中考数学——三角形的概念和性质(含8种解题技巧))(含答案)练习

这是一份中考数学——三角形的概念和性质(含8种解题技巧))(含答案)练习，共139页。
TOC \ "1-1" \n \h \z \u \l "_Tc186269291" 01考情透视·目标导航
\l "_Tc186269292" 02知识导图·思维引航
\l "_Tc186269293" 03考点突破·考法探究
\l "_Tc186269294" 考点一 三角形的基础
\l "_Tc186269295" 考点二 三角形中有关线段
\l "_Tc186269296" 考点三 与三角形有关的角
\l "_Tc186269297" 04题型精研·考向洞悉
\l "_Tc186269298" 命题点一 与三角形有关的线段
\l "_Tc186269299" ►题型01 三角形的稳定性
\l "_Tc186269300" ►题型02 画三角形的五线
\l "_Tc186269301" ►题型03 与三角形高有关的计算
\l "_Tc186269302" ►题型04 等面积法求高
\l "_Tc186269303" ►题型05 求网格中的三角形面积
\l "_Tc186269304" ►题型06 与三角形中线有关的计算
\l "_Tc186269305" ►题型07 与三角形重心有关的计算
\l "_Tc186269306" ►题型08 与三角形中位线有关的计算
\l "_Tc186269307" ►题型09 利用角平分线的性质求解
\l "_Tc186269308" ►题型10 角平分线的判定
\l "_Tc186269309" ►题型11 利用垂直平分线的性质求解
\l "_Tc186269310" ►题型12 垂直平分线线的判定
\l "_Tc186269311" ►题型13 根据作图痕迹求解
\l "_Tc186269312" ►题型14 利用三角形三边关系求解
\l "_Tc186269313" 命题点二 与三角形有关的角
\l "_Tc186269314" ►题型01 利用三角形内角和定理求解
\l "_Tc186269315" ►题型02 三角形内角和与平行线的综合应用
\l "_Tc186269316" ►题型03 三角形内角和与角平分线的综合应用
\l "_Tc186269317" ►题型04 与角度有关的折叠问题
\l "_Tc186269318" ►题型05 利用三角形内角和定理解决三角板问题
\l "_Tc186269319" ►题型06 利用三角形外角和定理求解
\l "_Tc186269320" ►题型07 三角形外角性质与平行线的综合应用
\l "_Tc186269321" ►题型08 三角形内角和定理与外角和定理的综合
01考情透视·目标导航
\l "_Tc186100571" 02知识导图·思维引航
\l "_Tc186100572" 03考点突破·考法探究
考点一 三角形的基础
一、三角形的相关概念
三角形的定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形.
三角形的表示：用符号“Δ”表示，顶点是A、B、C的三角形记作“ΔABC”，读作“三角形ABC”.
二、三角形的分类
1）三角形按边分类：三角形三边都不相等的三角形 等腰三角形等边三角形 （三边都相等） 底边和腰不相等的等腰三角形（只有两边相等）
2）三角形按角分类：三角形直角三角形 斜三角形锐角三角形钝角三角形
三、三角形的稳定性
三角形的稳定性: 三角形三条边确定之后，三角形的形状和大小就确定不变了，这个性质叫做三角形的稳定性.
【补充】四边形及多边形不具有稳定性，要使多边形具有稳定性，方法是将多边形分成多个三角形，这样多边形就具有稳定性了.
三角形三边关系：三角形的任意两边之和大于第三边，三角形的任意两边之差小于第三边．
三角形三边关系的应用：
1）判断三条已知线段能否组成三角形，只需检验最短的两边之和大于第三边，则可说明能组成三角形．
2）已知三角形两边的长度分别为a，b，求第三边长度的范围：|a-b|＜c＜a＋b
3）所有通过周长相加减求三角形的边，求出两个答案的，要注意检查每个答案能否组成三角形．
1．（2024·陕西·中考真题）如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AD是BC边上的高，E是DC的中点，连接AE，则图中的直角三角形有（ ）

A．2个B．3个C．4个D．5个
2．（2022·河北石家庄·模拟预测）如图，一只手盖住了一个三角形的部分图形，则这个三角形不可能是（ ）
A．钝角三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．等边三角形
3．（2023·吉林·中考真题）如图，钢架桥的设计中采用了三角形的结构，其数学道理是 ．
4．（2023·江苏盐城·中考真题）下列每组数分别表示3根小木棒的长度（单位：cm），其中能搭成一个三角形的是（ ）
A．5，7，12B．7，7，15C．6，9，16D．6，8，12
考点二 三角形中有关线段
1．（2022·江苏常州·中考真题）如图，在△ABC中，E是中线AD的中点．若△AEC的面积是1，则△ABD的面积是 ．
2．（2024·河北·中考真题）观察图中尺规作图的痕迹，可得线段BD一定是△ABC的（ ）
A．角平分线B．高线C．中位线D．中线
3．（2024·青海·中考真题）如图，OC平分∠AOB，点P在OC上，PD⊥OB，PD=2，则点P到OA的距离是（ ）
A．4B．3C．2D．1
4．（2024·甘肃兰州·中考真题）如图，小张想估测被池塘隔开的A，B两处景观之间的距离，他先在AB外取一点C，然后步测出AC,BC的中点D，E，并步测出DE的长约为18m，由此估测A，B之间的距离约为（ ）
A．18mB．24mC．36mD．54m
5．（2024·江苏镇江·中考真题）如图，△ABC的边AB的垂直平分线交AC于点D，连接BD．若AC=8，CD=5，则BD= ．
QUOTE QUOTE 考点三 与三角形有关的角
三角形的内角和定理：三角形三个内角和等于180°．
推论：直角三角形的两个锐角互余.
三角形的内角和定理的应用：
1)在三角形中,已知两个内角的度数,可以求出第三个内角的度数；
2)在三角形中,已知三个内角的比例关系,可以求出三个内角的度数；
3)在直角三角形中,已知一个锐角的度数,可以求出另一个锐角的度数.
三角形的外角和定理：三角形的外角和等于360°．
三角形的外角的性质：1）三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；
2）三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角．
1．（2024·湖南长沙·中考真题）如图，在△ABC中，∠BAC=60°，∠B=50°，AD∥BC．则∠1的度数为（ ）
A．50°B．60°C．70°D．80°
2．（2023·广东深圳·中考真题）如图为商场某品牌椅子的侧面图，∠DEF=120°，DE与地面平行，∠ABD=50°，则∠ACB=（ ）

A．70°B．65°C．60°D．50°
3．（2023·河北张家口·一模）将一副三角板按如图所示方式摆放，使有刻度的边互相垂直，则∠1=（ ）
A．45°B．50°C．60°D．75°
4．（2024·河北·模拟预测）如图，三角形纸片沿过一个顶点的直线剪开后得到① ②两个三角形纸片，则一定正确的是（ ）
A．∠A=∠EB．∠C=∠E
C．∠B=∠E+∠F D．∠D=∠A+∠B
5．（2023·四川遂宁·中考真题）一个三角形的三个内角的度数的比试1:2:3，这个三角形是 三角形
\l "_Tc186100578" 04题型精研·考向洞悉
命题点一 与三角形有关的线段
►题型01 三角形的稳定性
1) 三角形具有稳定性.2) 四边形及多边形不具有稳定性，要使多边形具有稳定性，方法是将多边形分成多个三角形，这样多边形就具有稳定性了.
1．（2022·湖南永州·中考真题）下列多边形具有稳定性的是（ ）
A．B．C．D．
2．（2024·吉林长春·一模）四边形结构在生活实践中有着广泛的应用，如图所示的升降机，通过控制平行四边形形状的升降杆，使升降机降低或升高，其蕴含的数学道理是（ ）
A．平行四边形的对边相等B．平行四边形的对角相等
C．四边形的不稳定性D．四边形的内角和等于360°
3．（2021·吉林长春·二模）如图所示的五边形木架不具有稳定性，若要使该木架稳定，则要钉上的细木条的数量至少为（ ）
A．1B．2C．3D．4
QUOTE QUOTE QUOTE ►题型02 画三角形的五线
1．（2023·河北石家庄·模拟预测）嘉淇剪一个锐角△ABC做折纸游戏，折叠方法如图所示，折痕与BC交于点D，连接AD，则线段AD分别是△ABC的（ ）

A．高，中线，角平分线B．高，角平分线，中线
C．中线，高，角平分线D．高，角平分线，垂直平分线
2．（2024·广东深圳·中考真题）在如图的三个图形中，根据尺规作图的痕迹，能判断射线AD平分∠BAC的是（ ）

A．①②B．①③C．②③D．只有①
3．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，在△ABC中，请用尺规作图法在AC边上确定一点D，连接BD，使得BD平分△ABC的面积．（不写作法、保留作图痕迹）
4．（2023·广东江门·一模）如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6．
(1)根据要求用尺规作图：作AB边上的高CD交AB于点D；（不写作法，只保留作图痕迹）
(2)在（1）的条件下，求CD的长．
5．（2023·山东青岛·中考真题）用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹．
已知：△ABC．
求作：点P，使PA=PC，且点P在△ABC边AB的高上．

►题型03 与三角形高有关的计算
①有高首先想到面积，可以考虑等面积法求高线.
②高相等，面积之比等于底边之比.
1．（2024·山东德州·中考真题）如图，在△ABC中，AD是高，AE是中线，AD=4，S△ABC=12，则BE的长为（ ）
A．1.5B．3C．4D．6
2．（2024亲水县三模）如图，已知△ABC的面积为48，AB=AC=8，点D为BC边上一点，过点D分别作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若DF=2DE，则DE长为（ ）
A．2B．3C．4D．6
3．（2023·安徽·中考真题）清初数学家梅文鼎在著作《平三角举要》中，对南宋数学家秦九韶提出的计算三角形面积的“三斜求积术”给出了一个完整的证明，证明过程中创造性地设计直角三角形，得出了一个结论：如图，AD是锐角△ABC的高，则BD=12BC+AB2−AC2BC．当AB=7,BC=6，AC=5时，CD= ．

4．（2022·山东青岛·中考真题）【图形定义】
有一条高线相等的两个三角形称为等高三角形．
例如：如图①．在△ABC和△A'B'C'中，AD,A'D'分别是BC和B'C'边上的高线，且AD=A'D'，则△ABC和△A'B'C'是等高三角形．
【性质探究】
如图①，用S△ABC，S△A'B'C'分别表示△ABC和△A'B'C'的面积．
则S△ABC=12BC⋅AD,S△A'B'C'=12B'C'⋅A'D'，
∵AD=A'D'
∴S△ABC:S△A'B'C=BC:B'C'．
【性质应用】
(1)如图②，D是△ABC的边BC上的一点．若BD=3,DC=4，则S△ABD:S△ADC=__________；
(2)如图③，在△ABC中，D，E分别是BC和AB边上的点．若BE:AB=1:2，CD:BC=1:3，S△ABC=1，则S△BEC=__________，S△CDE=_________；
(3)如图③，在△ABC中，D，E分别是BC和AB边上的点，若BE:AB=1:m，CD:BC=1:n，S△ABC=a，则S△CDE=__________．
QUOTE QUOTE QUOTE QUOTE QUOTE ►题型04 等面积法求高
等面积法是一种方程思想，即用两种不同的方法表示同一个三角形的面积，那么这两个表示的面积是相等的，就可以列方程求高或者求底了.一般情况下:一种是利用面积公式表示三角形面积,另一种是利用割补法表示三角形的面积.
1．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，在3×3的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，点A，B，C都在网格线的交点上，则△ABC中边BC上的高为（ ）
A．54B．2105C．102D．4105
2．（2024·上海宝山·一模）如图，在笔直的公路AB旁有一座山，从山另一边的C处到公路上的停靠站A的距离为15km，与公路上另一停靠站B的距离为20km，停靠点A、B之间的距离为25km，为方便运输货物现要从公路AB上的D处开凿隧道修通一条公路到C处，且CD⊥AB．则修建公路CD长度为 km
3．（2021·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）直角三角形的两条边长分别3和4，这个直角三角形斜边儿上的高为 ．
4．（2023·四川乐山·中考真题）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点D为AB边上任意一点（不与点A、B重合），过点D作DE∥BC，DF∥AC，分别交AC、BC于点E、F，连接EF．

(1)求证：四边形ECFD是矩形；
(2)若CF=2，CE=4，求点C到EF的距离．
QUOTE ►题型05 求网格中的三角形面积
1）利用割补法求三角形的面积.
2）皮克定理：三角形的面积=内点数+边点数÷2-1
1．（2024恩施市一模）如图，在平面直角坐标系中，已知点A−3,−1，B1,3，C2,−3，则三角形ABC的面积为 ．

2．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点坐标分别是A3,−1、B1,−4、C3,−3，将△ABC向左平移1个单位，再向上平移3个单位，得到△A'B'C'，其中点A，B，C的对应点分别为A'，B'，C'．
(1)请画出△A'B'C'；
(2)点C'的坐标为_________；△B'BC的面积为_________．
3．（2024浙江模拟预测）正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点，作△ABC，使AB=5，AC=10，BC=17，并求△ABC的面积．
4．（2024洛阳市模拟）如图，每个小正方形的边长为1．
(1)求四边形ABCD的面积；
(2)求∠BCD的度数．
►题型06 与三角形中线有关的计算
1．（2024珠海区模拟）在△ABC，AB=20，BC=18，BD是AC边上的中线，若△ABD的周长为45，△BCD的周长是（ ）
A．47B．43C．38D．25
2．（2024·山西太原·三模）如图示，BE是△ABC的中线，点D是AB边靠近顶点B的一个三等分点，连接CD，交BE于点F，则DFCF等于（ ）
A．12B．13C．14D．15
3．（2024·云南昆明·二模）如图，AD，CE是△ABC的两条中线，连接ED．若S△ABC=16，则阴影部分的面积是（ ）

A．2B．4C．6D．8
4．（2024南宁市模拟）如图，点D是△ABC的边BC上任意一点，点E是线段AD的中点，若S△ABC=12，则阴影部分的面积为（ ）
A．10B．8C．6D．4
►题型07 与三角形重心有关的计算
1．（2023·浙江·中考真题）如图，点P是△ABC的重心，点D是边AC的中点，PE∥AC交BC于点E，DF∥BC交EP于点F，若四边形CDFE的面积为6，则△ABC的面积为（ ）

A．15B．18C．24D．36
2．（2024·黑龙江绥化·中考真题）已知：△ABC．
(1)尺规作图：画出△ABC的重心G．（保留作图痕迹，不要求写作法和证明）
(2)在（1）的条件下，连接AG，BG．已知△ABG的面积等于5cm2，则△ABC的面积是______cm2．
3．（2024·山东青岛·一模）三角形的重心
定义：三角形三条中线相交于一点，这个点称为三角形的重心．
三角形重心的一个重要性质：
重心与一边中点的连线的长是对应中线长的13．
下面是小亮证明性质的过程：
已知：如图，在△ABC中，D，E分别是边BC，AB的中点，AD，CE相交于点O．
求证：OECE=ODAD=13
证明：连接ED，∵D，E分别是边BC，AB的中点∴DE∥AC,DEAC=12（依据1）
∴△ACO∽△DEO∴OEOC=ODOA=DEAC=12∴OECE=ODAD=13

性质应用：
(1)如图1，在△ABC中，点G是△ABC的重心，连接AG并延长交BC于点E，若AG=4，则AE=______；

(2)如图2，在△ABC中，中线AE，CF相交于点G，若△ABC的面积为48，则△CEG的面积为______；

(3)如图3，在△ABC中，若BF=1nAB，BE=1nBC，△ABC的面积为m，则△CEG的面积为______．

►题型08 与三角形中位线有关的计算
1．（2024·辽宁·模拟预测）如图，CD是△ABC的中线，E，F分别是AC，DC的中点，EF=3，则BD的长为 ．

2．（2024·湖南·中考真题）如图，在△ABC中，点D，E分别为边AB，AC的中点．下列结论中，错误的是（ ）
A．DE∥BCB．△ADE∽△ABCC．BC=2DED．S△ADE=12S△ABC
3．（2024·江苏无锡·中考真题）在△ABC中，AB=4，BC=6，AC=8，D，E，F分别是AB，BC，AC的中点，则△DEF的周长为 ．
4．（2024·四川凉山·中考真题）如图，四边形ABCD各边中点分别是E,F,G,H，若对角线AC=24,BD=18，则四边形EFGH的周长是 ．
►题型09 利用角平分线的性质求解
1．（2024·云南·中考真题）已知AF是等腰△ABC底边BC上的高，若点F到直线AB的距离为3，则点F到直线AC的距离为（ ）
A．32B．2C．3D．72
2．（2022·内蒙古鄂尔多斯·中考真题）如图，∠AOE＝15°，OE平分∠AOB，DE∥OB交OA于点D，EC⊥OB，垂足为C．若EC＝2，则OD的长为（ ）
A．2B．23C．4D．4+23
3．（2022·湖南益阳·中考真题）如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，以点A为圆心，以任意长为半径画弧交射线AB，AC于两点，分别以这两点为圆心，以适当的定长为半径画弧，两弧交于点E，作射线AE，交BD于点I，连接CI，以下说法错误的是（ ）
A．I到AB，AC边的距离相等
B．CI平分∠ACB
C．I是△ABC的内心
D．I到A，B，C三点的距离相等
4．（2023·广东广州·中考真题）如图，已知AD是△ABC的角平分线，DE，DF分别是△ABD和△ACD的高，AE=12，DF=5，则点E到直线AD的距离为 ．

►题型10 角平分线的判定
1．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点I到Rt△ABC三边的距离相等，则∠AIB的度数为 ．
2．（2024·上海·模拟预测）已知在锐角△ABC中，∠BAC的平分线AD交边BC于D，∠ACB的平分线CF交边AB于F，AD与CF交于O，连接BO并延长交AC于E
(1)尺规规范作图，写出已知
(2)求证：BE平分∠ABC
(3)求证：BDCD×CEAE×AFBF=1
3．（2024·江西赣州·二模）【课本再现】
【定理证明】
（1）为证明此逆定理，某同学画出了图形，并写好“已知”和“求证”，请你完成证明过程．
已知：如图1，在∠ABC的内部，过射线BP上的点P作PD⊥BA，PE⊥BC，垂足分别为D，E，且PD=PE．
求证：BP平分∠ABC．
【知识应用】
（2）如图2，在△ABC中，过内部一点P，作PD⊥BC，PE⊥AB，PF⊥AC，垂足分别为D，E，F，且PD=PE=PF，∠A=120°，连接PB，PC．
①求∠BPC的度数；
②若PB=6，PC=23，求BC的长．
►题型11 利用垂直平分线的性质求解
已知垂直平分线，立马得到以下三个结论:
1）垂直；2）平分；3）连垂直平分线上某点和线段两端，那么这两个距离相等.
1．（2024·四川凉山·中考真题）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90∘，DE垂直平分AB交BC于点D，若△ACD的周长为50 cm，则AC+BC=（ ）
A．25 cmB．45 cmC．50 cmD．55 cm
54．（2023·江苏镇江·中考真题）如图，扇形AOB的半径为2，分别以点A、B为圆心，大于12AB的长为半径画弧，两弧相交于点P，∠BOP=35°，则AB的长l= ．（结果保留π）

2．（2023·四川攀枝花·中考真题）如图，在△ABC中，∠A=40°，∠C=90°，线段AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，则∠EBC= ．

3．（2023·青海·中考真题）如图，在△ABC中，DE是BC的垂直平分线.若AB=5，AC=8，则△ABD的周长是 .

►题型12 垂直平分线线的判定
1）根据线段垂直平分线的定义，也就是经过线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，使用这种方法必须满足两个条件：一是垂直，二是平分；
2）可以证明直线上有两个点在线段的垂直平分线上，根据两点确定一条直线，可以判定这两点所在的直线就是这条线段的垂直平分线.
1．（2024·四川乐山·模拟预测）如图，已知⊙O为△ABC的外接圆，AB=AC，直径AD交BC于点E，若DE:AD=1:4，则BE:AB=（ ）．
A．1:2B．1:3C．2:3D．1:4
2．（2024·河北·模拟预测）如图，已知平行四边形ABCD，AB≤BC．用尺规作图的方法在BC上取一点P，使得PA+PC=BC，则下列做法正确的是（ ）
A．B．
C．D．
3．（2024·黑龙江佳木斯·三模）如图，在四边形ABCD中，AD=6，CD=8，∠ABC=∠ADC=90°，若BD=BC，则BC的长为（ ）
A．45B．35C．53D．33
►题型13 根据作图痕迹求解
1．（2023·湖北荆州·中考真题）如图，∠AOB=60°，点C在OB上，OC=23，P为∠AOB内一点．根据图中尺规作图痕迹推断，点P到OA的距离为 ．

2．（2023·四川南充·中考真题）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，AB=10，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，AB于点M，N，再分别以M，N为圆心，大于12MN的长为半径画弧，两弧在∠CAB的内部相交于点P，画射线AP与BC交于点D，DE⊥AB，垂足为E．则下列结论错误的是（ ）

A．∠CAD=∠BADB．CD=DEC．AD=53D．CD:BD=3:5
3．（2023·青海西宁·中考真题）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，分别以点A和点C为圆心，大于12AC的长为半径作弧，两弧相交于P，Q两点，作直线PQ交AB，AC于点D，E，连接CD．下列说法错误的是（ ）

A．直线PQ是AC的垂直平分线B．CD=12AB
C．DE=12BCD．S△ADE:S四边形DBCE=1:4
4．（2024·山东泰安·中考真题）如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°，分别以顶点A，C为圆心，大于12AC的长为半径画弧，两弧分别相交于点M和点N，作直线MN分别与BC，AC交于点E和点F；以点A为圆心，任意长为半径画弧，分别交AB，AC于点H和点G，再分别以点H，点G为圆心，大于12HG的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP，若射线AP恰好经过点E，则下列四个结论：
①∠C=30°；②AP垂直平分线段BF；③CE=2BE；④S△BEF=16S△ABC．
其中，正确结论的个数有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
►题型14 利用三角形三边关系求解
若满足：最短的线段长+中间的线段长＞最长的线段长，即可构成三角形.
1．（2023·山东·中考真题）在△ABC中，BC=3,AC=4，下列说法错误的是（ ）
A．1