2024-2025学年湖北省仙桃市高二（上）期末数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年湖北省仙桃市高二（上）期末数学试卷（含答案），共7页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.抛物线y2=4x的焦点坐标为( )
A. (0,1)B. (1,0)C. (0,2)D. (2,0)
2.已知P(A)=0.5，P(B)=0.4，且B⊆A，则P(AB)=( )
A. 0.5B. 0.4C. 0.9D. 0.2
3.设数列{an}，{bn}都是等比数列，则在4个数列{an+bn}，{an−bn}，{anbn}，{bnan}中，一定是等比数列的有( )
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
4.直线l1的一个方向向量的坐标为(2,3)，直线l2过点(1,2)且与l1垂直，则l2的方程为( )
A. 2x+3y−8=0B. 3x−2y+1=0C. 3x+2y−7=0D. 2x−3y+4=0
5.已知{an}是等差数列，a1+a3+a5=21，a6+a8+a10=51，则an 的前10项和为( )
A. 90B. 100C. 110D. 120
6.已知正三棱柱ABC−A′B′C′的各条棱长均相等，棱CC′的中点为D，则直线A′C与直线BD所成的角的余弦值为( )
A. 0B. 14C. 33D. 55
7.柜子里有红、黄、蓝三种颜色的鞋子各一双，从6只鞋子中随机地取出3只，则取出的3只鞋子颜色均不相同的概率为( )
A. 15B. 310C. 25D. 12
8.圆与椭圆有密切联系，将圆在同一方向等比例“压缩”或者“拉伸”，圆会变形为椭圆；同样的，将椭圆在同一方向等比例“压缩”或者“拉伸”，椭圆会变形为不同的椭圆或圆.已知二面角α−l−β的大小为30°，半平面α内的圆C在半平面β上的投影是椭圆C1，C1在半平面α上的投影是椭圆C2，则椭圆C2的离心率为( )
A. 34B. 12C. 54D. 74
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.抛掷一枚质地均匀的骰子，有如下随机事件：E=“点数不大于2”；F=“点数大于2”；G=“点数大于5”；H=“点数为奇数”.则下列说法正确的有( )
A. F∪G=GB. E，F为对立事件
C. F与H互斥D. GH=⌀
10.已知m≠n，设两条直线l1：x−my+2=0，l2：x−ny−2=0交点的轨迹为曲线C，则下列说法正确的有( )
A. 当mn=−4时，曲线C是椭圆的一部分，且椭圆焦点在x轴上
B. 当mn=−12时，曲线C是椭圆的一部分，且椭圆焦点在y轴上
C. 当mn0时，曲线C是双曲线的一部分
11.已知正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为4，点P在面ABB1A1(包含边界)内运动，且PA+PB=2 5点Q在面ABCD(包含边界)内运动，且Q到直线BB1的距离与其到平面ADD1A1的距离相等.若PQ/​/平面ADD1A1，则下列说法正确的有( )
A. PQ⊥ABB. 直线PQ不可能与平面ABCD垂直
C. Q的轨迹为抛物线的一部分D. 线段PQ长度的取值范围为[1,9 55]
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知OA=(2,1,3)，OB=(−2,1,x)，且OA⊥OB，则|AB|= ______．
13.双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左右焦点分别为F1，F2，以线段F1，F2为直径的圆与双曲线C的渐近线在第一象限的交点为A，若|AF1|=2|AF2|，则ba= ______．
14.数列{an}中a1=2，且满足an⋅an+1=12n，an+an+1=bn，则数列{bn}的前2024项的和为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知数列{an}满足an+1=2an+1，且a1=1，设bn=an+1．
(1)求证：数列{bn}是等比数列；
(2)设cn=an+lg2bn，求数列{cn}的前n项和Sn．
16.(本小题15分)
已知圆C：(x−2)2+(y−1)2=4内有一点P0(1,2)，过P0作直线与圆C交于A，B两点．
(1)若弦AB被点P0平分，求直线AB的方程；
(2)若|AB|=2 3求直线AB的方程．
17.(本小题15分)
如图，平行六面体ABCD−A1B1C1D1的所有棱长均相等，AD⊥DC，∠DCC1=60°，平面CC1D1D⊥平面ABCD，点E，F满足D1E=EC1，CF=2FC1．
(1)求证：AE//平面BDF；
(2)求直线CD与平面BDF所成的角θ的正弦值．
18.(本小题17分)
已知椭圆C的中心在坐标原点，左顶点为A，焦点在x轴上且焦距为2，过右焦点F的直线l(不与x轴重合)交椭圆于M，N两点，当直线l与x轴垂直时，|MN|=3．
(1)求椭圆C的方程；
(2)证明：直线MA，NA的斜率之积为定值．
19.(本小题17分)
已知A，B两个盒子里分别有a，b个小球，另有足够多的小球备用.重复进行n(a,b≥2n)次如下操作：每次从A，B中随机选取一个盒子，向里面放入1个球或放入2个球，从剩下的另一个盒子里取出1个球或取出2个球.每一次操作中某个盒子里“放入1个球”“放入2个球”及“取出1个球”“取出2个球”均是等可能的，这n次操作结果均相互独立．
(1)若a=9，b=11，求第一次操作后，A盒子里球的个数多于B盒子里球的个数的概率；
(2)求完成一次操作后，A，B两个盒子里球的个数之和减少的概率p；
(3)求重复进行n次操作后，A，B两个盒子里球的个数之和为a+b+n的概率．
参考答案
1.B
2.B
3.B
4.A
5.D
6.A
7.C
8.D
9.BD
10.ABD
11.ABC
12.2 5
13.43
14.7−721012
15.解：(1)证明：由an+1=2an+1，且a1=1，
可得an+1+1=2(an+1)，
由bn=an+1，可得bn+1=2bn，
则数列{bn}是首项和公比均为2的等比数列；
(2)由(1)可得bn=2n，an=2n−1，
cn=an+lg2bn=2n−1+n，
则数列{cn}的前n项和Sn=(2+4+...+2n)+(0+1+...+n−1)
=2(1−2n)1−2+12n(n−1)=2n+1−2+12(n2−n)．
16.解：(1)圆C：(x−2)2+(y−1)2=4的圆心C(2,1)，半径r=2，
因为弦AB被点P0(1,2)平分，可AB的斜率k=−1kCP0=−2−11−2=1，
所以直线AB的方程为：y−2=1⋅(x−1)，即x−y+1=0；
(2)设圆心C到直线AB的距离d，因为|AB|=2 r2−d2=2 4−d2=2 3，可得d=1，
当直线AB的斜率不存在时，即直线AB的斜率x=1，此时圆心到直线的距离d=|2−1|=1，符合条件；
当直线的斜率存在时，设直线的方程为y−2=k(x−1)，
即kx−y−k+2=0，
则圆心C到直线的距离d=|2k−1−k+2| k2+(−1)2=|k+1| k2+1=1，
解得k=0，即直线AB的方程为y=2，
综上所述：直线AB的方程为x=1或y=2．
17.解：(1)证明：如图，取AB的中点G，连接CG交BD于H，连接FH，C1G，
因为BG=12DC，BG//DC，
所以CH=2HG，又CF=2FC1，所以FH//C1G，
由于AG//EC1，AG=EC1，
所以AE//GC1，
从而有AE//HF，
又AE⊄平面BDF，FH⊂平面BDF，
所以AE/​/平面BDF；
(2)设平行六面体各条棱长为6，
因为平面CC1D1D⊥平面ABCD，且AD⊥DC，
所以AD⊥平面CC1D1D，
由于∠C1CD=60°，所以∠DD1E=60°，DD1=6，D1E=3，
由余弦定理DE=3 3，DE⊥D1E，
分别以D为原点，DA，DC，DE所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
则D(0,0,0)，C(0,6,0)，B(6,6,0)，C1(0,3,3 3)，DB=(6,6,0)，DC=(0,6,0)，
由CF=2FC1，得CF=23CC1=23(0,−3,3 3)=(0,−2,2 3)，
从而BF=CF−CB=(0,−2,2 3)−(6,0,0)=(−6,−2,2 3)，
设平面BDF的一个法向量为n=(x,y,z)，
则n⋅DB=6x+6y=0n⋅BF=−6x−2y+2 3z=0，
可取n=(1,−1,2 3)，
故sinθ=|cs|= 3010．
18.解：(1)设椭圆C的标准方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0)，
因为椭圆C的焦距为2，当直线l与x轴垂直时，|MN|=3，
所以2c=22b2a=3a2=b2+c2，
解得a=2，b= 3，c=1，
则椭圆C的方程为x24+y23=1；
(2)证明：因为直线MN不与x轴重合，
设直线MN的方程为x=my+1，M(x1,y1)，N(x2,y2)，
联立x=my+1x24+y23=1，消去x并整理得(3m2+4)y2+6my−9=0，
此时Δ>0，
由韦达定理得y1+y2=−6m3m2+4，y1y2=−93m2+4，
所以kAMkAN=y1y2(my1+3)(my2+3)=y1y2m2y1y2+3m(y1+y2)+9=−93m2+4−9m23m2+4+3m⋅(−6m3m2+4)+9=−14．
则直线MA，NA的斜率之积为−14．
19.解：(1)设第i次操作后A，B两个盒子里球的个数分别为ai，bi(i=1,2,⋯,n)，
列举(a1,b1)所有8种可能的情形：(10,9)，(10,10)，(11,9)，(11,10)，(8,12)，(8,13)，(7,12)，(7,13)，
满足a1>b1的有3种情形，所以第一次操作后，A盒子里球的个数多于B盒子里球的个数的概率P=38．
(2)设a0=a，b0=b，在第i(i=1,2,…,n)次操作结果有8种等可能的情形，
①当ai=ai−1+1，bi=bi−1−1或ai=ai−1+2，bi=bi−1−2或ai=ai−1−1，bi=bi−1+1或ai=ai−1−2，bi=bi−1+2时，ai+bi=ai−1+bi−1；
②当ai=ai−1+2，bi=bi−1−1或ai=ai−1−1，bi=bi−1+2时，ai+bi=ai−1+bi−1+1；
③当ai=ai−1−2，bi=bi−1+1或ai=ai−1+1，bi=bi−1−2时，ai+bi=ai−1+bi−1−1；
仅有③中所述2种情形是减少的，
故一次操作后A，B两个盒子里球的个数之和减少的概率为p=28=14．
(3)由(2)的讨论知，每一次操作，A，B两个盒子里球的个数之和有3种可能的变化：
增加1个、不变、减少1个，要满足本n次操作后，A，B两个盒子里球的个数之和为a+b+n，
即比初始值a+b增加n个，则只可能是每一次操作均增加1个小球．
由(2)知，每次操作小球增加1个的概率为p′=28=14，
由于每一次操作结果均独立，本n次操作均增加1个的概率为14×14×…×14{n个=(14)n，
故A，B两个盒子里球的个数之和为a+b+n的概率为(14)n．