2025高考数学三轮冲刺-考前模拟训练2【含答案】

这是一份2025高考数学三轮冲刺-考前模拟训练2【含答案】，共12页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知角α的终边经过点(3,4),把角α的终边绕原点O逆时针旋转π2得到角β的终边,则sin β=( )
A.-45B.45C.-35D.35
2.已知α为锐角,sin α=35,则csα2=( )
A.1010B.31010C.55D.255
3.已知sin(α+β)sin(α-β)=2,cs αsin β=16,则sin(α+β)=( )
A.13B.23C.19D.-23
4.已知三个单位向量a,b,c满足a=b+c,则向量b,c的夹角为( )
A.π6B.π3C.2π3D.5π6
5.若函数f(x)=cs(πx+φ)的图象关于直线x=1对称,在下列选项中,( )不是f(x)的零点.
A.-1B.-12C.32D.52
6.将函数y=sin2x-cs2x的图象向右平移m(m>0)个单位长度后得到的图象与y=sin 2x的图象关于原点对称,则m的最小值是( )
A.π4B.3π4C.π2D.3π2
7.已知函数f(x)=3sin 2x-cs 2x,则下列结论正确的是( )
A.函数f(x)的最大值是3
B.函数f(x)在区间-π6,π3上单调递增
C.该函数的最小正周期是2π
D.该函数向左平移π6个单位长度后图象关于原点对称
8.“不以规矩,不能成方圆”中的“规”指圆规,“矩”指由相互垂直的长短两条直尺构成的方尺,今有一块圆形木板,按图中数据,以“矩”量之,若将这块圆形木板截成一块四边形形状的木板,且这块四边形木板的一个内角α满足cs α=13,则这块四边形木板周长的最大值为( )
A.10(30+15)3 cmB.10(30-15)3 cm
C.10(10+5)3 cmD.10(10-5)3 cm
二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.
9.在平面直角坐标系xOy中,角θ以坐标原点O为顶点,以x轴的非负半轴为始边,其终边经过点M(a,b),|OM|=m(m≠0),定义f(θ)=b+am,g(θ)=b-am,则( )
A.fπ6+gπ6=1
B.f(θ)+f2(θ)≥0
C.若f(θ)g(θ)=2,则sin 2θ=35
D.f(θ)g(θ)是周期函数
10.已知函数f(x)=2cs(ωx+φ)ω>0,|φ|0的最小正整数x为2
11.已知向量a,b,c为平面向量,|a|=1,|b|=2,a·b=0,|c-a|=12,则( )
A.1≤|c|≤32
B.(c-a)·(c-b)的最大值为1+254
C.-1≤b·c≤1
D.若c=λa+μb,则λ+μ的最小值为1-54
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.
12.如图,△ABC在边长为1的小正方形组成的网格中,则AB·AC= .
13.海边近似平直的海岸线上有两处码头A,B,且AB=3 km.现有一观光艇由B出发,同时在A处有一小艇出发向观光艇补充物资,其速度为观光艇的两倍,在M处成功拦截观光艇,完成补给.若两船都做匀速直线运动,观光艇行驶向海洋的方向任意的情况下,小艇总可以设定合适的出发角度,使得行驶距离最小,则拦截点M距离海岸线的最远距离为 .
14.如图所示,单位圆O绕圆心做逆时针匀速圆周运动,角速度大小为2π rad/s,圆上两点A,B始终满足∠AOB=2π3,随着圆O的旋转,A,B两点的位置关系呈现周期性变化.现定义:A,B两点的竖直距离为A,B两点相对于水平面的高度差的绝对值.假设运动开始时刻,即t=0 s时,点A位于圆心正下方,则t= s时,A,B两点的竖直距离第一次为0;A,B两点的竖直距离关于时间t(单位:s)的函数解析式为f(t)= .
四、解答题:本题共3小题,共45分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(15分)已知函数f(x)=sin 2xcs φ-cs 2xsin φ,其中|φ|0,函数f(x)在区间[0,m]上最小值为-12,求实数m的取值范围.
条件①:对任意的x∈R,都有f(x)≤fπ3成立;条件②:fπ4=-12;条件③:fπ3-f-π6=2.
注:若选择多个条件分别解答,则按第一个解答计分.
16.(15分)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,cs2B-sin2B=-12.
(1)求角B,并计算sinB+π6的值;
(2)若b=3,且△ABC是锐角三角形,求a+2c的最大值.
17.(15分)已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c(a0)个单位长度后得到函数g(x)的图象,
则g(x)=-cs[2(x-m)]=-cs(2x-2m).
因为g(x)的图象与y=sin 2x的图象关于原点对称,
则有g(x)=-sin(-2x)=sin 2x,
即-cs(2x-2m)=sin 2x,
所以-2m=π2+2kπ(k∈Z),
解得m=-π4-kπ(k∈Z).
又因为m>0,所以当k=-1时,m取最小值为3π4.故选B.
7.答案B
解析由题可得,f(x)=3sin 2x-cs 2x=2sin2x-π6,
可得函数最大值是2,最小正周期是π,故选项A,C错误;
当x∈-π6,π3时,2x-π6∈-π2,π2,根据正弦函数的性质,
可得函数f(x)=2sin2x-π6在区间-π6,π3上单调递增,故B正确;
将函数f(x)图象向左平移π6个单位长度,得到函数f(x)=2sin2x+π6的图象,
此时函数f(x)的图象不关于原点对称,故D错误.故选B.
8.答案A
解析因为四边形木板的一个内角α满足cs α=13,如图.
设∠BAD=α,由题设可得圆的直径为100+25=55,故BD=55sin α.
因为cs α=13,α为三角形内角,故sin α=1-132=223,故BD=55×223=10103,
则AB2+AD2-2AD×ABcs α=BD2=1 0009,故(AB+AD)2=83AD×AB+1 0009≤2(AD+AB)23+1 0009,
故AB+AD≤1 0009×3=10303,当且仅当AB=AD=5303时,等号成立.
同理,BC+CD≤10153,当且仅当BC=CD=5153时,等号成立,
故四边形周长的最大值为10(30+15)3 cm.
故选A.
二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.
9.答案ACD
解析由题意得,M(a,b)在角θ的终边上,且|OM|=m,
所以cs θ=am,sin θ=bm,
则f(θ)=b+am=sin θ+cs θ=2sinθ+π4,g(θ)=b-am=sin θ-cs θ=2sinθ-π4.
对于A,fπ6+gπ6=sinπ6+csπ6+sinπ6-csπ6=1,故A正确;
对于B,f(θ)+f2(θ)=sin θ+cs θ+(sin θ+cs θ)2,令t=sin θ+cs θ=2sinθ+π4,t∈[-2,2],所以f(θ)+f2(θ)=t+t2=t+122−14≥-14,故B错误;
对于C,f(θ)g(θ)=sinθ+csθsinθ-csθ=tanθ+1tanθ-1=2,解得tan θ=3.
由sin 2θ=2sin θcs θ=2sinθcsθsin2θ+cs2θ=2tanθtan2θ+1=2×332+1=35,故C正确;
对于D,f(θ)g(θ)=(sin θ+cs θ)(sin θ-cs θ)=sin2θ-cs2θ=-cs 2θ.
因为y=cs 2θ为周期函数,故D正确.
故选ACD.
10.答案ABD
解析设函数f(x)的周期为T,由图象可得,34T=13π12−π3=3π4,则T=π,所以2πω=π,解得ω=2,故A正确.
当x=13π12时,函数f(x)=2cs(ωx+φ)取最大值,所以2×13π12+φ=2mπ,m∈Z,
则φ=2mπ-13π6,m∈Z.
又|φ|0可化为(f(x)-1)f(x)>0,
所以f(x)>1或f(x)1可得,cs2x-π6>12,
所以2nπ-π3