吉林省长春市第四十五中学2024-2025学年九年级下学期开学考试 数学试题（含解析）

这是一份吉林省长春市第四十五中学2024-2025学年九年级下学期开学考试 数学试题（含解析），共26页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．抛物线的顶点坐标是（ ）
A．B．C．D．
2．将抛物线向上平移2个单位长度所得新抛物线的表达式是（ ）
A．B．C．D．
3．学校准备设计一款女生校服，对全校女生喜欢的颜色进行了问卷调查，统计如下表所示：
学校决定采用红色，可用来解释这一现象的统计知识是（ ）
A．平均数B．中位数C．众数D．方差
4．如图，是的直径，，若，则的大小为( )
A．B．C．D．
5．2024年11月19日，长春四大滑雪场之一的天定山滑雪场举行了开板首滑仪式，标志着长春市2024-2025新雪季正式开始．如图，是一条坡角为的滑雪道，滑雪道长为米，则滑雪道的坡顶到坡底的竖直高度的长为（ ）
A．米B．米C．米D．米
6．如图，、是的弦，连结，若，则的大小为（ ）
A．B．C．D．
7．如图，正六边形内接于，若四边形的面积为，则的半径为（ ）
A．2B．C．D．4
8．如图，抛物线与轴交于点，点在轴的正半轴上，将线段绕点顺时针旋转得到线段，若点恰好在抛物线上，则点的坐标为( )
A．B．C．D．
二、填空题（本大题共6小题）
9．已知的半径为，点到圆心的距离为，则点在 （填内、上、外）．
10．如图，在⊙O中，弦AB的长为2cm，圆心到AB的距离为1cm，⊙O的半径是
11．若抛物线（是常数）与轴没有交点，则的取值范围是 ．
12．某停车场入口的栏杆如图所示，栏杆从水平位置绕点旋转到的位置，已知，若栏杆的旋转角，则线段扫过的图形面积为 ．（结果保留）
13．如图，抛物线与平行于轴的直线交于两点．若，则点的纵坐标为 ．
14．如图，四边形是的内接四边形，，，对角线相交于点．给出下面四个结论：①；②；③；④若，则．上述结论中，正确结论的序号有 ．
三、解答题（本大题共10小题）
15．计算：
(1)；
(2)．
16．2025年全明星篮球赛时隔24年将再次落户长春．小明和小张是篮球运动的爱好者，他们相约一起去现场观赛，现场的普通观赛区分为、、三个区域，购票以后系统随机分配观赛区域．如果小明和小张都购买普通观赛区的门票，用画树状图（或列表）的方法，求小明和小张在同一区域观看比赛的概率．
17．如图，抛物线与轴交于点、点，与轴交于点，点与点关于抛物线的对称轴对称，直线经过点、．
(1)直接写出点、的坐标；
(2)求该抛物线对应的函数表达式；
(3)根据图象直接写出关于的不等式的解集．
18．如图，在中，，点为上一点（不与点、重合），以为半径的圆分别交边、于点、，过点作于点．
(1)求证：是的切线；
(2)若，的半径为6，则的长为______________（结果保留）．
19．图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上．只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求找格点．
(1)在图①中，连结、、，使；
(2)在图②中，连结、，使；
(3)在图③中，连结，使．
20．某学校举办“铭记一二·九，传承爱国情”大合唱团体赛和个人表演赛．
(1)大合唱团体赛由10名教师评委和24名家长评委给每个班级打分（百分制）．对评委给某个班级的打分进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息．
．教师评委打分如下：

．家长评委打分的频数分布统计表如下：
第4组的数据是：
92，92，93，93，94，94，94，95，95．
．评委打分的平均数、中位数、众数如下：
根据以上信息，回答下列问题：
①表中的值为_____________，的值为_____________．
②若去掉教师评委打分中的最高分和最低分，记其余8名教师评委打分的平均数为，则______92（填“”“”或“”）；
(2)个人表演赛由5名专业评委给每位参赛同学打分（百分制）．对每位参赛同学，计算5名专业评委给其打分的平均数和方差．平均数较大的同学排名靠前，若平均数相同，则方差较小的同学排名靠前，5名专业评委给甲、乙、丙三位同学的打分如下：
若甲同学在甲、乙、丙三位同学中的排名居中，则这三位同学中排名最靠前的是________，表中（为整数）的值为_________．
21．图①是古代一种攻城器械“发石车”，其投出去的石块运动轨迹是抛物线的一部分．如图②，将发石车置于地面的点处，石块从发石车竖直方向上离地面米的点处被投出，当石块在空中飞行到与的水平距离为米时达到最大高度，其最大高度是米．以点为原点，水平方向为轴建立如图所示的平面直角坐标系．
(1)求该抛物线对应的函数表达式；
(2)在点处建有垂直于地面的防御墙，且米，米．通过计算说明石块能否飞越防御墙．
22．【问题发现】
如图①，，矩形的顶点在射线上移动，顶点在射线上移动，，．容易发现，在矩形移动过程中，的外接圆半径为定值．
理由如下：如图②，取的中点，连结，
在中，，点是斜边的中点，
∴，
∴，
∴点、、在以点为圆心，为半径的上．
即为的外接圆，其半径为．
【深入探究】
在【问题发现】的条件下，连结，线段的长为_____，在矩形移动过程中，线段长度的最大值为_________；
【类比运用】
如图③，，矩形的顶点在射线上移动，顶点在射线上移动，，．
(1)设的外接圆圆心为点，半径为，请判断在矩形移动过程中的值是否发生变化，若不变，请求出的值，若变化，请说明理由；
(2)直接写出在矩形移动过程中线段长度的最大值．
23．如图，菱形的边长为，面积为，点是边上的一点，(点不与点、重合)，连结，在线段上取点，使，以为边作正方形，使点和点在直线的同侧．
(1)当时，求的长；
(2)当时，点到直线的距离为_____________；
(3)当点落在边上时，求正方形的边长；
(4)若点到直线的距离是点到直线距离的2倍，则的长为_____________．
24．在平面直角坐标系中，点是坐标原点，抛物线（是常数）的对称轴是直线．点、是抛物线上不重合的两点，横坐标分别为、，连结，过点作，过点作轴，与交于点，以、为邻边作．
(1)求该抛物线对应的函数表达式；
(2)当时．
①求此抛物线在内部（含边上）的最高点与最低点纵坐标之差；
②求的值；
(3)当此抛物线在内部的点的纵坐标先随的增大而减小，后随的增大而增大时，直接写出的取值范围．
参考答案
1．【答案】A
【详解】解：∵抛物线，
∴该抛物线的顶点坐标是．
故此题答案为A．
2．【答案】C
【分析】根据上加下减的原则进行解答即可．
【详解】解：抛物线向上平移2个单位长度所得新抛物线的表达式是：
，
即，
故此题答案为C．
3．【答案】C
【详解】解：喜欢红色的学生最多，是这组数据的众数，
故此题答案为C．
4．【答案】D
【分析】根据在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对应的圆周角相等解答．
【详解】解：，
，
．
故此题答案为D．
5．【答案】A
【详解】解：在中,
（米）．
故此题答案为A．
6．【答案】D
【分析】根据圆周角定理求解即可得．
【详解】解：∵、是的弦，，
∴，
故此题答案为D．
7．【答案】D
【分析】连接于点，设的半径为，则，先证出四边形是菱形，再根据菱形的性质可得，然后利用三角形的面积公式建立方程，解方程即可得．
【详解】解：如图，连接于点，
设的半径为，则，
∵正六边形内接于，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
同理可得：，
∴，
∴四边形是菱形，
∴，，，
∴，
∵四边形的面积为，
∴，即，
解得或（不符合题意，舍去），
∴的半径为，
故此题答案为D．
8．【答案】B
【分析】先求出，然后设点的坐标为，过点作于点，证得，即可得点的坐标为，代入二次函数解析式即可求解．
【详解】解：令，则，
，
设点的坐标为，过点作于点，
由旋转可得：，，
，
，
，
，
，，
点的坐标为，
把代入得，
解得，舍去，
点的坐标为，
故此题答案为B．
9．【答案】内
【分析】根据的半径为，点到圆心的距离为，即可判定．
【详解】解：的半径，点到圆心的距离为，
点在内
10．【答案】
【分析】过点作，连接，根据垂径定理可得，设半径为，进而勾股定理求解即可
【详解】如图，过点作，连接，
弦AB的长为2cm，，圆心0到AB的距离为1cm，
,
在中，，，设半径，
11．【答案】
【分析】将问题转化为一元二次方程没有实数根，利用一元二次方程根的判别式求解即可得．
【详解】解：∵抛物线（是常数）与轴没有交点，
∴一元二次方程没有实数根，
∴这个方程根的判别式，
解得
12．【答案】
【分析】R是扇形半径，n是弧所对圆心角度数，π是圆周率，那么扇形的面积为：．根据扇形面积公式计算即可．
【详解】解：由题意得，部分扫过的图形面积=
13．【答案】
【分析】设点的坐标为，则点的坐标为，将点的坐标代入二次函数的解析式求解即可得．
【详解】解：设点的坐标为，
∵平行于轴，且，
∴点的坐标为，
将点，代入得：，
解得，
将代入②得：，
所以点的纵坐标为
14．【答案】①②
【分析】由等腰直角三角形的性质和圆周角定理可得，故①正确；通过证明，可得，故②正确；由题意可证，可得，可证，故③错误；由线段的数量关系可求，故④错误，即可求解．
【详解】解：∵，，
∴，
故①正确；
，
，
∴，故②正确；
延长至H，使，连接，
∵四边形是圆的内接四边形，
∴，
，
，
又∵，
∴，
，
，
∴
∴
故③错误；
若，
，故④错误
15．【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用特殊锐角三角函数值计算即可；
（2）利用零指数幂，特殊锐角三角函数值计算即可．
【详解】（1）解：
（2）解：
16．【答案】
【分析】画树状图得出所有等可能的结果数以及小明和小张在同一区域观看比赛的结果数，再利用概率公式即可得答案．
【详解】画树状图如下：
共有种等可能的结果，其中小明和小张在同一区域观看比赛的结果共3种，
所以小明和小张在同一区域观看比赛的概率．
17．【答案】(1)，
(2)
(3)
【分析】（1）由题意得，抛物线的对称轴为直线．令，得，即点的坐标为，进而可得点的坐标为．
（2）利用待定系数法求二次函数的解析式即可．
（3）结合图象可直接得出答案．
【详解】（1）解：抛物线与轴交于点、点，
抛物线的对称轴为直线，
令，得，
．
点与点关于抛物线的对称轴对称，
．
（2）解：将，代入得，
解得：，
；
（3）解：∵，，
由图可得，关于的不等式的解集为．
18．【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）连接，根据等腰三角形的性质得到，根据平行线的性质得到，根据切线的判定定理证明；
（2）根据平行线的性质得到，根据弧长公式计算即可．
【详解】（1）证明：连结，
∵．
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵是的半径，
∴是的切线；
（2）解：∵，，
∴，
∴的长
19．【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【分析】（1）根据网格在图①中，作，的垂直平分线交于点，即可使；
（2）根据网格在图②中，找到格点，连结、，根据平行线的性质和四边形内角和定理可得；
（3）根据网格在图③中，连结，根据平行线的性质和等腰直角三角形的性质即可得．
【详解】（1）解：如图①，点即为所求；
点在，的垂直平分线上，
；
（2）如图②，点或点即为所求；
由网格可知：，
由网格可知：，，
；
；
（3）如图③，点即为所求；
由网格可知：，
，
由网格可知：，，，
，
，
．
20．【答案】(1)①；；②
(2)乙；
【分析】（1）①根据频数分布表即可解决问题；
②根据平均数的定义即可判断；
（2）根据题意得，根据平均数相同，方差越小，排名越靠前即可解决问题．
【详解】（1）解：①由题意，
共有名家长评委给每位选手打分，
家长评委打分的中位数为第个和第个数据的平均数，
∴中位数
故答案为：，；
②去掉教师评委打分中的最高分和最低分，其余8名教师评委打分分别为
平均数为：
∴，
故答案为：；
（2）解：，
，
甲在甲、乙、丙三位选手中的排序居中，
依题意，当，则
解得：，
∵为整数，则或
当时，
此时
∵，则甲在甲、乙、丙三位选手中的排序居中，不合题意，
当时，
此时
∵，则甲在甲、乙、丙三位选手中的排序居中，这三位选手中排序最靠前的是乙
故答案为：乙；．
21．【答案】(1)
(2)石块能飞越防御墙
【分析】（1）设石块运行的函数关系式为，用待定系数法求得的值即可求得答案；
（2）把代入函数解析式，求得y的值，与10作比较即可得解．
【详解】（1）解：当石块在空中飞行到与的水平距离为米时达到最大高度，其最大高度是米，
抛物线的顶点坐标为，
设抛物线的表达式为，
点的坐标为，
，
解得：
抛物线的表达式为
（2）当 时，，即石块能飞越防御墙
22．【答案】[深入探究]，
[类比运用]①不变，，②
【分析】【深入探究】由勾股定理求出；当、、三点在同一直线时，有最大值，得出线段长度有最大值；
【类比运用】 ①连接、，则，由圆周角定理得，由勾股定理可得出答案；
②由①可知：点在以为弦，半径为圆上，当在线段上时，此时有最大值，由勾股定理求出的长，则可得出答案．
【详解】【深入探究】 由【问题发现】知，
，
，
当、、三点在同一直线上时，有最大值，
线段长度的最大值为；
故答案为：，．
【类比运用】①不变．
连接、，则，
，
，
在中，，
，
；
②由①可知：点在以为弦，半径为的圆上，如图所示，
，
当在线段上时，此时有最大值，
过点作于点，交于点，
，
，
，，
的最大值为：．
23．【答案】(1)
(2)
(3)
(4)或
【分析】（1）根据菱形的面积底边高可计算高的长，由勾股定理可得的长；
（2）根据等面积法即可解答；
（3）如图2，证明，列比例式得：：：：，如图，过点作于，设，，，根据列方程即可解答；
（4）分两种情况：①当，在的同侧时，如图，过点作于，过点作于，过点作于，则，根据列方程即可解答；②当，在的两侧时，如图，同理可解答．
【详解】（1）解：如图1，，
菱形的边长为，面积为，
，
，
由勾股定理得：
（2）如图2，过点作于，过点作于，
由（1）可得：，
，，
，
即点到直线的距离为
故答案为：．
（3）如图2，，，
，
，
即：：：：，
如图，过点作于，
设，，，
，
四边形是正方形，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
即正方形的边长为
（4）分两种情况：
①当，在的同侧时，如图，过点作于，过点作于，过点作于，则，
由（3）知：设，，，
，
点到直线的距离是点到直线距离的倍，
，
四边形是正方形，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
②当，在的两侧时，如图，过点作于，过点作于，过点作于，设与交于点，
同理设，，，
，，
，
，
，
四边形是正方形，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
综上所述，的长是或，
故答案为：或．
24．【答案】(1)；
(2)①；②；
(3)或．
【分析】（1）根据题意直接由对称轴求出b值即可得解；
（2）①先求出A和B的坐标以及顶点坐标，且顶点在内部，从而得出A是最高点和顶点是最低点以此求解即可；
②由题过点A作于点E，得出E点坐标，进而求出和的长度，即可得解；
（3）根据题意进行分类讨论，分A在B左侧，或者B在A左侧两种情况，然后代入临界值结合函数图像进行求解即可．
【详解】（1）解：由题意得，
解得：，
∴；
（2）由题意可知，
∴ 抛物线对称轴为直线，顶点坐标为，
则当时，，
则当时，，
∴，
则当时，，
∴，
∵，且顶点在内部，
∴ 内部（含边上）的最高点为，最低点为顶点，
∴ 最高点与最低点纵坐标之差为；
② 过点A作于点E，则，
∴，
∴．
（3）∵ 点横坐标分别为，
∴，
当A与B重合时，，解得：，
当B在A左侧时；
① 当B落在顶点上时，，解得：；
② 当经过顶点时，如图，
过A作于E，过抛物线顶点G作于点H，
则，
∴，
∴，
∵
，，
∴，
整理得，解得：（舍去），
∴；
当B在A右侧时，
① 当A落在顶点时，；
② 当经过顶点时，如图，
同理，
∴，
∵，，
，
∴ ，整理得（舍），，
∴；
综上所述，或．颜色
黄色
绿色
白色
紫色
红色
学生人数
100
180
220
80
750
组别
第1组
第2组
第3组
第4组
第5组
频数
2
3
9
5
平均数
中位数
众数
教师评委
家长评委
评委1
评委2
评委3
评委4
评委5
甲
乙
丙