河南省驻马店市泌阳县部分中学联考2024-2025学年八年级下学期3月月考数学试题（原卷版+解析版）

这是一份河南省驻马店市泌阳县部分中学联考2024-2025学年八年级下学期3月月考数学试题（原卷版+解析版），共27页。
1．本试卷共6页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟．
2．请按要求把答案填写在试卷或答题卡上．
一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的．
1. 下面各式中，是最简二次根式是（ ）
A. B. C. D.
2. 下列以，，为三边长的三角形中，是直角三角形的是（ ）
A. ，，B. ，，
C. ，，D. ，，
3. 下列等式一定成立的是（ ）
A. B. C. D.
4. 下列命题的逆命题不成立的是（ ）
A. 等边对等角
B. 直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方
C. 两直线平行，内错角相等
D. 如果两个实数都是正数，那么它们的的积是正数
5. 无理数像一首读不完的长诗，既不循环，也不枯竭，无穷无尽，数学家称其是一种特殊的数．若某矩形的长为，宽为，则这个矩形面积的值大约在（ ）
A. 2与3之间B. 3与4之间C. 4与5之间D. 5与6之间
6. 1995年，希腊为纪念毕达哥拉斯学派发行了如图1所示的邮票，图片中间是三个正方形顶点相连构成一个三角形．如图2，若中间的三角形为直角三角形，则三个正方形的面积可以是（ ）
A. 2，3，5B. 3，4，5C. 6，8，13D. 5，12，14
7. 已知，则的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
8. 如图，数轴上点A表示的数为，的直角边落在数轴上，且长为3个单位长度，长为1个单位长度，若以点A为圆心，以斜边长为半径画弧交数轴于点D，则点D表示的数为（ ）
A B. C. D.
9. 如图，已知在中，的垂直平分线分别交于两点，连接，则的长为（ ）
A. 1B. C. D.
10. 如图，正方形的边长为1，以为边作第2个正方形，再以为边作第3个正方形，按照这样的规律，第2025个正方形的边长为（ ）
A B. C. D.
二、填空题（每小题3分，共15分）
11. 若代数式有意义，则实数的取值范围是______；
12. 已知，，则的值为 ．
13. 如图是一台手机支架的示意图，，可分别绕点，转动，测得，，若，，垂足为点，，则点到的距离为______．
14. 如图所示的长方体透明玻璃鱼缸，假设其长，高，水深．在水面上紧贴内壁的处有一块面包屑，且．一只蚂蚁想从鱼缸外的点沿鱼缸壁爬进鱼缸内的处吃面包屑，则蚂蚁爬行的最短路线的长为_______．
15. 如图，点A是射线外一点，连接，cm，点A到的距离为3cm．动点P从点B出发沿射线以2cm/s的速度运动．设运动的时间为t秒，当t为 ____________________秒时，为直角三角形．
三、解答题（本大题共8个小题，共75分）
16. 计算：
（1）；
（2）．
17. 为了让学生更好地学会用勾股定理，某校八年级数学兴趣小组的同学把“测量风筝的垂直高度”作为一项课题，利用课余时间完成了实践调查，并利用皮尺等工具采集了如下的实验数据．
【采集数据】
如图，利用皮尺测量水平距离米，然后根据手中剩余风筝线的长度得出风筝线的长度米，最后测量放风筝的小康同学的身高米
【数据应用】
当点均在同一平面内，已知图中各点均在同一平面内，点，，，在同一直线上．
（1）求此时风筝的垂直高度．
（2）若站在点不动，想把风筝沿着的方向从点的位置上升18米到点的位置，则还需要放出风筝线多少米？
18. 定义两种新运算：，其中为实数且．
（1）求的值；
（2）化简：．
19. “赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间一个小正方形拼成的大正方形，为中国古代以形证数，形数统一，代数和几何紧密结合，互不可分的独特风格树立了一个典范．如图，某同学制作了一个“赵爽弦图”的纸板，设．
（1）请你利用图证明：；
（2）若大正方形的边长为13，小正方形的边长为7，求．
20. 小明在解决问题：已知，求的值．他是这样分析与解答的：
，
．
，即．
．
．
请你根据小明的分析过程，解决如下问题：
（1）计算：______；
（2）计算：；
（3）若，求的值．
21. 今年第11超强台风“海葵”登陆我国沿海地区，风力强，累计降雨量大，影响范围大，有极强的破坏力，如图，台风“海葵”中心沿东西方向AB由A向B移动，已知点C为一海港，且点C与直线AB上的两点A、B的距离分别为，，又，经测量，距离台风中心及以内的地区会受到影响．

（1）海港C受台风影响吗？为什么？
（2）若台风中心移动速度为28千米/时，则台风影响该海港持续的时间有多长？
22. 阅读】
我们很早就学习了求三角形面积的公式，三角形的面积底高，学习了勾股定理和二次根式运算后，我们还有其他方法求三角形面积，这里介绍著名的海伦-秦九韶公式，它们分别是由古希腊的几何家海伦和我国南宋时期数学家秦九韶提出的．这两个公式都可以已知三边求出三角形面积，两个公式分别为：
海伦公式：已知一个三角形的三边长分别为a，b，c，设，那么这个三角形的面积；
秦九韶公式：已知一个三角形的三边长分别为a，b，c，那么这个三角形的面积
【尝试公式应用】
（1）已知一个三角形的三边长分别为9，10，11．请分别应用上述两个公式求出三角形的面积．
【尝试新方法】
尝试用已学过的勾股定理以及二次根式的运算解决下面的问题：（用上面的公式不给分）
（2）已知一个中，，，．求面积．
23. 定义：如图，点、把线段分割成、、，若以、、为边的三角形是一个直角三角形，则称点、是线段的勾股分割点．
（1）已知、把线段分割成、、，若，，，则点、是线段的勾股分割点吗？请说明理由．
（2）已知点、是线段的勾股分割点，且为直角边，若，，求的长．
2024—2025学年下学期学情调研卷（一）
八年级数学（人教版）
注意事项：
1．本试卷共6页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟．
2．请按要求把答案填写在试卷或答题卡上．
一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的．
1. 下面各式中，是最简二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了最简二次根式，根据最简二次根式的定义：被开方数不含分母，被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，同时满足以上条件的二次根式是最简二次根式，据此逐项判断即可求解，掌握最简二次根式的定义是解题的关键．
【详解】解：、被开方数是分数，不是最简二次根式，该选项不合题意；
、被开方数是小数，不是最简二次根式，该选项不合题意；
、是最简二次根式，该选项符合题意；
、，不是最简二次根式，该选项不合题意．
故选：．
2. 下列以，，为三边长三角形中，是直角三角形的是（ ）
A. ，，B. ，，
C. ，，D. ，，
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，三角形三边关系，如果三角形的三边长，满足，那么这个三角形是直角三角形．
根据勾股定理的逆定理和三角形三边关系，逐项判断即可．
【详解】解：A.，不能构成直角三角形，故该选项不符合题意；
B.，能构成直角三角形，故该选项符合题意；
C.，不能构成三角形，故该选项不符合题意；
D.，不能构成直角三角形，故该选项不符合题意；
故选：B ．
3. 下列等式一定成立的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了算术平方根，绝对值的性质以及二次根式的除法运算，解题的关键是熟练掌握相关运算规则并准确计算．
分别对每个选项进行计算，根据算术平方根，绝对值，二次根式运算规则判断等式是否成立．
【详解】A、计算，先算，再算，最后加负号得，并非2，A错误；
B、计算，因为，所以，绝对值结果为，并非，B错误；
C、计算，并非4，C错误；
D、计算，等式成立，D正确．
故选：D．
4. 下列命题的逆命题不成立的是（ ）
A. 等边对等角
B. 直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方
C. 两直线平行，内错角相等
D. 如果两个实数都是正数，那么它们的的积是正数
【答案】D
【解析】
【分析】本题主查了互逆命题，把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题．再分析逆命题是否为真命题，需要分别分析各题设是否能推出结论，从而利用排除法得出答案．
【详解】解：A、逆命题是：如果一个三角形的两个角相等，那么这两个角所对的边也相等，是真命题，故本选项不符合题意，
B、逆命题是：如果一个三角形的两条较短的边的平方和等于较长边的平方，那么这个三角形是直角三角形，为真命题，故本选项不符合题意，
C、逆命题是：内错角相等，两直线平行，是真命题，故本选项不符合题意，
D、逆命题是：如果两个实数的积是正数，那么这两个实数也是正数，是假命题，故本选项符合题意；
故选：D．
5. 无理数像一首读不完的长诗，既不循环，也不枯竭，无穷无尽，数学家称其是一种特殊的数．若某矩形的长为，宽为，则这个矩形面积的值大约在（ ）
A. 2与3之间B. 3与4之间C. 4与5之间D. 5与6之间
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了二次根式的运用，无理数的估算，根据题意利用二次根式乘法求出矩形面积，再由无理数的估算方法估算即可．
【详解】解：根据题意，矩形面积为：，
，即，
，
这个矩形面积的值大约在4与5之间，
故选：C．
6. 1995年，希腊为纪念毕达哥拉斯学派发行了如图1所示的邮票，图片中间是三个正方形顶点相连构成一个三角形．如图2，若中间的三角形为直角三角形，则三个正方形的面积可以是（ ）
A. 2，3，5B. 3，4，5C. 6，8，13D. 5，12，14
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题关键．根据勾股定理可得：，然后利用正方形的面积公式可得：以为边长的正方形面积+以为边长的正方形面积=以为边长的正方形的面积，即可解答．
【详解】解：如图：
由题意得：，
∴，
∴以为边长的正方形面积+以为边长的正方形面积=以为边长的正方形的面积，
∵，，，，
∴三个正方形纸片的面积可以是2，3，5，
故选：A．
7. 已知，则的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了二次根式的性质与化简，完全平方公式，实数的比较大小，熟练掌握二次根式的性质与化简，完全平方公式，二次根式的比较大小进行求解是解决本题的关键．根据题意中提取公因式可得，即可得出，根据二次根式的性质可得，的被开方数可化为，根据完全平方公式的变式应用可化为，可得，再根据实数比较大小的方法进行求解即可得出答案．
【详解】解：
，
，
，
，
．
故选：B．
8. 如图，数轴上点A表示的数为，的直角边落在数轴上，且长为3个单位长度，长为1个单位长度，若以点A为圆心，以斜边长为半径画弧交数轴于点D，则点D表示的数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查实数与数轴，勾股定理，利用勾股定理求得的长度，即的长度即可得出结果．
【详解】解：由勾股定理知：，
所以．
所以点D表示的数为．
故选：B．
9. 如图，已知在中，的垂直平分线分别交于两点，连接，则的长为（ ）
A. 1B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查直角三角形的勾股定理，线段垂直平分线的性质；先利用勾股定理求出，根据垂直平分，设 ，则，在中，根据勾股定理即可求解．
【详解】解：在中，，
∴，
∵垂直平分，
∴，
设 ，则，
在中，
∵，
∴，
解得：，则．
故选：C．
10. 如图，正方形的边长为1，以为边作第2个正方形，再以为边作第3个正方形，按照这样的规律，第2025个正方形的边长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了图形中数字的规律，发现规律是为底数，以图形序号数减去1为指数的幂是解题的关键．根据题意，得第一个正方形的边长为；第二个正方形的边长为；第三个正方形的边长为；第四个正方形的边长为；由此得到第n个正方形的边长为，即可解答．
【详解】解：根据题意，得第一个正方形的边长为；
第二个正方形的边长为；
第三个正方形的边长为；
第四个正方形边长为；
由此得到第n个正方形的边长为；
故第2025个正方形的边长为，
故选：C．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11. 若代数式有意义，则实数的取值范围是______；
【答案】##
【解析】
【分析】本题考查了二次根式以及分式有意义的条件，不等式的解法，解题的关键是熟练掌握以上知识．根据分母不为零，被开方数大于等于零，列不等式，解答即可．
【详解】解：在实数范围内有意义，
∴，
解得：，
故答案为：．
12. 已知，，则的值为 ．
【答案】
【解析】
【分析】此题主要考查了平方差公式．直接利用平方差公式将原式变形进而得出答案．
【详解】解：∵，，
∴
，
故答案为：．
13. 如图是一台手机支架的示意图，，可分别绕点，转动，测得，，若，，垂足为点，，则点到的距离为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理应用，等腰直角三角形的判定和性质，熟练掌握勾股定理是解题的关键．连接，根据勾股定理得到，根据垂直的定义得到，根据等腰直角三角形的性质得到，于是得到结论．
【详解】解：连接，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴点D到的距离为，
故答案为：
14. 如图所示的长方体透明玻璃鱼缸，假设其长，高，水深．在水面上紧贴内壁的处有一块面包屑，且．一只蚂蚁想从鱼缸外的点沿鱼缸壁爬进鱼缸内的处吃面包屑，则蚂蚁爬行的最短路线的长为_______．
【答案】100
【解析】
【分析】本题考查平面展开−最短路径问题，关键知道两点之间线段最短，从而可找到路径求出解．作出A关于的对称点，连接，与交于点Q，此时最短；为直角的斜边，根据勾股定理求解即可．
【详解】解：如图所示作出A关于的对称点，连接，与交于点Q，蚂蚁沿着的路线爬行时路程最短．
则，
根据题意：，，
∴，
∴，
∴最短路线长为，
故答案为：．
15. 如图，点A是射线外一点，连接，cm，点A到的距离为3cm．动点P从点B出发沿射线以2cm/s的速度运动．设运动的时间为t秒，当t为 ____________________秒时，为直角三角形．
【答案】2或
【解析】
【分析】本题考查勾股定理，分和，两种情况进行讨论求解即可．
【详解】解：过点A作，
∵点A到的距离为3cm，
∴cm，
∵cm，
根据勾股定理，得cm，
当时，如图所示：
此时点P与点H重合，
根据题意，得，
解得；
当时，如图所示：
∵cm，cm，cm，cm，
∴cm，
根据勾股定理，得，
∴，
解得，
故答案为：2或．
三、解答题（本大题共8个小题，共75分）
16. 计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的混合运算法则和运算顺序是解题关键．
（1）原式先根据平方差公式，完全平方公式及二次根式的乘法计算，再合并即可得到结果；
（2）原式先计算除法和乘法，再将二次根式化为最简二次根式，最后合并同类二次根式即可得到结果．
【小问1详解】
解：原式
．
【小问2详解】
解：原式
．
17. 为了让学生更好地学会用勾股定理，某校八年级数学兴趣小组的同学把“测量风筝的垂直高度”作为一项课题，利用课余时间完成了实践调查，并利用皮尺等工具采集了如下的实验数据．
【采集数据】
如图，利用皮尺测量水平距离米，然后根据手中剩余风筝线的长度得出风筝线的长度米，最后测量放风筝的小康同学的身高米
【数据应用】
当点均在同一平面内，已知图中各点均在同一平面内，点，，，在同一直线上．
（1）求此时风筝的垂直高度．
（2）若站在点不动，想把风筝沿着的方向从点的位置上升18米到点的位置，则还需要放出风筝线多少米？
【答案】（1）米
（2）14米
【解析】
【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用：
（1）根据题意可得米，再由勾股定理求出的长即可得到答案；
（2）先求出的长，再利用勾股定理求出的长即可得到答案．
【小问1详解】
解：由题意得，米，，
在中，由勾股定理得米，
∴米；
∴此时风筝垂直高度为米；
【小问2详解】
解：由题意得，米，
在中，由勾股定理得米，
∵米，
∴还需要放出风筝线14米．
18. 定义两种新运算：，其中为实数且．
（1）求的值；
（2）化简：．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查二次根式的混合运算．
（1）根据新定义列式，并利用平方差公式计算即可；
（2）根据新定义列式，并利用平方差公式计算即可．
【小问1详解】
解：原式
．
【小问2详解】
解：原式
．
19. “赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间一个小正方形拼成的大正方形，为中国古代以形证数，形数统一，代数和几何紧密结合，互不可分的独特风格树立了一个典范．如图，某同学制作了一个“赵爽弦图”的纸板，设．
（1）请你利用图证明：；
（2）若大正方形的边长为13，小正方形的边长为7，求．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题主要考查了勾股定理的证明，完全平方公式的应用，能用不同的方法表示出正方形的面积及巧用整体思想是解题的关键．
（1）用两种不同的方法去求正方形的面积即可．
（2）利用（1）中发现的结论即可解决问题．
【小问1详解】
证明：中间小正方形的边长为，
．
四个直角三角形的面积和为：，
．
，
．
【小问2详解】
解：由（1）可知，
，
．
，
．
．
20. 小明在解决问题：已知，求的值．他是这样分析与解答的：
，
．
，即．
．
．
请你根据小明的分析过程，解决如下问题：
（1）计算：______；
（2）计算：；
（3）若，求的值．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】本题考查了分母有理化，二次根式的化简求值，二次根式的加减混合，熟练掌握分母有理化是解题的关键．
（1）利用分母有理化计算；
（2）先分母有理化，然后合并即可；
（3）先化简a，求出，然后利用整体代入的方法计算．
【小问1详解】
解：，
故答案为：；
【小问2详解】
解：
【小问3详解】
，
，
．
21. 今年第11超强台风“海葵”登陆我国沿海地区，风力强，累计降雨量大，影响范围大，有极强的破坏力，如图，台风“海葵”中心沿东西方向AB由A向B移动，已知点C为一海港，且点C与直线AB上的两点A、B的距离分别为，，又，经测量，距离台风中心及以内的地区会受到影响．

（1）海港C受台风影响吗？为什么？
（2）若台风中心的移动速度为28千米/时，则台风影响该海港持续的时间有多长？
【答案】（1）海港C受台风影响，理由见解析
（2）台风影响该海港持续的时间为小时
【解析】
【分析】（1）根据勾股定理逆定理得出，过点C作于D，用等面积法求出，即可解答；
（2）根据题意可得当，时，正好影响C港口，根据勾股定理求出，进而得出，最后根据时间=路程÷速度，即可求解．
【小问1详解】
解：，
，
是直角三角形，；
过点C作于D，
是直角三角形，
，
即，
，
，
海港C受台风影响；
【小问2详解】
解：当，时，正好影响C港口，
，
，
台风的速度为28千米/小时，
（小时）．
答：台风影响该海港持续的时间为小时．
【点睛】本题主要考查了勾股定理的逆定理，勾股定理，解题的关键是掌握两边平方和等于第三边平方的三角形，是直角三角形；直角三角形两直角边平方和等于斜边平方．
22. 【阅读】
我们很早就学习了求三角形面积的公式，三角形的面积底高，学习了勾股定理和二次根式运算后，我们还有其他方法求三角形面积，这里介绍著名的海伦-秦九韶公式，它们分别是由古希腊的几何家海伦和我国南宋时期数学家秦九韶提出的．这两个公式都可以已知三边求出三角形面积，两个公式分别为：
海伦公式：已知一个三角形的三边长分别为a，b，c，设，那么这个三角形的面积；
秦九韶公式：已知一个三角形的三边长分别为a，b，c，那么这个三角形的面积
【尝试公式应用】
（1）已知一个三角形的三边长分别为9，10，11．请分别应用上述两个公式求出三角形的面积．
【尝试新方法】
尝试用已学过的勾股定理以及二次根式的运算解决下面的问题：（用上面的公式不给分）
（2）已知一个中，，，．求面积．
【答案】（1）；（2）9
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理、三角形面积公式、二次根式应用，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）先根据求出，再代入计算即可得解；或将三边代入公式计算即可得解；
（2）作于，则，设，则，由勾股定理得出，求出的值，从而得出，再由三角形面积公式计算即可得解．
【详解】解：（1）由题意得：，
∴
；
；
（2）如图：作于，则，

设，则，
由勾股定理可得：，
，
∴，
解得：，
∴，
∴．
23. 定义：如图，点、把线段分割成、、，若以、、为边的三角形是一个直角三角形，则称点、是线段的勾股分割点．
（1）已知、把线段分割成、、，若，，，则点、是线段的勾股分割点吗？请说明理由．
（2）已知点、是线段的勾股分割点，且为直角边，若，，求的长．
【答案】（1）是，理由见解析
（2）或
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理的逆定理的运用，解题的关键是理解题意，学会分类讨论，不能漏解．
（1）根据勾股定理逆定理，即可判断点、是线段的勾股分割点；
（2）设，则，分两种情形：①当为最长线段时，
；②当为最长线段时，．分别列出方程即可解决问题．
【小问1详解】
是．理由如下：
∵，，
∴，
∴、、为边的三角形是一个直角三角形，
∴点、是线段的勾股分割点．
【小问2详解】
设，则，
①当为最长线段时，依题意，
即，
解得；
②当为最长线段时，依题意，
即，
解得；
综上所述，或．