2024-2025学年安徽省铜陵市枞阳县浮山中学高二（上）期末数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年安徽省铜陵市枞阳县浮山中学高二（上）期末数学试卷（含答案），共8页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.若直线l1：3x+y+1=0与l2：2ax+(a+1)y+1=0平行，则a=( )
A. −3B. 3C. −17D. 17
2.已知点M在平面ABC内，且对于平面ABC外一点O，满足OM=λOA+16OB+14OC，则( )
A. 13B. 512C. 12D. 712
3.圆(x+1)2+y2=4与圆x2+(y−2)2=9的公共弦所在直线的方程为( )
A. 2x+y+1=0B. x+2y+1=0C. 2x−y+1=0D. x−2y+1=0
4.《九章算术》是我国秦汉时期一部杰出的数学著作，书中有如下问题：“今有大夫、不更、簪袅、上造、公士，凡五人，共出百钱，欲令高爵出少，以次渐多，问各几何？”意思是：“有大夫、不更、簪袅、上造、公士(爵位依次降低)5个人共出100钱，按照爵位从高到低每人所出钱数成递增的等差数列，这5个人各出多少钱？”在这个问题中，若上造与公士共出52钱，则簪袅出的钱数比大夫多( )
A. 4钱B. 8钱C. 10钱D. 12钱
5.已知F1，F2分别为椭圆C：x29+y2m=1(m>0)的两个焦点，C的离心率为12，若P为C上一点，则△PF1F2的周长为( )
A. 6B. 9C. 9或6 3D. 12或8 3
6.已知等比数列{an}的前n项和为Sn，S3=2，S6=6，则a7+a8+a9=( )
A. 2B. 4C. 6D. 8
7.已知抛物线C：y2=4x的焦点为F，点P在C上，Q(−1,0)，且PF⊥PQ，则|PF|=( )
A. 5−1B. 5−2C. 2 5−3D. 4 5−8
8.在长方体ABCD−A1B1C1D1中，AB=a，AD=b，AA1=c，线段A1C1与B1D1交于点O1，点P为空间中任意一点，则PO1⋅(PA+PB+PC+PD)的最小值为( )
A. −a22B. −b2C. −c2D. −c24
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知直线l：x=ty−2，圆C：x2+y2−4x−4=0，则下列说法正确的有( )
A. 若t=1，则l与圆C相切B. 若l与圆C相交，则−10,b>0)经过点A(−1,0),B( 2, 3)．
(1)求E的方程．
(2)若直线l经过E的右焦点F且与E的左、右两支分别交于点C，D(C与A不重合)，CD的中点为M，l与直线x=12交于点G，直线AG与E交于另一点N，证明：
(i)MN//x轴；
(ii)A，C，D，N四点共圆．
参考答案
1.A
2.D
3.B
4.B
5.C
6.D
7.A
8.C
9.AD
10.ABD
11.ACD
12.6n+1
13.2 33
14.1
15.解：(1)已知等差数列{an}的前n项和为Sn且a2+a4=8，S3+S4=23，
设{an}的公差为d，
由a2+a4=8S3+S4=23，得2a1+4d=83a1+3×22d+4a1+4×32d=23，
化简得a1+2d=47a1+9d=23，解得a1=2d=1，所以{an}的通项公式为an=n+1；
(2)当n为奇数时，bn=an=n+1，
当n为偶数时bn=2an−1=2n，
所以T2n=(b1+b3+⋯+b2n−1)+(b2+b4+⋯+b2n)
=(2+4+⋯+2n)+(22+24+⋯+22n)
=(2+2n)n2+4(1−4n)1−4=n2+n+4n+13−43，
则数列{bn}的前2n项和T2n为n2+n+4n+13−43．
16.解：(1)四棱锥P−ABCD的底面ABCD为正方形，PA⊥底面ABCD，则直线AB，AD，AP两两垂直，
以A为坐标原点，直线AB，AD，AP分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
则A(0,0,0)，B(2,0,0)，D(0,2,0)，P(0,0,4)，C(2,2,0)，AP=(0,0,4),PC=(2,2,−4)，
设PG=λPC(0≤λ≤1)，则AG=AP+λPC=(2λ,2λ,4−4λ)，
由PC⊥平面AEGF，AG⊂平面AEGF，得PC⊥AG，
则PC⋅AG=4λ+4λ−16+16λ=0，解得λ=23，
所以点G在棱PC上靠近点C的三等分点处．

(2)由(1)知 G(43,43,43)，BD=(−2,2,0),BG=(−23,43,43)，
设平面GBD的法向量m=(x,y,z)，
则BD⊥mBG⊥m，则BD⋅m=−2x+2y=0BG⋅m=−23x+43y+43z=0，
取x=2，得m=(2,2,−1)，
由PC⊥平面AEGF，得平面AEGF的法向量PC=(2,2,−4)，
所以平面AEGF与平面GBD夹角的余弦值|cs〈PC,m〉|=|PC⋅m||PC||m|=122 6⋅3= 63．
17.解：(1)由于离心率e= 32，所以 1−b2a2= 32，因此a2=4b2.①
由于椭圆C的内接正方形的面积为165，因此该正方形的边长为4 5，
根据对称性，可知C过点(2 5,2 5)，因此可得45a2+45b2=1.②
根据①②，解得b2=1，a2=4，
因此椭圆C：x24+y2=1．
(2)证明：设直线l：y=x+m，那么D(−m,0)，
设N(x2,y2)，M(x1,y1)，
联立直线l和椭圆方程可得y=x+m,x2+4y2−4=0，化简得5x2+8mx+4m2−4=0，
根据根的判别式Δ=64m2−4×5(4m2−4)>0，可得− 50,b>0)经过点A(−1,0),B( 2, 3)．
所以1a2=12a2−3b2=1，又a>0，b>0，所以解得a=1，b= 3，
所以双曲线E的方程为x2−y23=1；
(2)证明：(i)由(1)可知a=1，b= 3，所以c=2，所以右焦点为F(2,0)，
易知直线l的斜率存在且不为0，所以设l：x=my+2(m≠0)，
因为直线l经过E的右焦点F且与E的左、右两支分别交于点C，D(C与A不重合)，
所以直线l的斜率的绝对值为|1m|< 3，即m2>13，
联立3x2−y2−3=0x=my+2,，得(3m2−1)y2+12my+9=0，
设C(x1,y1)，D(x2,y2)，
则y1+y2=−12m3m2−1,y1y2=93m2−1，
设M(xM,yM)，则yM=y1+y22=−6m3m2−1，
由12=my+2，解得y=−32m，所以G(12,−32m)，
所以直线AG：y=32m−1−12(x+1)，即x=−my−1，
设N(xN,yN)，
联立3x2−y2−3=0x=−my−1,，得(3m2−1)y2+6my=0，又A(−1,0)，
所以yN=−6m3m2−1，因为yM=yN，所以MN/​/x轴；
(ii)由弦长公式可知|CD|= 1+m2 (y1+y2)2−4y1y2= 1+m2 (−12m)2−36(3m2−1)|3m2−1|=6m2+63m2−1，
因为xM=myM+2=−23m2−1,xN=−myN−1=3m2+13m2−1，
所以|MN|=3m2+13m2−1+23m2−1=3m2+33m2−1，
所以|CD|=2|MN|，又M为CD的中点，所以点N在以CD为直径的圆上，
因为|AM|= (−1+23m2−1)2+(6m3m2−1)2=3m2+33m2−1，
所以点A也在以CD为直径的圆上．
综上，A，C，D，N四点共圆．