中考数学——数与式中的计算与化简求值问题(7种题型+精选43题+2技巧+1步骤+2易错点)(含答案)练习

这是一份中考数学——数与式中的计算与化简求值问题(7种题型+精选43题+2技巧+1步骤+2易错点)(含答案)练习，共38页。
（7种题型+精选43题+2技巧+1步骤+2易错点）
【题型汇总】
类型一 数与式相关计算问题
题型01 实数的混合运算
实数计算的易错点：
1）负数的奇数次幂是负数，负数的偶数次幂是正数；
2）一个非负数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；
3），
在计算中常用的锐角三角函数值：
1．（2024·山东济南·中考真题）计算：9−(π−3.14)0+14−1+3−2cs30°．
2．（2024·四川广元·中考真题）计算：2024−π0+3−2+tan60°−12−2．
3．（2023·辽宁沈阳·中考真题）计算：π−20230+−22+13−2−4sin30°．
4．（2024·四川凉山·中考真题）计算：13−1+2−3+2−1+cs30°−−10．
题型02 整式的混合运算
5．（2024·江苏南通·中考真题）计算：2m12m−1−mm+1；
6．（2024·江苏无锡·中考真题）计算：aa−2b+a+b2．
7．（2023·青海西宁·中考真题）计算：(2a−3)2−(a+5)(a−5)．
题型03 分式的混合运算
解题方法：按顺序进行计算：分式的混合运算顺序与实数类似，即先乘方，再乘除，最后加减；有括号时，先进行括号内的运算；同级运算，按照从左到右的顺序进行.此外，也应仔细观察式子的特点，灵活选择简便的方法计算，如使用运算律、公式等.
分式的混合运算要注意各分式中的分子、分母的符号，结果中分子或分母的系数（首项系数）为负数时，要将“－”号提到分式的前面.
8．（2024·山东德州·中考真题）化简：1−m2−3mm2−9÷m+1m+3
9．（2024·四川宜宾·中考真题）计算：2a2−1÷1a−1−1a+1．
10．（2024·甘肃临夏·中考真题）化简：a+1+1a−1÷a2+aa−1．
题型04 因式分解
因式分解的一般步骤：
11．（2024·山东淄博·中考真题）若多项式4x2−mxy+9y2能用完全平方公式因式分解，则m的值是 ．
12．（2024·山东威海·中考真题）因式分解：x+2x+4+1= ．
13．（2023·内蒙古呼和浩特·中考真题）分解因式2b3−4b2+2b= ．
14．（2023·黑龙江绥化·中考真题）因式分解：x2+xy−xz−yz= ．
题型05 判断计算过程中的错误步骤
15．（2024·河北邯郸·模拟预测）已知P=A×B−C．
(1)若A=−20，B=−14−1，C=−52，求P的值；
下图是佳佳同学的计算过程：
佳佳的计算过程有错误吗？如果有指出是第几步错误，并求出正确的P值；
(2)若A=3，B=2x，C=−2x+1，当x为何值时，P的值是7．
16．（2024·河北沧州·模拟预测）已知多项式A=a+22−a4−b−9
(1)在化简多项式A时，小明同学的解题过程如下所示．
在标出①②③④的几项中出现错误的是______；请你写出正确的解答过程；
(2)淇淇说：“若给出a与b互为相反数，即可求出多项式A的值．”嘉嘉说：“若给出a与b互为倒数，即可求出多项式A的值．”请你判断哪个同学说得对，并按此同学赋予的条件求A的值．
17．（2024·浙江杭州·一模）以下是小滨计算12÷12−34的解答过程：
解：原式=23÷22−23
=6−23．
小滨的解答过程是否有错误？如果有错误，写出正确的解答过程．
18．（2024·江西南昌·模拟预测）下面是小华同学计算多项式乘以多项式的过程，请认真阅读并完成相应任务．
任务一：在上述解题过程中，（1）中所利用的公式是乘法公式中的________．（填“完全平方公式”或“平方差公式”）
任务二：请判断小华（2）的解答是否正确，若错误，请直接写出（2）中计算的正确答案．
任务三：计算：(2a−3b)2．
19．（2024·江苏连云港·中考真题）下面是某同学计算1m−1−2m2−1的解题过程：
解：1m−1−2m2−1=m+1(m+1)(m−1)−2(m+1)(m−1)①
=(m+1)−2②
=m−1③
上述解题过程从第几步开始出现错误？请写出完整的正确解题过程．
20．（2024·四川乐山·中考真题）先化简，再求值：2xx2−4−1x−2，其中x=3．小乐同学的计算过程如下：
(1)小乐同学的解答过程中，第______步开始出现了错误；
(2)请帮助小乐同学写出正确的解答过程．
21．（2023·内蒙古通辽·中考真题）以下是某同学化简分式a−ba÷a−2ab−b2a的部分运算过程：
(1)上面的运算过程中第___________步开始出现了错误；
(2)请你写出完整的解答过程．
题型06 新定义问题
解题方法：新定义运算的规律都是由题目给出的，想要找到其规律，需要从所给的条件当中进行简单的推论.这时候就考验大家的观察能力，以及对数字的敏感程度.
22．（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）现定义一种新运算“※”，对任意有理数m、n都有m※n=mnm−n，则a+b※a−b=（ ）
A．2ab2−2b2B．2a2b−2b3C．2ab2+2b2D．2ab−2ab2
23．（2024·河南驻马店·三模）对于任意正整数a，b定义一种新运算：Fa+b=Fa⋅Fb．比如F2=5，则F4=F2+2=5×5=52，F6=F2+4=5×52=53，那么F2024的结果是（ ）
A．2024B．52024C．51012D．1012
24．（2023·四川广安·中考真题）定义一种新运算：对于两个非零实数a、b，a※b=xa+yb．若2※−2=1，则−3※3的值是 ．
25．（2024·重庆·模拟预测）定义：对于一个两位自然数，如果它的个位和十位上的数字均不为零，且它正好等于其个位和十位上的数字的和的n倍（n为正整数），我们就说这个自然数是一个“n喜数”．
例如：24就是一个“4喜数”，因为24=4×2+4；25就不是一个“n喜数”，因为25≠n2+5．44 （填“是”或“不是”）“n喜数”；最大的“7喜数”是 ．
26．（2023·湖南怀化·中考真题）定义新运算：(a,b)⋅(c,d)=ac+bd，其中a，b，c，d为实数．例如：(1,2)⋅(3,4)=1×3+2×4=11．如果(2x,3)⋅(3,−1)=3，那么x= ．
类型二 数与式相关化简问题
题型01 整式化简求值
27．（2024·湖南长沙·中考真题）先化简，再求值：2m−mm−2+m+3m−3，其中m=52．
28．（2024·甘肃·中考真题）先化简，再求值：2a+b2−2a+b2a−b÷2b，其中a=2，b=−1．
29．（2024·江苏常州·中考真题）先化简，再求值：x+12−xx+1，其中x=3−1．
30．（2024·山西·中考真题）（1）计算：−2×3+8÷2−−130；
（2）先化简，再求值：4x2x2−x+1+2x+12x−1+1÷−2x，其中x=−12．
31．（2023·四川凉山·中考真题）先化简，再求值：(2x+y)2−2x+y2x−y−2yx+y，其中x=122023，y=22022．
32．（2023·内蒙古·中考真题）先化简，再求值：(2x+y)2+x−yx+y−5xx−y，其中x=6−1，y=6+1．
题型02 分式化简求值
33．（2023·江西·中考真题）化简xx+1+xx−1⋅x2−1x．下面是甲、乙两同学的部分运算过程：
(1)甲同学解法的依据是________，乙同学解法的依据是________；（填序号）
①等式的基本性质；②分式的基本性质；③乘法分配律；④乘法交换律．
(2)请选择一种解法，写出完整的解答过程．
34．（2024·青海·中考真题）先化简，再求值：1y−1x÷xy−yx，其中x=2−y．
35．（2023·青海西宁·中考真题）先化简，再求值：aa2−b2−1a+b÷1a2−ab，其中a，b是方程x2+x−6=0的两个根．
36．（2024·西藏·中考真题）先化简，再求值：1+2m−2⋅m2−4m，请为m选择一个合适的数代入求值．
37．（2023·辽宁营口·中考真题）先化简，再求值：m+2+52−m⋅2m−43−m，其中m=16+tan45°．
38．（2023·辽宁盘锦·中考真题）先化简，再求值：1x+1+1x2−1÷xx−1，其中x=12+50−12−1．
39．（2023·山东滨州·中考真题）先化简，再求值：a−4a÷a+2a2−2a−a−1a2−4a+4，其中a满足a2−14−1⋅a+6cs60°=0．
40．（2024·山东淄博·中考真题）化简分式：a2−b2a2−2ab+b2+1−a−ba−b，并求值（请从小宇和小丽的对话中确定a，b的值）

41．（2024·广东广州·中考真题）关于x的方程x2−2x+4−m=0有两个不等的实数根．
(1)求m的取值范围；
(2)化简：1−m2|m−3|÷m−12⋅m−3m+1．
42．（2024·山东烟台·中考真题）利用课本上的计算器进行计算，按键顺序如下：，若m是其显示结果的平方根，先化简：mm−3+7m−49−m2÷4−2mm+3，再求值．
43．（2023·山东·中考真题）先化简，再求值：3xx−y+xx+y÷xx2−y2，其中x，y满足2x+y−3=0．
第一章 数与式
微专题01 数与式中的计算与化简求值问题
（7种题型+精选43题+2技巧+1步骤+2易错点）
【题型汇总】
类型一 数与式相关计算问题
题型01 实数的混合运算
实数计算的易错点：
1）负数的奇数次幂是负数，负数的偶数次幂是正数；
2）一个非负数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；
3），
在计算中常用的锐角三角函数值：
1．（2024·山东济南·中考真题）计算：9−(π−3.14)0+14−1+3−2cs30°．
【答案】6
【分析】本题考查了实数的运算，熟练掌握负整数指数幂、绝对值、特殊角的三角函数值、零指数幂的性质是解题的关键．
根据负整数指数幂、绝对值、特殊角的三角函数值、零指数幂的性质进行化简，然后根据实数运算法则进行计算即可
【详解】解：原式=3−1+4+3−2×32=6．
2．（2024·四川广元·中考真题）计算：2024−π0+3−2+tan60°−12−2．
【答案】−1
【分析】此题考查了实数的混合运算，特殊的三角函数值，零次幂及负指数幂计算，正确掌握各计算法则是解题的关键．
【详解】解：原式=1+2−3+3−4=3−4=−1．
3．（2023·辽宁沈阳·中考真题）计算：π−20230+−22+13−2−4sin30°．
【答案】10
【分析】根据零指数幂和负整数指数幂运算法则，二次根式性质，特殊角的三角函数值，进行计算即可．
【详解】解：π−20230+−22+13−2−4sin30°
=1+2+32−4×12
=3+9−2
=10．
【点睛】本题主要考查了实数混合运算，解题的关键是熟练掌握零指数幂和负整数指数幂运算法则，二次根式性质，特殊角的三角函数值，准确计算．
4．（2024·四川凉山·中考真题）计算：13−1+2−3+2−1+cs30°−−10．
【答案】2
【分析】本题考查了实数的混合运算．分别进行零指数幂、负整数指数幂、二次根式及绝对值的运算，然后代入特殊角的三角函数值代入运算即可．
【详解】解：13−1+2−3+2−1+cs30°−−10
=3+13−13+1+2−3+12+32−1
=3+12+2−3+12+32−1
=32+12+2−3+12+32−1
=2．
题型02 整式的混合运算
5．（2024·江苏南通·中考真题）计算：2m12m−1−mm+1；
【详解】解： 2m12m−1−mm+1
=m2−2m−m2−m
=−3m；
6．（2024·江苏无锡·中考真题）计算：aa−2b+a+b2．
【详解】解：aa−2b+a+b2
=a2−2ab+a2+2ab+b2
=2a2+b2．
7．（2023·青海西宁·中考真题）计算：(2a−3)2−(a+5)(a−5)．
【答案】3a2−12a+34
【分析】运用完全平方公式，平方差公式及整式的加减运算法则处理；
【详解】解：原式=4a2−12a+9−a2−25
=4a2−12a+9−a2+25
=3a2−12a+34.
【点睛】本题考查整式的运算，掌握乘法公式以简化运算是解题的关键．
题型03 分式的混合运算
解题方法：按顺序进行计算：分式的混合运算顺序与实数类似，即先乘方，再乘除，最后加减；有括号时，先进行括号内的运算；同级运算，按照从左到右的顺序进行.此外，也应仔细观察式子的特点，灵活选择简便的方法计算，如使用运算律、公式等.
分式的混合运算要注意各分式中的分子、分母的符号，结果中分子或分母的系数（首项系数）为负数时，要将“－”号提到分式的前面.
8．（2024·山东德州·中考真题）化简：1−m2−3mm2−9÷m+1m+3
【详解】解：原式=1−mm−3m+3m−3×m+3m+1
=1−mm+1
=m+1−mm+1
=1m+1；
9．（2024·四川宜宾·中考真题）计算：2a2−1÷1a−1−1a+1．
【详解】解： 2a2−1÷1a−1−1a+1
=2a+1a−1÷a+1a+1a−1−a−1a+1a−1
=2a+1a−1⋅a+1a−12
=1．
10．（2024·甘肃临夏·中考真题）化简：a+1+1a−1÷a2+aa−1．
【答案】aa+1
【分析】本题考查分式的混合运算，掌握分式的混合运算法则是解题关键．根据分式的混合运算法则计算即可．
【详解】解：a+1+1a−1÷a2+aa−1，
=a−1a+1a−1+1a−1÷aa+1a−1
=a2−1+1a−1×a−1aa+1
=a2a−1×a−1aa+1
=aa+1．
题型04 因式分解
因式分解的一般步骤：
11．（2024·山东淄博·中考真题）若多项式4x2−mxy+9y2能用完全平方公式因式分解，则m的值是 ．
【答案】±12
【分析】此题考查了因式分解-运用公式法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．利用完全平方公式的结构特征判断即可确定出m的值．
【详解】解：∵多项式4x2−mxy+9y2能用完全平方公式因式分解，
∴ 4x2−mxy+9y2=2x2−mxy+3y2=2x±3y2，
∴m=±2×2×3=±12，
故答案为：±12．
12．（2024·山东威海·中考真题）因式分解：x+2x+4+1= ．
【答案】x+32
【分析】本题主要考查了用完全平方公式分解因式，先按照多项式乘以多项式展开，然后利用完全平方公式分解因式即可．
【详解】解：x+2x+4+1
=x2+4x+2x+8+1
=x2+6x+9
=x+32
故答案为：x+32．
13．（2023·内蒙古呼和浩特·中考真题）分解因式2b3−4b2+2b= ．
【答案】2bb−12
【分析】先提取公因式，再根据完全平方公式，即可进行因式分解．
【详解】解：2b3−4b2+2b=2bb2−2b+1=2bb−12，
故答案为：2bb−12．
【点睛】本题主要考查了综合提公因式和公式法因式分解，解题的关键是正确找出公因式，熟练掌握完全平方公式a±b2=a2±ab+b2．
14．（2023·黑龙江绥化·中考真题）因式分解：x2+xy−xz−yz= ．
【答案】(x+y)(x−z)
【分析】先分组，然后根据提公因式法，因式分解即可求解．
【详解】解：x2+xy−xz−yz= xx+y−zx+y=x+yx−z，
故答案为：x+yx−z．
【点睛】本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．
题型05 判断计算过程中的错误步骤
15．（2024·河北邯郸·模拟预测）已知P=A×B−C．
(1)若A=−20，B=−14−1，C=−52，求P的值；
下图是佳佳同学的计算过程：
佳佳的计算过程有错误吗？如果有指出是第几步错误，并求出正确的P值；
(2)若A=3，B=2x，C=−2x+1，当x为何值时，P的值是7．
【答案】(1)有错，第一步错了；−9
(2)x=1
【分析】本题考查了实数的混合运算，一元一次方程等知识点，熟悉掌握运算的法则是解题的关键．
（1）由P=−20×−14−1−−52=1×−4−5，可得佳佳在第一步运算错误；根据运算法则进行运算求解即可；
（2）把A=3，B=2x，C=−2x+1，P=7代入P=A×B−C运算即可．
【详解】（1）解：∵P=−20×−14−1−−52=1×−4−5，
∴佳佳的计算过程有错，第一步错了；
正确的过程为：P=−20×−14−1−−52=1×−4−5=−4−5=−9；
（2）把A=3，B=2x，C=−2x+1，P=7代入P=A×B−C可得：
7=3×2x−−2x+1
7=6x+2x−1
8x=8
x=1，
∴当x=1时，P的值是7．
16．（2024·河北沧州·模拟预测）已知多项式A=a+22−a4−b−9
(1)在化简多项式A时，小明同学的解题过程如下所示．
在标出①②③④的几项中出现错误的是______；请你写出正确的解答过程；
(2)淇淇说：“若给出a与b互为相反数，即可求出多项式A的值．”嘉嘉说：“若给出a与b互为倒数，即可求出多项式A的值．”请你判断哪个同学说得对，并按此同学赋予的条件求A的值．
【答案】(1)①；过程见解析
(2)淇淇说得对，−5
【分析】此题考查了整式的混合运算和倒数、相反数的计算能力，关键是能准确理解并运用以上知识进行正确地计算．
（1）通过计算化简该算式进行判断、求解；
（2）分别令a与b互为相反数和互为倒数倒数进行计算、辨别．
【详解】（1）出现错误的是①，
∵A=a+22−a4−b−9
=a2+4a+4−4a+ab−9
=a2+ab−5
出现错误的是①，
故答案为：①；
（2）淇淇说得对，
当a与b互为相反数时，
多项式A=a2+ab−5
=a(a+b)−5
=0×a−5
=−5；
当a与b互为倒数时，
多项式A=a2+ab−5
=a2+1−5
=a2−4
淇淇说得对．
17．（2024·浙江杭州·一模）以下是小滨计算12÷12−34的解答过程：
解：原式=23÷22−23
=6−23．
小滨的解答过程是否有错误？如果有错误，写出正确的解答过程．
【答案】有错误；26−32
【分析】本题考查了二次根式的混合运算．先把12和34化简，再12化为12，接着把除法运算转化为乘法运算，然后根据二次根式的乘法法则运算．
【详解】解：小滨的解答过程有错误；
正确的解答过程:
12÷12−34
=12÷12−34
=24−32
=26−32．
18．（2024·江西南昌·模拟预测）下面是小华同学计算多项式乘以多项式的过程，请认真阅读并完成相应任务．
任务一：在上述解题过程中，（1）中所利用的公式是乘法公式中的________．（填“完全平方公式”或“平方差公式”）
任务二：请判断小华（2）的解答是否正确，若错误，请直接写出（2）中计算的正确答案．
任务三：计算：(2a−3b)2．
【答案】任务一：平方差公式；任务二：不正确，2a2+3ab−9b2；任务三：4a2−12ab+9b2．
【分析】本题考查了平方差公式，完全平方公式，多项式乘多项式，准确熟练地进行计算和掌握平方差公式是解题的关键．
任务一：根据解题过程，可以判断①中所利用的公式是乘法公式中的平方差公式；
任务二：式子不符合平方差公式，用多项式乘多项式计算即可求解；
任务三：利用完全平方公式计算即可求解．
【详解】解：任务一：在上述解题过程中，（1）中所利用的公式是乘法公式中的平方差公式；
故答案为：平方差公式；
任务二：小华（2）的解答是不正确，
(2a−3b)(a+3b)
=2a2+6ab−3ab−9b2
=2a2+3ab−9b2；
任务三：(2a−3b)2
=4a2−12ab+9b2．
19．（2024·江苏连云港·中考真题）下面是某同学计算1m−1−2m2−1的解题过程：
解：1m−1−2m2−1=m+1(m+1)(m−1)−2(m+1)(m−1)①
=(m+1)−2②
=m−1③
上述解题过程从第几步开始出现错误？请写出完整的正确解题过程．
【答案】从第②步开始出现错误，正确过程见解析
【分析】本题考查异分母分式的加减运算，先通分，然后分母不变，分子相减，最后将结果化为最简分式即可．掌握相应的计算法则，是解题的关键．
【详解】解：从第②步开始出现错误．
正确的解题过程为：
原式=m+1(m+1)(m−1)−2(m+1)(m−1)=m+1−2(m+1)(m−1)=m−1(m+1)(m−1)=1m+1．
20．（2024·四川乐山·中考真题）先化简，再求值：2xx2−4−1x−2，其中x=3．小乐同学的计算过程如下：
(1)小乐同学的解答过程中，第______步开始出现了错误；
(2)请帮助小乐同学写出正确的解答过程．
【答案】(1)③
(2)见解析
【分析】本题考查了分式的化简求值，异分母的分式减法运算，熟练掌握知识点是解题的关键．
（1）第③步分子相减时，去括号变号不彻底；
（2）先通分，再进行分子相减，化为最简分式后，再代入求值即可．
【详解】（1）解：∵第③步分子相减时，去括号变号不彻底，
应为：2xx+2x−2−x+2x+2x−2=2x−x−2x+2x−2；
（2）解：2xx2−4−1x−2=2xx+2x−2−1x−2
=2xx+2x−2−x+2x+2x−2
=2x−x−2x+2x−2
=x−2x+2x−2
=1x+2
当x=3时，原式=15
21．（2023·内蒙古通辽·中考真题）以下是某同学化简分式a−ba÷a−2ab−b2a的部分运算过程：
(1)上面的运算过程中第___________步开始出现了错误；
(2)请你写出完整的解答过程．
【答案】(1)一
(2)见解析
【分析】（1）根据解答过程逐步分析即可解答；
（2）根据分式混合运算法则进行计算即可．
【详解】（1）解：a−ba÷a−2ab−b2a
=a−ba÷a2a−2ab−b2a
=a−ba÷a2−2ab+b2a
故第一步错误．
故答案为：一．
（2）解：a−ba÷a−2ab−b2a
=a−ba÷a2a−2ab−b2a
=a−ba÷a2−2ab+b2a
=a−ba÷a−b2a
=a−ba×aa−b2
=1a−b．
【点睛】本题主要考查了分式的混合运算，灵活运用分式的混合运算法则是解答本题的关键．
题型06 新定义问题
解题方法：新定义运算的规律都是由题目给出的，想要找到其规律，需要从所给的条件当中进行简单的推论.这时候就考验大家的观察能力，以及对数字的敏感程度.
22．（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）现定义一种新运算“※”，对任意有理数m、n都有m※n=mnm−n，则a+b※a−b=（ ）
A．2ab2−2b2B．2a2b−2b3C．2ab2+2b2D．2ab−2ab2
【答案】B
【分析】该题主要考查了整式的混合运算，解题的关键是根据新定义列出等式．
原式利用题中的新定义计算即可得到结果．
【详解】解：根据题中的新定义得：a+b※a−b
=a+ba−ba+b−a−b
=2ba+ba−b
=2ba2−b2
=2a2b−2b3，
故选：B．
23．（2024·河南驻马店·三模）对于任意正整数a，b定义一种新运算：Fa+b=Fa⋅Fb．比如F2=5，则F4=F2+2=5×5=52，F6=F2+4=5×52=53，那么F2024的结果是（ ）
A．2024B．52024C．51012D．1012
【答案】C
【分析】本题主要考查新定义运算和同底数幂的乘法，根据新定义运算法则和同底数幂运算法则进行计算即可
【详解】解：∵Fa+b=Fa⋅Fb，且F2=5，F4=F2+2=5×5=52，F6=F2+4=5×52=53，
⋯
F2n=5n，
∵2024÷2=1012，
∴F2024=51012，
故选：C
24．（2023·四川广安·中考真题）定义一种新运算：对于两个非零实数a、b，a※b=xa+yb．若2※−2=1，则−3※3的值是 ．
【答案】−23
【分析】先根据2※−2=1可得一个关于x,y的等式，再根据新运算的定义代入计算即可得．
【详解】解：∵2※−2=1，
∴x2+y−2=1，即x−y=2，
∴−3※3=x−3+y3=−x−y3=−23，
故答案为：−23．
【点睛】本题考查了新定义下的实数运算、代数式求值，理解新运算的定义是解题关键．
25．（2024·重庆·模拟预测）定义：对于一个两位自然数，如果它的个位和十位上的数字均不为零，且它正好等于其个位和十位上的数字的和的n倍（n为正整数），我们就说这个自然数是一个“n喜数”．
例如：24就是一个“4喜数”，因为24=4×2+4；25就不是一个“n喜数”，因为25≠n2+5．44 （填“是”或“不是”）“n喜数”；最大的“7喜数”是 ．
【答案】 不是 84
【分析】此题主要考查了新定义“n喜数”，理解和应用新定义是解本题的关键．
（1）根据“n喜数”的意义，判断即可得出结论；
（2）先设出“7喜数”的个位数字a和十位数字b，进而得出b=2a，即可得出数值，然后求和即可．
【详解】解：（1）因为44≠n4+4，所以44不是一个“n喜数”；
故答案为：不是；
（2）设存在“7喜数”其个位数字为a，十位数字为b，（a，b为1到9的自然数），
由定义可知：10b+a=7a+b，
化简得：b=2a，
因为a，b为1到9的自然数，
∴a=1，b=2；a=2，b=4；a=3，b=6；a=4，b=8．四种情况，
∴“7喜数”最大的是84．
故答案为：84．
26．（2023·湖南怀化·中考真题）定义新运算：(a,b)⋅(c,d)=ac+bd，其中a，b，c，d为实数．例如：(1,2)⋅(3,4)=1×3+2×4=11．如果(2x,3)⋅(3,−1)=3，那么x= ．
【答案】1
【分析】根据新定义列出一元一次方程，解方程即可求解．
【详解】解：∵(2x,3)⋅(3,−1)=3
∴2x×3+3×−1=3
即6x=6
解得：x=1
故答案为：1．
【点睛】本题考查了新定义运算，解一元一次方程，根据题意列出方程解题的关键．
类型二 数与式相关化简问题
题型01 整式化简求值
27．（2024·湖南长沙·中考真题）先化简，再求值：2m−mm−2+m+3m−3，其中m=52．
【答案】4m−9；1
【分析】本题考查整式的混合运算及其求值，先根据整式的混合运算法则化简原式，再代值求解即可．
【详解】解：2m−mm−2+m+3m−3
=2m−m2+2m+m2−9
=4m−9．
当m=52时，原式=4×52−9=10−9=1．
28．（2024·甘肃·中考真题）先化简，再求值：2a+b2−2a+b2a−b÷2b，其中a=2，b=−1．
【答案】2a+b，3
【分析】本题主要考查了整式的化简求值，先根据平方差公式和完全平方公式去小括号，然后合并同类项，再根据多项式除以单项式的计算法则化简，最后代值计算即可．
【详解】解：2a+b2−2a+b2a−b÷2b
=4a2+4ab+b2−4a2−b2÷2b
=4a2+4ab+b2−4a2+b2÷2b
=4ab+2b2÷2b
=2a+b，
当a=2，b=−1时，原式=2×2+−1=3．
29．（2024·江苏常州·中考真题）先化简，再求值：x+12−xx+1，其中x=3−1．
【答案】x+1，3
【分析】本题主要考查了整式的化简求值，实数的运算，先根据完全平方公式和单项式乘以多项式的计算法则去括号，然后合并同类项化简，最后代值计算即可．
【详解】解：x+12−xx+1
=x2+2x+1−x2−x
=x+1，
当x=3−1时，原式=3−1+1=3．
30．（2024·山西·中考真题）（1）计算：−2×3+8÷2−−130；
（2）先化简，再求值：4x2x2−x+1+2x+12x−1+1÷−2x，其中x=−12．
【答案】（1）−5；（2）−4x2−2，−3．
【分析】（1）根据有理数乘法，二次根式的性质，二次根式的除法，零指数次幂运算法则进行计算即可；
（2）先算括号内的单项式乘以多项式，平方差公式，再合并同类项，最后算多项式除以单项式即可；
本题考查了实数的混合运算和整式的乘法运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．
【详解】解：（1）原式=−6+2−1，
=−5；
（2）原式=8x3−4x2+4x+4x2−1+1÷−2x
=8x3+4x÷−2x，
=−4x2−2，
当x=−12时，
原式=−4×−122−2=−3．
31．（2023·四川凉山·中考真题）先化简，再求值：(2x+y)2−2x+y2x−y−2yx+y，其中x=122023，y=22022．
【答案】2xy，1
【分析】根据a±b2=a2±2ab+b2，a+ba−b=a2−b2，单项式乘以多项式法则进行展开，再加减运算，代值计算即可．
【详解】解：原式=4x2+4xy+y2−4x2−y2−2xy−2y2
=4x2+4xy+y2−4x2+y2−2xy−2y2
=2xy．
当x=122023，y=22022时，
原式=2×122023×22022
=1．
【点睛】本题考查了化简求值问题，完全平方公式、平方差公式，单项式乘以多项式法则，掌握公式及法则是解题的关键．
32．（2023·内蒙古·中考真题）先化简，再求值：(2x+y)2+x−yx+y−5xx−y，其中x=6−1，y=6+1．
【答案】9xy，45
【分析】先按照完全平方公式、平方差公式、多项式乘以多项式计算整式的乘法，再合并同类项即可．
【详解】原式=4x2+4xy+y2+x2−y2−5x2+5xy
=9xy．
当x=6−1，y=6+1时
原式=96−16+1=9×6−1=45．
【点睛】本题考查的是整式的化简求值，同时考查了二次根式的混合运算，掌握完全平方公式与平方差公式进行简便运算是解题的关键．
题型02 分式化简求值
33．（2023·江西·中考真题）化简xx+1+xx−1⋅x2−1x．下面是甲、乙两同学的部分运算过程：
(1)甲同学解法的依据是________，乙同学解法的依据是________；（填序号）
①等式的基本性质；②分式的基本性质；③乘法分配律；④乘法交换律．
(2)请选择一种解法，写出完整的解答过程．
【答案】(1)②，③
(2)见解析
【分析】（1）根据所给的解题过程即可得到答案；
（2）甲同学的解法：先根据分式的基本性质把小括号内的分式先同分，然后根据分式的加法计算法则求解，最后根据分式的乘法计算法则求解即可；
乙同学的解法：根据乘法分配律去括号，然后计算分式的乘法，最后合并同类项即可．
【详解】（1）解：根据解题过程可知，甲同学解法的依据是分式的基本性质，乙同学解法的依据是乘法分配律，
故答案为：②，③；
（2）解：甲同学的解法：
原式=xx−1x+1x−1+xx+1x+1x−1⋅x2−1x
=x2−x+x2+xx+1x−1⋅x+1x−1x
=2x2x+1x−1⋅x+1x−1x
=2x；
乙同学的解法：
原式=xx+1⋅x2−1x+xx−1⋅x2−1x
=xx+1⋅x+1x−1x+xx−1⋅x+1x−1x
=x−1+x+1
=2x．
【点睛】本题主要考查了分式的混合计算，熟知相关计算法则是解题的关键．
34．（2024·青海·中考真题）先化简，再求值：1y−1x÷xy−yx，其中x=2−y．
【答案】1x+y，12
【分析】本题主要考查了分式的混合运算．先计算括号内的，再计算除法，然后把x=2−y代入化简后的结果，即可求解．
【详解】解：1y−1x÷xy−yx
=xxy−yxy÷x2xy−y2xy
=x−yxy÷x2−y2xy
=x−yxy×xyx2−y2
=x−yxy×xyx+yx−y
=1x+y
∵x=2−y
∴x+y=2
∴原式=1x+y=12．
35．（2023·青海西宁·中考真题）先化简，再求值：aa2−b2−1a+b÷1a2−ab，其中a，b是方程x2+x−6=0的两个根．
【答案】aba+b，6
【分析】先根据分式的混合运算进行化简，然后根据一元二次方程根与系数的关系式得出a+b=−1 ab=−6，代入化简结果，即可求解．
【详解】解：原式=aa+ba−b−1a+b÷1a2−ab
=ba+ba−b⋅aa−b
=aba+b
∵a，b是方程x2+x−6=0的两个根
∴a+b=−1 ab=−6
∴原式=aba+b=−6−1=6.
【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，分式的化简求值，熟练掌握分式的混合运算，一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．
36．（2024·西藏·中考真题）先化简，再求值：1+2m−2⋅m2−4m，请为m选择一个合适的数代入求值．
【答案】m+2，取m=1，原式=3．
【分析】本题考查了分式的化简求值．原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时分子分解因式，约分得到最简结果，把合适的m值代入计算即可求出值．
【详解】解：1+2m−2⋅m2−4m
=m−2m−2+2m−2⋅m+2m−2m
=mm−2⋅m+2m−2m
=m+2，
∵m−2≠0，m≠0，
∴m≠2，m≠0，
∴取m=1，原式=1+2=3．
37．（2023·辽宁营口·中考真题）先化简，再求值：m+2+52−m⋅2m−43−m，其中m=16+tan45°．
【答案】−2m−6，原式=−16
【分析】先根据分式的混合计算法则化简，然后根据特殊角三角函数值和二次根式的性质求出m的值，最后代值计算即可．
【详解】解：m+2+52−m⋅2m−43−m
=m2−4m−2−5m−2⋅2m−23−m
=m2−9m−2⋅2m−23−m
=m+3m−3m−2⋅2m−23−m
=−2m+3
=−2m−6，
∵m=16+tan45°，
∴m=4+1=5，
∴原式=−2×5−6=−10−6=−16．
【点睛】本题主要考查了分式的化简求值，求特殊角三角函数值，化简二次根式等等，正确计算是解题的关键．
38．（2023·辽宁盘锦·中考真题）先化简，再求值：1x+1+1x2−1÷xx−1，其中x=12+50−12−1．
【答案】1x+1，36
【分析】先将括号内的部分通分，再将分式分子、分母因式分解并化简，再计算出x的值后，将代入即可求解．
【详解】解：原式=xx+1x−1⋅x−1x，
=1x+1，
∵ x=12+50−12−1，
∴x=23+1−2，
∴x=23−1
当x=23−1时，
原式=123−1+1，
=36．
【点睛】本题考查了分式的化简求值及实数的混合计算，熟悉通分、约分和分母有理化是解题的关键．
39．（2023·山东滨州·中考真题）先化简，再求值：a−4a÷a+2a2−2a−a−1a2−4a+4，其中a满足a2−14−1⋅a+6cs60°=0．
【答案】a2−4a+4；1
【分析】先根据分式的加减计算括号内的，然后将除法转化为乘法，再根据分式的性质化简，根据负整数指数幂，特殊角的三角函数值，求得a2−4a+3=0的值，最后将a2−4a+3=0代入化简结果即可求解．
【详解】解： a−4a÷a+2a2−2a−a−1a2−4a+4
=a−4a÷a+2a−2aa−22−aa−1aa−22
=a−4a÷a+2a−2−aa−1aa−22
=a−4a×aa−22a2−4−a2+a
=a−22
=a2−4a+4；
∵a2−14−1⋅a+6cs60°=0，
即a2−4a+3=0，
∴原式=a2−4a+3+1=0+1=1．
【点睛】本题考查了分式化简求值，解题关键是熟练运用分式运算法则以及负整数指数幂，特殊角的三角函数值进行求解．
40．（2024·山东淄博·中考真题）化简分式：a2−b2a2−2ab+b2+1−a−ba−b，并求值（请从小宇和小丽的对话中确定a，b的值）

【答案】1a−b；15
【分析】本题考查分式的化简求值，无理数估算；根据对话可求得a，b的值，将原分式化简后代入数值计算即可．
【详解】解：依题意，a=−3，13，
∴1−m2|m−3|÷m−12⋅m−3m+1
=−m+1m−1m−3⋅2m−1⋅m−3m+1
=−2；
42．（2024·山东烟台·中考真题）利用课本上的计算器进行计算，按键顺序如下：，若m是其显示结果的平方根，先化简：mm−3+7m−49−m2÷4−2mm+3，再求值．
【答案】m−26−2m，−25．
【分析】本题考查了分式的化简求值，先利用分式的性质和运算法则对分式化简，然后根据题意求出m的值，把m的值代入到化简后的结果中计算即可求解，正确化简分式和求出m的值是解题的关键．
【详解】解：mm−3+7m−49−m2÷4−2mm+3
=mm−3−7m−4m2−9÷22−mm+3，
=mm+3m+3m−3−7m−4m+3m−3×m+322−m，
=m2+3mm+3m−3−7m−4m+3m−3×m+322−m，
=m2−4m+4m+3m−3×m+322−m，
=m−22m+3m−3×m+3−2m−2，
=m−2−2m−3，
=m−26−2m，
∵32−5=4，
∴32−5的平方根为±2，
∵4−2m≠0，
∴m≠2，
又∵m为32−5的平方根，
∴m=−2，
∴原式=−2−26−2×−2=−25．
43．（2023·山东·中考真题）先化简，再求值：3xx−y+xx+y÷xx2−y2，其中x，y满足2x+y−3=0．
【答案】4x+2y，6
【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时将除法变为乘法，约分得到最简结果，将2x+y−3=0变形整体代入计算即可求解．
【详解】解：原式=3xx+yx−yx+y+xx−yx−yx+y×x−yx+yx
=3x2+3xy+x2−xyx−yx+y×x−yx+yx
=4x2+2xyx−yx+y×x−yx+yx
=4x+2y；
由2x+y−3=0，得到2x+y=3，
则原式=22x+y=6．
【点睛】此题考查分式的化简求值，解题关键熟练掌握分式混合运算的顺序以及整体代入法求解．
三角函数
30°
45°
60°
sin α
12
22
32
cs α
32
22
12
tan α
33
1
3
A=a+22−a4−b−9. =a2+2a①+4②−4a③+ab④−9
=a2−a+ab−5
（1）计算：(2a−3b)(2a+3b)．
解：原式=(2a)2−(3b)2=4a2−9b2．
（2）计算：(2a−3b)(a+3b)．
解：原式=2a2−(3b)2=2a2−9b2．
解：2xx2−4−1x−2=2xx+2x−2−1x−2…①
=2xx+2x−2−x+2x+2x−2…②
=2x−x+2x+2x−2…③
=x+2x+2x−2…④
=1x−2…⑤
当x=3时，原式=1．
解：原式=a−ba÷a−a−ba+2ab−b2a…………第一步
=a−ba⋅1a−a−ba⋅a2ab−b2…………第二步
=a−ba2−a−b2ab−b2…………第三步
……

解：原式=xx−1x+1x−1+xx+1x−1x+1⋅x2−1x
……
解：原式=xx+1⋅x2−1x+xx−1⋅x2−1x
……

三角函数
30°
45°
60°
sin α
12
22
32
cs α
32
22
12
tan α
33
1
3
A=a+22−a4−b−9. =a2+2a①+4②−4a③+ab④−9
=a2−a+ab−5
（1）计算：(2a−3b)(2a+3b)．
解：原式=(2a)2−(3b)2=4a2−9b2．
（2）计算：(2a−3b)(a+3b)．
解：原式=2a2−(3b)2=2a2−9b2．
解：2xx2−4−1x−2=2xx+2x−2−1x−2…①
=2xx+2x−2−x+2x+2x−2…②
=2x−x+2x+2x−2…③
=x+2x+2x−2…④
=1x−2…⑤
当x=3时，原式=1．
解：原式=a−ba÷a−a−ba+2ab−b2a…………第一步
=a−ba⋅1a−a−ba⋅a2ab−b2…………第二步
=a−ba2−a−b2ab−b2…………第三步
……

解：原式=xx−1x+1x−1+xx+1x−1x+1⋅x2−1x
……
解：原式=xx+1⋅x2−1x+xx−1⋅x2−1x
……