江苏无锡市东林中学2024-2025学年九下数学第3周阶段性训练模拟练习【含答案】

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A．B．C．D．
2．在平面直角坐标系中，O为原点，，⊙B的半径为1，P是⊙B上一动点，以OP为边作等边△OPQ，且点Q在第一象限，设Q的坐标为（m，n），则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
3．已知实数m、n、p满足，则下列结论：①若m＞0，则n＞p；②若p＝1，则m2﹣m＝1；③若m2﹣p2＝2，则mp＝2；④若np＝1，则m＝1．其中正确的为（ ）
A．②③④B．①②③④C．①②③D．①③④
4．如图，点A、B、C、D、E在⊙O上，且∠B+∠E＝165°，则的度数为（ ）
A．15°B．20°C．30°D．35°
5．如图，第一象限的点A、B均在反比例函数的图象上，作AC⊥x轴于点C，BD⊥x轴于点D，连接AO、BO，若OC＝3CD，则△AOB的面积为（ ）
A．B．C．D．
6．二次函数，若当x＝t时，y＜0，则当x＝t﹣1时，函数值y的取值范围是（ ）
A．B．0＜y＜2C．D．
二．填空题（共10小题）
7．如图，抛物线y＝﹣x2+x+2与x轴交于点A和点B．已知点D（m，m+1）在第一象限的抛物线上，则点D的坐标是 ；连接BD，P为抛物线上一点，且∠DBP＝135°，则点P的坐标是 ．
8．如图，在正方形网格中，点A，B，C，D均在格点上，过B，C，D的弧交AB于点E，若每个正方形的边长为1，则AE的长度为 ，阴影部分的面积为 ．
9．已知点A（a﹣2，c），点B（4，d），点C（a，c）都在二次函数y＝x2﹣bx+3（b＞0）的图象上，其中c＜d＜3，则a的取值范围为 ．
10．已知圆锥的底面圆半径为4cm，侧面积为20πcm2，则这个圆锥的母线长为 cm．
11．如图，在菱形ABCD中，，点M是边AB的中点，点N是边AD上一点，若一条光线从点M射出，先到达点N，再经AD反射后经过点C，则的值为 ．
12．如图，在△ABC中，AD为边BC的中线，BC＝2AC＝6，AD＝2，将△ADC绕点D以逆时针方向旋转得到△A′DC′，点A′、C′分别与点A、C对应，线段A′C′与边AB交于点G，连接DG，则线段DG长的最小值为 ．
13．如图，矩形ABCD中，BE、BF将∠ABC三等分，连接EF．若∠BEF＝90°，则AB：BC的比值为 ．
14．如图，▱ABCD中，∠A＝45°，AB＝3，AD＝4，点E为AD上一点（端点除外），连接BE、CE，点A关于BE的对称点记为A'，当点A′恰好落在线段EC上时，此时EC＝ ，AE＝ ．
15．如图，半径为1的半圆形纸片，按如图方式折叠，使对折后半圆弧的中点M与圆心O重合，则图中阴影部分的面积是 ．
16．如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，AB上，且DE＝DF，AC分别交DE，DF于点M，N．设△DMN和△AFN的面积分别为S1和S2，若S2＝2S1，则tan∠ADF的值为 ．
三．解答题（共3小题）
17．如图，四边形ABCD内接于⊙O，BC＝CD，点E在AB的延长线上，∠ECB＝∠DAC．
（1）若AB为⊙O的直径，求证：EC是⊙O的切线；
（2）若CE＝7，∠ECB＝45°，，求AD的长．
18．如图1，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣6，0），B（8，0），且经过点C（0，﹣8）．
（1）求抛物线的表达式；
（2）若M、N分别是边AC、OB上的动点，且AM＝ON＝m，Q为线段MN的中点，∠NPQ＝α．
①以MN为一边，在MN的上方作正方形MNGH，当点H落在该抛物线上时，求此时点H的横坐标；
②如图2，P的坐标为（﹣3，0），将PN绕点P顺时针旋转2α到PN'，若N'恰好落在边BC上，直接写出此时m的值．
19．如图1，在平面直角坐标系中，直线与x轴，y轴交于点A，B，二次函数的图象G经过点A，点B，与x轴交于点C（3，0）．
（1）求二次函数的表达式；
（2）如图2，点P在第一象限内二次函数图象上，分别过点P作直线AB，x轴的垂线，垂足是E，F，当PE+PF取得最大值时，求点P的坐标；
（3）如图3，将二次函数的图象G沿射线CB的方向平移，平移后的二次函数图象G恰好经过点B，点Q为图象G′上一点，直线CQ与直线AB相交于点M，若∠BAC＝∠AMC+∠BCA，求点Q的横坐标．
参考答案与试题解析
一．选择题（共6小题）
1．【解答】解：过点E作EG⊥x轴交于点G，过点E作EH⊥OB交于点H，过点C作CF⊥x轴交于点F，
∵OC平分∠BOA，BC⊥OB，
∴BC＝CF，HE＝EG，
∵BD平分∠OBA，∠OBA＝90°，
∴∠OBE＝45°，
∴HB＝HE，
∵OB⊥AB，HE⊥OB，
∴HE∥AB，
∵＝，
∴＝＝＝，
∵OB＝2，
∴OH＝，
∴BH＝HE＝，
∴BC＝1，
∴CF＝1，
∵EG⊥OA，CF⊥OA，
∴GE∥CF，
∴＝＝，
∴EG＝，
在Rt△OBC中，BC＝1，OB＝2，
∴OC＝，
在Rt△EOG中，EG＝，OE＝，
∴OG＝，
∴E（，），
∵E点在反比例函数y＝上，
∴k＝，
故选：B．
2．【解答】解：如图，过点Q作QC⊥x轴于C，
∵Q的坐标为（m，n），且点Q在第一象限，
∴tan∠COQ＝，
∵B（﹣1，），⊙B的半径为1，
∴⊙B与y轴相切，设切点为D，
∴当P与D重合时，tan∠COQ＝的值最小，
∵△POQ是等边三角形，
∴∠POQ＝60°，
∴∠COQ＝30°，
∵Q的坐标为（m，n），
此时，tan30°＝＝．
故选：A．
3．【解答】解：∵m﹣n+p＝0，
∴n﹣p＝m，
∵m＞0，
∴n﹣p＞0，
∴n＞p．
∴①的结论正确；
∵m﹣n+p＝0，p＝1，
∴m﹣n＝﹣1，
∴n＝m+1．
∵，p＝1，
∴＝1，
∴＝1，
∴m+n＝mn，
∴m+m+1＝m（m+1），
∴m2﹣m＝1．
∴②的结论正确；
∵，
∴m+p＝n，，
∴，
∴．
∵m﹣n+p＝0，
∴n＝m+p，
∴，
∴mp＝（m+p）（m﹣p）＝m2﹣p2＝2，
∴③的结论正确；
∵，
∴＝＝，
∵np＝1，
∴＝n﹣p．
∵m﹣n+p＝0，
∴m＝n﹣p，
∴＝m，
∴m2＝1，
∴m＝±1．
∴④的结论不正确．
∴正确的结论为①②③．
故选：C．
4．【解答】解：如图，连接ED，
∵四边形ABDE为⊙O的内接四边形，
∴∠B+∠AED＝180°，
∵∠B+∠AEC＝165°，
∴∠CED＝180°﹣165°＝15°，
∴的度数为30°，
故选：C．
5．【解答】解：设CD＝a，则OC＝3CD＝3a，
∴OD＝OC+CD＝4a，
∵点A、B均在反比例函数的图象上，作AC⊥x轴于点C，BD⊥x轴于点D，
∴点A，B，四边形ACDB为直角梯形，
∴AC＝，BD＝，
∴S梯形ACDB＝（AC+BC）•CD＝＝，
根据反比例函数比例系数的几何意义得：S△OAC＝S△OBD，
∵S△AOB＝S△OAC+S梯形ACDB﹣S△OBD＝S梯形ACDB＝．
故选：D．
6．【解答】解：由题意得，抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝．
∵0＜a＜，
∴0＜4a＜1．
∴Δ＝1﹣4a＞0．
设y＝x2﹣x+a（0＜a＜）与x轴交点为（x1，0），（x2，0）（其中x1＜x2），
∵当x＝t时，y＜0，且抛物线开口向上，
∴x1＜t＜x2，
∵抛物线的对称轴为直线x＝，x＝0或1时，y＝a＞0，
∴0＜x1＜，＜x2＜1．
∴x1﹣1＜t﹣1＜x2﹣1＜0，
∴当x1﹣1＜x＜x2﹣1时，y随着x的增大而减少，
∴当x＝t﹣1时，y＜（x1﹣1）2﹣（x1﹣1）+a＝2﹣2x1，y＞（x2﹣1）2﹣（x2﹣1）+a＝2﹣2x2，
∵0＜x1＜，
∴当x＝t﹣1时，y＜2，
∵＜x2＜1，
∴当x＝t﹣1时，y＞0，
∴函数值y的取值范围为0＜y＜2．
故选：B．
二．填空题（共10小题）
7．【解答】解：∵抛物线y＝﹣x2+x+2，点D（m，m+1）在第一象限的抛物线上，
∴，得m＝1，
∴点D的坐标为（1，2）；
过点P作PE⊥DB交DB的延长线于点E，作EF⊥x轴于点F，作PG⊥EF交EF的延长线于点G，
∵∠DBP＝135°，
∴∠PBE＝45°，
∵∠BEP＝90°，
∴∠BPE＝∠PBE＝45°，
∴BE＝PE，
∵∠BEP＝90°，∠EFB＝90°，
∴∠PEG+∠BEF＝90°，∠EBF+∠BEF＝90°，
∴∠PEG＝∠EBF，
又∵∠PGE＝∠EFB＝90°，PE＝EB，
∴△PGE≌△EFB（AAS），
∴EG＝BF，PG＝EF，
∵y＝﹣x2+x+2＝﹣（x﹣2）（x+1），
∴当y＝0时，x＝2或x＝﹣1，
∴点B的坐标为（2，0）
∵点D（1，2），点B（2，0），
∴tan∠DBA＝2，
∴tan∠EBF＝2，
设BF＝a，则EF＝2a，EG＝a，PG＝2a，
∴点P的坐标为（2﹣a，﹣3a），
∴﹣3a＝﹣（2﹣a）2+（2﹣a）+2
解得，a1＝6，a2＝0（舍去），
∴点P的坐标为（﹣4，﹣18），
故答案为：（1，2）；（﹣4，﹣18）．
8．【解答】解：如图，设过B，C，D的弧的圆心为O，连接AD、BD、OE，
由勾股定理得：AD＝＝，BD＝＝，AB＝＝，
∴AD＝BD，AD2+BD2＝AB2，
∴△ABD是等腰直角三角形，∠ADB＝90°，
∵∠DEB＝∠DCB＝90°，
∴DE⊥AB，BD为半圆的直径，
∴AE＝BE＝AB＝，
∵OB＝OD＝BD＝，
∴OE⊥BD，OE＝BD＝，
∴S阴影＝S扇形OBE﹣S△BOE＝π•（）2﹣××＝﹣，
故答案为：，﹣．
9．【解答】解：点A（a﹣2，c），点B（4，d），点C（a，c）都在二次函数y＝x2﹣bx+3（b＞0）的图象上，
∴对称轴为直线x＝＝a﹣1，
∴点（0，3）和（2a﹣2，3）也在二次函数y＝x2﹣bx+3（b＞0）的图象上，
∵b＞0，
∴a﹣1＝＞0，
∴a＞1，
∴点A（a﹣2，c）在对称轴的左侧，点C（a，c）在对称轴的右侧，
∵抛物线开口向上，
∴x＜a﹣1是，y随x的增大而减小，x＞a﹣1y随x的增大而增大，
∴当B在对称轴的左侧时，则有a﹣2＞4，解得a＞6，
当B在对称轴的右侧时，则有，解得3＜a＜4．
故a的取值范围为3＜a＜4或a＞6．
故答案为：3＜a＜4或a＞6．
10．【解答】解：设圆锥的母线长为x cm，
由题意得：×2π×4×x＝20π，
解得：x＝5，
∴这个圆锥的母线长为5cm．
故答案为：5．
11．【解答】解：作ME⊥AD于E，CF⊥AD的延长线于F，
设菱形边长为10个单位长，
∵M为AB中点，
∴AM＝5，
∵tanA＝，
∴AE＝3，ME＝4，
∵AD＝10，
∴DE＝7，
∵AB∥CD，
∴∠CDF＝∠A，
∴tan∠CDF＝，
∵CD＝10，
∴CD＝8，DF＝6，
设EN＝x，
∴DN＝7﹣x，
∴FN＝13﹣x，
由光的反射定律得，∠MNE＝∠CND，
∴△MNE∽△CNF，
∴EN：FN＝ME：CF，即x：（13﹣x）＝4：8，
∴x＝，
∴AN＝AE+EN＝，DN＝7﹣x＝，
∴AN：DN＝，
故答案为：．
12．【解答】解：如图所示，作CE⊥AD，DH⊥AC，AF⊥CD，DH′⊥AB，
∵BC＝2AC＝6，且AD为边BC的中线，
∴AC＝DB＝DC＝3，
∴△CAD为等腰三角形，
∵CE⊥AD，
∴AE＝DE＝2AD＝1，
在Rt△ACE中，，，
∵，
∴，
∴S△ACD＝CD•A＝AF＝，
∴AF＝，DH⊥AB，S△ABD＝BD•AF＝AB•DH′，
∵BD＜AB，
∴DH′＜AF＝＝DH，
∴当△ADC绕点D逆时针旋转时，H的对应点一定在能AB上，故当H的对应点为G，此时DG取最小值，即DG＝DH＝，
故答案为：．
13．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝90°，∠A＝90°，∠C＝90°，
∵BE、BF将∠ABC三等分，
∴∠ABE＝∠EBF＝∠FBC＝30°，
设AE＝x，则BE＝2x，
∴AB＝＝x，
∵∠BEF＝90°，∠EBF＝30°，
∴EF＝BE•tan30°＝2x•＝x，
∴BF＝2EF＝x，
∴BC＝BF•cs30°＝x•＝2x，
∴AB：BC＝x：2x＝：2，
故答案为：：2．
14．【解答】解：过B作BN⊥AD于N，过E作EM⊥BC于M，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，BC＝AD＝4，
∴四边形BMEN是矩形，
∴EN＝MB，
∵∠BAD＝45°，
∴△ABN是等腰直角三角形，
∵AB＝3，
∴AN＝BN＝AB＝，
∴ME＝BN＝，
由轴对称的性质得到：∠BEC＝∠BEA，
∵AD∥BC，
∴∠AEB＝∠CBE，
∴∠BEC＝∠CBE，
∴CE＝BC＝4，
∴CM＝＝，
∴BM＝BC﹣CM＝，
∴NE＝MB＝，
∴AE＝AN+NE＝+＝，
故答案为：4，．
15．【解答】解：如图，连接OM交AB于点C，连接OA、OB，
由题意知，OM⊥AB，且OC＝MC＝，
在RT△AOC中，∵OA＝1，OC＝，
∴cs∠AOC＝＝，AC＝＝
∴∠AOC＝60°，AB＝2AC＝，
∴∠AOB＝2∠AOC＝120°，
则S弓形ABM＝S扇形OAB﹣S△AOB
＝﹣××
＝﹣，
S阴影＝S半圆﹣2S弓形ABM
＝π×12﹣2（﹣）
＝﹣．
故答案为：﹣．
16．【解答】解：过N作NH⊥AB于H，如图：
∵∠FHN＝∠FAD＝90°，
∴HN∥AD，
∴∠ADF＝∠HNF，
设tan∠ADF＝tan∠FNH＝k，设NH＝AH＝b，则FH＝kb，
∴AF＝b+kb，
∵tan∠ADF＝，
∴AD＝＝b，
∴S2＝AF•HN＝b2（1+k），S1＝S△ADC﹣2S△ADN＝（b）2﹣2וb•b，
∵S2＝2S1，
∴b2（1+k）＝2•[（b）2﹣2וb•b]，
整理得：k2+2k﹣2＝0，
解得：k＝﹣1或﹣﹣1（舍弃），
∴tan∠ADF＝k＝﹣1，
故答案为：﹣1．
三．解答题（共3小题）
17．【解答】（1）证明：连接OC，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠ACO+∠BCO＝90°，
∵OA＝OC，
∴∠ACO＝∠CAO，
∵DC＝BC，
∴＝，
∴∠DAC＝∠CAO，
∴∠DAC＝∠ACO，
∵∠ECB＝∠DAC，
∴∠ECB＝∠ACO，
∴∠ECB+∠OCB＝90°，
∴∠OCE＝90°，
∵OC是⊙O的半径，
∴EC是⊙O的切线；
（2）过点B作BF⊥CE，垂足为F，
∴∠BFC＝∠BFE＝90°，
∵∠ECB＝45°，
∴tan45°＝＝1，
∴BF＝CF，
设BF＝CF＝x，
∵CE＝7，
∴EF＝CE﹣CF＝7﹣x，
在Rt△BFE中，，
∴tanE＝＝＝，
∴x＝3，
经检验：x＝3是原方程的根据，
∴BF＝CF＝3，EF＝7﹣3＝4，
∴CD＝BC＝BF＝3，
在Rt△BFE中，BE＝＝＝5，
∵四边形ADCB是⊙O的内接四边形，
∴∠ADC+∠ABC＝180°，
∵∠ABC+∠CBE＝180°，
∴∠ADC＝∠CBE，
∵∠ECB＝∠DAC，
∴△CBE∽△ADC，
∴＝，
∴＝，
∴AD＝，
∴AD的长为．
18．【解答】解：（1）将点A（﹣6，0），B（8，0），C（0，﹣8）代入y＝ax2+bx+c得
解得
故抛物线的表达式是．
（2）①∵A（﹣6，0），B（8，0），C（0，﹣8），
∴OA＝6，OC＝OB＝8，
如图，过点M作MD⊥x轴于点D，过点H作HE⊥MD于点E，
则MD∥y轴，
∴△AMD∽△ACO，
∴，
∴，
设AD＝3k（k＞0），则DM＝4k，OD＝AO﹣AD＝6﹣3k，
∴，M（3k﹣6，﹣4k），
∴DN＝OD+ON＝6+2k，
∵四边形MNGH是正方形，
∴HM＝MN，∠HME+∠DMN＝∠MND+∠DMN＝90°，
∴∠HME＝∠MND，
∵∠HME＝∠MND，∠HEM＝∠MDN＝90°，HM＝MN，
∴△HEM≌△MDN（AAS），
∴HE＝MD＝4k，EM＝DN＝6+2k，
∴yn＝DE＝EM﹣DM＝（6+2k）﹣4k＝6﹣2k，xn＝﹣（HE+OD）＝﹣HE﹣OD＝﹣4k﹣（6﹣3k）＝﹣6﹣k，
即H（﹣6﹣k，6﹣2k），
将点H（﹣6﹣k，6﹣2k）代入，
得，
解得， （舍去），
∴，
即点H的横坐标是；
②，理由如下：
如图，作∠CAO的角平分线交y轴于点F，作QT⊥x轴于点T，
由旋转可知∠NPN'＝2α，
由①可知M（3k﹣6，﹣4k），
∴M（3k﹣6，﹣4k），N（5k，0），
又∵Q为线段MN的中点，
∴Q（4k﹣3，﹣2k），
设直线PQ的解析式是Q（4k﹣3，﹣2k），
∵P（﹣3，0），
∴TQ＝2k，PT＝4k，，
∵OA＝6，OC＝OB＝8，
∴AC＝10，
设OF＝x，则由AF平分∠CAO可知△ACF中AC边上的高等于x，
∴S△AOC＝S△AOF+S△ACF，
即，
解得x＝3，
即OF＝3，
∴，
又∵∠AOF＝∠PTQ＝90°，
∴△AOF∽△PTQ，
∴∠OAF＝∠NPQ＝α，
∴∠CAO＝2∠OAF＝2α＝∠NPN′，
∴PN′∥AC，
∵A（﹣6，0），C（0，﹣8），
∴直线AC的解析式是，
设直线PN'的解析式是，
将点P（﹣3，0）代入得到，
解得n＝﹣4，
即直线PN'的解析式是，
同理由 B（8，0），C（0，﹣8），可得直线BC的解析式是y＝x﹣8，
将直线PN'的解析式和直线BC的解析式联立得，
解得，
∴，
∴，
∴，
即．
19．【解答】解：（1）当x＝0时，y＝，
∴B（0，），
当y＝0时，x＝﹣1，
∴A（﹣1，0），
设抛物线的解析式为y＝a（x+1）（x﹣3），
将点B代入可得a＝﹣，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+x+；
（2）设P（t，﹣t2+t+），
延长PF与直线AB交于G点，
∴M（t，t+），
在Rt△AFG中，∠G＝30°，FA＝t+1，
∴FG＝（t+1），
∴PG＝t2+t，
在Rt△PEG中，PE＝PG＝t2+t，
∴PE+PF＝﹣t2+t+＝﹣（t﹣）2+，
∴当m＝时，PE+PF有最大值，此时P（，）；
（3）∵OB＝，OC＝3，OA＝1，
∴∠BCA＝30°，∠BAC＝60°，
设抛物线沿x轴负方向平移m个单位，则沿y轴正方形平移m个单位，
∴平移后的函数解析式为y＝﹣（x﹣1+m）2++m，
将点B代入，可得m＝0（舍），m＝3，
∴平移后的函数解析式为y＝﹣x2﹣x+，
∵∠BAC＝∠AMC+∠BCA，
∴∠AMC＝30°，
①当M点在x轴下方时，∠ACM＝30°，
∴直线CM的解析式为y＝x﹣，
当﹣x2﹣x+＝x﹣时，解得x＝1或x＝﹣6，
∴Q点横坐标为1或﹣6；
②当M点在x轴上方时，直线CQ⊥x轴，
∴Q点横坐标为3；
综上所述：Q点横坐标为1或3或﹣6．
题号
1
2
3
4
5
6
答案
B
A
C
C
D
B