2024-2025学年江苏省天一中学领军班高一（上）期末数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年江苏省天一中学领军班高一（上）期末数学试卷（含答案），共9页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.设集合A、B、C均为非空集合，下列命题中为真命题的是( )
A. 若A∩B=B∩C，则A=CB. 若A∪B=B∪C，则A=C
C. 若A∪B=B∩C，则C⊆BD. 若A∩B=B∪C，则C⊆B
2.折扇是一种用竹木或象牙做扇骨，㓞纸或绫绢做扇面的能折叠的扇子，如图1，其平面图如图2的扇形AOB，其中∠AOB=120°，OA=3OC=3，则扇面(曲边四边形ABDC)的面积是( )
A. 43πB. 83πC. 3πD. 163π
3.下列各式：823+8lg23=7①，lg6lg35+lne2=3②，lg23⋅lg34=2③，(93 2)2+ 2=9④，其中正确的个数为( )
A. 1B. 2C. 3D. 4
4.已知α为锐角且cs(α+π6)=45，则sin(α−π12)的值为( )
A. 210B. 7 210C. − 210D. −7 210
5.已知正实数a，b满足a+b=1，则下列结论正确的是( )
A. 0< ab≤14B. 1a+9b≥20C. a+ b≥ 2D. 2a+2b≥2 2
6.若tan(π4+θ)=−13，则sin(π2+θ)(1−sin2θ)sin(π−θ)+cs(π+θ)=( )
A. 3B. 35C. 15D. −35
7.设函数f(x)定义域为R，满足f(x)+f(−x)=0，且f(−2)=0，若f(x)在(0,+∞)上单调递增，则不等式(x+1)⋅f(x)0，求a+4b+1a−b的最小值．
16.(本小题12分)
已知∠α的顶点在坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过一点P(−3,a)．
(1)若a=4，求sin(−α−π)+sin(3π2−α)cs(π2+α)+cs(−π+α)的值；
(2)若a= 3且α∈(0,2π)，设函数f(x)=2csx⋅cs(x−α)+ 32，求f(x)的单调递增区间．
17.(本小题12分)
如图，已知一块足球场地的球门MN宽7米，底线MN上有一点A，且NA长9米.现有球员带球沿垂直于底线的线路BA向底线MA直线运球，假设球员射门时足球运动线路均为直线．

(1)当球员运动到距离点A为4米的点C时，求该球员射门角度∠MCN的正切值；
(2)若该球员将球直接带到点A，然后选择沿其左后60°方向(即∠MAD=60°)的线路AD将球回传给点D处的队友.已知AD长14米，若该队友沿着线路DA向点A直线运球，并计划在线路DA上选择某个位置E进行射门，求AE的长度多大时，射门角度∠MEN最大．
18.(本小题12分)
已知函数f(x)=x2−(a+1)x+a−1，g(x)=x2−4ax+3．
(1)若∃x∈[1,4]，使得不等式f(x)≤−2成立，求实数a的取值范围；
(2)记ℎ(x)=|g(x)|，若函数y=ℎ(x)在(−1,4)单调递增，求实数a的取值范围；
(3)当a=1时，若关于x的方程f(x)⋅g(x)=m无实数根，求实数m的取值范围．
19.(本小题12分)
对于两个定义域相同的函数f(x)，g(x)，若存在实数λ，μ，使得ℎ(x)=λf(x)+μg(x)，则称函数ℎ(x)是由“基底函数”f(x)和g(x)生成的．
(1)以f(x)=sin(x−π4)，g(x)=sin2x为“基底函数”生成一个函数ℎ(x)，同时满足：①定义域为R，②λ=μ，③ℎmax(x)=1.求函数ℎ(x)的解析式；
(2)以f(x)=lg2(4x+1)，g(x)=12x+1为“基底函数”生成一个函数ℎ(x)，同时满足：①定义域为R，②ℎ(x)为偶函数，③ℎ(0)=−1．
(Ⅰ)求函数ℎ(x)的解析式；
(Ⅱ)已知−1=x0≤x1≤x2≤⋯≤xn−1≤xn=1(n≥3,n∈Z)，记M=|ℎ(x1)−ℎ(x0)|+|ℎ(x2)−ℎ(x1)|+⋯+|ℎ(xn)−ℎ(xn−1)|，试求M的最大值．
参考答案
1.D
2.B
3.B
4.C
5.D
6.D
7.B
8.A
9.BC
10.ACD
11.BCD
12.8
13.− 3
14.10
15.解：(1)由题意得x=−3，x=2为方程ax2−bx=c的根且a0，b>0且f(1)=a−b>0，
所以a>b>0，
所以a+4b+1a−b=a−b+1a−b+4b+b≥2 (a−b)⋅1a−b+2 b⋅4b=6，
当且仅当b=4ba−b=1a−b，即a=3，b=2时取等号，
所以a+4b+1a−b的最小值为6．
16.解：(1)已知∠α的顶点在坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过一点P(−3,a)，
当a=4，sinα=4 (−3)2+42=45，csα=−3 (−3)2+42=−35；
sin(−α−π)+sin(3π2−α)cs(π2+α)+cs(−π+α)=−sin(π+α)−csα−sinα+cs(π−α)=sinα−csα−sinα−csα=45+35−45+35=75−15=−7．
(2)当a= 3，则sinα= 3 (−3)2+( 3)2=12，csα=−3 (−3)2+( 3)2=− 32，
f(x)=2csx⋅cs(x−α)+ 32=2csx(csx⋅csα+sinx⋅sinα)+ 32，
=12sin2x− 32csx=sin2xcsπ3−csxsinπ3=sin(2x−π3)．
所以函数的增区间为：−π2+2kπ≤2x−π3≤π2+2kπ(k∈Z)，
解得−π12+kπ≤x≤5π12+kπ(k∈Z)．
故增区间为[−π12+kπ,5π12+kπ](k∈Z)．
17.解：(1)由题知MN=7，AN=9，AC=4，则AM=16，
在Rt△AMC中，tan∠ACM=AMAC=164=4，
在Rt△ANC中，tan∠ACN=ANAC=94，
所以tan∠MCN=tan(∠ACM−∠ACN)=tan∠ACM−tan∠ACN1+tan∠ACM⋅tan∠ACN=4−941+4×94=740．
(2)如图，作EH⊥AM，垂足为H，
设AE=x(0ℎ(xk)，ℎ(xk+1)