2025年高考数学解密汇编训练之函数应用（Word版附解析）

这是一份2025年高考数学解密汇编训练之函数应用（Word版附解析），共53页。试卷主要包含了设方程的两根为，，则，现定义如下等内容，欢迎下载使用。
1．（2024•贵州模拟）设方程的两根为，，则
A．，B．C．D．
2．（2024•合肥模拟）常用放射性物质质量衰减一半所用的时间来描述其衰减情况，这个时间被称做半衰期，记为（单位：天），铅制容器中有甲、乙两种放射性物质，其半衰期分别为，．开始记录时，这两种物质的质量相等，512天后测量发现乙的质量为甲的质量的，则，满足的关系式为
A．
B．
C．
D．
3．（2024•长沙模拟）深度学习是人工智能的一种具有代表性的实现方法，它是以神经网络为出发点的，在神经网络优化中，指数衰减的学习率模型为，其中表示每一轮优化时使用的学习率，表示初始学习率，表示衰减系数，表示训练迭代轮数，表示衰减速度．已知某个指数衰减的学习率模型的初始学习率为0.5，衰减速度为18，且当训练迭代轮数为18时，学习率衰减为0.4，则学习率衰减到0.2以下（不含所需的训练迭代轮数至少为 （参考数据：
A．72B．74C．76D．78
4．（2024•包头三模）冰箱、空调等家用电器使用了氟化物，氟化物的释放破坏了大气上层的臭氧层，使臭氧量呈指数函数型变化．当氟化物排放量维持在某种水平时，臭氧量满足关系式，其中是臭氧的初始量，是自然对数的底数，是时间，以年为单位．若按照关系式推算，经过年臭氧量还保留初始量的四分之一，则的值约为
A．584B．574年C．564年D．554年
5．（2024•上海）现定义如下：当时，若，则称为延展函数．现有，当时，与均为延展函数，则以下结论
（1）存在，；，与有无穷个交点
（2）存在，；，与有无穷个交点
A．（1）（2）都成立B．（1）（2）都不成立
C．（1）成立（2）不成立D．（1）不成立（2）成立
6．（2024•海州区校级模拟）冬季是流行病的高发季节，大部分流行病是由病毒或细菌引起的，已知某细菌是以简单的二分裂法进行无性繁殖，在适宜的条件下分裂一次个变为2个）需要23分钟，那么适宜条件下1万个该细菌增长到1亿个该细菌大约需要（参考数据：
A．3小时B．4小时C．5小时D．6小时
7．（2024•太原模拟）已知函数，若方程恰有三个不同实数根，则实数的取值范围是
A．，，B．
C．D．
8．（2024•辽宁二模）已知函数，，的零点分别为，，，则
A．B．C．D．
9．（2024•宁夏四模）保护环境功在当代，利在千秋，良好的生态环境既是自然财富，也是经济财富，关系社会发展的潜力和后劲．某工厂将生产产生的废气经过过滤后排放，已知过滤过程中的污染物的残留数量（单位：毫米升）与过滤时间（单位：小时）之间的函数关系为，其中为常数，，为原污染物数量．该工厂某次过滤废气时，若前9个小时废气中的污染物恰好被过滤掉，那么再继续过滤3小时，废气中污染物的残留量约为原污染物的 参考数据：．
A．B．C．D．
10．（2024•西安模拟）已知函数为偶函数，满足，且时，，若关于的方程至少有两解，则的取值范围为
A．B．C．D．
二．多选题（共5小题）
11．（2024•广东模拟）已知函数，则正确的是
A．的定义域为B．是非奇非偶函数
C．函数的零点为0D．当时，的最大值为
12．（2024•袁州区校级模拟）已知函数，，则
A．若有2个不同的零点，则
B．当时，有5个不同的零点
C．若有4个不同的零点，，，，则的取值范围是
D．若有4个不同的零点，，，，则的取值范围是
13．（2024•吉安模拟）已知函数，则
A．的图象关于点对称
B．的值域为，
C．若方程在上有6个不同的实根，则实数的取值范围是
D．若方程在上有6个不同的实根，2，，，则的取值范围是
14．（2024•怀化二模）已知函数的零点为，的零点为，则
A．B．
C．D．
15．（2024•定西模拟）已知函数，，则
A．当有2个零点时，只有1个零点
B．当有3个零点时，只有1个零点
C．当有2个零点时，有2个零点
D．当有2个零点时，有4个零点
三．填空题（共5小题）
16．（2024•广东模拟）已知函数的最小值为，则 ．
17．（2024•湖北模拟）已知函数，则关于的不等式的解集为 ．
18．（2024•湖北模拟）关于的方程有实根，则的最小值为 ．
19．（2024•浦东新区校级四模）如图所示，甲工厂位于一直线河岸的岸边处，乙工厂与甲工厂在河的同侧，且位于离河岸的处，河岸边处与处相距（其中，两家工厂要在此岸边建一个供水站，从供水站到甲工厂和乙工厂的水管费用分别为每千米元和元，供水站建在岸边距离处 才能使水管费用最省．
20．（2024•天津模拟）设，函数若函数恰有4个零点，则实数的取值范围为 ．
四．解答题（共5小题）
21．（2024•辽宁模拟）某地区未成年男性的身高（单位：与体重平均值（单位：的关系如下表
表1未成年男性的身高与体重平均值
直观分析数据的变化规律，可选择指数函数模型、二次函数模型、幂函数模型近似地描述未成年男性的身高与体重平均值之间的关系．为使函数拟合度更好，引入拟合函数和实际数据之间的误差平方和、拟合优度判断系数（如表．误差平方和越小、拟合优度判断系数越接近1，拟合度越高．
表2拟合函数对比
（1）问哪种模型是最优模型？并说明理由；
（2）若根据生物学知识，人体细胞是人体结构和生理功能的基本单位，是生长发育的基础．假设身高与骨细胞数量成正比，比例系数为；体重与肌肉细胞数量成正比，比例系数为．记时刻的未成年时期骨细胞数量，其中和分别表示人体出生时骨细胞数量和增长率，记时刻的未成年时期肌肉细胞数量，其中和分别表示人体出生时肌肉细胞数量和增长率．求体重关于身高的函数模型；
（3）在（2）的条件下，若，．当刚出生的婴儿身高为时，与（1）的模型相比较，哪种模型跟实际情况更符合，试说明理由．
注：，；婴儿体重，符合实际，婴儿体重，较符合实际，婴儿体重，不符合实际．
22．（2024•长宁区校级三模）设函数的定义域为，对于区间，，若满足以下两个性质之一，则称区间是的一个“好区间”．
性质①：对于任意，都有；性质②：对于任意，都有．
（1）已知函数，．分别判断区间，，区间，是否为的“好区间”，并说明理由；
（2）已知，若区间，是函数，的一个“好区间”，求实数的取值范围；
（3）已知函数的定义域为，其图像是一条连续的曲线，且对于任意，都有（a）（b），求证：存在“好区间”，且存在，为不属于的任意一个“好区间”．
23．（2024•北京模拟）如图，某大学将一矩形操场扩建成一个更大的矩形操场，要求在上，在上，且在上．若米，米，设米．
（1）要使矩形的面积大于2700平方米，求的取值范围；
（2）当的长度是多少时，矩形的面积最小？并求出最小面积．
24．（2024•虹口区模拟）如图，某城市小区有一个矩形休闲广场，米，广场的一角是半径为16米的扇形绿化区域，为了使小区居民能够更好的在广场休闲放松，现决定在广场上安置两排休闲椅，其中一排是穿越广场的双人靠背直排椅（宽度不计），点在线段上，并且与曲线相切；另一排为单人弧形椅沿曲线（宽度不计）摆放．已知双人靠背直排椅的造价每米为元，单人弧形椅的造价每米为元，记锐角，总造价为元．
（1）试将表示为的函数，并写出的取值范围；
（2）问当的长为多少时，能使总造价最小．
25．（2024•宝山区三模）中国剪纸是一种用剪刀或刻刀在纸上剪刻花纹，用于装点生活或配合其他民俗活动的民间艺术．在中国，剪纸具有广泛的群众基础，交融于各族人民的社会生活，是名种民俗活动的重要组成部分，传承视觉形象和造型格式，蕴涵了丰富的文化历史信息，表达了广大民众的社会认知、道德观念、实践经验、生活理想和审美情趣．现有一张矩形卡片，对角线长为为常数），从中裁出一个内接正方形纸片，使得点，分别，上，设，矩形纸片的面积为，正方形纸片的面积为．
（1）当时，求正方形纸片的边长（结果用表示）；
（2）当变化时，求的最大值及对应的值．
2025年菁优高考数学解密之函数应用
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．（2024•贵州模拟）设方程的两根为，，则
A．，B．C．D．
【答案】
【考点】函数的零点与方程根的关系
【专题】构造法；函数思想；转化思想；数学运算；函数的性质及应用
【分析】问题转化为，为的两根，构造函数，，结合零点存在定理及指数函数，对数函数的性质检验各选项即可判断．
【解答】解：因为的两根为，即为的两根，
令，，
则（1），（3），，
因为，
所以，错误；
因为，得，
由可得，
故，正确；
所以，错误；
，错误．
故选：．
【点评】本题主要考查了指数函数及对数函数在函数零点范围求解中的应用，还考查了零点存在定理的应用，属于中档题．
2．（2024•合肥模拟）常用放射性物质质量衰减一半所用的时间来描述其衰减情况，这个时间被称做半衰期，记为（单位：天），铅制容器中有甲、乙两种放射性物质，其半衰期分别为，．开始记录时，这两种物质的质量相等，512天后测量发现乙的质量为甲的质量的，则，满足的关系式为
A．
B．
C．
D．
【答案】
【考点】根据实际问题选择函数类型
【专题】函数思想；数学运算；综合法；函数的性质及应用
【分析】设开始记录时，甲乙两种物质的质量均为1，可得512天后甲，乙的质量，根据题意列出等式即可得答案．
【解答】解：设开始记录时，甲乙两种物质的质量均为1，
则512天后，甲的质量为：，乙的质量为：，
由题意可得，
所以．
故选：．
【点评】本题考查了指数函数的生活中的实际运用，考查了指数的基本运算，属于基础题．
3．（2024•长沙模拟）深度学习是人工智能的一种具有代表性的实现方法，它是以神经网络为出发点的，在神经网络优化中，指数衰减的学习率模型为，其中表示每一轮优化时使用的学习率，表示初始学习率，表示衰减系数，表示训练迭代轮数，表示衰减速度．已知某个指数衰减的学习率模型的初始学习率为0.5，衰减速度为18，且当训练迭代轮数为18时，学习率衰减为0.4，则学习率衰减到0.2以下（不含所需的训练迭代轮数至少为 （参考数据：
A．72B．74C．76D．78
【答案】
【考点】根据实际问题选择函数类型
【专题】转化思想；转化法；函数的性质及应用；数学运算
【分析】根据已知条件，先求出，令，再结合对数公式，即可求解．
【解答】解：由题意可得，，解得，
由题意可知，，即，解得．
故选：．
【点评】本题主要考查函数的实际应用，掌握对数公式是解本题的关键，属于基础题．
4．（2024•包头三模）冰箱、空调等家用电器使用了氟化物，氟化物的释放破坏了大气上层的臭氧层，使臭氧量呈指数函数型变化．当氟化物排放量维持在某种水平时，臭氧量满足关系式，其中是臭氧的初始量，是自然对数的底数，是时间，以年为单位．若按照关系式推算，经过年臭氧量还保留初始量的四分之一，则的值约为
A．584B．574年C．564年D．554年
【答案】
【考点】根据实际问题选择函数类型
【专题】综合法；函数的性质及应用；函数思想；数学运算
【分析】由题意得，解不等式即可．
【解答】解：由题意可得，，，，，．
故选：．
【点评】本题主要考查指数型函数的的应用，属于中档题．
5．（2024•上海）现定义如下：当时，若，则称为延展函数．现有，当时，与均为延展函数，则以下结论
（1）存在，；，与有无穷个交点
（2）存在，；，与有无穷个交点
A．（1）（2）都成立B．（1）（2）都不成立
C．（1）成立（2）不成立D．（1）不成立（2）成立
【答案】
【考点】函数与方程的综合运用；基本初等函数的导数
【专题】计算题；数学运算；函数的性质及应用；综合法；方程思想；数形结合
【分析】根据题意，对于①，由“延展函数”的定义，分析可得是周期为1的周期函数，结合一次函数的性质可得①错误，对于②，举出例子，可得②正确，综合可得答案．
【解答】解：根据题意，当时，与均为延展函数，
对于①，对于，，
则是周期为1的周期函数，其值域为，
因为，与不会有无穷个交点，所以（1）错；
对于②，当时，存在使得直线可以与在区间的函数部分重合，因而有无穷个交点，所以（2）正确．
故选：．
【点评】本题考查函数与方程的关系，涉及函数的图象，关键理解“延展函数”的定义，属于基础题．
6．（2024•海州区校级模拟）冬季是流行病的高发季节，大部分流行病是由病毒或细菌引起的，已知某细菌是以简单的二分裂法进行无性繁殖，在适宜的条件下分裂一次个变为2个）需要23分钟，那么适宜条件下1万个该细菌增长到1亿个该细菌大约需要（参考数据：
A．3小时B．4小时C．5小时D．6小时
【答案】
【考点】对数的运算性质；根据实际问题选择函数类型
【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解
【分析】设大约需要分钟，则，两边同时取对数，结合对数的运算性质求解．
【解答】解：设大约需要分钟，
则，
两边同时取对数得，，
所以，
所以，
所以大约需要小时．
故选：．
【点评】本题主要考查了函数的实际应用，考查了对数的运算性质，属于中档题．
7．（2024•太原模拟）已知函数，若方程恰有三个不同实数根，则实数的取值范围是
A．，，B．
C．D．
【答案】
【考点】函数的零点与方程根的关系
【专题】转化思想；数形结合法；函数的性质及应用；数学运算
【分析】作出函数的图象，方程恰有三个不同实数根，等价为与的图象有3个交点．讨论，且时，与的位置关系，结合直线和曲线相切的条件，求得，以及直线经过点，，可得的取值范围；当时，与的图象只有1个交点，可得结论．
【解答】解：作出函数的图象，如右图：
方程恰有三个不同实数根，等价为与的图象有3个交点．
，
的图象恒过定点，
当时，与相切，设切点为，，可得，且，
可化为，设，，可得，在递增，且，
则，，此时与的图象有2个交点，
又的图象经过，可得，即有，
则时，与的图象有3个交点；
当时，经过点，即有，解得，
由，可得，
由与相切，可得△，解得舍去），
由图象可得，时，与的图象有3个交点；
当时，与的图象只有1个交点．
综上，可得实数的取值范围是，，．
故选：．
【点评】本题考查函数的零点和方程的关系，以及直线和曲线相切的条件，考查数形结合思想、方程思想和运算能力，属于中档题．
8．（2024•辽宁二模）已知函数，，的零点分别为，，，则
A．B．C．D．
【答案】
【考点】对数函数的图象；函数零点的判定定理；函数的零点
【专题】函数的性质及应用；综合法；逻辑推理；数形结合
【分析】由三个函数的零点可以转化为求函数与函数，， 的交点，再通过数形结合得到，，的大小关系．
【解答】解：令，则，
令，则，
令，可得，
如图所示：可得．
故选：．
【点评】本题主要考查函数的零点问题，考查对数函数和指数函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力，属于基础题．
9．（2024•宁夏四模）保护环境功在当代，利在千秋，良好的生态环境既是自然财富，也是经济财富，关系社会发展的潜力和后劲．某工厂将生产产生的废气经过过滤后排放，已知过滤过程中的污染物的残留数量（单位：毫米升）与过滤时间（单位：小时）之间的函数关系为，其中为常数，，为原污染物数量．该工厂某次过滤废气时，若前9个小时废气中的污染物恰好被过滤掉，那么再继续过滤3小时，废气中污染物的残留量约为原污染物的 参考数据：．
A．B．C．D．
【答案】
【考点】根据实际问题选择函数类型
【专题】运算求解；综合法；函数的性质及应用；函数思想
【分析】根据题意可得，解得，从而求得关于残留数量与过滤时间的函数关系式，再将代入即可求得答案．
【解答】解：因为前9个小时废气中的污染物恰好被过滤掉，
所以，即，所以，
再继续过滤3小时，废气中污染物的残留量约为，
所以废气中污染物的残留量约为原污染物的．
故选：．
【点评】本题考查了指数的基本运算，也考查了函数在生活中的实际运用，属于中档题．
10．（2024•西安模拟）已知函数为偶函数，满足，且时，，若关于的方程至少有两解，则的取值范围为
A．B．C．D．
【答案】
【考点】函数的奇偶性；函数的零点与方程根的关系
【专题】数学运算；函数的性质及应用；综合法；转化思想；数形结合法；函数思想
【分析】根据函数的对称性与周期性，数形结合可得函数交点情况，进而确定方程解的情况．
【解答】解：由已知，则，
所以函数为周期函数，最小正周期4，
又当时，，单调递减，过定点，
可知函数的图象如图所示，且的值域为，，
关于的方程至少有两解，
可得函数与函数的图象至少有两个交点，
如图所示：
可知当时，，解得，即，，
当时，，解得，即，，
综上所述，，．
故选：．
【点评】本题考查了函数的零点、转化思想、数形结合思想，考查了对数函数、指数函数的性质，属于中档题．
二．多选题（共5小题）
11．（2024•广东模拟）已知函数，则正确的是
A．的定义域为B．是非奇非偶函数
C．函数的零点为0D．当时，的最大值为
【答案】
【考点】函数的零点；函数的奇偶性；基本不等式及其应用；函数的定义域及其求法
【专题】综合法；函数的性质及应用；数学运算；不等式；计算题；转化思想
【分析】根据函数解析式有意义，列式求出的定义域，从而判断出项的正误；由函数奇偶性的定义，判断出的奇偶性，从而判断出项的正误；求出方程的根，从而判断出项的正误；当时，利用基本不等式求出的最大值，从而判断出项的正误．
【解答】解：对于，函数的自变量满足，解得，故的定义域为，可知项正确；
对于，因为，，所以为奇函数，故项不正确；
对于，，可知的根为，
即函数的零点为，故项不正确；
对于，当时，，当且仅当时，即时，取等号，
所以当时，最大值为（3），故项正确．
故选：．
【点评】本题主要考查函数的定义域与奇偶性、函数零点的求法、利用基本不等式求最值等知识，属于中档题．
12．（2024•袁州区校级模拟）已知函数，，则
A．若有2个不同的零点，则
B．当时，有5个不同的零点
C．若有4个不同的零点，，，，则的取值范围是
D．若有4个不同的零点，，，，则的取值范围是
【答案】
【考点】函数的零点与方程根的关系
【专题】直观想象；函数思想；数形结合法；综合法；函数的性质及应用；数学运算
【分析】作出的图象，由有2个不同的零点，结合图象，可判断；
由，令，得到，求得，结合图象，可判断；
由对数的运算性质，求得，结合二次函数的对称性得到，进而判断正确；
由，结合对勾函数的性质，可判定正确．
【解答】解：由函数，可得，
作出的图象，如图所示：
对于中，由，可得，若有2个不同的零点，
结合图象知或，所以错误；
对于中，当时，由，可得，
令，则有，
可得，
结合图象知，有3个不等实根，有2个不等实根，没有实根，
所以有5个不同的零点，所以正确；
对于中，若有4个不同的零点，，，，
则，且，则，
由二次函数的对称性得，则，
结合知，
所以，，
所以的取值范围为，所以正确；
对于中，由，其中，
由对勾函数的性质，可得在上为单调递减函数，
可得，
所以的取值范围为，所以正确．
故选：．
【点评】本题考查了二次函数、对数函数、对勾函数的性质，考查了数形结合思想，属于中档题．
13．（2024•吉安模拟）已知函数，则
A．的图象关于点对称
B．的值域为，
C．若方程在上有6个不同的实根，则实数的取值范围是
D．若方程在上有6个不同的实根，2，，，则的取值范围是
【答案】
【考点】函数与方程的综合运用
【专题】对应思想；分类讨论；数学运算；三角函数的图象与性质；直观想象；综合法
【分析】对于，判断是否成立，即可判断；
对于，分、去绝对值，即可判断；
对于，分、求解即可；
对于，由题意可得或，有4个不同的实根，有2个不同的实根，列出不等式组，可得的范围，再结合三角函数的对称性求解即可．
【解答】解：因为，
所以，
所以的图象不关于点对称，错误；
当时，
所以，
当时，，
所以，
综上得，正确；
当时，由，得；
当时，由，得，
所以方程在上的前7个实根分别为，
所以，正确；
由，
即，
或，
得或，
所以有4个不同的实根，
有2个不同的实根，
所以，
所以，
设，
则，，
所以，
所以 的取值范围是，错误．
故选：．
【点评】本题考查了三角函数的性质，考查了分类讨论思想，属于中档题．
14．（2024•怀化二模）已知函数的零点为，的零点为，则
A．B．
C．D．
【答案】
【考点】函数零点的判定定理
【专题】数形结合；转化思想；综合法；函数的性质及应用；数学运算
【分析】函数的零点转化为函数图象交点的横坐标，作函数、函数、函数的图象，根据图象特征依次判断即可．
【解答】解：函数的零点为，的零点为，
函数与函数图象的交点的横坐标为，
函数与函数图象的交点的横坐标为，
作函数、函数、函数的图象如下，
故点的横坐标为，点的横坐标为，
函数与函数的图象关于直线对称，
函数的图象关于直线对称，
点、关于直线对称，
又点、在直线上，
点、关于原点对称，
，
故选项错误；
易知，
故选项正确；
， ，，
，
即选项正确；
易知，，
，
即，
故选项错误．
故选：．
【点评】本题考查了函数的零点与函数图象交点的关系应用，应用了数形结合的思想，属于中档题．
15．（2024•定西模拟）已知函数，，则
A．当有2个零点时，只有1个零点
B．当有3个零点时，只有1个零点
C．当有2个零点时，有2个零点
D．当有2个零点时，有4个零点
【答案】
【考点】函数的零点与方程根的关系；函数零点的判定定理
【专题】综合题；数形结合；逻辑推理；综合法；函数的性质及应用
【分析】做出函数的大致图象，问题转化为与这两个函数图象交点的个数问题．
【解答】解：分别令函数，，
即，，它们的根为分别与和交点的横坐标，
作出和的大致图象，如图所示：
由图可知，当有2个零点时，无零点或只有1个零点，错误；
当有3个零点时，只有1个零点，正确；
当有2个零点时，有4个零点，错误，正确．
故选：．
【点评】本题考查函数的零点个数的判断，考查直观想象与逻辑推理的核心素养，属于中档题．
三．填空题（共5小题）
16．（2024•广东模拟）已知函数的最小值为，则 2 ．
【考点】函数的最值；分段函数的应用
【专题】分类讨论；函数思想；综合法；函数的性质及应用；直观想象；运算求解
【分析】由题意可知当时，，从而得当时，有最小值，结合二次函数的性质求解即可．
【解答】解：因为当时，，
易知此时，，且在，上单调递减，
又因为函数的最小值为，
所以当时，有最小值，
令，则有，，
当，即时，
由二次函数的性质可知，函数在上单调递减，不能取到最小值；
当，即时，
由二次函数的性质可知，函数在上单调递减，在，上单调递增，
所以，
解得，
又因为，所以．
故答案为：2．
【点评】本题考查了幂函数的性质、二次函数的性质，考查了分类讨论思想，属于中档题．
17．（2024•湖北模拟）已知函数，则关于的不等式的解集为 ， ．
【答案】，．
【考点】其他不等式的解法；分段函数的应用
【专题】分类讨论；综合法；函数的性质及应用；运算求解
【分析】根据分段函数的性质及对数函数的单调性解不等式可得结果．
【解答】解：当时，，；
当时，，，
，
综上：的解集为，．
故答案为：，．
【点评】本题考查分段函数的性质，不等式的求解，分类讨论思想，属基础题．
18．（2024•湖北模拟）关于的方程有实根，则的最小值为 ．
【答案】．
【考点】函数的零点与方程根的关系；基本不等式及其应用
【专题】直线与圆；导数的综合应用；方程思想；直观想象；数学运算；转化思想；综合法
【分析】将方程转化为求直线上的点与坐标原点之间的距离的最小值，利用点到线的距离，结合函数的单调性即可求得答案．
【解答】解：设方程的实根为，
则，
点是直线上任意一点，
，
设，，
则，
令，得，
令，得
所以在单调递减，在单调递增，
从而（1），的最小值为．
故答案为：．
【点评】本题考查了转化思想、导数的综合运用及点到线的距离公式，属于中档题．
19．（2024•浦东新区校级四模）如图所示，甲工厂位于一直线河岸的岸边处，乙工厂与甲工厂在河的同侧，且位于离河岸的处，河岸边处与处相距（其中，两家工厂要在此岸边建一个供水站，从供水站到甲工厂和乙工厂的水管费用分别为每千米元和元，供水站建在岸边距离处 20 才能使水管费用最省．
【答案】20．
【考点】根据实际问题选择函数类型
【专题】数形结合法；导数的综合应用；函数思想；直观想象；函数的性质及应用；综合法；数学运算
【分析】根据题意建立数学模型，通过适当设定变元，构造相应的函数关系，通过求导，求出最值，可确定供水站的位置．
【解答】解：根据题意可知点在线段上某一适当位置时，才能使总运费最省，
设点距点，则，，
，
又设总的水管费用为元，
由题意得，
令，解得，
在上，只有一个极值点，
根据实际意义，函数在处取得最小值，
此时，
故供水站建在岸边、之间距甲厂处，能使铺设水管的费用最省．
故答案为：20．
【点评】本题考查了函数在生活中的实际运用，导数的综合运用，属于中档题．
20．（2024•天津模拟）设，函数若函数恰有4个零点，则实数的取值范围为 ，， ．
【答案】，，．
【考点】函数的零点与方程根的关系
【专题】综合法；函数的性质及应用；综合题；函数思想；数学运算
【分析】对实数的取值进行分类讨论，分别画出不同取值情况的的函数图象，函数恰有4个零点，说明的图象与的图象有四个交点，通过斜率的变化即可确定实数的取值范围．
【解答】解：因为函数恰有4个零点，
所以的图象与的图象有四个交点，
当时，如图所示，
的图象与的图象仅有两个交点，与题意不符；
当时，如图所示，
在，上，当与相切时，
联立，得，
则△，得（舍去，
由图可知，当时，与在有一个交点，在有两个交点，与题意不符，
所以当时，与在无交点，在有两个交点，与题意不符，
当时，与在无交点，在有三个交点，与题意不符，
当时，与在无交点，在有四个交点，符合题意；
当时，如图所示，
在，上，当与相切时，
联立，得，
则△，得（舍去，
由图可知，当时，与在有两个交点，在有四个交点，与题意不符，
当时，与在有两个交点，在有三个交点，与题意不符，
当时，与在有两个交点，在有两个交点，符合题意，
当时，与在有一个交点，在有两个交点，与题意不符．
综上所述，，，．
故答案为：，，．
【点评】本题主要考查函数的零点与方程根的关系，属于难题．
四．解答题（共5小题）
21．（2024•辽宁模拟）某地区未成年男性的身高（单位：与体重平均值（单位：的关系如下表
表1未成年男性的身高与体重平均值
直观分析数据的变化规律，可选择指数函数模型、二次函数模型、幂函数模型近似地描述未成年男性的身高与体重平均值之间的关系．为使函数拟合度更好，引入拟合函数和实际数据之间的误差平方和、拟合优度判断系数（如表．误差平方和越小、拟合优度判断系数越接近1，拟合度越高．
表2拟合函数对比
（1）问哪种模型是最优模型？并说明理由；
（2）若根据生物学知识，人体细胞是人体结构和生理功能的基本单位，是生长发育的基础．假设身高与骨细胞数量成正比，比例系数为；体重与肌肉细胞数量成正比，比例系数为．记时刻的未成年时期骨细胞数量，其中和分别表示人体出生时骨细胞数量和增长率，记时刻的未成年时期肌肉细胞数量，其中和分别表示人体出生时肌肉细胞数量和增长率．求体重关于身高的函数模型；
（3）在（2）的条件下，若，．当刚出生的婴儿身高为时，与（1）的模型相比较，哪种模型跟实际情况更符合，试说明理由．
注：，；婴儿体重，符合实际，婴儿体重，较符合实际，婴儿体重，不符合实际．
【答案】（1）指数函数模型是最优模型；理由见解析；
（2）；
（3）（2）中幂函数模型更适合，理由见解析．
【考点】根据实际问题选择函数类型
【专题】计算题；数学运算；函数的性质及应用；综合法；函数思想
【分析】（1）由表中数据比较指数函数模型误差平方和以及的大小，即得结论；
（2）根据身高与骨细胞数量以及体重与肌肉细胞数量的关系，结合已知数据，即可求得答案；
（3）分别计算出两种模型函数下的婴儿体重，比较大小，即得结论．
【解答】解：（1）因为，所以指数函数模型误差平方和最小，
因为，所以指数函数模型最大，
所以指数函数模型是最优模型；
（2）因为，所以，
因为，
所以，所以，
所以体重关于身高的函数模型为；
（3）把代入，得，不符合实际，
把，代入得，
把代入，得，符合实际，
所以（2）中幂函数模型更适合．
【点评】本题主要考查根据实际问题选择函数类型，考查运算求解能力，属于中档题．
22．（2024•长宁区校级三模）设函数的定义域为，对于区间，，若满足以下两个性质之一，则称区间是的一个“好区间”．
性质①：对于任意，都有；性质②：对于任意，都有．
（1）已知函数，．分别判断区间，，区间，是否为的“好区间”，并说明理由；
（2）已知，若区间，是函数，的一个“好区间”，求实数的取值范围；
（3）已知函数的定义域为，其图像是一条连续的曲线，且对于任意，都有（a）（b），求证：存在“好区间”，且存在，为不属于的任意一个“好区间”．
【答案】（1），是，，不是；
（2）；
（3）证明见解析．
【考点】函数与方程的综合运用
【专题】函数的性质及应用；综合法；函数思想；导数的综合应用；分类讨论；逻辑推理；直观想象；数学运算
【分析】（1）由“好区间”的定义判断即可；
（2）利用导数求出函数的单调区间及极值，根据“好区间”的定义可判断出上满足性质②，再由，，，求解即可；
（3）由题意可得在任意区间，上对应的函数值区间长度必大于，从而可得在任意区间，上都不满足性质①，且在上单调递减，即有即存在，分，，证明即可．
【解答】解：（1），
当，时，，，满足性质①，
所以，是的“好区间”；
当，时，，，
既不满足性质①，也不满足性质②，
所以，不是的“好区间”；
（2），
若在区间，上满足性质①，则，，，
而，，，
所以在区间，上不满足性质①
若在区间上满足性质②，
当时，（3），
所以，，，
当时，因为（3），所以不符合；
综上所述，实数的取值范围是；
（3）证明：因为任意，都有（a）（b）．
所以在任意区间，上对应的函数值区间长度必大于，
即在任意区间，上都不满足性质①，
因为对于任意，都有（a）（b），
所以在上单调递减，
所以不恒成立，即存在，
若，
取，则（a）（b），
在区间，上对应函数值的区间（b），（a），
（b），（a），，
所以，是一个“好区间”；
若，
取，
则（b）（a），
在区间，上对应函数值的区间（b），（a），
（b），（a），，
，是一个“好区间”；
所以存在“好区间”；
记，
因为在上单调递减，所以在上单调递减；
又图像是一条连续的曲线，
所以图像也是一条连续的曲线，
先证明有零点，
设，
若，则有零点为，
若，则，，，在区间上有零点；
若，则，，，在区间上有零点；
所以必有零点，记为，
即的“好区间” 都满足性质②，
所以不属于任意一个“好区间”．
【点评】本题属于新概念题，考查了导数的综合应用、分类讨论思想，理解定义是关键，属于中档题．
23．（2024•北京模拟）如图，某大学将一矩形操场扩建成一个更大的矩形操场，要求在上，在上，且在上．若米，米，设米．
（1）要使矩形的面积大于2700平方米，求的取值范围；
（2）当的长度是多少时，矩形的面积最小？并求出最小面积．
【答案】（1）或；
（2）当的长度为40米时，矩形的面积最小为2400平方米．
【考点】基本不等式及其应用；根据实际问题选择函数类型
【专题】函数的性质及应用；综合法；整体思想；数学运算；不等式
【分析】（1）因为，，所以，然后求解即可；
（2）由（1）知，得解．
【解答】解：（1）因为，，
所以，
又，
所以，
即，
所以，
所以，
即，
又，
则或，
即的取值范围是或；
（2）由（1）知，
当且仅当，即时等号成立，
故当的长度为40米时，矩形的面积最小为2400平方米．
【点评】本题考查了基本不等式的应用，重点考查了阅读理解能力，属中档题．
24．（2024•虹口区模拟）如图，某城市小区有一个矩形休闲广场，米，广场的一角是半径为16米的扇形绿化区域，为了使小区居民能够更好的在广场休闲放松，现决定在广场上安置两排休闲椅，其中一排是穿越广场的双人靠背直排椅（宽度不计），点在线段上，并且与曲线相切；另一排为单人弧形椅沿曲线（宽度不计）摆放．已知双人靠背直排椅的造价每米为元，单人弧形椅的造价每米为元，记锐角，总造价为元．
（1）试将表示为的函数，并写出的取值范围；
（2）问当的长为多少时，能使总造价最小．
【答案】（1）；
（2）米．
【考点】利用导数研究函数的最值；根据实际问题选择函数类型
【专题】整体思想；导数的综合应用；数学运算；综合法；计算题
【分析】（1）总造价由两部分组成，根据弧长公式可求得，而切线长需构造直角三角形或借助坐标求解，最后由线段长为正，可得的取值范围；
（2）利用导数求函数最值，先求导数，确定导函数零点，分析函数单调性，确定极值点，即最值点即可得答案．
【解答】（1）解：过作的垂线，垂足为，过作的垂线，垂足为，
在中，，则，
在中，，则，
由题意易得，
所以，；
（2），令，得，又，所以，
所以当时，，单调递减；当时，，单调递增，
所以当时，总造价最小，最小值为，此时，
所以当米时，能使总造价最小．
【点评】本题考查了三角函数在实际生活中的应用，属于中档题．
25．（2024•宝山区三模）中国剪纸是一种用剪刀或刻刀在纸上剪刻花纹，用于装点生活或配合其他民俗活动的民间艺术．在中国，剪纸具有广泛的群众基础，交融于各族人民的社会生活，是名种民俗活动的重要组成部分，传承视觉形象和造型格式，蕴涵了丰富的文化历史信息，表达了广大民众的社会认知、道德观念、实践经验、生活理想和审美情趣．现有一张矩形卡片，对角线长为为常数），从中裁出一个内接正方形纸片，使得点，分别，上，设，矩形纸片的面积为，正方形纸片的面积为．
（1）当时，求正方形纸片的边长（结果用表示）；
（2）当变化时，求的最大值及对应的值．
【答案】（1）；
（2），．
【考点】根据实际问题选择函数类型
【专题】转化法；函数的性质及应用；数学运算；转化思想
【分析】（1）设正方形的边长为，则，，计算得到，代入数据计算得到答案．
（2）确定，，计算，根据函数的单调性计算最值得到答案．
【解答】解：（1）设正方形的边长为，则，，
则，，，即，
整理得到，
当时，．
（2），，，则，，，
则，
令，
在，上单调递减，故，
故的最大值为，此时，，故．
【点评】本题主要考查函数的实际应用，考查转化能力，属于中档题．
考点卡片
1．基本不等式及其应用
【知识点的认识】
基本不等式主要应用于求某些函数的最值及证明不等式．其可表述为：两个正实数的几何平均数小于或等于它们的算术平均数．公式为：≥（a≥0，b≥0），变形为ab≤（）2或者a+b≥2．常常用于求最值和值域．
实例解析
例1：下列结论中，错用基本不等式做依据的是．
A：a，b均为负数，则．B：．C：．D：．
解：根据均值不等式解题必须满足三个基本条件：“一正，二定、三相等”可知A、B、D均满足条件．
对于C选项中sinx≠±2，
不满足“相等”的条件，
再者sinx可以取到负值．
故选：C．
A选项告诉我们正数的要求是整个式子为正数，而不是式子当中的某一个组成元素；B分子其实可以写成x2+1+1，然后除以分母就可换成基本不等式．这个例题告诉我们对于一个式子也是可以用基本不等式的，而且求最值也很方便．
例2：利用基本不等式求的最值？当0＜x＜1时，如何求的最大值．
解：当x＝0时，y＝0，
当x≠0时，＝，
用基本不等式
若x＞0时，0＜y≤，
若x＜0时，﹣≤y＜0，
综上得，可以得出﹣≤y≤，
∴的最值是﹣与．
这是基本不等式在函数中的应用，他的解题思路是首先判断元素是否大于0，没有明确表示的话就需要讨论；然后把他化成基本不等式的形式，也就是化成两个元素（函数）相加，而他们的特点是相乘后为常数；最后套用基本不等式定理直接求的结果．
【解题方法点拨】
基本不等式的应用
1、求最值
例1：求下列函数的值域．
2、利用基本不等式证明不等式
3、基本不等式与恒成立问题
4、均值定理在比较大小中的应用
【命题方向】
技巧一：凑项
点评：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值．
技巧二：凑系数
例2：当0＜x＜4时，求y＝x（8﹣2x）的最大值．
解析：由0＜x＜4知，8﹣2x＞0，利用基本不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两个式子积的形式，但其和不是定值．注意到2x+（8﹣2x）＝8为定值，故只需将y＝x（8﹣2x）凑上一个系数即可．
y＝x（8﹣2x）＝[2x•（8﹣2x）]≤（）2＝8
当2x＝8﹣2x，即x＝2时取等号，当x＝2时，y＝x（8﹣x2）的最大值为8．
评注：本题无法直接运用基本不等式求解，但凑系数后可得到和为定值，从而可利用基本不等式求最大值．
技巧三：分离
例3：求y＝的值域．
解：本题看似无法运用基本不等式，不妨将分子配方凑出含有（x+1）的项，再将其分离．
y＝＝＝（x+1）++5，
当x＞﹣1，即x+1＞0时，y≥2+5＝9（当且仅当x＝1时取“＝”号）
技巧四：换元
对于上面例3，可先换元，令t＝x+1，化简原式在分离求最值．
技巧五：结合函数f（x）＝x+的单调性．
技巧六：整体代换
点评：多次连用最值定理求最值时，要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错．
技巧七：取平方
点评：本题将解析式两边平方构造出“和为定值”，为利用基本不等式创造了条件．
总之，我们利用基本不等式求最值时，一定要注意“一正二定三相等”，同时还要注意一些变形技巧，积极创造条件利用基本不等式．
2．其他不等式的解法
【知识点的认识】
指、对数不等式的解法其实最主要的就是两点，第一点是判断指、对数的单调性，第二点就是学会指数和指数，对数和对数之间的运算，下面以例题为讲解．
【解题方法点拨】
例1：已知函数f（x）＝ex﹣1（e是自然对数的底数）．证明：对任意的实数x，不等式f（x）≥x恒成立．
解：（I）设h（x）＝f（x）﹣x＝ex﹣1﹣x
∴h'（x）＝ex﹣1﹣1，
当x＞1时，h'（x）＞0，h（x）为增，
当x＜1时，h'（x）＜0，h（x）为减，
当x＝1时，h（x）取最小值h（1）＝0．
∴h（x）≥h（1）＝0，即f（x）≥x．
这里面是一个综合题，解题的思路主要还是判断函数的单调性，尤其是指数函数的单调性，考查的重点其实是大家的计算能力．
例2：已知函数f（x）＝lga（x﹣1），g（x）＝lga（3﹣x）（a＞0且a≠1），利用对数函数的单调性，讨论不等式f（x）≥g（x）中x的取值范围．
解：∵不等式f（x）≥g（x），即 lga（x﹣1）≥lga（3﹣x），
∴当a＞1时，有，解得 2＜x＜3．
当1＞a＞0时，有，解得 1＜x＜2．
综上可得，当a＞1时，不等式f（x）≥g（x）中x的取值范围为（2，3）；
当1＞a＞0时，不等式f（x）≥g（x）中x的取值范围为（1，2）．
这个题考查的就是对数函数不等式的求解，可以看出主要还是求单调性，当然也可以右边移到左边，然后变成一个对数函数来求解也可以．
【命题方向】
本考点其实主要是学会判断各函数的单调性，然后重点考察学生的运算能力，也是一个比较重要的考点，希望大家好好学习．
3．函数的定义域及其求法
【知识点的认识】函数的定义域就是使函数有意义的自变量的取值范围．
求解函数定义域的常规方法：①分母不等于零；
②根式（开偶次方）被开方式≥0；
③对数的真数大于零，以及对数底数大于零且不等于1；
④指数为零时，底数不为零．
⑤实际问题中函数的定义域；
【解题方法点拨】
求函数定义域，一般归结为解不等式组或混合组．（1）当函数是由解析式给出时，其定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合．（2）当函数是由实际问题给出时，其定义域的确定不仅要考虑解析式有意义，还要有实际意义（如长度、面积必须大于零、人数必须为自然数等）．（3）若一函数解析式是由几个函数经四则运算得到的，则函数定义域应是同时使这几个函数有意义的不等式组的解集．若函数定义域为空集，则函数不存在．（4）抽象函数的定义域：①对在同一对应法则f 下的量“x”“x+a”“x﹣a”所要满足的范围是一样的；②函数g（x）中的自变量是x，所以求g（x）的定义域应求g（x）中的x的范围．
【命题方向】高考会考中多以小题形式出现，也可以是大题中的一小题．
4．函数的最值
【知识点的认识】
函数最大值或最小值是函数的整体性质，从图象上看，函数的最大值或最小值是图象最高点或最低点的纵坐标，求函数的最值一般是先求出极值在求出端点的值，然后进行比较可得．
【解题方法点拨】
①基本不等式法：如当x＞0时，求2x+的最小值，有2x+≥2＝8；
②转化法：如求|x﹣5|+|x﹣3|的最小值，那么可以看成是数轴上的点到x＝5和x＝3的距离之和，易知最小值为2；
③求导法：通过求导判断函数的单调性进而求出极值，再结合端点的值最后进行比较．
【命题方向】
本知识点是常考点，重要性不言而喻，而且通常是以大题的形式出现，所以务必引起重视．本知识 点未来将仍然以复合函数为基础，添加若干个参数，然后求函数的定义域、参数范围或者满足一些特定要求的自变量或者参数的范围．常用方法有分离参变量法、多次求导法等．
5．函数的奇偶性
【知识点的认识】
①如果函数f（x）的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个x，都有f（﹣x）＝﹣f（x），那么函数f（x）就叫做奇函数，其图象特点是关于（0，0）对称．②如果函数f（x）的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个x，都有f（﹣x）＝f（x），那么函数f（x）就叫做偶函数，其图象特点是关于y轴对称．
【解题方法点拨】
①奇函数：如果函数定义域包括原点，那么运用f（0）＝0解相关的未知量；
②奇函数：若定义域不包括原点，那么运用f（x）＝﹣f（﹣x）解相关参数；
③偶函数：在定义域内一般是用f（x）＝f（﹣x）这个去求解；
④对于奇函数，定义域关于原点对称的部分其单调性一致，而偶函数的单调性相反．
例题：函数y＝x|x|+px，x∈R是（ ）
A．偶函数 B．奇函数 C．非奇非偶 D．与p有关
解：由题设知f（x）的定义域为R，关于原点对称．
因为f（﹣x）＝﹣x|﹣x|﹣px＝﹣x|x|﹣px＝﹣f（x），
所以f（x）是奇函数．
故选B．
【命题方向】
函数奇偶性的应用．
本知识点是高考的高频率考点，大家要熟悉就函数的性质，最好是结合其图象一起分析，确保答题的正确率．
6．对数的运算性质
【知识点的认识】
对数的性质：①＝N；②lgaaN＝N（a＞0且a≠1）．
lga（MN）＝lgaM+lgaN； lga＝lgaM﹣lgaN；
lgaMn＝nlgaM； lga＝lgaM．
7．对数函数的图象
【知识点的认识】
8．函数的零点
【知识点的认识】
一般地，对于函数y＝f（x）（x∈R），我们把方程f（x）＝0的实数根x叫作函数y＝f（x）（x∈D）的零点．即函数的零点就是使函数值为0的自变量的值．函数的零点不是一个点，而是一个实数．
【解题方法点拨】
解法﹣﹣二分法
①确定区间[a，b]，验证f（a）*f（b）＜0，给定精确度； ②求区间（a，b）的中点x1；③计算f（x1）；
④若f（x1）＝0，则x1就是函数的零点； ⑤若f（a）f（x1）＜0，则令b＝x1（此时零点x0∈（a，x1））；⑥若f（x1）f（b）＜0，则令a＝x1．（此时零点x0∈（x1，b） ⑦判断是否满足条件，否则重复（2）～（4）
【命题方向】
零点其实并没有多高深，简单的说，就是某个函数的零点其实就是这个函数与x轴的交点的横坐标，另外如果在（a，b）连续的函数满足f（a）•f（b）＜0，则（a，b）至少有一个零点．这个考点属于了解性的，知道它的概念就行了．
9．函数零点的判定定理
【知识点的认识】
1、函数零点存在性定理：
一般地，如果函数y＝f（x）在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f（a）•f（b）＜0，那么函数y＝f（x）在区间（a，b）内有零点，即存在c∈（a，b），使得f（c）＝O，这个c也就是f（x）＝0的根．
特别提醒：
（1）根据该定理，能确定f（x）在（a，b）内有零点，但零点不一定唯一．
（2）并不是所有的零点都可以用该定理来确定，也可以说不满足该定理的条件，并不能说明函数在（a，b）上没有零点，例如，函数f（x）＝x2﹣3x+2有f（0）•f（3）＞0，但函数f（x）在区间（0，3）上有两个零点．
（3）若f（x）在[a，b]上的图象是连续不断的，且是单调函数，f（a）．f（b）＜0，则f（x）在（a，b）上有唯一的零点．
【解题方法点拨】
函数零点个数的判断方法：
（1）几何法：对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数y＝f（x）的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点．
特别提醒：
①“方程的根”与“函数的零点”尽管有密切联系，但不能混为一谈，如方程x2﹣2x+1＝0在[0，2]上有两个等根，而函数f（x）＝x2﹣2x+1在[0，2]上只有一个零点；
②函数的零点是实数而不是数轴上的点．
（2）代数法：求方程f（x）＝0的实数根．
10．函数的零点与方程根的关系
【知识点的认识】
函数的零点表示的是函数与x轴的交点，方程的根表示的是方程的解，他们的含义是不一样的．但是，他们的解法其实质是一样的．
【解题方法点拨】
求方程的根就是解方程，把所有的解求出来，一般要求的是二次函数或者方程组，这里不多讲了．我们重点来探讨一下函数零点的求法（配方法）．
例题：求函数f（x）＝x4+5x3﹣27x2﹣101x﹣70的零点．
解：∵f（x）＝x4+5x3﹣27x2﹣101x﹣70
＝（x﹣5）•（x+7）•（x+2）•（x+1）
∴函数f（x）＝x4+5x3﹣27x2﹣101x﹣70的零点是：5、﹣7、﹣2、﹣1．
通过这个题，我们发现求函数的零点常用的方法就是配方法，把他配成若干个一次函数的乘积或者是二次函数的乘积，最后把它转化为求基本函数的零点或者说求基本函数等于0时的解即可．
【命题方向】
直接考的比较少，了解相关的概念和基本的求法即可．
11．函数与方程的综合运用
【知识点的认识】
函数与方程的综合运用是指结合函数的性质和方程的解法解决复杂问题．
【解题方法点拨】
﹣函数性质：分析函数的定义域、值域、单调性、对称性等性质．
﹣方程求解：利用函数性质建立方程，求解方程根．
﹣综合应用：将函数性质和方程求解结合，解决实际问题．
【命题方向】
常见题型包括函数性质和方程解法的综合运用，解决复杂的数学问题．
12．分段函数的应用
【知识点的认识】
分段函数顾名思义指的是一个函数在不同的定义域内的函数表达式不一样，有些甚至不是连续的．这个在现实当中是很常见的，比如说水的阶梯价，购物的时候买的商品的量不同，商品的单价也不同等等，这里面都涉及到分段函数．
【解题方法点拨】
正如前面多言，分段函数与我们的实际联系比较紧密，那么在高考题中也时常会以应用题的形式出现．下面我们通过例题来分析一下分段函数的解法．
例：市政府为招商引资，决定对外资企业第一年产品免税．某外资厂该年A型产品出厂价为每件60元，年销售量为11.8万件．第二年，当地政府开始对该商品征收税率为p%（0＜p＜100，即销售100元要征收p元）的税收，于是该产品的出厂价上升为每件元，预计年销售量将减少p万件．
（Ⅰ）将第二年政府对该商品征收的税收y（万元）表示成p的函数，并指出这个函数的定义域；
（Ⅱ）要使第二年该厂的税收不少于16万元，则税率p%的范围是多少？
（Ⅲ）在第二年该厂的税收不少于16万元的前提下，要让厂家获得最大销售金额，则p应为多少？
解：（Ⅰ）依题意，第二年该商品年销售量为（11.8﹣p）万件，
年销售收入为（11.8﹣p）万元，
政府对该商品征收的税收y＝（11.8﹣p）p%（万元）
故所求函数为y＝（11.8﹣p）p
由11.8﹣p＞0及p＞0得定义域为0＜p＜11.8…（4分）
（II）由y≥16得（11.8﹣p）p≥16
化简得p2﹣12p+20≤0，即（p﹣2）（p﹣10）≤0，解得2≤p≤10．
故当税率在[0.02，0.1]内时，税收不少于16万元．…（9分）
（III）第二年，当税收不少于16万元时，
厂家的销售收入为g（p）＝（11.8﹣p）（2≤p≤10）
∵在[2，10]是减函数
∴g（p）max＝g（2）＝800（万元）
故当税率为2%时，厂家销售金额最大．
这个典型的例题当中，我们发现分段函数首先还是要有函数的功底，要有一定的建模能力，这个与分不分段其实无关．我们重点看看分段函数要注意的地方．第一，要明确函数的定义域和其相对的函数表达式；第二注意求的是整个一大段的定义域内的值域还是分段函数某段内部的值；第三，注意累加的情况和仅仅某段函数的讨论．
【命题方向】
修炼自己的内功，其实分不分段影响不大，审清题就可以了，另外，最好画个图来解答．
13．根据实际问题选择函数类型
【知识点的认识】
1．实际问题的函数刻画
在现实世界里，事物之间存在着广泛的联系，许多联系可以用函数刻画．用函数的观点看实际问题，是学习函数的重要内容．
2．用函数模型解决实际问题
（1）数据拟合：
通过一些数据寻求事物规律，往往是通过绘出这些数据在直角坐标系中的点，观察这些点的整体特征，看它们接近我们熟悉的哪一种函数图象，选定函数形式后，将一些数据代入这个函数的一般表达式，求出具体的函数表达式，再做必要的检验，基本符合实际，就可以确定这个函数基本反映了事物规律，这种方法称为数据拟合．
（2）常用到的五种函数模型：
①直线模型：一次函数模型y＝kx+b（k≠0），图象增长特点是直线式上升（x的系数k＞0），通过图象可以直观地认识它，特例是正比例函数模型y＝kx（k＞0）．
②反比例函数模型：y＝（k＞0）型，增长特点是y随x的增大而减小．
③指数函数模型：y＝a•bx+c（b＞0，且b≠1，a≠0），其增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越快（底数b＞1，a＞0），常形象地称为指数爆炸．
④对数函数模型，即y＝mlg ax+n（a＞0，a≠1，m≠0）型，增长特点是随着自变量的增大，函数值增大越来越慢（底数a＞1，m＞0）．
⑤幂函数模型，即y＝a•xn+b（a≠0）型，其中最常见的是二次函数模型：y＝ax2+bx+c（a≠0），其特点是随着自变量的增大，函数值先减小后增大（a＞0）．
在以上几种函数模型的选择与建立时，要注意函数图象的直观运用，分析图象特点，分析变量x的范围，同时还要与实际问题结合，如取整等．
3．函数建模
（1）定义：用数学思想、方法、知识解决实际问题的过程，叫作数学建模．
（2）过程：如下图所示．
【解题方法点拨】
用函数模型解决实际问题的常见类型及解法：
（1）解函数关系已知的应用题
①确定函数关系式y＝f（x）中的参数，求出具体的函数解析式y＝f（x）；②讨论x与y的对应关系，针对具体的函数去讨论与题目有关的问题；③给出实际问题的解，即根据在函数关系的讨论中所获得的理论参数值给出答案．
（2）解函数关系未知的应用题
①阅读理解题意
看一看可以用什么样的函数模型，初步拟定函数类型；
②抽象函数模型
在理解问题的基础上，把实际问题抽象为函数模型；
③研究函数模型的性质
根据函数模型，结合题目的要求，讨论函数模型的有关性质，获得函数模型的解；
④得出问题的结论
根据函数模型的解，结合实际问题的实际意义和题目的要求，给出实际问题的解．
【命题方向】
典例1：某公司为了实现1000万元的利润目标，准备制定一个激励销售人员的奖励方案：销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励，且奖金数额y（单位：万元）随销售利润x（单位：万元）的增加而增加，但奖金数额不超过5万元，同时奖金数额不超过利润的25%，其中模型能符合公司的要求的是（参考数据：1.003600≈6，1n7≈1.945，1n102≈2.302）（ ）
A．y＝0.025x B．y＝1.003x C．y＝l+lg7x D．y＝x2
分析：由题意，符合公司要求的模型只需满足：当x∈[10，1000]时，①函数为增函数；②函数的最大值不超过5；③y≤x•25%，然后一一验证即可．
解答：解：由题意，符合公司要求的模型只需满足：
当x∈[10，1000]时，
①函数为增函数；②函数的最大值不超过5；③y≤x•25%＝x，
A中，函数y＝0.025x，易知满足①，但当x＞200时，y＞5不满足公司要求；
B中，函数y＝1.003x，易知满足①，但当x＞600时，y＞5不满足公司要求；
C中，函数y＝l+lg7x，易知满足①，当x＝1000时，y取最大值l+lg71000＝4﹣lg7＜5，且l+lg7x≤x恒成立，故满足公司要求；
D中，函数y＝x2，易知满足①，当x＝400时，y＞5不满足公司要求；
故选C
点评：本题以实际问题为载体，考查函数模型的构建，考查方案的优化设计，解题的关键是一一验证．
典例2：某服装生产企业为了占有更多的市场份额，拟在2015年度进行一系列促销活动，经过市场调查和测算，服装的年销量x万件与年促销t万元之间满足关系式3﹣x＝（k为常数），如果不搞促销活动，服装的年销量只能是1万件．已知2015年生产服装的设备折旧，维修等固定费用需要3万元，每生产1万件服装需再投入32万元的生产费用，若将每件服装的售价定为：“每件生产成本的150%”与“平均每件促销费的一半”之和，试求：
（1）2015年的利润y（万元）关于促销费t（万元）的函数；
（2）该企业2015年的促销费投入多少万元时，企业的年利润最大？
（注：利润＝销售收入﹣生产成本﹣促销费，生产成本＝固定费用+生产费用）
分析：（1）通过x表示出年利润y，并化简整理，代入整理即可求出y万元表示为促销费t万元的函数．
（2）根据已知代入（2）的函数，分别进行化简即可用基本不等式求出最值，即促销费投入多少万元时，企业的年利润最大．
解答：解：（1）由题意：3﹣x＝，
且当t＝0时，x＝1．
所以k＝2，所以3﹣x＝，…（1分）
生产成本为32x+3，每件售价，…（2分）
所以，y＝…（3分）
＝16x﹣＝，（t≥50）；…（2分）
（2）因为当且仅当，即t＝7时取等号，…（4分）
所以y≤50﹣8＝42，…（1分）
答：促销费投入7万元时，企业的年利润最大．…（1分）
点评：本小题主要考查函数模型的选择与应用，看出基本不等式在求最值中的应用，考查学生分析问题和解决问题的能力，强调对知识的理解和熟练运用，考查转化思想的应用．
14．基本初等函数的导数
【知识点的认识】
1、基本函数的导函数
①C′＝0（C为常数）
②（xn）′＝nxn﹣1 （n∈R）
③（sinx）′＝csx
④（csx）′＝﹣sinx
⑤（ex）′＝ex
⑥（ax）′＝（ax）*lna（a＞0且a≠1）⑦[lgax）]′＝*（lgae）＝（a＞0且a≠1）⑧[lnx]′＝．
2、和差积商的导数
①[f（x）+g（x）]′＝f′（x）+g′（x）
②[f（x）﹣g（x）]′＝f′（x）﹣g′（x）
③[f（x）g（x）]′＝f′（x）g（x）+f（x）g′（x）
④[]′＝．
3、复合函数的导数
设 y＝u（t），t＝v（x），则 y′（x）＝u′（t）v′（x）＝u′[v（x）]v′（x）
【解题方法点拨】
1．由常数函数、幂函数及正、余弦函数经加、减、乘运算得到的简单的函数均可利用求导法则与导数公式求导，而不需要回到导数的定义去求此类简单函数的导数．
2．对于函数求导，一般要遵循先化简，再求导的基本原则．求导时，不但要重视求导法则的应用，而且要特别注意求导法则对求导的制约作用．在实施化简时，首先要注意化简的等价性，避免不必要的运算失误．
【命题方向】
题型一：和差积商的导数
典例1：已知函数f（x）＝asinx+bx3+4（a∈R，b∈R），f′（x）为f（x）的导函数，则f（2014）+f（﹣2014）+f′（2015）﹣f′（﹣2015）＝（ ）
A．0 B．2014 C．2015 D．8
解：f′（x）＝acsx+3bx2，
∴f′（﹣x）＝acs（﹣x）+3b（﹣x）2
∴f′（x）为偶函数；
f′（2015）﹣f′（﹣2015）＝0
∴f（2014）+f（﹣2014）
＝asin（2014）+b•20143+4+asin（﹣2014）+b（﹣2014）3+4＝8；
∴f（2014）+f（﹣2014）+f′（2015）﹣f（﹣2015）＝8
故选D．
题型二：复合函数的导数
典例2：下列式子不正确的是（ ）
A．（3x2+csx）′＝6x﹣sinx B．（lnx﹣2x）′＝ln2
C．（2sin2x）′＝2cs2x D．（）′＝
解：由复合函数的求导法则
对于选项A，（3x2+csx）′＝6x﹣sinx成立，故A正确；
对于选项B，成立，故B正确；
对于选项C，（2sin2x）′＝4cs2x≠2cs2x，故C不正确；
对于选项D，成立，故D正确．
故选C．
15．利用导数研究函数的最值
【知识点的认识】
1、函数的最大值和最小值
观察图中一个定义在闭区间[a，b]上的函数f（x）的图象．图中f（x1）与f（x3）是极小值，f（x2）是极大值．函数f（x）在[a，b]上的最大值是f（b），最小值是f（x1）．
一般地，在闭区间[a，b]上连续的函数f（x）在[a，b]上必有最大值与最小值．
说明：（1）在开区间（a，b）内连续的函数f（x）不一定有最大值与最小值．如函数f（x）＝在（0，+∞）内连续，但没有最大值与最小值；
（2）函数的最值是比较整个定义域内的函数值得出的；函数的极值是比较极值点附近函数值得出的．
（3）函数f（x）在闭区间[a，b]上连续，是f（x）在闭区间[a，b]上有最大值与最小值的充分条件而非必要条件．
（4）函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有一个
2、用导数求函数的最值步骤：
由上面函数f（x）的图象可以看出，只要把连续函数所有的极值与定义区间端点的函数值进行比较，就可以得出函数的最值了．
设函数f（x）在[a，b]上连续，在（a，b）内可导，则求f（x）在[a，b]上的最大值与最小值的步骤如下：
（1）求f（x）在（a，b）内的极值；
（2）将f（x）的各极值与f（a）、f（b）比较得出函数f（x）在[a，b]上的最值．
【解题方法点拨】
在理解极值概念时要注意以下几点：
（1）按定义，极值点x0是区间[a，b]内部的点，不会是端点a，b（因为在端点不可导）．
（2）极值是一个局部性概念，只要在一个小领域内成立即可．要注意极值必须在区间内的连续点取得．一个函数在定义域内可以有许多个极小值和极大值，在某一点的极小值也可能大于另一个点的极大值，也就是说极大值与极小值没有必然的大小关系，即极大值不一定比极小值大，极小值不一定比极大值小．
（3）若f（x）在（a，b）内有极值，那么f（x）在（a，b）内绝不是单调函数，即在区间上单调的函数没有极值．
（4）若函数f（x）在[a，b]上有极值且连续，则它的极值点的分布是有规律的，相邻两个极大值点之间必有一个极小值点，同样相邻两个极小值点之间必有一个极大值点，一般地，当函数f（x）在[a，b]上连续且有有限个极值点时，函数f（x）在[a，b]内的极大值点、极小值点是交替出现的，
（5）可导函数的极值点必须是导数为0的点，但导数为0的点不一定是极值点，不可导的点也可能是极值点，也可能不是极值点．
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身高
60
70
80
90
100
110
120
130
140
150
160
170
体重平均值
6.13
7.90
9.99
12.15
15.02
17.50
20.92
26.86
31.11
38.85
47.25
55.05
函数模型
函数解析式
误差平方和
指数函数
6.6764
0.9976
二次函数
8.2605
0.9971
幂函数
74.6846
0.9736
身高
60
70
80
90
100
110
120
130
140
150
160
170
体重平均值
6.13
7.90
9.99
12.15
15.02
17.50
20.92
26.86
31.11
38.85
47.25
55.05
函数模型
函数解析式
误差平方和
指数函数
6.6764
0.9976
二次函数
8.2605
0.9971
幂函数
74.6846
0.9736
0
3
0
12
单调递减
极小值3
单调递增