2025届山东省青岛市一模 高三第一次适应性检测 数学试题及答案与评分标准

这是一份2025届山东省青岛市一模 高三第一次适应性检测 数学试题及答案与评分标准，共10页。试卷主要包含了03等内容，欢迎下载使用。
本试卷共 4 页, 19 题. 全卷满分 150 分. 考试用时 120 分钟.
注意事项:
1. 答卷前, 考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上, 并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.
2. 回答选择题时, 选出每小题答案后, 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑. 如需要改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号. 回答非选择题时,将答案写在答题卡上. 写在本试卷上无效.
3. 考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题:本题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分. 在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的.
1. 抛物线 y2=4x 的焦点坐标为
A.(-1,0) B.(1,0) C.(0, - 1) D.(0,1)
2. 若 1+2iz=5 ,则 z⋅z=
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
3. 若样本数据 1,x1,x2,⋯,x9 的平均数为 1,方差为 2,则数据 x1,x2,⋯,x9 相对于原数据
A. 平均数变小 B. 平均数变大 C. 方差变小 D. 方差变大
4. 近年来,家用冰箱使用的氟化物的释放等破坏了臭氧层,臭氧含量 Q 与时间 t (单位: 年)的关系为 Q=Q0e-t400 ,其中 Q0 是臭氧的初始含量. 臭氧消失一半所需要的时间约为 ln2≈0.693 ,精确到 1 年
A. 265 年 B. 266 年 C. 276 年 D. 277 年
5. 已知 a=1,1,b=1,-2 ,则 a 在 b 上的投影向量为
A. -15,25 B. 15,25 C. -55,255 D. 55,255
6. 设 U 是全集,则 “存在集合 C ,使得 A⊆C,B⊆∁UC ” 是 “ A∩B=⌀ ” 的
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
7. 在平面直角坐标系中,动点 A 在以原点为圆心,1 为半径的圆上,以 2rad/s 的角速度按逆时针方向做匀速圆周运动; 动点 B 在以原点为圆心, 2 为半径的圆上,以 1rad/s 的角速度按逆时针方向做匀速圆周运动. A,B 分别以 A00,1,B02,0 为起点同时开始运动,经过 t s 后,动点 A,B 的坐标分别为 x1,y1,x2,y2 ,则 y1+x2 的最小值为
A.-3 B. -2 C. -32 D. -1
8. 设 xn 是关于 x 的方程 x2+lgn+1xn=n2+3n 的实数根. 记 an=xn2 ,其中 x 表示不超过 x 的最大整数,设数列 an 的前 n 项和为 Sn ,则 S2025=
A. 10122 B. 1012×1013
C. 10132 D. 1013×1014
二、选择题:本题共 3 小题,每小题 6 分,共 18 分. 在每小题给出的四个选项中,有多项 符合题目要求. 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.
9. 在正三棱柱 ABC-A1B1C1 中, E 为 AC 的中点,点 P 满足 BP=λBC,λ∈0,1 ,则
A. 当 λ=12 时, EP//AB B. 当 λ=12 时, EP⊥A1C1
C. 存在 λ ,使得 A1E//C1P D. 存在 λ ,使得 EP⊥ 平面 A1ACC1
10. 已知狄利克雷函数 Dx=1,x∈Q,0,x∉Q. 设函数 fx=Dx⋅sinπx ,则
A. fx 是奇函数
B. fx 是周期函数
C. fx 的值域是 -1,1
D. fx 在区间 -1,1 上的有理数零点恰有 3 个
11. 在平面直角坐标系中, O 为坐标原点,直线 l1,l2 的方程分别为 y=x,y=-x ,过点 P 作 l1,l2 的垂线,垂足分别为 A,B ,四边形 OAPB 的面积为 1,点 P 的轨迹为曲线 C . 则
A. 圆 O:x2+y2=2 与 C 没有公共点
B. 曲线 y=x+1x 与 C 没有公共点
C. C 上存在三点 E,F,G ,使得 △EFG 为等边三角形
D. C 在点 P 处的切线与 l1,l2 分别交于 M,N 两点,则 △OMN 的面积为定值
三、填空题: 本题共 3 个小题, 每小题 5 分, 共 15 分.
12. 在 x2-1x6 的展开式中,常数项为_____(用数字作答).
13. 已知函数 fx=lnx 图象的两条切线相互垂直,并分别交 y 轴于 A,B 两点,则 AB= _____.
14. 已知 △ABC 的内角 A,B,C 对边分别为 a,b,c,BC 边上的高为 h,h=b+c-a , 则 sinA 的最小值为_____.
四、解答题:本题共 5 小题,共 77 分. 解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
15. (13分)
为了调查某地区高中学生对于体育运动的爱好程度, 随机调查了该地区部分学生的日均运动时间. 在被调查的学生中, 女生占 40%, 女生中有 65% 的人日均运动时间大于 1 小时, 男生中有 90% 的人日均运动时间大于 1 小时.
(1)在被调查的学生中任选1人,若此人日均运动时间大于1小时,求此人为男生的概率；
(2)用频率估计概率,从该地区的高中生中随机抽取 4 人,求日均运动时间大于1小时的人数 ξ 的期望和方差.
16. (15 分)
如图, P 为圆锥的顶点, O 是圆锥底面的圆心, OA,OB 是底面半径, ∠AOB=120∘ , M 为劣弧 AB 上的动点.
(1)若 M 为劣弧 AB 的中点,证明: OA// 平面 PMB ;
(2)若圆锥底面半径为 1,体积为 23π ,当四边形 OAMB 面积最大时,求平面 APM 与平面 BPM 夹角的余弦值.

17.(15分)
已知函数 fx=ax-sinx,x∈-π2,π2 .
(1) 当 a=12 时,讨论 fx 的单调性;
(2)若 fx 有两个极值点,记极大值和极小值分别为 M,m ,证明: M-mb>0 的左、右焦点分别为 F1,F2 ,短轴长为 23 ,离心率为 12 .
(1)求 C 的方程；
(2)记 C 的左顶点为 A ,直线 l 与 C 交于 P,Q 两点,直线 AP,AQ 的斜率之积为 -14 .
( i ) 证明: 直线 l 过定点;
(ii) 若 P 在 x 轴上方,直线 PF1 与圆 M:x+12+y2=16 交于点 B ,点 B 在 x 轴上方. 是否存在点 P ,使得 △PBF2 与 △QF1F2 的面积之比为 3:5 ? 若存在,求出点 P 坐标; 若不存在,说明理由.
19.(17分)
若数列 an 满足: ① an∈N* ; ② an+1>an ; ③当整数 k≠0 时,存在正整数 m 及 b1,b2,⋯,bm∈{-1,1} ,使得 k=a1b1+a2b2+⋯+ambm ；④对于任意正整数 m 及 b1,b2,⋯,bm∈{-1,1} ,都有 a1b1+a2b2+⋯+ambm≠0 . 则称数列 an “非零可表”.
(1)若数列 an 满足 an=n ,判断 an 是否“非零可表”,并说明理由；
(2)若数列 an 满足 a1=1,an+1=n+i=1nai ,证明:数列 an “非零可表”；
(3)证明:存在满足 an>MnM>2 的数列 an “非零可表”.