江苏无锡市东林中学2024-2025学年九下数学第4周阶段性训练模拟练习【含答案】

这是一份江苏无锡市东林中学2024-2025学年九下数学第4周阶段性训练模拟练习【含答案】，共25页。

A．B．C．D．
2．已知一组数据x1，x2，x3，x4，x5的平均数是2，方差是3，那么另一组数据3x1﹣2，3x2﹣2，3x3﹣2，3x4﹣2，3x5﹣2的平均数和方差分别是（ ）
A．2，3B．2，9C．4，18D．4，27
3．二次函数，若当x＝t时，y＜0，则当x＝t﹣1时，函数值y的取值范围是（ ）
A．B．0＜y＜2C．D．
4．如图，AB是半圆的直径，C、D是半圆上的两点，∠ADC＝106°，则∠CAB等于（ ）
A．32°B．28°C．16°D．14°
5．如图，正方形ABCD的四个顶点分别在四条平行线l1、l2、l3、l4上，这四条平行线中相邻两条之间的距离依次为a、b、c．若，当a变化时，正方形ABCD面积的最小值为（ ）
A．B．C．D．
6．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a＜0）图象的对称轴为直线x＝t，该二次函数图象上存在两点A（x1，y1），B（x2，y2），若对于1＜x1＜2＜x2＜3，始终有y1＜y2，则t的取值范围是（ ）
A．t≥3B．C．t≥2D．c＜1
7．如图，在平面直角坐标系中，P为函数图象上的一点，过点P作PA⊥x轴于点A，将线段PA绕点P顺时针旋转得到线段PB，点B恰好落在y轴上，若点A（4，0），B（0，2），则k的值为（ ）
A．16B．20C．D．
8．如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝5，BC＝7．E、F分别为BC、CA上的动点，且BE＝CF，连接AE、BF，则AE+BF的最小值为（ ）
A．B．C．6D．
二．填空题（共4小题）
9．已知函数y＝，且关于x、y的二元一次方程ax﹣2a﹣y＝0有两组解，则a的取值范围是 ．
10．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，将边AD翻折到AE，使点D的对应点E在边BC上；再将边DA翻折到DF，点A的对应点为F，连接DE、FA、FE．
（1）若AD＝5，则CE的长为 ；
（2）若点F为△ABE的内心，则AD的长为 ．
11．已知二次函数y＝ax2+c（a＞0）的图象与直线y＝kx+b（k＞0）交于点、N（2，n）两点，则关于x的不等式ax2﹣kx+（c﹣b）＜0的解集为 ．
12．如图，在网格图中（每个小正方形的边长为1），点A、B、C、D均为格点，给出下列三个命题：
①点A到点B的最短距离为；
②点A到直线CD的距离为；
③直线AB、CD所交的锐角为45°；
其中，所有正确命题的序号为 .（填序号）
三．解答题（共6小题）
13．如图，在锐角△ABC中，以AC为直径的⊙O交BC于点D，过点O作OE∥BC，交⊙O于点E，AD与CE交于点F．
（1）求证：∠ACE＝∠DCE；
（2）若AC＝4，△CDF的面积与△COE 的面积之比为2：3，求CF的长．
14．如图1，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝8，点P为线段BC边上一点，点E为线段AP上一点，取线段DE的中点F，以PE，PF为邻边向上作▱PEGF，EG、GE所在直线分别交AD 于M、N．设 ．
（1）当点G落在AD上时（如图2），m的值为 ．
（2）若P为BC的中点，且点G到直线AD的距离为1时，求m的值．
（3）设△GMN的面积为s，求s与m的函数表达式．
15．在平面直角坐标系中，二次函数y＝mx2﹣3mx﹣10m（m为常数，且m＜0）的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C．过点D（1，0）且平行于y轴的直线l交该二次函数图象于点E，交线段BC于点F．
（1）求点A和点B的坐标；
（2）求证：∠ECF＝2∠DBF；
（3）若点B关于CE的对称点B′恰好落在直线l上，求此时二次函数的表达式．
16．如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，连接AC、BC，D为AB延长线上一点，连接CD，且∠BCD＝∠A．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为，△ABC的面积为，E为⊙O上一点，连接CE交线段OA于点F，若，求BF的长．
17．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣3，0）、B（1，0）两点，与y轴交于点C（0，3），点P是抛物线上的一个动点．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）如图1，当点P在直线AC上方的抛物线上时，连接AP、BP，BP交AC于点D，若S△APD＝kS△ABD，求k的取值范围；
（3）已知M是直线AC上一动点，将点M绕着点O旋转90°得到点Q，若点Q恰好落在二次函数的图象上，请直接写出点M的坐标．
18．如图，在菱形ABCD中，，M、N分别在边AD、BC上，将四边形AMNB沿MN翻折，使AB的对应线段EF经过顶点D．
（1）若DE＝DM时，求的值；
（2）若△DEM是直角三角形，求的值．
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．【解答】解：如图，作CE⊥AB于E，
设小正方形边长为1，则易证△BEC是等腰直角三角形，
∴CE＝BE＝，AB＝＝3，
∴AE＝AB﹣BE＝3﹣＝，
在Rt△AEC中，tan∠EAC＝＝＝．
∴tan∠BAC的值是．
故选：D．
2．【解答】解：∵数据x1，x2，x3，x4，x5的平均数是2，方差是3，
∴数据3x1﹣2，3x2﹣2，3x3﹣2，3x4﹣2，3x5﹣2的平均数为：3×2﹣2＝4，方差为：32×3＝27．
故选：D．
3．【解答】解：由题意得，抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝．
∵0＜a＜，
∴0＜4a＜1．
∴Δ＝1﹣4a＞0．
设y＝x2﹣x+a（0＜a＜）与x轴交点为（x1，0），（x2，0）（其中x1＜x2），
∵当x＝t时，y＜0，且抛物线开口向上，
∴x1＜t＜x2，
∵抛物线的对称轴为直线x＝，x＝0或1时，y＝a＞0，
∴0＜x1＜，＜x2＜1．
∴x1﹣1＜t﹣1＜x2﹣1＜0，
∴当x1﹣1＜x＜x2﹣1时，y随着x的增大而减少，
∴当x＝t﹣1时，y＜（x1﹣1）2﹣（x1﹣1）+a＝2﹣2x1，y＞（x2﹣1）2﹣（x2﹣1）+a＝2﹣2x2，
∵0＜x1＜，
∴当x＝t﹣1时，y＜2，
∵＜x2＜1，
∴当x＝t﹣1时，y＞0，
∴函数值y的取值范围为0＜y＜2．
故选：B．
4．【解答】解：∵AB是半圆的直径，
∴∠ADB＝90°，
∵∠ADC＝106°，
∴∠BDC＝106°﹣90°＝16°
∴∠CAB＝∠BDC＝16°．
故选：C．
5．【解答】解：由l1、l2、l3、l4上，这四条平行线，
作AF⊥l3于F，交l2于E，
由弦图得BE＝a+b，
得正方形ABCD面积＝AE2+BE2＝a2+（a+b）2，
由，
得正方形ABCD面积＝a2+（a+b）2＝a2+（a+1﹣a）2＝（a﹣）2+，
由a＞0，b＝1﹣a＞0，
得0＜a＜，
故当a＝时，正方形ABCD面积的最小值＝．
故选：A．
6．【解答】解：二次函数y＝ax2+bx+c（a＜0）图象开口向下，对称轴为直线x＝t，
∵二次函数图象上存在两点A（x1，y1），B（x2，y2），若对于1＜x1＜2＜x2＜3，始终有y1＜y2，
∴t≥2.5，
故选：B．
7．【解答】解：如图，作PC⊥y轴，垂足为C，
∵点A（4，0），B（0，2），
∴AO＝CP＝4，
∴P（4，），PA＝PB＝，
∴BC＝﹣2，
在Rt△BCP中，PC2+BC2＝PB2，
∴42+（）2＝（）2，
解得：k＝20．
故选：B．
8．【解答】解：过点B作BG∥AC，且使得BG＝BC．作AJ⊥BG于点J，BH⊥CA交CA的延长线于点H．
∵BG∥AC，
∴∠C＝∠EBG，
在△BCF和△GBE中，
，
∴△BCF≌△BGE（SAS），
∴BF＝EG，
∵AH∥BJ，BH⊥AH，AJ⊥BJ，
∴∠H＝∠AJB＝∠JAH＝90°，
∴四边形AHBJ是矩形，
∴BH＝AJ，AH＝BJ，设AH＝BJ＝x，BH＝AJ＝y，则有，
解得，
∴AH＝BJ＝，JG＝BG﹣BJ＝7﹣＝，
∴AG＝＝＝，
∵AE+BF＝AE+EG≥AG，
∴AE+BF≥，
∴AE+BF的最小值为，
故选：B．
二．填空题（共4小题）
9．【解答】解：∵ax﹣2a﹣y＝0可化简为y＝a（x﹣2），
∴无论a取何值，恒过（2，0），
∴该函数图象随a值不同绕（2，0）旋转，
作出题中所含两个函数图象如下：
经旋转可得：当﹣1＜a≤﹣时，关于x，y的二元一次方程ax﹣2a﹣y＝0有两组解．
故答案为：﹣1＜a≤﹣．
10．【解答】解：（1）由折叠得：AD＝AE＝5，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝90°，BC＝AD＝5，
∵AB＝3，
∴BE＝＝＝4，
∴CE＝BC﹣BE＝5﹣4＝1，
故答案为：1；
（2）如图，连接BF，过点F作FH⊥AB于H，设AE与DF交于点G，
∵四边形ABCD是矩形，
∴CD＝AB＝3，BC∥AD，∠C＝∠BAD＝90°，
∴∠ADE＝∠CED，
∵F是△ABE的内心，
∴∠ABF＝∠EBF＝∠ABC＝45°，∠BAF＝∠EAF，
∴△BHF是等腰直角三角形，
∴FH＝BH，
设∠BAF＝α，则∠DAF＝90°﹣α，
由折叠得：AD＝AE＝DF，
∴∠ADE＝∠AED，∠DFA＝∠DAF＝90°﹣α，
∴∠CED＝∠AED，∠AFG＝∠AFH，
∵AF＝AF，
∴△AFH≌△AFG（ASA），
∴FH＝FG，AH＝AG，∠AGF＝∠AHF＝90°，
∴∠DGE＝∠AGF＝∠C＝90°，
∵DE＝DE，
∴△DCE≌△DGE（AAS），
∴DG＝CD＝3，
设AD＝m，则DF＝m，BH＝FH＝FG＝m﹣3，
∴AG＝AH＝3﹣BH＝3﹣（m﹣3）＝6﹣m，
在Rt△ADG中，DG2+AG2＝AD2，
∴m2＝32+（6﹣m）2，
∴m＝，
∴AD＝．
故答案为：．
11．【解答】解：∵二次函数y＝ax2+c（a＞0）的图象与直线y＝kx+b（k＞0）交于点、N（2，n）两点，
∴当﹣＜x＜2时，ax2+c＜kx+b，
即ax2﹣kx+c﹣b＜0，
∴关于x的不等式ax2﹣kx+（c﹣b）＜0的解集为﹣＜x＜2．
故答案为：﹣＜x＜2．
12．【解答】解：由图可得，点A到点B的最短距离为AB＝，故①正确；
取格点E，连接DE，AE，则C，D，F，E共线，过点A作AH⊥CD于H，
∵S△AEF＝EF•AH，
∴AH＝，故②正确；
取格点J，连接AJ，JB，则AJ∥CD，△AJB是等腰直角三角形，
∴∠BAJ＝45°，
∴直线AB、CD所交的锐角为45°，故③正确，
故答案为：①②③．
三．解答题（共6小题）
13．【解答】（1）证明：∵OC＝OE，
∴∠OEC＝∠OCE．
∵OE∥BC，
∴∠OEC＝∠ECD，
∴∠OCE＝∠ECD，即∠ACE＝∠DCE；
（2）解：∵O是AC中点，
∴＝，
∵＝，
∴＝，
∵AC是直径，
∴∠AEC＝∠FDC＝90°，
∵∠ACE＝∠FCD，
∴△CDF∽△CEA，
∴＝，
∴CF＝CA＝．
14．【解答】解：（1）∵四边形PEGF是平行四边形，
∴GF＝PE，GF∥PE，
∴△DGF∽△DAE，
∴，
∵F是DE的中点，
∴DF＝DE，
∴，
∴AE＝2GF，
∴，
∴m＝，
故答案为：；
（2）如图1，
当点G在矩形ABCD的外部时，
作GH⊥AD于H，作射线DG，交PA的延长线于W，作WQ⊥PA，交PA的延长线于点Q，
由（1）得，
G是DW的中点，
同理可得WQ＝2GH＝2，PE＝FG＝WE，
设PE＝FG＝x，则WE＝2x，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠DAB＝∠B＝90°，
∵P时BC的中点，
∴PB＝BC＝4，
∴AB＝PB，
∴∠WAQ＝∠DAP＝∠PAB＝45°，
∴AW＝WQ＝2，AP＝AB＝4，
∴WP＝AW+AP＝6，
由WE+PE＝WP得，
2x+x＝6，
∴x＝2，
∴PE＝2，
∴AE＝AP﹣PE＝2，
∴m＝1，
如图2，
当点G在矩形ABCD的内部时，
由上可知：AW＝2，
∴PW＝AP﹣﹣AW＝2，
∴PE＝PW＝，
∴AE＝4＝，
∴m＝，
综上所述：m＝1或；
（3）如图3，
当m＜时，
延长EP至X，使PX＝EP，连接DP，DX，
∵点F是DE的中点，
∴PF∥DX，
∵EM∥PF，
∴EM∥DX，
∴∠AME＝∠ADX，
∵GF∥PE，
∴∠MNG＝∠DAX，
∴△MNG∽△DAX，
∴，
∵S△ADP＝AD•AB＝，，
∴S△DPX＝S△DEP＝S△ADP＝，
∴S△ADX＝S△ADP+S△DPX＝16+＝，
设AE＝x，则GF＝PE＝mx，
∵FN＝AE＝x，
∴NG＝FN﹣GF＝，
∵AX＝AE+PE+PX＝x+2mx＝（1+2m）x，
∴＝（）2，
∴S＝，
如图4，
当m＞时，
同理可得，
，NG＝FG﹣NF＝（m﹣）x，AX＝（1+2m）x，
∴S＝，
综上所述：S＝．
15．【解答】（1）解：令y＝mx2﹣3mx﹣10m＝0，
解得：x＝﹣2或5，
即点A、B的坐标分别为：（﹣2，0）、（5，0）；
（2）证明：过点C作CT⊥EF于点T，
当x＝0时，y＝﹣10m，当x＝1时，y＝mx2﹣3mx﹣10m＝﹣12m，
即点C、E的坐标分别为：（0，﹣10m），（1，﹣12m），
由点B、C（0，﹣10m）的坐标得，直线BC的表达式为：y＝2m（x﹣5），
当x＝1时，y＝2m（x﹣5）＝﹣8m，即点F（1，﹣8m），
由点E、F、C的纵坐标知，点C在E、F的中垂线上，
即CT平分∠ECF，
∵CT∥x轴，
则∠DBF＝∠TCF＝∠TCE，
即∠ECF＝2∠DBF；
（3）解：由（2）知，点C、E的坐标分别为：（0，﹣10m），（1，﹣12m），
由点C、E的坐标得，直线CE的表达式为：y＝﹣2mx﹣10m，
设BB′的交CE于点H，
∵点B关于CE的对称点B′恰好落在直线l上，
则点H是BB′的中点，CE⊥BB′，
则直线BB′的表达式为：y＝（x﹣5），
联立直线BB′和CE的表达式得：﹣2mx﹣10m＝（x﹣5），
解得：xH＝，
由中点坐标公式得：＝（xB+xB′）＝（1+5），
解得：m＝±（舍去正值），
则抛物线的表达式为：y＝﹣x2+x+．
16．【解答】（1）证明：连接OC，如图：
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，∠A+∠ABC＝90°，
∵OB＝OC，
∴∠ABC＝∠BCO，
又∠BCD＝∠A，
∴∠BCD+∠BCO＝90°，即∠DCO＝90°，
∴OC⊥CD，
∵OD是⊙O的半径，
∴CD是⊙O的切线；
（2）解：过C作CM⊥AB于M，过E作EH⊥AB于H，连接OE，如图：
∵⊙O的半径为，
∴AB＝2，
∵△ABC的面积为，
∴AB•CM＝3，即×2•CM＝3，
∴CM＝3，
Rt△BCM中，∠BCM＝90°﹣∠CBA，
Rt△ABC中，∠A＝90°﹣∠CBA，
∴∠BCM＝∠A，
∴tan∠BCM＝tanA，即，
∴，
解得BM＝﹣1，（BM＝+1舍去），
∵CM⊥AB，EH⊥AB，
∴，
∵，
∴，
由（2）知CM＝3，BM＝﹣1，
∴HE＝1，MF＝3HF，
Rt△OEH中，OH＝＝＝3，
∴AH＝OA﹣OH＝﹣3，
设HF＝x，则MF＝3x，
由AB＝2可得：BM+MF+HF+AH＝2，
∴﹣1+3x+x+﹣3＝2，
解得：x＝1，
∴HF＝1，MF＝3，
∴BF＝BM+MF＝（﹣1）+3＝+2．
17．【解答】解：（1）设抛物线的表达式为y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）＝a（x+3）（x﹣1），
将点C的坐标代入上式得：3＝a（0+3）（0﹣1），解得a＝﹣1，
故抛物线的函数表达式为y＝﹣（x+3）（x﹣1）＝﹣x2﹣2x+3；
（2）如图，过点B作BE∥y轴交AC于E，过点P作PF∥y轴交AC于F，
设直线AC的解析式为y＝kx+n，把A（﹣3，0），C（0，3）代入，
得，
解得：，
∴直线AC的解析式为y＝x+3，
设P（t，﹣t2﹣2t+3），且﹣3＜t＜0，则F（t，t+3），
∵B（1，0），
∴E（1，4），
∴BE＝4，PF＝﹣t2﹣2t+3﹣（t+3）＝﹣t2﹣3t，
∵BE∥y轴，PF∥y轴，
∴BE∥PF，
∴△BDE∽△PDF，
∴＝＝＝﹣（t+）2+，
∵﹣3＜t＜0，
∴当t＝﹣时，取得最大值，
∵S△APD＝kS△ABD，
∴k＝＝，
∴k的最大值为，
∴0＜k≤；
（3）如图，过点Q作QT⊥y轴于点T，过点M作MK⊥x轴于点K，则∠MKO＝∠QTO＝90°，
当点M绕着点O顺时针旋转90°得到点Q时，
∴OM＝OQ，∠MOQ＝90°，
∴∠MOK+∠QOK＝90°，
∵∠QOT+∠QOK＝90°，
∴∠MOK＝∠QOT，
∴△OMK≌△OQT（AAS），
∴OK＝OT，MK＝QT，
设点M（x，x+3），则OK＝﹣x，MK＝﹣x﹣3，
∴OT＝﹣x，QT＝﹣x﹣3，
∴Q（x+3，﹣x），
∵点Q在抛物线上，
∴﹣x＝﹣（x+3）2﹣2（x+3）+3，
解得：x1＝﹣3，x2＝﹣4，
∴M（﹣3，0）或（﹣4，﹣1）；
当点M绕着点O逆时针旋转90°得到点Q时，则Q（﹣x﹣3，x），
∵点Q在抛物线上，
∴x＝﹣（﹣x﹣3）2﹣2（﹣x﹣3）+3，
解得：x1＝﹣5，x2＝0（舍去），
∴M（﹣5，﹣2）；
当点M（0，3）绕O逆时针旋转90°时，对应点Q（﹣3，0）刚好落在抛物线上；
综上所述，点M的坐标为（﹣3，0）或（﹣4，﹣1）或（0，3）或（﹣5，﹣2）．
18．【解答】解：（1）如图所示，过D作DG⊥EM于G，
∵DE＝DM，DG⊥EM，
∴G是EM的中点，
由折叠可得∠E＝∠A，EM＝AM，
∴＝tanE，
设DG＝4k，EG＝3k，则DE＝5k＝DM，EM＝6k＝AM，
∴＝＝；
（2）分三种情况：
①如图所示，当∠EMD＝90°时，延长AD，NF，交于点H，则∠H＝90°＝∠FNC，
由折叠可得∠E＝∠A，EM＝AM，
∴＝tanE，
设DM＝4k，EM＝3k，则DE＝5k，AM＝3k，AD＝3k+4k＝7k，
∴EF＝7k，DF＝2k，
∵∠EMD＝∠H，∠EDM＝∠FDH，
∴△DEM∽△DFH，
∴＝，即＝，
∴FH＝k，
又∵菱形ABCD的高NH＝AD×sinA＝k，
∴FN＝k﹣k＝k，
∴BN＝k，CN＝BC﹣BN＝7k﹣k＝k，
∴＝．
②如图所示，当∠MDE＝90°时，延长EF交BC于H，则∠FHN＝90°，
由折叠可得∠E＝∠A，EM＝AM，
∴＝tanE，
设DM＝4k，ED＝3k，则EM＝5k＝AM，
∴AD＝5k+4k＝9k，
∴EF＝9k，DF＝9k﹣3k＝6k，
又∵菱形ABCD的高DH＝CD×sinC＝9k×＝k，
∴FH＝k﹣6k＝k，
∵∠EDM＝∠FHN，∠E＝∠HFN，
∴△DEM∽△HFN，
∴＝，即＝，
∴FN＝2k＝BN，
∴CN＝BC﹣BN＝9k﹣2k＝7k，
∴＝．
③当∠E＝90°时，不合题意．
综上所述，的值为或．经书面
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
D
D
B
C
A
B
B
B