新高考数学三轮冲刺解题技巧精讲精练专题08 立体几何解答题常考全归类（2份，原卷版+解析版）

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空间向量是将空间几何问题坐标化的工具，是常考的重点，立体几何解答题的基本模式是论证推理与计算相结合，以某个空间几何体为依托，分步设问，逐层加深．解决这类题目的原则是建系求点、坐标运算、几何结论．作为求解空间角的有力工具，通常在解答题中进行考查，属于中等难度．
【核心考点目录】
核心考点一：非常规空间几何体为载体
核心考点二：立体几何探索性问题
核心考点三：立体几何折叠问题
核心考点四：立体几何作图问题
核心考点五：立体几何建系繁琐问题
核心考点六：两角相等（构造全等）的立体几何问题
核心考点七：利用传统方法找几何关系建系
核心考点八：空间中的点不好求
核心考点九：创新定义
【真题回归】
1．（2022·天津·统考高考真题）直三棱柱中，，D为的中点，E为的中点，F为的中点．
(1)求证：平面；
(2)求直线与平面所成角的正弦值；
(3)求平面与平面所成二面角的余弦值．
2．（2022·全国·统考高考真题）如图，四面体中，，E为的中点．
(1)证明：平面平面；
(2)设，点F在上，当的面积最小时，求与平面所成的角的正弦值．
3．（2022·浙江·统考高考真题）如图，已知和都是直角梯形，，，，，，，二面角的平面角为．设M，N分别为的中点．
(1)证明：；
(2)求直线与平面所成角的正弦值．
4．（2022·全国·统考高考真题）如图，是三棱锥的高，，，E是的中点．
(1)证明：平面；
(2)若，，，求二面角的正弦值．
5．（2022·全国·统考高考真题）如图，四面体中，，E为AC的中点．
(1)证明：平面平面ACD；
(2)设，点F在BD上，当的面积最小时，求三棱锥的体积．
6．（2022·全国·统考高考真题）在四棱锥中，底面．
(1)证明：；
(2)求PD与平面所成的角的正弦值．
7．（2022·北京·统考高考真题）如图，在三棱柱中，侧面为正方形，平面平面，，M，N分别为，AC的中点．
(1)求证：平面；
(2)再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求直线AB与平面BMN所成角的正弦值．
条件①：；
条件②：．
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．
8．（2022·全国·统考高考真题）如图，直三棱柱的体积为4，的面积为．
(1)求A到平面的距离；
(2)设D为的中点，，平面平面，求二面角的正弦值．
【方法技巧与总结】
1、用综合法求空间角的基本数学思想主要是转化与化归，即把空间角转化为平面角，进而转化为三角形的内角，然后通过解三角形求得．求解的一般步骤为：
（1）作图：作出空间角的平面角．
（2）证明：证明所给图形是符合题设要求的．
（3）计算：在证明的基础上计算得出结果．
简称：一作、二证、三算．
2、用定义作异面直线所成角的方法是“平移转化法”，可固定一条，平移另一条；或两条同时平移到某个特殊的位置，顶点选在特殊的位置上．
3、求直线与平面所成角的常见方法
（1）作角法：作出斜线、垂线、斜线在平面上的射影组成的直角三角形，根据条件求出斜线与射影所成的角即为所求．
（2）等积法：公式，其中是斜线与平面所成的角，h是垂线段的长，是斜线段的长，其中求出垂线段的长（即斜线上的点到面的距离）既是关键又是难点，为此可构造三棱锥，利用等体积法来求垂线段的长．
（3）证垂法：通过证明线面垂直得到线面角为90°．
4、作二面角的平面角常有三种方法
（1）棱上一点双垂线法：在棱上任取一点，过这点分别在两个面内作垂直于棱的射线，这两条射线所成的角，就是二面角的平面角．
（2）面上一点三垂线法：自二面角的一个面上一点向另一面引垂线，再由垂足向棱作垂线得到棱上的点（即垂足），斜足与面上一点连线和斜足与垂足连线所夹的角，即为二面角的平面角．
（3）空间一点垂面法：自空间一点作与棱垂直的平面，截二面角得两条射线，这两条射线所成的角就是二面角的平面角．
【核心考点】
核心考点一：非常规空间几何体为载体
【规律方法】
关键找出三条两两互相垂直的直线建立空间直角坐标系．
【典型例题】
例1．（2022·陕西安康·统考一模）如图，已知为圆锥底面的直径，点C在圆锥底面的圆周上，，，平分，D是上一点，且平面平面.
(1)求证：；
(2)求二面角的正弦值.
例2．（2022·安徽·校联考二模）如图，将长方形（及其内部）绕旋转一周形成圆柱，其中，劣弧的长为为圆的直径.
(1)在弧上是否存在点（在平面的同侧），使，若存在，确定其位置，若不存在，说明理由；
(2)求平面与平面夹角的余弦值.
例3．（2022·山东东营·胜利一中校考模拟预测）如图，分别是圆台上､下底面的直径，且，点是下底面圆周上一点，，圆台的高为.
(1)证明：不存在点使平面平面；
(2)若，求二面角的余泫值.
例4．（2022·河北·统考模拟预测）如图，在圆台中，上底面圆的半径为2，下底面圆O的半径为4，过的平面截圆台得截面为，M是弧的中点，为母线，.
(1)证明：平面；
(2)求二面角的正弦值.
核心考点二：立体几何探索性问题
【规律方法】
与空间向量有关的探究性问题主要有两类：一类是探究线面的位置关系；另一类是探究线面角或二面角满足特定要求时的存在性问题．处理原则：先建立空间直角坐标系，引入参数（有些是题中已给出），设出关键点的坐标，然后探究这样的点是否存在，或参数是否满足要求，从而作出判断．
【典型例题】
例5．（2022·上海虹口·统考一模）如图，在三棱柱中，底面ABC是以AC为斜边的等腰直角三角形，侧面为菱形，点在底面上的投影为AC的中点，且．
(1)求证：；
(2)求点到侧面的距离；
(3)在线段上是否存在点，使得直线DE与侧面所成角的正弦值为？若存在，请求出的长；若不存在，请说明理由．
例6．（2022春·山东·高三山东省实验中学校考阶段练习）如图，在三棱柱中，为等边三角形，四边形为菱形，，，.
(1)求证：；
(2)线段上是否存在一点，使得平面与平面的夹角的余弦值为？若存在，求出点的位置；若不存在，请说明理由.
例7．（2022春·黑龙江绥化·高三海伦市第一中学校考期中）如图1，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝1，E是DC的中点，将沿AE折起，使得点D到达点P的位置，且PB＝PC，如图2所示．F是棱PB上的一点．
(1)若F是棱PB的中点，求证：平面PAE；
(2)是否存在点F，使得二面角的余弦值为？若存在，则求出的值；若不存在，请说明理由．
例8．（2022·广东韶关·统考一模）已知矩形中，，，是的中点，如图所示，沿将翻折至，使得平面平面.
(1)证明：；
(2)若是否存在，使得与平面所成的角的正弦值是？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
核心考点三：立体几何折叠问题
【规律方法】
1、处理图形翻折问题的关键是理清翻折前后长度和角度哪些发生改变，哪些保持不变．
2、把空间几何问题转化为平面几何问题，把握图形之间的关系，感悟数学本质．
【典型例题】
例9．（2022春·江苏南通·高三期中）已知梯形中，，，，，分别是，上的点，，，是的中点，沿将梯形翻折，使平面平面．
(1)当时
①求证：；
②求二面角的余弦值；
(2)三棱锥的体积是否可能等于几何体体积的一半？并说明理由．
例10．（2022春·辽宁·高三辽宁实验中学校考期中）如图1，在平面四边形ABCD中，已知ABDC，，，E是AB的中点．将△BCE沿CE翻折至△PCE，使得，如图2所示．
(1)证明：；
(2)求直线DE与平面PAD所成角的正弦值．
例11．（2022春·湖南长沙·高三宁乡一中校考期中）如图，平面五边形PABCD中，是边长为2的等边三角形，，AB＝2BC＝2，，将沿AD翻折成四棱锥P－ABCD，E是棱PD上的动点（端点除外），F，M分别是AB，CE的中点，且．
(1)证明：；
(2)当直线EF与平面PAD所成的角最大时，求平面ACE与平面PAD夹角的余弦值．
例12．（2022·四川雅安·统考模拟预测）如图①，为边长为6的等边三角形，E，F分别为AB，AC上靠近A的三等分点，现将沿EF折起，使点A翻折至点P的位置，且二面角的大小为120°（如图②）．
(1)在PC上是否存在点H，使得直线平面PBE？若存在，确定点H的位置；若不存在，说明理由．
(2)求直线PC与平面PBE所成角的正弦值．
核心考点四：立体几何作图问题
【规律方法】
（1）利用公理和定理作截面图
（2）利用直线与平面平行的性质定理作平行线
（3）利用平面与平面垂直作平面的垂线
【典型例题】
例13．（2022·贵州·校联考模拟预测）如图，已知平行六面体的底面是菱形，，且.
(1)试在平面内过点作直线，使得直线平面，说明作图方法，并证明：直线；
(2)求点到平面的距离.
例14．（2022秋·河北石家庄·高一石家庄市第十五中学校考期中）如图为一块直四棱柱木料，其底面满足：，．
(1)要经过平面内的一点和棱将木料锯开，在木料表面应该怎样画线？（借助尺规作图，并写出作图说明，无需证明）
(2)若，，当点是矩形的中心时，求点到平面的距离．
例15．（2022·全国·高三专题练习）如图多面体中，面面，为等边三角形，四边形为正方形，，且，，分别为，的中点.
（1）求二面角的余弦值；
（2）作平面FHG与平面ABCD的交线，记该交线与直线AB交点为P，写出的值（不需要说明理由，保留作图痕迹）.
例16．（2022·全国·高三专题练习）四棱锥中，底面是边长为2的菱形，.,且平面，，点分别是线段上的中点，在上.且.
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）求直线与平面的成角的正弦值；
（Ⅲ）请画出平面与四棱锥的表面的交线，并写出作图的步骤.
核心考点五：立体几何建系繁琐问题
【规律方法】
利用传统方法解决
【典型例题】
例17．如图，已知三棱柱的底面是正三角形，侧面是矩形，，分别为，的中点，为上一点．过和的平面交于，交于．
（1）证明：，且平面平面；
（2）设为△的中心．若平面，且，求直线与平面所成角的正弦值．
例18．如图，在锥体中，是边长为1的菱形，且，，，，分别是，的中点
（1）证明：平面
（2）求二面角的余弦值．
例19．（2022春·福建南平·高三校考期中）在三棱柱中，，平面，、分别是棱、的中点.
(1)设为的中点，求证：平面；
(2)若，直线与平面所成角的正切值为，求多面体的体积.
核心考点六：两角相等（构造全等）的立体几何问题
【规律方法】
构造垂直的全等关系
【典型例题】
例20．如图，已知三棱柱的底面是正三角形，侧面是矩形，，分别为，的中点，为上一点．过和的平面交于，交于．
（1）证明：，且平面平面；
（2）设为△的中心．若平面，且，求直线与平面所成角的正弦值．
例21．如图，在锥体中，是边长为1的菱形，且，，，，分别是，的中点
（1）证明：平面
（2）求二面角的余弦值．
核心考点七：利用传统方法找几何关系建系
【规律方法】
利用传统方法证明关系，然后通过几何关系建坐标系．
【典型例题】
例22．如图：长为3的线段与边长为2的正方形垂直相交于其中心．
（1）若二面角的正切值为，试确定在线段的位置；
（2）在（1）的前提下，以，，，，，为顶点的几何体是否存在内切球？若存在，试确定其内切球心的具体位置；若不存在，请说明理由．
例23．在四棱锥中，为棱的中点，平面，，，，，为棱的中点．
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）若二面角为，求直线与平面所成角的正切值．
例24．三棱柱中，，，侧面为矩形，，二面角的正切值为．
（Ⅰ）求侧棱的长；
（Ⅱ）侧棱上是否存在点，使得直线与平面所成角的正切值为，若存在，判断点的位置并证明；若不存在，说明理由．
核心考点八：空间中的点不好求
【规律方法】
方程组思想
【典型例题】
例25．（2022·江苏南京·模拟预测）已知三棱台的体积为，且，平面.
(1)证明：平面平面；
(2)若，，求二面角的正弦值.
例26．（2022春·浙江·高三浙江省新昌中学校联考期中）如图，在四棱台中，底面是边长为2的菱形，，平面平面，点分别为的中点，均为锐角.
(1)求证：；
(2)若异面直线与所成角正弦值为，四棱锥的体积为1，求二面角的平面角的余弦值.
例27．（2022春·辽宁沈阳·高三沈阳市第一二〇中学校考期中）如图，在几何体中，底面为以为斜边的等腰直角三角形.已知平面平面，平面平面平面.
(1)证明；平面；
(2)若，设为棱的中点，求当几何体的体积取最大值时,与所成角的余弦值.
核心考点九：创新定义
【规律方法】
以立体几何为载体的情境题都跟图形有关，涉及在具体情境下的图形阅读，需要通过数形结合来解决问题．图形怎么阅读?一是要读特征，即从图形中读出图形的基本特征；二是要读本质，即要善于将所读出的信息进行提升，实现“图形→文字→符号”的转化；三是要有问题意识，带着问题阅读图形，将研究图形的本身特征和关注题目要解决的问题有机地融合在一起；四是要有运动观点，要“动手”去操作，动态地去阅读图形．
【典型例题】
例28．（2022·安徽合肥·合肥一六八中学校考模拟预测）已知顶点为S的圆锥面（以下简称圆锥S）与不经过顶点S的平面α相交，记交线为C，圆锥S的轴线l与平面α所成角θ是圆锥S顶角（圆S轴截面上两条母线所成角θ的一半，为探究曲线C的形状，我们构建球T，使球T与圆锥S和平面α都相切，记球T与平面α的切点为F，直线l与平面α交点为A，直线AF与圆锥S交点为O，圆锥S的母线OS与球T的切点为M，，．
(1)求证：平面SOA⊥平面α，并指出a，b，关系式；
(2)求证：曲线C是抛物线．
例29．（2022·全国·高三专题练习）类比于二维平面中的余弦定理，有三维空间中的三面角余弦定理；如图1，由射线，，构成的三面角，，，，二面角的大小为，则．
（1）当、时，证明以上三面角余弦定理；
（2）如图2，四棱柱中，平面平面，，，
①求的余弦值；
②在直线上是否存在点，使平面？若存在，求出点的位置；若不存在，说明理由．
例30．（2022·全国·校联考模拟预测）蜂房是自然界最神奇的“建筑”之一，如图1所示．蜂房结构是由正六棱柱截去三个相等的三棱锥，，，再分别以，，为轴将，，分别向上翻转，使，，三点重合为点所围成的曲顶多面体（下底面开口），如图2所示．蜂房曲顶空间的弯曲度可用曲率来刻画，定义其度量值等于蜂房顶端三个菱形的各个顶点的曲率之和，而每一顶点的曲率规定等于减去蜂房多面体在该点的各个面角之和（多面体的面角是多面体的面的内角，用弧度制表示）．
（1）求蜂房曲顶空间的弯曲度；
（2）若正六棱柱的侧面积一定，当蜂房表面积最小时，求其顶点的曲率的余弦值．
【新题速递】
1．（2022·重庆沙坪坝·重庆八中校考模拟预测）如图，在三棱柱中，，.
(1)证明：平面平面；
(2)若，，，求直线与平面所成角的正弦值.
2．（2022·四川达州·统考一模）如图，三棱柱中，底面为等腰直角三角形，，.
(1)证明: ；
(2)若，求与平面所成角的正弦值.
3．（2022·陕西宝鸡·统考一模）如图在四棱锥中，底面，且底面是平行四边形.已知是中点.
(1)求证：平面平面；
(2)求平面与平面所成锐二面角的余弦值.
4．（2022·广东广州·统考一模）如图，已知四棱锥的底面是菱形，平面平面，为的中点，点在上，.
(1)证明：平面；
(2)若，且与平面所成的角为，求平面与平面夹角的余弦值.
5．（2022·上海奉贤·统考一模）如图，在四面体中，已知.点是中点.
(1)求证：平面；
(2)已知，作出二面角的平面角，并求它的正弦值.
6．（2022·上海浦东新·统考一模）如图，三棱锥中，侧面PAB垂直于底面ABC，，底面ABC是斜边为AB的直角三角形，且，记O为AB的中点，E为OC的中点.
(1)求证：；
(2)若，直线PC与底面ABC所成角的大小为60°，求四面体PAOC的体积.
7．（2022·四川成都·石室中学校考模拟预测）如图，在四棱锥中，，，，是棱的中点，且平面
(1)证明：平面；
(2)若，求二面角的正弦值.
8．（2022春·江苏徐州·高三期末）如图，四棱锥中，底面，∥，为的中点.
(1)若点M在AD上，，，证明：平面；
(2)若，，求二面角的余弦值.
9．（2022·陕西汉中·统考一模）如图，多面体中，四边形为菱形，平面，且.
(1)求证：；
(2)求二面角的大小.
10．（2022·陕西汉中·统考一模）如图，多面体中，四边形为菱形，平面，且.
(1)求证：；
(2)求点到平面的距离.
11．（2022·四川广安·广安二中校考模拟预测）是等腰直角三角形，且，四边形是直角梯形，，，且，平面平面.
(1)求证：平面；
(2)若点是线段上的一个动点，问点在何位置时三棱锥的体积为.
12．（2022·四川南充·统考一模）在平面五边形ABCDE中（如图1），ABCD是梯形，，，，，是等边三角形．现将沿AD折起，连接EB，EC得四棱锥（如图2）且．
(1)求证：平面平面ABCD；
(2)在棱EB上有点F，满足，求二面角的余弦值．
13．（2022·贵州贵阳·贵阳六中校考一模）如图，在四棱锥中，，，，，.
(1)求证：平面.
(2)设E为BC的中点，求PE与平面ABCD所成角的正弦值.
14．（2022春·广东广州·高三校考期中）如图所示，在四棱锥中，底面，四边形是直角梯形，，，点在侧棱上.
(1)求证：平面平面；
(2)若平面与平面的夹角的余弦值为，求的值.