湖北省武汉市武昌区2025届高三上学期期末质量检测数学试题 Word版含解析

这是一份湖北省武汉市武昌区2025届高三上学期期末质量检测数学试题 Word版含解析，共20页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
题目要求的.
1. 已知集合 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】化简集合 ，根据集合的交集运算求解.
【详解】集合 ， ，
则 .
故选：A.
2. 若复数 z 满足 ，则 （ ）
A. 2 B. C. 2i D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用复数的四则运算及共轭复数的定义计算即可.
【详解】解：因为 ，
所以 ，
所以
所以
故选：
3. 已知双曲线 C 的渐近线方程为 ，则 C 的离心率为（ ）
A. B. C. 或 D. 不能确定
【答案】C
【解析】
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【分析】根据给定条件，利用双曲线焦点位置设出方程，借助渐近线方程求出离心率.
【详解】当双曲线方程为 时，其渐近线为 ， ，则离心率
；
当 双 曲 线 方 程 为 时 ， 其 渐 近 线 为 ， ， 则 离 心 率
，
所以双曲线的离心率为 或 .
故选：C
4. 已知公差不为零的等差数列 的前 项和为 ，且 ，则 （ ）
A. B. C. 13 D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用等差数列求和公式以及等差数列的性质可求得 的值.
【详解】因为公差不为零的等差数列 的前 项和为 ，且 ，
因为 ，
整理可得 ，故 ，所以， .
故选：C.
5. 中国冶炼铸铁的技术比欧洲早 2000 年左右，冶炼铸铁技术的诞生标志着真正的铁器时代的开始．现将一
个表面积为 cm2 的实心铁球熔化后，浇铸成一个正四棱台形状的实心铁锭 浇铸过程体积无变化 ，
该铁锭的上、下底面的边长分别为 cm 和 cm，则该铁锭的高为（ ）
A. 30 cm B. C. 36 cm D.
【答案】B
【解析】
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【分析】根据给定条件，利用球的表面积、体积公式及棱台的体积公式列式计算得解.
【详解】解：设实心铁球的半径为 R，则 ，解得 ，
则实心铁球的体积为 ，
设正四棱台的实心铁锭的高为 h，
因为实心铁球的体积和正四棱台的实心铁锭体积相等，
则 ，解得
故选：
6. 已知函数 在 与 上的最小值均为 ，最大值也相同，
则实数 a 的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据题干 的定义域，求出 的定义域，再得到值域，
列不等式，得到答案.
【详解】解：由题， ，
当 时， ；
当 时， ；
要使 在 与 上的最小值均为 ，最大值也相同，
显然 ，且 ，
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则有 ，解得 ，
故实数 a 的取值范围是 ，
故选：
7. 已知平面向量 ， ， ，满足 ，则 的最小值是（ ）
A 0 B. 3 C. D. 2
【答案】D
【解析】
【 分 析 】 不 妨 设 ， 计 算
，当 时，
【详解】解：向量 满足 ，
则不妨设 ，
则 ，
则 ，且 ，
则
，
当 时，
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故选：D.
8. 已知函数 在定义域 上单调递减， ，均有 ，则函数
的最小值是（ ）
A. 8 B. 6 C. 4 D.
【答案】A
【解析】
【分析】记 ，由 ，利用函数单调性知
，结合 ，首先求出 的解析式，可得函数 ，
再利用配方法求最值即可求解.
【详解】记 ，
用 y 替换 中的 x 得 ，且 ，
，
因为函数 在定义域 上单调递减，所以 ，
因为 ，
所以 ，
或 ，又函数 在定义域 上单调递减
所以有 满足题设条件.
所以 ， ，
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当 即 时，函数 的最小值是
故选：A
【点睛】关键点点睛：解答本题的关键是用 y 替换 中的 x，然后利用函数的单调
性求出函数的解析式.
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选
对的得 6 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分.
9. 某射击运动员在一次训练中一共进行了 10 次射击，成绩依次为 6，5，7，8，6，7，9，7，9， 单位：
环 ，则下列说法中正确的是（ ）
A. 这组数的众数为 7
B. 这组数的第 80 百分位数为 8
C. 若每个数都减去 2，则这组数的均值也会减去 2
D. 若每个数都乘以 2，则这组数 方差也会乘以 2
【答案】AC
【解析】
【分析】分别求出运动员成绩的众数，均值，方差、以及第 80 百分位，再用均值，方差性质，判断四个选
项即可．
【详解】解：将成绩从小到大排列为：5，5，6，6，7，7，7，8，9，9，
对于 A、这组数的众数为 7，故 A 正确；
对于 B、因为 ，则这组数的第 80 百分位数为 ，故 B 错误；
对于 C、若每个数都减去 2，则这组数的均值也会减去 2，故 C 正确；
对于 D、若每个数都乘以 2，则这组数 方差会乘以 4，故 D 错误.
故选：AC.
10. 已知函数 ，则（ ）
A.
B. 若函数 单调递增，则
C. 当 时，函数 的图象关于点 中心对称
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D. 若存在 ，使得 ，则 a 的最大值是 1
【答案】BCD
【解析】
【分析】利用配方法判断 A；利用导数判断 B；利用中心对称的性质判断 C；分类讨论判断
【详解】解：因为 ，
所以 ，A 错误；
求导数， ，
所以 ，所以 ，B 正确；
当 时， ，
所以 ，
所以函数 的图象关于点 中心对称，C 正确；
当 时， ，满足题意；
当 时，若 ,
则 ，
故 在 上无解，故 ，所以 a 的最大值是 1，D 正确.
故选:
11. 已知非常数数列 ，其前 n 项和为 ，若 ， ， ，使得 ，则称 为
包容数列．下列说法错误的是（ ）
A. 数列 0，0，1，1， ， 是包容数列
B. 任何包容数列的前三项中一定存在两项互为相反数
C. 若一个包容数列从第 k 项开始连续三项可以构成一个各项均为正数的等差数列，则 k 的最小值为 5
D. 由 ，0，1 三个数生成的包容数列中，如果去掉一项后依然是包容数列，这项一定是 0
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据包容数列的定义和性质可判断 ABD 的正误，利用枚举法可判断 C 的正误.
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【详解】对于 A，当 时，不存在 使 ，
所以数列 0，0，1，1， ， 不是包容数列，故 A 错误；
对于 B，当 为包容数列，
则 或 或 ，
即 或 或 ，故 B 正确；
对于 D， ，0，1 去掉 后，得到 0，1 仍是包容数列，故 D 错误；
对于 C， 可为任意数，
考虑前 2 项， 或 ，得 或 ，
所以包容数列 的前 2 项中必有 1 个数为 0，
设包容数列 的前 2 项为 m，0 或 0，m，
考虑前 3 项，由 B 项知 的前 3 项中必有 2 项互为相反数，
则 的前 3 项为 m，0，0 或 0，m，0 或 m，0， 或 0，m，
同理可知 的前 n 项中必有 项之和为 0，
的前 4 项为 m，0，0，0①或 m，0，0， ②或 0，m，0，0③或 0，m，0， ④或 m，0， ，n⑤
或 0，m， ，n⑥，
从第 5 项开始：
对于①，
对于②，
对于③， ；
对于④， ；
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对于⑤，
对于⑥，
综上所述， 中要么会有一个 0，要么会有一组相反数，
所以 不可能全为正，故 C 错误.
故选：ACD.
【点睛】思路点睛：对于数列新定义问题，注意根据数列新定义展开计算与讨论，对于新定义下数列的性
质的探究，可以从具体中找到一般的性质.
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. 展开式中只有第 7 项的系数最大，则 __________.
【答案】12
【解析】
【分析】由题意利用二项式定理，二项式系数的性质，得出结论．
【详解】解： 的展开式中，只有第七项的系数即二项式系数最大，
故展开式共有 13 项，则 ，
故答案为：
13. 已 知 随 机 变 量 X， Y 均 服 从 分 布 ， 若 ， 且 ， 则
__________.
【答案】
【解析】
【分析】根据两点分布的概率特征，结合互斥事件特征和对立事件概率性质计算即可.
【详解】解：因为随机变量 X，Y 均服从 分布，且 ，
所以 ，
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因为 ，所以 ，
且
因为 ，所以 ，
因此 ，
所以
故答案为： .
14. 设圆 与抛物线 交于点 ， 为圆 的直径，过点 的直线
与抛物线 交于不同于点 的两个点 D，E，则直线 AD 与 AE 的斜率之积为__________.
【答案】2
【解析】
【分析】由题意得出 ， ，设 ， ，由 B，D，E 三点共线可得
， 结 合 ， ， 化 简 得 ， 代 入
即可求.
【详解】将 代入圆的方程 中，
得 ，故 ，
又因为 为圆 与抛物线 的交点，
所以 ，代入 得 ，即抛物线 ，
由 AB 为圆 的直径可得，A，B 关于 O 对称，
则 ，
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设 ， ，
则由 B，D，E 三点共线可得 ，
整理得 ，
又因为 ， ，
所以 ，
整理得 ，
由题意 ，
所以 ，
所以 ，
故答案为：
四、解答题：本题共 5 小题，共 60 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 在 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，点 D 为线段 AC 的中点，A，C 满足
（1）求 B；
（2）若 的面积为 ， ，求中线 BD 的长．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据正弦定理将已知的正弦关系转化为边的关系，再利用余弦定理求出角 。
（2）先由三角形面积公式求出 的值，再结合余弦定理求出 的值，最后利用向量关系求出中线 BD
的长。
【小问 1 详解】
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因为 ，所以，
又因为
所以， ，得 ，
所以，由余弦定理得 ，
又 B 为三角形内角，
所以，
【小问 2 详解】
因为 的面积为 ， ， ，
所以， ，所以 ，又 ，
因为 BD 为 的中线，所以， ，
所以， ，
所以
16. 如 图 ， 四 棱 锥 中 ， 平 面 ABCD， 四 边 形 ABCD 为 直 角 梯 形 ， ，
（1）已知 G 为 AF 的中点，求证： 平面 DCF；
（2）若直线 BF 与平面 ABCD 所成的角为 ，二面角 的余弦值为 ，求点 B 到平面 DCF 的距
离．
【答案】（1）证明见解析
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（2）
【解析】
【分析】（1）取 DF 的中点 K，可证明四边形 KGBC 为平行四边形，即可证明 平面 ；
（2）以 A 为坐标原点建立空间直角坐标系，设 ，求出平面 DCF 的法向量为
，应用公式即可求点 B 到平面 DCF 的距离.
【小问 1 详解】
取 DF 的中点 K，连接 GK、KC，因为 G 为 AF 中点，所以 ， ，
因为 ， ，所以 ， ，所以四边形 KGBC 为平行四边形，
所以 ，因为 平面 DCF， 平面 DCF，故 平面 DCF；
【小问 2 详解】
因为 平面 ABCD，四边形 ABCD 为直角梯形， ，所以 FA，AD，AB 两两垂直，
以 A 为坐标原点，AF，AB，AD 所在直线为 x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
直线 BF 与平面 ABCD 所成的角为 ，有 ，设 ，
，
则 ， ， ， ， 所 以 ， ，
，
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设平面 DCF 的法向量为 ，所以 ，即 ，
令 ，则 ， ，所以 ，
所以 ，所以 ，即 ，
因为 ，所以点 B 到平面 DCF 的距离
17. 已知函数
（1）当 时，求函数 的单调区间；
（2）当 时， ，求实数 a 取值范围．
【答案】（1） 在 ， 单调递增， 在 ， 单调递减.
（2）
【解析】
【分析】（1）先将 代入函数 ，然后对 求导，根据导数的正负来确定函数的单调区间.
（2）当 时 ，通过移项参变分离变形，构造新函数，利用导数研究新函数的性质来确定实数
的取值范围.
【小问 1 详解】
当 时， ，
则 ，
令 ，解得 或 ，
当 或 时，
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当 或 时，
所以 在 ， 单调递增， 在 ， 单调递减.
【小问 2 详解】
因为 时， ，
所以 ，得 ，
即 ，
令 ，
则 ，
令 ，且 在 上单调递增，且 ，
所以，当 时， ，即 当 时， ，即
所以， 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以 ，故
18. 已知椭圆 C： 的长轴长是短轴长的 2 倍，焦距为 ，点 A，B 分别为 C 的左、
右顶点，点 P，Q 为 C 上的两个动点，且分别位于 x 轴上、下两侧， 和 的面积分别为 ，
，记
（1）求椭圆 C 的方程；
（2）若 ，求证直线 PQ 过定点，并求出该点 坐标；
（3）若 ，设直线 AP 和直线 BQ 的斜率分别为 ， ，求 的取值范围．
【答案】（1）
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（2）证明见解析，定点坐标为
（3）
【解析】
【分析】（1）根据题意，列出关于 的方程组，求得 的值，即可得到椭圆方程；
（2）由图形对称性可知定点 在 x 轴上，设 ，由题意得 ，求解
即可.
（3）设直线 PQ 的方程为 ， ， ，并表示
联立 由韦达定理得 ， ，代入 化简并结合 即可得所求.
【小问 1 详解】
由题意知， ， ，又 ， ， ，
所以椭圆 C 的方程为：
【小问 2 详解】
证明：由 知 ， ，由图形对称性可知，定点 M 在 x 轴上，
设直线 PQ 方程为： ， ， ， ，
，解得 ，
即定点坐标为
【小问 3 详解】
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设直线 PQ 的方程为 ， ，
联立 可得 ，
则 ， ，且
于是
，
， ，即 的范围是
19. 有五张背面完全相同的数字卡片，正面分别写着 ，将它们背面朝上随机放在桌子上（不叠放），
翻开这些卡片时，要求按照从小到大的数字顺序依次翻开，如果翻开了一张卡片其顺序不符合要求，应该
立刻将它翻回至背面朝上（翻回不计入次数）并记住此卡片出现的数字，以保证翻卡片的次数尽可能少，
直到所有卡片正面朝上为止．
（1）求第三次恰好翻开数字为 的卡片且不再翻回的概率；
（2）记 为需要翻开的次数，求 的分布列及数学期望；
（3）将卡片数量改为 张 ，并依次写上数字 ，记 为翻开这些卡片需要的平均
次数，求证： .
附：数学期望具有线性可加性，即
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【答案】（1）
（2）分布列见解析， 次
（3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）分两种情况讨论如果第一张翻出了 和第二张翻出了 ，利用互斥事件的概率公式即可求解；
（2）根据题设可得次数 可取 ，再分别求出相应的概率，即可求出分布列，再利用期望的计算
公式，即可求解；
（3）记 为需要翻开写有点数 的纸卡片的次数，根据题设有 ，从而得到
，即可求解.
【小问 1 详解】
由题知，前两次一定会翻到 ，否则第三次翻到 也会被翻回，
故分两种情况：如果第一张翻出了 ，那么第二次一定不能翻 ，
因此 ，
如果第二张翻出了 ，那么有两种情况，第一种情况第一张翻出了 并翻回，
另一种情况是第一张没有翻出 2，第三张恰好翻到 2，
因此 ，
所以 .
【小问 2 详解】
根据题意可以推断出下面两点：
首先，错误翻开的卡片即使被翻回至背面朝上，也会知道这张卡片的点数，
因此第二次翻开它时并非随机事件；
其次，如果在翻一张卡片时，点数比它小的所有卡片没有被翻开，那么这张卡片就需要被翻两次，
可以看作是考虑随机对翻开五张卡片的进行排列，
从左往右依次翻开卡片，遇到不符合顺序的进行调整，
因此需要翻开的次数 可取 ，
①当 时，恰好按照从小到大的顺序翻开了所有卡片，
因此， ；
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②当 时，点数为 到 的扑克卡片恰好全部在 1 之前翻开，
因此， ；
③当 时，只有一张卡片没有在所有比它小的卡片翻开时翻开了，
因此， ；
④当 时，有三张卡片错误地翻开了，
因此， ；
⑤当 时，易知 ，
列出分布列有
因此 （次）.
【小问 3 详解】
基于第二问的思考，这实际上是对知晓卡片点数的顺序进行排列，
当有 张卡片时，值得注意的是写有数字 的卡片如果是最后一个知晓，那么它就只需要被翻开一次，
如果它不是最后一个知晓，那么它就一定需要被翻开两次，
记 为需要翻开写有点数 的纸卡片的次数，
因此 ， ，
所以 ，
于是 ，
而 ，于是 ，
故 ，
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当 ， 时上式等号成立，于是 ，故命题得证.
【点睛】关键点点晴：本题的关键在于第（3）：根据题设知写有数字 的卡片如果是最后一个知晓，那么
它就只需要被翻开一次，如果它不是最后一个知晓，那么它就一定需要被翻开两次，从而可得
，其中 为需要翻开写有点数 的纸卡片的次数，再利用 ，即可求
解.
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