2024-2025学年内蒙古鄂尔多斯市高一上册第一次月考数学调研试卷（含解析）

这是一份2024-2025学年内蒙古鄂尔多斯市高一上册第一次月考数学调研试卷（含解析），共18页。试卷主要包含了单选题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 下列各组对象中：①高一个子高的学生；②《高中数学》（必修）中的所有难题；③所有偶数；④全体著名的数学家.其中能构成集合的有（ ）
A 1组B. 2组C. 3组D. 4组
2. 如图所示的韦恩图中，已知A，B是非空集合，定义表示阴影部分的集合.若，，则（ ）
B.
C. D.
3. 已知不等式解集为空集，则a的取值范围是（ ）
A. B.
C. 或D. 或
4. 已知，，则下列结论一定成立的是（ ）
A. B. C. D.
5. 设m为给定的实常数，命题，，则“”是“p为真命题”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C 充要条件D. 既不充分也不必要条件
6. 已知，则（ ）
A. B.
C. D. A，B大小关系与x的取值有关
7. 已知，为正实数，则“”是“”的（ ）
A. 充要条件B. 必要不充分条件
C. 充分不必要条件D. 既不充分也不必要条件
8. 已知，，，若不等式对已知的，及任意实数恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知全集，集合，，则（ ）
A. 集合A的真子集有8个B. C. D. 中的元素个数为5
10. 有以下说法，其中正确的为（ ）
A. “是有理数”是“是实数“的充分条件
B. “”是“”的必要条件
C. “”是“”的必要条件
D. “”是“”的充分条件
11. 设正实数，满足，则下列说法正确的是（ ）
A. 的最小值为2B. 的最小值为1
C. 的最大值为4D. 的最小值为2
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 若命题，则命题否定是_________
13. 已知，则的取值范围是_____．
14. 已知集合，，若，则实数的取值范围是____________．
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤.
15. 解下列不等式：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
16. 已知集合，或.
（1）若全集，求、；
（2）若全集，求.
17. 已知二次函数．
（1）若不等式的解集为，解关于x的不等式．
（2）若且，，解关于x的不等式．
18. （1）已知：，．若，求的最大值；
（2）已知，，且，若恒成立，求m的最大值．
19. 根据要求完成下列问题：
（1）若、、．
①求证：；
②求证：；
③在②中的不等式中，能否找到一个代数式，满足所求式？若能，请直接写出该代数式；若不能，请说明理由．
设x、，求证：成立的充要条件是.
2024-2025学年内蒙古鄂尔多斯市高一上学期第一次月考数学
调研试卷
一、单选题（每题5分，共40分）
1. 下列各组对象中：①高一个子高的学生；②《高中数学》（必修）中的所有难题；③所有偶数；④全体著名的数学家.其中能构成集合的有（ ）
A. 1组B. 2组C. 3组D. 4组
【正确答案】A
【分析】
根据集合的概念，逐项判断，即可得出结果.
【详解】①因为个子高没有明确的定义，故“高一个子高的学生”不能构成集合；
②因为难题没有明确的定义，故“《高中数学》（必修）中的所有难题”不能构成集合；
③所有的偶数是确定的，且都不一样，故“所有偶数”可构成集合；
④著名的数学家没有明确的定义，故“全体著名的数学家”不能构成集合.
即能构成集合的只有③.
故选：A.
本题主要考查集合的概念，属于基础题型.
2. 如图所示的韦恩图中，已知A，B是非空集合，定义表示阴影部分的集合.若，，则（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】D
【分析】根据韦恩图分析出表示的含义，再根据集合间的运算关系求出答案即可
【详解】由韦恩图可得，
因为，，
所以，
所以=
故选：D．
3. 已知不等式的解集为空集，则a的取值范围是（ ）
A. B.
C. 或D. 或
【正确答案】A
【分析】根据题意，结合二次函数的性质，即可求解.
【详解】由不等式的解集为空集，
根据二次函数的性质，则满足，解得.
即实数的取值范围是.
故选：A.
4. 已知，，则下列结论一定成立的是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】B
【分析】根据不等式的同向可加性求解即可.
【详解】因为，所以，又，所以.
故选：B.
5. 设m为给定的实常数，命题，，则“”是“p为真命题”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【正确答案】B
【分析】先由命题为真求得的范围，再根据充要条件的要求进行判断即得.
【详解】命题p：，为真等价于，即，
由“”显然推不出“”，故“”不是“p为真命题”的充分条件；
由“”可推出“”，故“”是“p为真命题”的必要条件.
故选：B.
6. 已知，则（ ）
A. B.
C. D. A，B的大小关系与x的取值有关
【正确答案】C
【分析】根据题意利用作差法比较大小.
【详解】因为，
所以，即.
故选：C．
7. 已知，为正实数，则“”是“”的（ ）
A. 充要条件B. 必要不充分条件
C 充分不必要条件D. 既不充分也不必要条件
【正确答案】B
【分析】由，利用均值不等式，可证明；若，举反例可知不一定成立，即得解
【详解】由，为正实数，，当且仅当时等号成立
若，可得，故必要性成立；
当，此时，但，故充分性不成立；
因此“”是“”的必要不充分条件
故选：B
8. 已知，，，若不等式对已知的，及任意实数恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】D
【分析】
利用基本不等式求得的最小值，再利用参变分离将问题转化为恒成立问题，从而求得答案.
【详解】∵，
当且仅当时等号成立，
∴，即，
∴.
故选：D
本题考查基本不等式求最值、一元二次函数的最值，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意参变分离法的运用.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知全集，集合，，则（ ）
A. 集合A的真子集有8个B. C. D. 中的元素个数为5
【正确答案】CD
【分析】根据给定条件，求出集合及全集，再逐项分析判断即得.
【详解】依题意，，而，则，
对于A，集合A的真子集个数为，A错误；
对于B，，B错误；
对于C，，，C正确；
对于D，中的元素个数为5，D正确.
故选：CD
10. 有以下说法，其中正确的为（ ）
A. “是有理数”是“是实数“的充分条件
B. “”是“”的必要条件
C. “”是“”的必要条件
D. “”是“”的充分条件
【正确答案】ACD
【分析】对根据有理数与实数的关系即可判断出结论；对根据元素与集合的关系即可判断出结论；对通过解方程，即可判断出结论；对通过解不等式“ “，即可判断出结论．
【详解】．是有理数是实数，
因此“是有理数”是“是实数“的充分条件，正确．
．，反之不成立，
因此”是“”的充分不必要条件，不正确．
．由，”
因此：””是“”的必要条件，正确；
．“” 或，
“”是“”的充分条件，因此正确．
故选：．
本题考查充分条件和必要条件的判断，属简单题.
11. 设正实数，满足，则下列说法正确的是（ ）
A. 的最小值为2B. 的最小值为1
C. 的最大值为4D. 的最小值为2
【正确答案】AD
【分析】根据，结合基本不等式可判断A；根据基本不等式可判断B；可判断C；根据可判断D.
【详解】对于A，因为，，
所以
，
当且仅当时等号成立，
所以的最小值为2，故A正确；
对于B，，当且仅当时等号成立，
所以的最大值为1，故B错误；
对于C，，当且仅当时等号成立，
所以，即的最大值为2，故C错误；
对于D，，当且仅当时等号成立，
所以的最小值为2，故D正确.
故选:AD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 若命题，则命题的否定是_________
【正确答案】
【分析】根据全称量词命题的否定是存在量词命题直接求解即可.
【详解】由题意，根据全称量词命题的否定的定义有，命题p的否定是.
故答案为.
13. 已知，则的取值范围是_____．
【正确答案】
【分析】
利用换元法，结合不等式的性质进行求解即可.
详解】设，因此得：，，
，
因为，所以，因此，
所以.
故
14. 已知集合，，若，则实数的取值范围是____________．
【正确答案】
【分析】分情况讨论：当或，根据集合包含关系即可求解.
【详解】当时，有，则；
当时，若，如图，
则解得．
综上，的取值范围为．
故
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤.
15. 解下列不等式：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
【正确答案】（1）
（2）
（3）
（4）
【分析】先讲不等式整理成标准的一元二次不等式，再根据一元二次不等式的解法求解即可.
【小问1详解】
不等式可化为,
即 ,
即不等式的解集为 ;
【小问2详解】
不等式可化为,,
即 ,
即不等式的解集为 ;
【小问3详解】
不等式可化 ，
无解,
即不等式的解集为 ;
【小问4详解】
不等式可化为,
即 ,
即不等式的解集为
16. 已知集合，或.
（1）若全集，求、；
（2）若全集，求.
【正确答案】（1）或，或；
（2）
【分析】（1）（2）利用并集、补集、交集的定义直接求解即可.
【小问1详解】
集合，或，则或，
或，所以或.
【小问2详解】
由或，得，
所以.
17. 已知二次函数．
（1）若不等式的解集为，解关于x的不等式．
（2）若且，，解关于x的不等式．
【正确答案】（1）
（2）当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为.
【分析】（1）由已知得，代入所求不等式得从而求得解集；
（2）由已知转化为，又，再解含参的一元二次不等式可得答案.
【小问1详解】
的解集为，
，
，
，
则，即，
所求不等式的解集为.
【小问2详解】
由，，
得，
则，即，
又，则不等式可化为，
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为.
18. （1）已知：，．若，求的最大值；
（2）已知，，且，若恒成立，求m的最大值．
【正确答案】（1）；（2）.
【分析】（1）依题意利用基本不等式可得，令，再解关于的一元二次不等式，即可求出的最大值，即可得解；
（2）将问题转化为恒成立，求出的最小值，而，化简后利用基本不等式可求出其最小值，从而可求出的最大值.
【详解】（1）因，，，
所以，当且仅当时取等号，
令，则，即，解得，
又，所以，即，从而，
由及，，解得，，
故当，时，的最大值为，所以的最大值为．
（2）因为（）恒成立，且，
所以恒成立，
所以恒成立，
因为，，
所以
，
当且仅当，即时取等号，
所以的最小值为，
所以，所以的最大值为.
19. 根据要求完成下列问题：
（1）若、、．
①求证：；
②求证：；
③在②中的不等式中，能否找到一个代数式，满足所求式？若能，请直接写出该代数式；若不能，请说明理由．
（2）设x、，求证：成立的充要条件是.
【正确答案】（1）①证明见解析；②证明见解析；③能找到，
（2）证明见解析
【分析】（1）①根据的符号去绝对值即可证不等式成立；
②根据同向不等式相加和同向同正的不等式可相乘的性质可证明不等式成立；
③在的两边同时乘以得，在的两边同时乘以得，即可证明.
（2）证明充分性：如果，则有和两种情况，分别证明即可；证明必要性：若且，则，化简即可.
【小问1详解】
①∵，且、，
∴，∴；
②∵，∴，
又，∴，
∴，
∴，
∵、，
∴，由①知，
∴，
∴；
③∵，，
∴或（只要写出其中一个即可）；
【小问2详解】
①充分性：如果，则有和两种情况，
当时，当时，则、，等式成立，
当时，则、，等式成立，
当时，等式成立，
当时，即、或、，
当、时，、，等式成立，
当、时，、，等式成立，
∴当时，等式成立，
∴当时，成立，
②必要性：若且，则，
即，则，故，
综上所述，是等式成立的充要条件.