山东省淄博市2025届高三下学期模拟考试（高考一模）数学试题

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数 学
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名，准考证号等填写在答题卡上。
2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一. 单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合 A=x∣x2≤x,B=y∣y=2x,x>0 ,则 A∪B=
A. R B. [0,+∞) C.(0,1) D. 0,1
2. 若复数 z 满足 z2+i=3−4i ,则 z=
A. 52 B. 55 C. 102 D. 125
3. 已知向量 a=1,0,b=0,1,a⋅c=b⋅c=1 ,则向量 a 在向量 c 上的投影向量为
A. 12,12 B. 22,22 C. −12,12 D. −22,22
4. 已知圆锥的母线长为 6,其侧面展开图是一个圆心角为 2π3 的扇形,则该圆锥的侧面积为
A. 8π B. 12π C. 16π D. 24π
5. 某学校有 A,B 两家餐厅,王同学第 1 天午餐时随机地选择一家餐厅用餐. 如果第 1 天去 A 餐厅,那么第 2 天去 A 餐厅的概率为 0.6 ; 如果第 1 天去 B 餐厅,那么第 2 天去 A 餐厅的概率为 0.4 . 则王同学第 2 天去 A 餐厅用餐的概率为
A. 0.24 B. 1 C. 0.5 D. 0.52
6. 已知函数 fx 满足 fx=2fx−1 ,当 0≤x0,b>0 ,离心率 e=52 ,点 P5,12 在双曲线上.
(1)求双曲线 C 的标准方程；
(2)点 F1,F2 分别是双曲线 C 的左右焦点,过点 F2 的直线 l 与双曲线的右支交于 A,B 两点,若 ΔABF1 的周长为 12,求直线 l 的方程.
17. (15分)如图,在四棱锥 S−ABCD 中, BC//AD , AB=BC=1 ,点 E 在 AD 上, 且 SE⊥AD,AE=1,DE=2 .
(1)点 F 在线段 SE 上,且 BF// 平面 SCD ,证明: F 为线段 SE 的中点;
(2)若 AB⊥ 平面 SAD,SD 与平面 SAB 所成的角的余弦值为 1010 ,求 SD 的长度.
18. (17 分) 已知函数 fx=ln1+x−x .
(1)求 fx 的单调区间；
(2) 证明: x≥0 时, fx≤x1+x−x ;
(3)若不等式 1+1nn+a≤e 对任意的 n∈N∗ 都成立 (其中 e 是自然对数的底数),求整数 a 的最大值.
19. (17 分)一般地,在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标 x,y 都是某个变数 t 的函数 x=ft,y=gt, ①
并且对 t 的每一个允许值,由方程组①所确定的点 Ax,y 都在这条曲线上,那么方程① 就叫做这条曲线的参数方程,联系变数 x,y 的变数 t 叫做参变数,简称参数. 相对于参数方程而言,直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程.例如圆 x2+y2=r2 的参数方程为 x=rcsφ,y=rsinφ, ( φ 为参数),椭圆 x2a2+y2b2=1a>b>0 的参数方程为: x=acsθ,y=bsinθ, ( θ 为参数)
动点 Mx,y 与定点 F4,0 的距离和点 M 到定直线 l:x=254 的距离的比是常数 45 , 点 M 的轨迹方程为 C .
(1)求曲线 C 的普通方程,写出 C 的参数方程 (不证明);
(2)求证: sinα+sinβ=2sinα+β2csα−β2 ；
(3) 定点 P1 在 C 上, k 为常数且 k>0 ,按如下规则依次构造点 Pnn≥2 ,过点 Pn−1 做斜率 k 的直线与 C 交于点 Qn−1 ,令 Pn 为 Qn−1 关于 y 轴的对称点,记 Pn 的坐标为 xn,yn , 证明: Pn+1Pn+2//PnPn+3.男市民
女市民
合计
优质水源日出游
12
30
非优质水源日出游
6
合计
.3
50
α
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
xα
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828