件求出 的表达式，再根据 以及 和 或
的条件来确定数列 .
（2）根据等差数列的定义判断数列 是否为等差数列.
（3）利用已知条件对 分类讨论，设 ，求出 范
围，再根据 是公差为 的等差数列，求出 ，得到满足题意的 .
【小问 1 详解】
，①
当 时， ，即 ， .
当 时， ，②
由①－②得： ，即 .
， ， ，即 .
数列 是以 1 为首项，1 为公差的等差数列.
.
由题意可得当 且 的数列 为：2，4，1，3，5 和 2，5，3，1，4.
【小问 2 详解】
数列 不可能为等差数列，证明如下：
假设 是等差数列，公差为 ，
当 时，由题意知， 或 3，此时，
不是等差数列 中的项，与题意不符.
不可能是等差数列；
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当 时，由题意， 或 .
此时， .
不是等差数列 项，与题意不符.
不可能是等差数列.
综上所述， 不可能是等差数列.
【小问 3 详解】
由题意， ，
当 时， ， ，与题意不符；
当 时，记 ，
当 时， ，
，
记 表示集合 中元素的最小值，则 .
，与题意不符；
当 时，取 此时数列 满足题意.
综上所述， .
【点睛】知识点点睛：本题考查了由 与 的关系式求 ，考查了等差数列的证明方法和基本量的计算，
考查了分析问题，逻辑推理，分类讨论方法，属于较难题.
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