2024-2025学年湖南省常德市临澧县第一中学高二下学期开学考试数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年湖南省常德市临澧县第一中学高二下学期开学考试数学试卷（含答案），共8页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.直线 3 x+y+m=0(m∈R)的倾斜角是( )
A. 30°B. 60°C. 120°D. 150°
2.在等差数列an中，已知a5=15，则a4+a6的值为( )
A. 60B. 45C. 30D. 120
3.设等比数列an的公比为q，若a1+a5=4,a2a4=4，则q=( )
A. 1B. −2C. −12或2D. −1或1
4.已知a=(−2,1,3)，b=(−1,1,1)，若a→⊥(a→−λb→)，则实数λ的值为( )
A. −2B. −143C. 73D. 2
5.空间直角坐标系O−xyz中，经过点P(x0,y0,z0)且法向量为m=(A,B,C)的平面方程为A(x−x0)+B(y−y0)+C(z−z0)=0，经过点P(x0,y0,z0)且一个方向向量为n=(μ,υ,ω)(μυω≠0)的直线l的方程为x−x0μ=y−y0υ=z−z0ω，阅读上面的材料并解决下面问题：现给出平面α的方程为3x−5y+z−7=0，经过(0,0,0)的直线l的方程为x3=y2=z−1，则直线l与平面α所成角的正弦值为( )
A. 1010B. 1035C. 105D. 57
6.如图，二面角α−l−β等于34π，A，B是棱l上两点，AC⊥l，BD⊥l，且AB=AC=2，BD=2 2，则CD的长等于( )
A. 2 2B. 2 3C. 2 5D. 2 6
7.设双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左，右焦点分别为F1，F2，左、右顶点为A1，A2，已知P为双曲线一条渐近线上一点，若∠F1PF2=3∠A1PA2=π2，则双曲线C的离心率e= ( )
A. 13B. 2 3C. 11D. 10
8.抛物线y2=14x的准线l与双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)交于A、B两点，F1，F2为曲线C的左右焦点，F1在准线l的左边，△F1AB为等边三角形，AF2与双曲线的一条渐近线交于E点，EA+EF2=0，则▵OEF2的面积为( )
A. 32B. 12C. 24D. 36
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.对任意的θ，方程(sinθ)x2+(csθ)y2=1所表示的曲线可能为( )
A. 双曲线B. 抛物线C. 椭圆D. 圆
10.已知圆C:(x−1)2+(y−2)2=25，直线l:(2m+1)x+(m+1)y−7m−4=0.则下列命题中正确的有( )
A. 直线l恒过定点(3,1)
B. 圆C被y轴截得的弦长为4
C. 直线l与圆C恒相离
D. 直线l被圆C截得最短弦长时，直线l的方程为2x−y−5=0
11.设数列{an}的前n项和为Sn，且an+1=Sn+n−1，则下列结论正确的是( )
A. 若a1=1，则数列{Sn+n}为等比数列
B. 若a1=1，则数列{an+1}为等比数列
C. 若a1=−1，则数列{Sn+n}为等差数列
D. 若a1=−1，则数列{an+1}为等差数列
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知圆C:x2+y2=9，过点P(3,1)作圆C的切线，则切线方程为 ．
13.若数列an满足a1=12，a1+2a2+3a3+⋯+nan=n2an，n∈N∗，则a20= ；
14.F1､F2是椭圆E：x2a2+y2b2=1a>b>0的左､右焦点，点M为椭圆E上一点，点N在x轴上，满足∠F1MN=∠F2MN=60 ∘，若3MF1+5MF2=λMN，则椭圆E的离心率为 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
已知直线l:y=2，圆C的圆心在x轴正半轴上，且圆C与l和y轴均相切．
(1)求圆C的方程；
(2)若直线x+by−1=0与圆C交于A，B两点，且AB=2 3，求b的值．
16.(本小题12分)
已知数列an中，an>0，a1=1，前n项和为Sn，且(S n2+S n−12)−(Sn+Sn−1)=2SnSn−1(n≥2)．
(1)求证：数列an是等差数列；
(2)设bn=−1n2n+1anan+1，求数列bn的前2n项和T2n．
17.(本小题12分)
已知抛物线E:y2=2pxp>0的焦点到准线的距离为2．
(1)求抛物线E的标准方程；
(2)过抛物线E的焦点F的直线交抛物线于A,B两点，分别过A,B两点作准线的垂线，垂足分别为A1、B1两点，以线段A1B1为直径的圆C过点M−2,3，求圆的方程．
18.(本小题12分)
如图，在四棱锥P−ABCD中，CD⊥平面PAD，△PAD为等边三角形，AD//BC，AD=CD=2BC=2，平面PBC交平面PAD于直线l，E、F分别为棱PD，PB的中点．

(1)求证：BC//l；
(2)求平面AEF与平面PAD所成锐二面角的余弦值；
(3)在棱PC上是否存在点G，使得DG//平面AEF？若存在，求PGPC的值，若不存在，说明理由．
19.(本小题12分)
如图，已知椭圆Γ：x2a2+y2b2=1的离心率为 22，A−2,0点为其左顶点．过A的直线l交抛物线y2=2pxp>0于B、C两点，C是AB的中点．

(1)求椭圆Γ的方程；
(2)求证：点C的横坐标是定值，并求出该定值；
(3)若直线m过C点，其倾斜角和直线l的倾斜角互补，且交椭圆于M，N两点，求p的值，使得▵BMN的面积最大．
参考答案
1.C
2.C
3.D
4.C
5.B
6.D
7.A
8.D
9.ACD
10.AD
11.ACD
12.x=3或4x+3y−15=0
13.35
14.78/0.875
15.解：(1)设圆心为a,0a>0，半径为rr>0，
则由题意得a=r=2，
故该圆的方程为x−22+y2=4；
(2)圆心2,0到直线x+by−1=0的距离为
d=2+0−1 1+b2=1 1+b2，
则1 1+b22+ 32=22，
解得b=0．

16.解：(1)证明：∵(Sn2+Sn−12)−(Sn+Sn−1)=2SnSn−1(n≥2)①
∵a1=1令n=2得a2=2，
∴(Sn+12+Sn2)−(Sn+1+Sn)=2Sn+1Sn②，
②−①得(Sn+12 −Sn−12)+(Sn−1−Sn+1)=2Sn(Sn+1−Sn−1)③，
∵an>0，∴Sn+1−Sn≠0在③中可约去得，Sn+1+Sn−1−1=2Sn(n≥2)
∴(Sn+1−Sn)−(Sn−Sn−1)=1(n≥2)即an+1−an=1(n≥2)，
又∵a2−a1=1，∴{an}是以首项为1，公差为1的等差数列．
(2)易得an=n，∴bn=(−1)n2n+1n(n+1)=(−1)n(1n+1n+1)，
∴T2n=b1+b2+b3+…+b2n
=−(1+12)+(12+13)−(13+14)+…+(12n+12n+1)
=−1−12+12+13−13−14+…+12n+12n+1
=−1+12n+1=−2n2n+1．

17.解：(1)抛物线E:y2=2pxp>0的焦点到准线的距离p=2，
所以抛物线E的标准方程是y2=4x．
(2)由(1)得抛物线E的标准方程是y2=4x，焦点F1,0，准线方程x=−1，
依题意可知直线AB与x轴不重合，设直线AB的方程为x=my+1，
由x=my+1y2=4x消去x并化简得y2−4my−4=0，Δ=16m2+16>0，
设Ax1,y1,Bx2,y2，
则y1+y2=4m,y1y2=−4,x1x2=y12y2216=1,x1+x2=my1+y2+2=4m2+2，
A1−1,y1,B1−1,y2，所以C−1,y1+y22，即C−1,2m，
A1B1=y1−y2= y1+y22−4y1y2= 16m2+16=4 m2+1，
所以圆C的方程为x+12+y−2m2=2 m2+12，
即x+12+y−2m2=4m2+1，将M−2,3代入得−2+12+3−2m2=4m2+1，解得m=12，
所以圆C的方程为x+12+y−12=5．

18.解：(1)证明：因为 AD // BC ， AD⊂ 平面PAD ， BC⊄ 平面PAD ，
所以 BC //平面PAD ，
又因为 BC⊂ 平面PBC ，平面 PBC∩ 平面PAD= 直线l，
所以 BC // l ．
(2)取AD 的中点O ，连接OP，OB ，
由题意可得： BC // OD ，且 BC=OD ，
则OBCD 为平行四边形，可得 OB // CD ，
又 CD⊥ 平面PAD，则 OB⊥ 平面PAD，
由 OP⊂ 平面PAD，则 OP⊥OB ，
又因为△PAD为等边三角形，且 O 为AD 的中点，可得 OP⊥AD ，
又OB∩AD=O ， OB,AD⊂ 平面ABCD ，则 OP⊥ 平面ABCD ，
如图，以O 为坐标原点，OA，OB，OP所在直线分别为x，y，z 轴建立空间直角坐标系，则 A(1,0,0),B(0,2,0),C(−1,2,0),D(−1,0,0) ，
P(0,0, 3),E(−12,0, 32),F(0,1, 32)，
可得 AE=−32,0, 32,EF=12,1,0 ，
设平面AEF的法向量为 n=x,y,z ，
则 n⋅AE=−32x+ 32z=0n⋅EF=12x+y=0 ，
令 x=2 ，则 y=−1,z=2 3 ，即 n=2,−1,2 3 ，
由题意可知：平面PAD的一个法向量为 m=0,1,0 ，
可得 csn,m=n⋅m|n|⋅|m|=−1 17×1=− 1717 ，
所以平面AEF与平面PAD所成锐二面角的余弦值为 1717 ．

(3)由(2)可得： PC=−1,2,− 3 ，
设 PG=λPC ， Ga,b,c ，则 PG=a,b,c− 3 ，
可得 a=−λb=2λc− 3=− 3λ ，解得 a=−λb=2λc= 31−λ ，
即 G−λ,2λ, 31−λ ，可得 DG=1−λ,2λ, 31−λ ，
若 DG //平面AEF，则 n⊥DG ，
可得 n⋅DG=21−λ−2λ+61−λ=0 ，解得 λ=45 ，
所以存在点G ，使得 DG//平面AEF，此时 PGPC=45 ．

19.解：(1)令椭圆Γ的半焦距为c，依题意，a=2，ca= 22，解得c= 2，则b2=a2−c2=2，
所以椭圆Γ的方程为x24+y22=1．
(2)显然直线l不垂直于坐标轴，设l的方程为x=ty−2,t≠0，设B(x1,y1),C(x2,y2)，
由x=ty−2y2=2px消去x得：y2−2pty+4p=0，Δ=4p2t2−16p>0⇔pt2>4，
则y1+y2=2pt,y1y2=4p，而C是AB的中点，即有y1=2y2，于是y2=2pt3,pt2=92，
满足Δ>0，因此x2=ty2−2=23pt2−2=1，
所以点C的横坐标是定值，该定值为1．
(3)由直线m过C点，其倾斜角和直线l的倾斜角互补，得直线m和直线l的斜率互为相反数，
则由(1)得直线m的方程为x=−t(y−2pt3)+1，即x=−ty+4，
由x=−ty+4x2+2y2=4消去x得：(t2+2)y2−8ty+12=0，Δ′=64t2−48(t2+2)>0⇔t2>6，
设M(x3,y3),N(x4,y4)，则y3+y4=8tt2+2,y3y4=12t2+2，
|MN|= 1+(−t)2|y3−y4|= 1+t2⋅ (y3+y4)2−4y3y4= 1+t2⋅ 64t2(t2+2)2−48t2+2
=4 1+t2⋅ t2−6t2+2，点A(−2,0)到直线m：x+ty−4=0的距离d=6 1+t2，
由C是AB的中点得▵BMN的面积S▵BMN=S▵AMN=12|MN|⋅d=12⋅4 1+t2⋅ t2−6t2+2⋅6 1+t2=12 t2−6t2+2，
令 t2−6=u>0，则S▵BMN=12uu2+8=12u+8u≤122 u⋅8u=3 22，当且仅当u=8u，即t2=14时取等号，
所以当t2=14时，▵BMN的面积取得最大值，此时p=92t2=928．